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第 120 篇

考研数学二·零基础讲义 专题S01（下）｜泰勒展开求极限专项

约 14 分钟 4225 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S01（下）｜泰勒展开求极限专项

学完这篇，你能在等价替换失灵（加减抵消）时，果断换用泰勒展开：知道该展开到几阶、会展开复合函数和乘积、会用展开式求参数和判断无穷小的阶。全篇 18 道例题 + 8 道自测。预计用时：3～4 小时。

本讲地图

  • 什么时候用泰勒：分子（或分母）是加减式，主要部分抵消，等价替换会得 0——这时用泰勒。
  • 必背展开式：exe^x、sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x、ln⁡(1+x)\ln(1+x)、(1+x)α(1+x)^\alpha，以及 tan⁡x\tan x、arctan⁡x\arctan x、arcsin⁡x\arcsin x 的前两项。
  • 展开到几阶：两条原则——"上下同阶"和"展开到首个不抵消的项"。
  • 进阶：复合函数、乘积的展开，oo 的运算规则，x→∞x\to\infty 时倒代换后展开。
  • 求参数与定阶：已知"是 xnx^n 的高阶无穷小"求系数，判断某个无穷小是几阶。
  • 大纲要求：会用泰勒公式（麦克劳林公式）求极限；了解 exe^x、sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x、ln⁡(1+x)\ln(1+x)、(1+x)α(1+x)^\alpha 的麦克劳林公式（实际考试要能熟练默写）。

前置知识

  • 泰勒公式、麦克劳林公式、皮亚诺余项 o(xn)o(x^n) 的含义：见第 07 讲（下）。
  • 等价无穷小替换的规则与"加减不能乱换"：见专题 S01（上）、第 03 讲（上）。

一、为什么需要泰勒：等价替换的"分辨率"不够

大白话：等价替换就像一台"低分辨率相机"——它只拍到函数的主要部分（最低阶那一项），比如 sin⁡x\sin x 只拍到 xx，tan⁡x\tan x 也只拍到 xx。两个函数一相减，主要部分一样，照片上就是"一片空白（0）"。

泰勒展开是"高分辨率相机"：sin⁡x=x−x36+⋯\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots，tan⁡x=x+x33+⋯\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\cdots。相减时 xx 抵消了，但 x3x^3 那一层还清清楚楚：tan⁡x−sin⁡x=x32+⋯\tan x-\sin x=\dfrac{x^3}{2}+\cdots。

所以一句话：加减抵消 → 用泰勒；乘除因子 → 用等价。 两者经常配合使用。

下图是例 1 的极限 lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} 的样子：红点沿着曲线往 x=0x=0 滑，高度越来越接近 16\dfrac16。等价替换会把分子当成 0，而泰勒能准确算出这个 16\dfrac16。

动画：点沿曲线 y=(x−sin x)/x³ 向 x=0 滑去，高度逼近 1/6 x y O 1 2 3 1/6 0.1 虚线高度 1/6 ≈ 0.167 蓝：y = (x − sin x)/x³ x 越靠近 0，红点的高度越接近 1/6（x=0 处无定义，画空心圈）

图 1：y=x−sin⁡xx3y=\dfrac{x-\sin x}{x^3} 的图像，红点向 x=0x=0 滑动，高度逼近 16\dfrac16（动画循环播放）

二、必背展开式（x→0x\to0）

先回忆记号：o(xn)o(x^n) 读作"小欧 xx 的 nn 次方"，表示"比 xnx^n 更高阶的无穷小"，也就是"后面那些更小、可以先不管的项"。n!n! 读作"nn 的阶乘"，n!=1×2×⋯×nn!=1\times2\times\cdots\times n，比如 3!=63!=6，4!=244!=24，5!=1205!=120。

ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+o(x3)(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3)

再加三个"前两项"（常用到 x3x^3 就够）：

tan⁡x=x+x33+o(x3),arctan⁡x=x−x33+o(x3),arcsin⁡x=x+x36+o(x3).\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\qquad \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3),\qquad \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3).

