考研数学二·零基础讲义 专题S02（下）｜∞−∞、0·∞ 型极限专项

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S02（下）｜$\infty-\infty$、$0\cdot\infty$ 型极限专项

学完这篇，你能把"两个无穷大相减""零乘无穷"这两类未定式，用有理化、通分、倒代换、泰勒四把钥匙化成"能算"的形式，并顺手搞定 $0^0$、$\infty^0$。全篇 16 道例题 + 8 道自测，答案均经 SymPy 验算。

本讲地图#

• 第一步：认型——$\infty-\infty$ 与 $0\cdot\infty$ 为什么不能直接代入。
• 第二步：四把钥匙——有理化、通分、倒代换、泰勒。
• 第三步：$0\cdot\infty$ 化成分式——$0\cdot\infty\to\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$。
• 第四步：$0^0$、$\infty^0$——取对数化成 $0\cdot\infty$。
• 大纲要求：会求未定式极限。

前置知识#

• 洛必达法则：第 07 讲（中）。泰勒公式：第 07 讲（下）与专题 S01。
• 等价无穷小：第 03 讲、专题 S01。
• $1^\infty$：专题 S02（上）。

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一、认型#

大白话：$\infty-\infty$ 不是 0，因为两个无穷大"谁大谁小"没说清；$0\cdot\infty$ 不是 0，因为"零"在缩小的同时"无穷"在放大，谁赢取决于速度。

先看一个数值：$\sqrt{x^2+x}-x$，$x=100$ 时约 $0.4988$，$x=10000$ 时约 $0.49999$，稳稳趋于 $\dfrac12$，不是 0，也不是 $\infty$。

图 1：点沿曲线 $y=\sqrt{x^2+x}-x$ 滑向右边，高度逼近 $\dfrac12$（动画循环播放）

总思路：把"减"变成"除"，把"乘"变成"除"，让它变成熟悉的 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$。

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二、$\infty-\infty$：有理化#

适用：含根号的差。做法：乘共轭，分子变成"平方差"，通常消去最高次。

例 1：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$。

解：乘共轭：

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\frac12.$$

例 2：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-2x}\right)$。

解：

$$\frac{4x}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-2x}}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1-\frac2x}}\to2.$$

例 3：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac12}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt x\right)$。

解：这是 $\infty\cdot0$，有理化：$\sqrt{x+1}-\sqrt x=\dfrac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}$，所以原式 $=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\to\dfrac12$。

⚠️ 注意：$x\to-\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=-x=|x|$，要特别留意符号。

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三、$\infty-\infty$：通分与泰勒#

适用：分式的差，如 $\dfrac1x-\dfrac1{\ln(1+x)}$。做法：通分，把分子分母都化成同阶无穷小，再用等价或泰勒。

例 4：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1x-\dfrac1{e^x-1}\right)$。

解：通分得 $\dfrac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$。分子 $\sim\dfrac12x^2$，分母 $\sim x^2$，极限 $\dfrac12$。

例 5：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{e^x-1}-\dfrac1x\right)$。

解：是例 4 的相反数，$-\dfrac12$。

例 6：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac1{x^2}\right)$。

解：通分：$\dfrac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}$。分母 $\sim x^4$。分子：$x^2-\sin^2x=(x-\sin x)(x+\sin x)\sim\dfrac16x^3\cdot2x=\dfrac13x^4$。极限 $\dfrac13$。

例 7：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1x-\dfrac1{\ln(1+x)}\right)$。

解：通分：$\dfrac{\ln(1+x)-x}{x\ln(1+x)}$。分子 $\sim-\dfrac12x^2$，分母 $\sim x^2$，极限 $-\dfrac12$。

例 8：求 $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac1{\ln x}-\dfrac1{x-1}\right)$。

解：令 $t=x-1\to0$，$\ln x=\ln(1+t)$。通分：$\dfrac{t-\ln(1+t)}{t\ln(1+t)}\sim\dfrac{\frac12t^2}{t^2}=\dfrac12$。

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四、$0\cdot\infty$：倒代换与化分式#

做法：把其中一个因子放到分母，变成 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$。放谁？ 放"比较简单、求导后变简单"的那个；对数函数 $\ln x$ 通常留在分子，幂函数放分母。

例 9：求 $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$。

解：$x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}$，洛必达：$\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-x\to0$。答案 $0$。

