考研数学二·零基础讲义 专题S02（上）｜1^∞ 型极限专项

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S02（上）｜$1^\infty$ 型极限专项

学完这篇，你能一眼认出"底数趋于 1、指数趋于无穷"的幂指函数，会用 $e$ 的"配方"套路、对数法和取对数后等价替换三种办法算出结果。全篇 15 道例题 + 8 道自测，所有答案都用 SymPy 验算过。

本讲地图#

• 第一步：认型——什么样的极限叫 $1^\infty$，为什么它"不是 1"。
• 第二步：一个万能公式——$\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$。
• 第三步：三种做法——凑重要极限、对数法、泰勒/等价替换。
• 第四步：变形题——$x\to\infty$、$x\to1$、底数是三角函数、底数是比值。
• 第五步：易错点——什么时候不是 $1^\infty$，别乱套公式。
• 大纲要求：会求七种未定式的极限、会用两个重要极限。$1^\infty$ 几乎每年都以某种形式出现。

前置知识#

• 第二个重要极限 $\lim\limits_{\square\to0}(1+\square)^{1/\square}=e$：第 02 讲（下）。
• 等价无穷小：第 03 讲与专题 S01。
• $u^v=e^{v\ln u}$：第 01 讲。

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一、先认型：为什么 $1^\infty$ 不是 1#

大白话：$1$ 的任何次方都是 1，但这里的"底"只是无限接近 1，不是等于 1；指数又是无限大。"差一点点"被"乘了无限多次"放大，结果可以是任何正数。

看数字：$(1+\tfrac1x)^x$，$x=10$ 时约 $2.594$，$x=100$ 时约 $2.705$，$x=1000$ 时约 $2.717$，越来越接近 $e\approx2.718$。

图 1：点沿曲线 $y=(1+\frac1x)^x$ 滑向右边，高度逼近 $e$（动画循环播放）

定义：若 $u\to1$，$v\to\infty$，则 $u^v$ 叫 $1^\infty$ 型未定式。

1.1 万能公式#

因为 $u^v=e^{v\ln u}$，而 $u\to1$ 时 $\ln u=\ln(1+(u-1))\sim u-1$，所以

$$\lim u^v=e^{\lim v\ln u}=e^{\lim v(u-1)}\qquad(u\to1,\ v\to\infty).$$

口诀：底数减 1，乘指数，放到 $e$ 的肩膀上。 只要最后那个极限存在（可以是 $\infty$，此时结果为 $0$ 或 $+\infty$），公式就成立。

1.2 三种做法#

1. 凑重要极限：把 $u$ 写成 $1+\square$，指数凑成 $\dfrac1\square\cdot(\text{剩下的})$。
2. 万能公式：直接算 $\lim v(u-1)$，最快。
3. 对数法：设 $y=u^v$，先求 $\ln y=v\ln u$ 的极限（$0\cdot\infty$ 型，可用泰勒），再取指数。

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二、第一层：套公式#

例 1：求 $\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{1/x}$。

解：底 $\to1$，指数 $\to\infty$，是 $1^\infty$。$v(u-1)=\dfrac1x\cdot2x=2$，所以极限为 $e^2$。

（也可凑：$(1+2x)^{\frac1{2x}\cdot2}\to e^2$。）

例 2：求 $\lim\limits_{x\to0}(1-3x)^{2/x}$。

解：$v(u-1)=\dfrac2x\cdot(-3x)=-6$，极限为 $e^{-6}$。

例 3：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^{3x}$。

解：$v(u-1)=3x\cdot\dfrac1x=3$，极限为 $e^3$。

例 4：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x$。

解：$\dfrac{x+1}{x-1}-1=\dfrac2{x-1}$，$v(u-1)=\dfrac{2x}{x-1}\to2$，极限为 $e^2$。

例 5：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$。

解：$u-1=\dfrac2{x^2-1}$，$v(u-1)=\dfrac{2x^2}{x^2-1}\to2$，极限为 $e^2$。

小结：这一层的特点是"底数减 1"一眼能算。不用背十几种形式，只算 $v(u-1)$ 这一个极限。

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三、第二层：底数是三角函数，需要等价替换#

例 6：求 $\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$。

解：$u-1=\cos x-1\sim-\dfrac12x^2$，$v(u-1)\to\dfrac1{x^2}\cdot\left(-\dfrac12x^2\right)=-\dfrac12$，极限为 $e^{-1/2}$。

例 7：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$。

解：$u-1=\dfrac{\sin x-x}{x}\sim\dfrac{-\frac16x^3}{x}=-\dfrac16x^2$，$v(u-1)\to-\dfrac16$，极限为 $e^{-1/6}$。

例 8：求 $\lim\limits_{x\to0}(\cos x+x\sin x)^{1/x^2}$。

解：$\cos x=1-\dfrac{x^2}2+\cdots$，$x\sin x=x^2+\cdots$，所以 $u-1\sim\dfrac12x^2$，极限为 $e^{1/2}$。

例 9：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{1/x^3}$。

解：$u-1=\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\sim\dfrac{\frac12x^3}{1}$，$v(u-1)\to\dfrac12$，极限为 $e^{1/2}$。

⚠️ 这里用到了 $\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3$（S01 进阶等价）。如果不会，就先提公因子 $\tan x(1-\cos x)$。

例 10：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\tan\left(\dfrac\pi4+x\right)\right)^{1/x}$。