记忆提示：

  • sin⁡x\sin x 只有奇次项、cos⁡x\cos x 只有偶次项，正负交替；exe^x 全是正号；ln⁡(1+x)\ln(1+x) 分母是 1,2,3,…1,2,3,\dots（不是阶乘！），正负交替。
  • (1+x)α(1+x)^\alpha 的系数像"组合数"：第二项 α\alpha，第三项 α(α−1)2\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}。例如 1+x=(1+x)12=1+12x−18x2+o(x2)\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac12}=1+\dfrac12x-\dfrac18x^2+o(x^2)。

三、展开到几阶？两条原则

原则 1：上下同阶

如果分母是 xkx^k（或者分母用等价替换化成了 xkx^k），那么分子展开到 xkx^k 就够了——更高的项除以 xkx^k 后都趋于 0。

原则 2：展开到首个不抵消的项

分子是 A−BA-B 时，把 AA、BB 都展开，直到某一阶的系数不相同为止。前面相同的项全部抵消，第一个不抵消的项就是分子的"主要部分"。

两条原则同时满足时最省事。如果展开得不够，就会出现"分子只剩 o(⋅)o(\cdot)"的情况，这说明还要再多展开一项。

下图是一个"展开不够"的典型：cos⁡x\cos x 和 e−x2/2e^{-x^2/2} 展开到二阶都是 1−x221-\dfrac{x^2}{2}，相减"看到"0（红线）；展开到四阶才发现差是 −x412-\dfrac{x^4}{12}（橙），与真实的差（蓝）在 0 附近贴合。

cos x − e^(−x²/2) 与 −x⁴/12 在 0 附近重合：二阶展开只看到 0，要展开到四阶 x y O −1.5 −1 1 −0.1 −0.2 −0.4 蓝：y = cos x − e^(−x²/2) 橙虚：y = −x⁴/12（展开到四阶的结果） 红：y = 0（只展开到二阶时"看到"的结果）

图 2：cos⁡x−e−x2/2\cos x-e^{-x^2/2} 与 −x412-\dfrac{x^4}{12} 在 0 附近重合。只展开到二阶会误以为差是 0（例 3）

四、基础例题：单个函数的展开

例 1：求 lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}。

解：

  • 分母是 x3x^3，按原则 1，分子展开到 x3x^3。
  • sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)，所以 x−sin⁡x=x36+o(x3)x-\sin x=\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)。（这里 −o(x3)-o(x^3) 仍记作 o(x3)o(x^3)，因为"高阶无穷小"不分正负。）
  • 代入：
原式=lim⁡x→0x36+o(x3)x3=lim⁡x→0(16+o(x3)x3)=16.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to0}\left(\frac16+\frac{o(x^3)}{x^3}\right)=\frac16 .

其中 o(x3)x3→0\dfrac{o(x^3)}{x^3}\to0，这正是 o(x3)o(x^3) 的定义。

例 2：求 lim⁡x→0ex−1−xx2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}。

解：ex=1+x+x22+o(x2)e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，分子 =x22+o(x2)=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，原式 =12=\dfrac12。

例 3：求 lim⁡x→0cos⁡x−e−x22x4\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}。

解：

  • 分母 x4x^4，分子展开到 x4x^4。
  • cos⁡x=1−x22+x424+o(x4)\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)。
  • e−x22e^{-\frac{x^2}{2}}：在 e□=1+□+□22+o(□2)e^{\square}=1+\square+\dfrac{\square^2}{2}+o(\square^2) 里令 □=−x22\square=-\dfrac{x^2}{2}：
e−x22=1−x22+12⋅x44+o(x4)=1−x22+x48+o(x4).e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac12\cdot\frac{x^4}{4}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4).
  • 相减：11 和 −x22-\dfrac{x^2}{2} 都抵消了，剩 (124−18)x4=−112x4\left(\dfrac1{24}-\dfrac18\right)x^4=-\dfrac{1}{12}x^4。
原式=−112.\text{原式}=-\frac1{12} .

易错点 ⚠️：如果只展开到 x2x^2，分子是 0+o(x2)0+o(x^2)，什么也算不出来——这就是图 2 的红线。

例 4：求 lim⁡x→0sin⁡x−xcos⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}。

解：

  • sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)。
  • xcos⁡x=x(1−x22+o(x2))=x−x32+o(x3)x\cos x=x\left(1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=x-\dfrac{x^3}{2}+o(x^3)。注意 cos⁡x\cos x 只要展开到 x2x^2，乘上 xx 就到 x3x^3 了。
  • 相减：(−16+12)x3=13x3\left(-\dfrac16+\dfrac12\right)x^3=\dfrac13x^3。
原式=13.\text{原式}=\frac13 .