例 10：求 $\lim\limits_{x\to0^+}\sqrt x\ln x$。

解：同理，$\dfrac{\ln x}{x^{-1/2}}\to\dfrac{1/x}{-\frac12x^{-3/2}}=-2\sqrt x\to0$。

例 11：求 $\lim\limits_{x\to\infty}x\left(e^{1/x}-1\right)$。

解：令 $t=\dfrac1x\to0$，$\dfrac{e^t-1}t\to1$。答案 $1$。

例 12：求 $\lim\limits_{x\to\infty}x^2\left(1-\cos\dfrac1x\right)$。

解：$1-\cos\dfrac1x\sim\dfrac1{2x^2}$，答案 $\dfrac12$。

例 13：求 $\lim\limits_{x\to1}(1-x)\tan\dfrac{\pi x}2$。

解：令 $t=1-x\to0$，$\tan\left(\dfrac\pi2-\dfrac{\pi t}2\right)=\cot\dfrac{\pi t}2$。原式 $=t\cot\dfrac{\pi t}2\to\dfrac2\pi$。

例 14：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\dfrac\pi2-\arctan x\right)$。

解：令 $t=\dfrac\pi2-\arctan x$，$\tan t=\dfrac1x$，故 $t\sim\dfrac1x$，答案 $1$。

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五、$0^0$、$\infty^0$：对数法#

做法：$u^v=e^{v\ln u}$，指数 $v\ln u$ 变成 $0\cdot\infty$，再按第四节做。

例 15：求 $\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x}$。

解：指数 $\sin x\ln x\sim x\ln x\to0$，答案 $e^0=1$。

例 16：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1/x}$。

解：指数 $\dfrac{\ln x}x\to0$，答案 $1$。

易错点汇总#

1. 根号有理化漏掉系数：例 2 分子是 $4x$ 不是 $2x$。
2. $x\to-\infty$ 时的符号：$\sqrt{x^2}=|x|=-x$。
3. 把 $\infty-\infty$ 拆开算：不能先算每项再减，必须先合成一个式子。
4. 洛必达后变复杂：$0\cdot\infty$ 放错因子，求导越来越难，换一个放法。
5. 通分后分子分母阶数对不上：先算分母阶数，再决定分子展开到几阶。

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公式/结论速记卡#

• 有理化：$\sqrt A-\sqrt B=\dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}$。
• 通分：$\dfrac1f-\dfrac1g=\dfrac{g-f}{fg}$，再用等价/泰勒。
• $0\cdot\infty$：$\ln$ 在分子、幂函数在分母；$\lim_{x\to0^+}x^a\ln x=0\ (a>0)$。
• $0^0,\infty^0,1^\infty$：取对数，指数是 $0\cdot\infty$。
• 常用结果：$\lim_{x\to0^+}x^x=1$，$\lim_{x\to\infty}x^{1/x}=1$。

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自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$。

答案与提示

有理化：$\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\to\dfrac32$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{x^2}-\dfrac1{\tan^2x}\right)$。

答案与提示

通分：$\dfrac{\tan^2x-x^2}{x^2\tan^2x}$，分子 $=(\tan x-x)(\tan x+x)\sim\dfrac13x^3\cdot2x=\dfrac23x^4$，答案 $\dfrac23$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}x\left(3^{1/x}-1\right)$。

答案与提示

$\ln3$。

4. 求 $\lim\limits_{x\to0^+}x^2\ln x$。

答案与提示

$\dfrac{\ln x}{x^{-2}}\to\dfrac{1/x}{-2x^{-3}}=-\dfrac{x^2}2\to0$，答案 $0$。

5. 求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{\sin x}-\dfrac1x\right)$。

答案与提示

通分：$\dfrac{x-\sin x}{x\sin x}\sim\dfrac{\frac16x^3}{x^2}\to0$，答案 $0$。

6. 求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$。

答案与提示

有理化：$\dfrac x{\sqrt{x^2+1}+x}\to\dfrac12$。

7. 求 $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\ln\dfrac1x\right)^x$。

答案与提示

指数 $x\ln\ln\dfrac1x\to0$，答案 $1$。

8.（略提高）求 $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac1{\ln x}-\dfrac1{x-1}\right)$。

答案与提示

同例 8，答案 $\dfrac12$。

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专题 S03 讲数列极限：夹逼准则与单调有界准则，以及递推数列怎么证明收敛。