解：$\tan\left(\dfrac\pi4+x\right)=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}$，$u-1=\dfrac{2\tan x}{1-\tan x}\sim2x$，$v(u-1)\to2$，极限为 $e^2$。

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四、第三层：几何平均与"两项和"#

例 11：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{2^x+3^x}2\right)^{1/x}$。

解：$u-1=\dfrac{(2^x-1)+(3^x-1)}2\sim\dfrac{x\ln2+x\ln3}2=\dfrac x2\ln6$，$v(u-1)\to\dfrac12\ln6$，极限为 $e^{\frac12\ln6}=\sqrt6$。

例 12：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(1+xe^x\right)^{1/x}$。

解：$u-1=xe^x$，$v(u-1)=e^x\to1$，极限为 $e$。

例 13：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{(1+x)^{1/x}}e\right)^{1/x}$。

解：先看 $(1+x)^{1/x}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$，$\dfrac{\ln(1+x)}x=1-\dfrac x2+\cdots$（泰勒），所以 $\dfrac{(1+x)^{1/x}}e=e^{-\frac x2+\cdots}$，$u-1\sim-\dfrac x2$，$v(u-1)\to-\dfrac12$，极限为 $e^{-1/2}$。

这题把"底数里还有 $1^\infty$"一层层剥开，用的是泰勒展开到刚好够用的阶：$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\cdots$，除以 $x$ 后保留到 $x$ 项。

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五、第四层：$x\to1$ 与不是 $1^\infty$ 的陷阱#

例 14：求 $\lim\limits_{x\to1}x^{\frac1{1-x}}$。

解：令 $t=x-1\to0$，$u-1=t$，$v=-\dfrac1t$，$v(u-1)=-1$，极限为 $e^{-1}$。

例 15：求 $\lim\limits_{x\to0^+}x^x$。

解：这不是 $1^\infty$，而是 $0^0$。$x^x=e^{x\ln x}$，$x\ln x\to0$（见下篇，$0\cdot\infty$ 型），所以极限为 $e^0=1$。

识别口诀：先分别算底数和指数的极限。底 $\to1$、指数 $\to\infty$ 才用万能公式；底 $\to0$ 或 $\infty$ 的幂指函数走对数法，具体型号看 $0^0$、$\infty^0$。

易错点汇总#

1. 忘了减 1：把 $v\cdot u$ 当成 $v(u-1)$。例 4 中错写成 $\dfrac{x(x+1)}{x-1}$ 就发散了。
2. 等价替换替错位置：$u-1\sim\cdots$ 里只能换乘除因子；$u$ 本身是 $1+\square$ 的形式，不能直接把 $\square$ 换成别的东西再当作新的 $u$ 去代入（例 8 里 $\cos x+x\sin x$ 必须整体算出 $u-1$）。
3. 指数不是 $\infty$：如 $(1+x)^{2}$，当 $x\to0$ 时直接代入即可，没有未定式。
4. 极限不是 $e^{\text{常数}}$：若 $\lim v(u-1)=+\infty$，原极限为 $+\infty$；$=-\infty$，原极限为 $0$。
5. 漏掉符号：$\cos x-1$ 是负数，$e^{-1/2}$ 不是 $e^{1/2}$。

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公式/结论速记卡#

• 万能公式：$u\to1,\ v\to\infty\Rightarrow\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$。
• 等价：$\ln u\sim u-1$（$u\to1$）。
• 常用结果：$\lim(1+x)^{1/x}=e$；$\lim(\cos x)^{1/x^2}=e^{-1/2}$；$\lim\left(\dfrac{\sin x}x\right)^{1/x^2}=e^{-1/6}$。
• 步骤：认型 → 算 $u-1$ → 等价/泰勒化简 → 乘指数 → 放到 $e$ 上。

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自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{x\to0}(1+5x)^{3/x}$。

答案与提示

$v(u-1)=\dfrac3x\cdot5x=15$，答案 $e^{15}$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac2x\right)^{x}$。

答案与提示

$v(u-1)=x\cdot\left(-\dfrac2x\right)=-2$，答案 $e^{-2}$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^{2x}$。

答案与提示

$u-1=\dfrac5{x-2}$，$v(u-1)=\dfrac{10x}{x-2}\to10$，答案 $e^{10}$。

4. 求 $\lim\limits_{x\to0}(\cos2x)^{1/x^2}$。

答案与提示

$\cos2x-1\sim-\dfrac12(2x)^2=-2x^2$，答案 $e^{-2}$。

5. 求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{1/x^2}$。

答案与提示

$\tan x-x\sim\dfrac13x^3$，$u-1\sim\dfrac13x^2$，答案 $e^{1/3}$。

6. 求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{a^x+b^x}2\right)^{1/x}$（$a,b>0$）。

答案与提示

同例 11，$v(u-1)\to\dfrac{\ln a+\ln b}2$，答案 $\sqrt{ab}$。

7. 求 $\lim\limits_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1{x}}$。

答案与提示

$v(u-1)=\dfrac{\sin x}x\to1$，答案 $e$。

8.（略提高）求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^{x}$。

答案与提示

$u-1=-\dfrac1{x+1}$，$v(u-1)=-\dfrac x{x+1}\to-1$，答案 $e^{-1}$。

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下一篇预告#

S02（下）讲 $\infty-\infty$ 与 $0\cdot\infty$：有理化、通分、倒代换、泰勒，以及 $0^0$、$\infty^0$ 的对数法。