例 5：求 lim⁡x→0ln⁡(1+x)−x+x22x3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}。

解：ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)，分子 =x33+o(x3)=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)，原式 =13=\dfrac13。

例 6：求 lim⁡x→01+x+1−x−2x2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}。

解：

  • 1+x=1+12x−18x2+o(x2)\sqrt{1+x}=1+\dfrac12x-\dfrac18x^2+o(x^2)。
  • 1−x\sqrt{1-x}：把 xx 换成 −x-x：1−12x−18x2+o(x2)1-\dfrac12x-\dfrac18x^2+o(x^2)。
  • 相加再减 2：常数 1+1−2=01+1-2=0，一次项 12x−12x=0\dfrac12x-\dfrac12x=0，二次项 −18x2−18x2=−14x2-\dfrac18x^2-\dfrac18x^2=-\dfrac14x^2。
原式=−14.\text{原式}=-\frac14 .

例 7：求 lim⁡x→0tan⁡x−xx−sin⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x-\sin x}。

解：上下都是加减抵消型，各自展开到首个不抵消的项：

  • 分子 tan⁡x−x=x33+o(x3)\tan x-x=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)；分母 x−sin⁡x=x36+o(x3)x-\sin x=\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)。
原式=1/31/6=2.\text{原式}=\frac{1/3}{1/6}=2 .

例 8：求 lim⁡x→0arctan⁡x−sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arctan x-\sin x}{x^3}。

解：arctan⁡x=x−x33+o(x3)\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)，sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)，分子 =(−13+16)x3=−16x3=\left(-\dfrac13+\dfrac16\right)x^3=-\dfrac16x^3，原式 =−16=-\dfrac16。

五、进阶：乘积、复合与 oo 的运算

5.1 oo 的运算规则（x→0x\to0）

规则 大白话
o(xm)±o(xn)=o(xmin⁡(m,n))o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^{\min(m,n)}) 两个"垃圾桶"合并，留低阶的那个
xm⋅o(xn)=o(xm+n)x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}) 乘 xmx^m，阶数加 mm
o(xm)⋅o(xn)=o(xm+n)o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}) 两个垃圾桶相乘，阶数相加
xk=o(xn)x^k=o(x^n)（当 k>nk>n） 比 xnx^n 高次的项都可以扔进 o(xn)o(x^n)
o(xn)xm=o(xn−m)\dfrac{o(x^n)}{x^m}=o(x^{n-m})（n>mn>m） 除以 xmx^m，阶数减 mm

⚠️ o(x2)−o(x2)o(x^2)-o(x^2) 不等于 0，仍然是 o(x2)o(x^2)——两个"垃圾桶"里装的东西不一定一样。

5.2 乘积展开

例 9：求 lim⁡x→0exsin⁡x−x(1+x)x3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}。

解：

  • 分母 x3x^3，所以 exsin⁡xe^x\sin x 要算到 x3x^3。
  • ex=1+x+x22+o(x2)e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)。
  • 相乘，只收集 x3x^3 及以下的项：
    • xx 项：1⋅x=x1\cdot x=x；
    • x2x^2 项：x⋅x=x2x\cdot x=x^2；
    • x3x^3 项：x22⋅x+1⋅(−x36)=12x3−16x3=13x3\dfrac{x^2}{2}\cdot x+1\cdot\left(-\dfrac{x^3}{6}\right)=\dfrac12x^3-\dfrac16x^3=\dfrac13x^3。
  • 所以 exsin⁡x=x+x2+13x3+o(x3)e^x\sin x=x+x^2+\dfrac13x^3+o(x^3)，减去 x+x2x+x^2 得 13x3+o(x3)\dfrac13x^3+o(x^3)。
原式=13.\text{原式}=\frac13 .

技巧：乘积展开时像"凑次数"：要 x3x^3 项，就把"左边 xix^i 的系数 × 右边 xjx^j 的系数"中 i+j=3i+j=3 的全加起来。

例 10：求 lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xx2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x\cos2x}{x^2}。

解：

  • cos⁡x=1−x22+o(x2)\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，cos⁡2x=1−(2x)22+o(x2)=1−2x2+o(x2)\cos2x=1-\dfrac{(2x)^2}{2}+o(x^2)=1-2x^2+o(x^2)。
  • 相乘到 x2x^2：cos⁡xcos⁡2x=1−x22−2x2+o(x2)=1−52x2+o(x2)\cos x\cos2x=1-\dfrac{x^2}{2}-2x^2+o(x^2)=1-\dfrac52x^2+o(x^2)。
  • 分子 =52x2+o(x2)=\dfrac52x^2+o(x^2)。
原式=52.\text{原式}=\frac52 .

5.3 复合函数展开

方法：先把里层展开，再代入外层的展开式，最后整理到需要的阶。

例 11：求 lim⁡x→0esin⁡x−1−xx2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{\sin x}-1-x}{x^2}。

解：

  • 里层：sin⁡x=x+o(x2)\sin x=x+o(x^2)（sin⁡x\sin x 没有 x2x^2 项，到 x2x^2 为止就是 xx）。
  • 外层：eu=1+u+u22+o(u2)e^{u}=1+u+\dfrac{u^2}{2}+o(u^2)，u=sin⁡xu=\sin x。
  • 代入：u=x+o(x2)u=x+o(x^2)，u2=x2+o(x2)u^2=x^2+o(x^2)，所以
esin⁡x=1+x+x22+o(x2).e^{\sin x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2).
  • 分子 =x22+o(x2)=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，原式 =12=\dfrac12。

例 12（x→∞x\to\infty，倒代换后展开）：求 lim⁡x→∞x2(e1x−1−1x)\lim\limits_{x\to\infty}x^2\left(e^{\frac1x}-1-\dfrac1x\right)。

解：令 t=1xt=\dfrac1x，x→∞x\to\infty 时 t→0t\to0：

原式=lim⁡t→0et−1−tt2=12(就是例 2).\text{原式}=\lim_{t\to0}\frac{e^t-1-t}{t^2}=\frac12\quad(\text{就是例 2}).

5.4 一个"展开不够"的错解对照

例 13：求 lim⁡x→0exsin⁡x−xx2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x\sin x-x}{x^2}。

错解：ex=1+o(1)e^x=1+o(1)，sin⁡x=x+o(x)\sin x=x+o(x)，相乘得 x+o(x)x+o(x)，减去 xx 只剩 o(x)o(x)，除以 x2x^2……算不出来，于是有人就写"=0=0"。——错。

问题出在哪：分母是 x2x^2，按"上下同阶"，分子要算到 x2x^2；而 exe^x 只展开到常数项，乘积里的 x2x^2 项被扔掉了。

正解：

  • ex=1+x+o(x)e^x=1+x+o(x)，sin⁡x=x+o(x2)\sin x=x+o(x^2)。
  • 乘积到 x2x^2：xx 项 =1⋅x=x=1\cdot x=x；x2x^2 项 =x⋅x=x2=x\cdot x=x^2。所以 exsin⁡x=x+x2+o(x2)e^x\sin x=x+x^2+o(x^2)。（和例 9 的结果 x+x2+13x3+⋯x+x^2+\dfrac13x^3+\cdots 一致。）
  • 分子 =x2+o(x2)=x^2+o(x^2)，原式 =1=1。

经验：乘积里两个因子各展开几阶？一个因子的最低次 + 另一个因子要展开的次数 = 目标次数。sin⁡x\sin x 最低次是 1，目标是 2，所以 exe^x 要展开到 2−1=12-1=1 次；exe^x 最低次是 0，所以 sin⁡x\sin x 要展开到 2 次。

5.5 两个不同函数相减

例 14：求 lim⁡x→0ln⁡(1+x)−sin⁡xx2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-\sin x}{x^2}。

解：

  • 分母 x2x^2，两个函数都展开到 x2x^2：ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，sin⁡x=x+o(x2)\sin x=x+o(x^2)（sin⁡x\sin x 没有 x2x^2 项）。
  • 相减：xx 抵消，剩 −x22+o(x2)-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)。
原式=−12.\text{原式}=-\frac12 .

小提醒：sin⁡x\sin x 没有偶次项、cos⁡x\cos x 没有奇次项，"展开到 x2x^2"时 sin⁡x\sin x 写成 x+o(x2)x+o(x^2) 比写 x+o(x)x+o(x) 更精确，能少走弯路。

六、求参数与判断阶数

思路：把式子展开成 c0+c1x+c2x2+⋯c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots。"是 xnx^n 的高阶无穷小"就是**xnx^n 及以下各项的系数全为 0**；"与 kxnkx^n 等价"就是"xnx^n 以下全为 0，xnx^n 的系数等于 kk"。

例 15：已知 x→0x\to0 时，ex−(ax2+bx+1)e^x-(ax^2+bx+1) 是比 x2x^2 高阶的无穷小，求 aa、bb。

解：

ex−(ax2+bx+1)=(1−b)x+(12−a)x2+o(x2).e^x-(ax^2+bx+1)=(1-b)x+\left(\frac12-a\right)x^2+o(x^2).

xx、x2x^2 的系数都要为 0：b=1b=1，a=12a=\dfrac12。

例 16：已知 lim⁡x→0ln⁡(1+x)−(ax+bx2)x2=2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2，求 aa、bb。

解：

  • 分子 =(1−a)x+(−12−b)x2+o(x2)=(1-a)x+\left(-\dfrac12-b\right)x^2+o(x^2)。
  • 除以 x2x^2 后极限要存在，xx 项必须没有（否则 (1−a)xx2=1−ax→∞\dfrac{(1-a)x}{x^2}=\dfrac{1-a}{x}\to\infty），所以 a=1a=1。
  • 此时极限 =−12−b=2=-\dfrac12-b=2，所以 b=−52b=-\dfrac52。

例 17（略提高）：已知 x→0x\to0 时 x−(a+bcos⁡x)sin⁡xx-(a+b\cos x)\sin x 是 xx 的 5 阶无穷小，求 aa、bb。

解：

  • 第一步，展开 sin⁡x\sin x 和 cos⁡xsin⁡x\cos x\sin x 到 x3x^3：
sin⁡x=x−x36+o(x3),cos⁡xsin⁡x=(1−x22)(x−x36)+o(x3)=x−23x3+o(x3).\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \cos x\sin x=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+o(x^3)=x-\frac23x^3+o(x^3).
  • 第二步，代入：
x−(a+bcos⁡x)sin⁡x=(1−a−b)x+(a6+2b3)x3+o(x3).x-(a+b\cos x)\sin x=(1-a-b)x+\left(\frac a6+\frac{2b}{3}\right)x^3+o(x^3).
  • 第三步，5 阶无穷小意味着 xx、x3x^3 的系数都为 0（偶次项本来就没有）：
{a+b=1a6+2b3=0 ⟹ a=43,b=−13.\begin{cases}a+b=1\\[2pt] \dfrac a6+\dfrac{2b}{3}=0\end{cases} \ \Longrightarrow\ a=\frac43,\quad b=-\frac13 .
  • 验证一下：此时再往下展开，x5x^5 的系数是 130≠0\dfrac1{30}\neq0，确实是 5 阶。

例 18：x→0x\to0 时，sin⁡x−tan⁡x\sin x-\tan x 是 xx 的几阶无穷小？

解：sin⁡x−tan⁡x=(−16−13)x3+o(x3)=−12x3+o(x3)\sin x-\tan x=\left(-\dfrac16-\dfrac13\right)x^3+o(x^3)=-\dfrac12x^3+o(x^3)，所以是 3 阶无穷小，且 sin⁡x−tan⁡x∼−12x3\sin x-\tan x\sim-\dfrac12x^3。

七、实战流程：等价与泰勒怎么配合

  1. 先化简：极限非零的因子先算出来（如 esin⁡x→1e^{\sin x}\to1、cos⁡x→1\cos x\to1）。
  2. 乘除因子用等价：把分母化成 kxnkx^n 的样子，确定"阶数 nn"。
  3. 加减抵消用泰勒：分子展开到 xnx^n（上下同阶），并检查是否已出现首个不抵消项。
  4. 出现"只剩 oo"：说明展开不够，再多展一项。
  5. 检查：符号、系数（阶乘别忘）、ln⁡(1+x)\ln(1+x) 的分母不是阶乘。

易错点 ⚠️

  • 只在加减的局部用泰勒没问题，但同一个加减式里的各项要展开到同一阶，不能一项展到 x3x^3、另一项只展到 xx。
  • 复合函数展开时，里层的 oo 要跟着带进去整理，最后统一留到需要的阶。

公式/结论速记卡

  • ex=1+x+x22+x36+o(x3)e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)
  • sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)；cos⁡x=1−x22+x424+o(x4)\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)
  • ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)
  • (1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)；1+x=1+x2−x28+o(x2)\sqrt{1+x}=1+\dfrac x2-\dfrac{x^2}{8}+o(x^2)
  • tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)；arctan⁡x=x−x33+o(x3)\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)；arcsin⁡x=x+x36+o(x3)\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)
  • 展开到几阶：上下同阶；展开到首个不抵消的项。
  • 求参数：xnx^n 高阶 ⟺ xnx^n 及以下系数全为 0。
  • x→∞x\to\infty：令 t=1xt=\dfrac1x 再展开。

自测练习

1. 求 lim⁡x→0ex−1−x−x22x3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}。

答案与提示

exe^x 展开到 x3x^3，分子 =x36+o(x3)=\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)，原式 =16=\dfrac16。

2. 求 lim⁡x→0x−tan⁡xx2ln⁡(1+x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\tan x}{x^2\ln(1+x)}。

答案与提示

分母 ∼x3\sim x^3；分子 =−x33+o(x3)=-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)。原式 =−13=-\dfrac13。

3. 求 lim⁡x→0ex2−e2−2cos⁡xx4\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}。

答案与提示

先变乘法：ex2−e2−2cos⁡x=e2−2cos⁡x(ex2−2+2cos⁡x−1)e^{x^2}-e^{2-2\cos x}=e^{2-2\cos x}\left(e^{x^2-2+2\cos x}-1\right)，e2−2cos⁡x→1e^{2-2\cos x}\to1，后面 ∼x2−2+2cos⁡x\sim x^2-2+2\cos x。用泰勒：2cos⁡x=2−x2+x412+o(x4)2\cos x=2-x^2+\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)，所以 x2−2+2cos⁡x=x412+o(x4)x^2-2+2\cos x=\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)。原式 =112=\dfrac1{12}。

4. 求 lim⁡x→0cos⁡x−1+x22x4\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}。

答案与提示

cos⁡x\cos x 展开到 x4x^4，分子 =x424+o(x4)=\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)，原式 =124=\dfrac1{24}。

5. 求 lim⁡x→+∞x2[ln⁡(1+1x)−1x]\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\left[\ln\left(1+\dfrac1x\right)-\dfrac1x\right]。

答案与提示

令 t=1x→0+t=\dfrac1x\to0^+，原式 =lim⁡t→0+ln⁡(1+t)−tt2=−12=\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{\ln(1+t)-t}{t^2}=-\dfrac12。

6. 已知 x→0x\to0 时 ln⁡(1+x)−(ax+bx2)\ln(1+x)-(ax+bx^2) 是比 x2x^2 高阶的无穷小，求 aa、bb。

答案与提示

展开得 (1−a)x+(−12−b)x2+o(x2)(1-a)x+\left(-\dfrac12-b\right)x^2+o(x^2)，令两系数为 0：a=1a=1，b=−12b=-\dfrac12。

7. x→0x\to0 时，ex−1−sin⁡xe^x-1-\sin x 与 kxnkx^n 等价，求 kk、nn。

答案与提示

ex−1−sin⁡x=(1+x+x22)−1−x+o(x2)=x22+o(x2)e^x-1-\sin x=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right)-1-x+o(x^2)=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，所以 n=2n=2，k=12k=\dfrac12。

8.（略提高）求 lim⁡x→01+2sin⁡x−x−1xln⁡(1+x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+2\sin x}-x-1}{x\ln(1+x)}。

答案与提示

分母 ∼x2\sim x^2。复合展开：1+2u=1+u−u22+o(u2)\sqrt{1+2u}=1+u-\dfrac{u^2}{2}+o(u^2)，u=sin⁡x=x+o(x2)u=\sin x=x+o(x^2)，得 1+2sin⁡x=1+x−x22+o(x2)\sqrt{1+2\sin x}=1+x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)。分子 =−x22+o(x2)=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，原式 =−12=-\dfrac12。

下一篇预告

专题 S02 专攻 1∞1^\infty、∞−∞\infty-\infty、0⋅∞0\cdot\infty 三类未定式：先变形成 00\dfrac00 或 ∞∞\dfrac\infty\infty，再用这两篇的等价与泰勒收尾。

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