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第 119 篇

考研数学二·零基础讲义 专题S01（上）｜等价无穷小替换求极限专项

约 15 分钟 4550 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S01（上）｜等价无穷小替换求极限专项

学完这篇，你能把第 03 讲学过的等价无穷小表"用熟"：一眼看出哪些因子能换、哪些加减不能乱换，会把减法改成乘法再换，会做"已知等价求参数"的小题。全篇 17 道例题 + 8 道自测，按难度分五层。预计用时：3～4 小时。下篇（S01 下）专讲泰勒展开求极限。

本讲地图

  • 第一层：直接替换——分子分母里"乘在一起"的因子，直接换成最简单的等价量。
  • 第二层：广义替换——把表里的 xx 换成任何"趋于 0 的一坨 □\square"，包括 x→∞x\to\infty、x→1x\to1 这类不是 x→0x\to0 的过程。
  • 第三层：把减法变成乘法——提公因子、指数差、根式差，先"变形"再替换。
  • 第四层：加减到底能不能换——反例、能换的条件、"拆项"的条件。
  • 第五层：已知等价/同阶求参数——选择填空常见题型。
  • 大纲要求：掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。这是数二求极限里出场率最高的工具，没有之一。

前置知识

  • 无穷小的定义、阶的比较、等价无穷小表、"乘除可换、加减慎用"：见第 03 讲（上）。
  • 两个重要极限：见第 02 讲。
  • ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a}、1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\dfrac x2 等变形：见第 01 讲。
  • 第四层里会提到泰勒公式的结论，看不懂可以先跳过，学完第 07 讲（下）再回头看。

一、先把工具箱摆上桌

大白话：等价无穷小替换的本质是"在 0 附近，复杂函数和简单函数长得几乎一模一样"。sin⁡x\sin x 在 xx 很小时，几乎就是 xx 本身；1−cos⁡x1-\cos x 几乎就是 x22\dfrac{x^2}{2}。求极限时，我们只关心"xx 无限靠近 0 时的样子"，所以可以放心地拿简单的换掉复杂的——前提是换的位置对（乘除因子）。

下面这张动画就是"放大镜"：窗口越缩越小，四条曲线越来越和虚线 y=xy=x 贴成一条。这就是 sin⁡x∼x\sin x\sim x、tan⁡x∼x\tan x\sim x、ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x、ex−1∼xe^x-1\sim x 的几何意思。

放大镜动画：窗口从 [−1.5,1.5] 缩到 [−0.1,0.1]，sin x、tan x、ln(1+x)、eˣ−1 越来越和 y=x 贴成一条线 −0.750.75窗口：x、y 都在 [−1.5, 1.5] −0.250.25窗口：x、y 都在 [−0.5, 0.5] −0.050.05窗口：x、y 都在 [−0.1, 0.1] 虚线：y = x sin x tan x ln(1+x) eˣ − 1

图 1：窗口从 [−1.5,1.5][-1.5,1.5] 缩到 [−0.5,0.5][-0.5,0.5] 再缩到 [−0.1,0.1][-0.1,0.1]，四条曲线越来越贴近 y=xy=x（动画循环播放）

1.1 基本等价（x→0x\to0 时）

原函数 等价于 记忆提示
sin⁡x\sin x、tan⁡x\tan x、arcsin⁡x\arcsin x、arctan⁡x\arctan x xx 四个"三角/反三角"都等价于 xx
ln⁡(1+x)\ln(1+x) xx 注意是 1+x1+x，不是 xx
ex−1e^x-1 xx 注意要减 1
ax−1a^x-1 xln⁡ax\ln a 因为 ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a}
1−cos⁡x1-\cos x 12x2\dfrac12x^2 二阶，别写成 xx
(1+x)α−1(1+x)^\alpha-1 αx\alpha x 例如 1+x−1∼12x\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac12x

1.2 进阶等价（"差"的等价，都是 2 阶或 3 阶）

原函数 等价于
x−sin⁡xx-\sin x 16x3\dfrac16x^3
tan⁡x−x\tan x-x 13x3\dfrac13x^3
arcsin⁡x−x\arcsin x-x 16x3\dfrac16x^3
x−arctan⁡xx-\arctan x 13x3\dfrac13x^3
tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x 12x3\dfrac12x^3
x−ln⁡(1+x)x-\ln(1+x) 12x2\dfrac12x^2

记忆小窍门：sin⁡\sin、arcsin⁡\arcsin 这一对配 16\dfrac16；tan⁡\tan、arctan⁡\arctan 这一对配 13\dfrac13；正负号让结果为正就行（比如 sin⁡x<x\sin x<x，所以写 x−sin⁡xx-\sin x；tan⁡x>x\tan x>x，所以写 tan⁡x−x\tan x-x）。这几条都是用泰勒公式算出来的（见第 07 讲下），考场上可以直接用。

1.3 广义用法：xx 可以换成任何 □→0\square\to0

只要在当前过程下 □→0\square\to0，就有 sin⁡□∼□\sin\square\sim\square、e□−1∼□e^{\square}-1\sim\square、1−cos⁡□∼12□21-\cos\square\sim\dfrac12\square^2……

□\square 读作"方框"，代表"一整坨东西"。比如 □=x2\square=x^2、□=sin⁡x\square=\sin x、□=1x\square=\dfrac1x（当 x→∞x\to\infty 时）、□=x−1\square=x-1（当 x→1x\to1 时）都可以。

⚠️ 唯一要检查的事：□\square 真的趋于 0 吗？x→1x\to1 时 sin⁡x\sin x 不能换成 xx，因为这时 xx 不趋于 0。

二、第一层：直接替换（乘除因子）

规则：极限式是"一堆因子乘乘除除"的样子时，每个因子都可以换成它的等价无穷小，极限不变。

为什么？因为若 α∼α′\alpha\sim\alpha'，则 αβ=αα′⋅α′β\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\alpha}{\alpha'}\cdot\dfrac{\alpha'}{\beta}，而 αα′→1\dfrac{\alpha}{\alpha'}\to1，所以乘上它不改变极限。

例 1：求 lim⁡x→0sin⁡3x⋅ln⁡(1+2x)xtan⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 3x\cdot\ln(1+2x)}{x\tan x}。

解：

  • 第一步，认因子：分子是 sin⁡3x\sin3x 乘 ln⁡(1+2x)\ln(1+2x)，分母是 xx 乘 tan⁡x\tan x，全是乘法，可以放心换。
  • 第二步，逐个换：sin⁡3x∼3x\sin3x\sim3x（□=3x\square=3x），ln⁡(1+2x)∼2x\ln(1+2x)\sim2x（□=2x\square=2x），tan⁡x∼x\tan x\sim x。
  • 第三步，代入：
原式=lim⁡x→03x⋅2xx⋅x=lim⁡x→06x2x2=6.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{3x\cdot2x}{x\cdot x}=\lim_{x\to0}\frac{6x^2}{x^2}=6 .

例 2：求 lim⁡x→01−cos⁡xxsin⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}。

解：1−cos⁡x∼12x21-\cos x\sim\dfrac12x^2，sin⁡x∼x\sin x\sim x，于是

原式=lim⁡x→012x2x⋅x=12.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac12x^2}{x\cdot x}=\frac12 .

例 3：求 lim⁡x→0ex2−11−cos⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1}{1-\cos x}。

解：

  • ex2−1e^{x^2}-1：这里 □=x2→0\square=x^2\to0，所以 ex2−1∼x2e^{x^2}-1\sim x^2。
  • 1−cos⁡x∼12x21-\cos x\sim\dfrac12x^2。
原式=lim⁡x→0x212x2=2.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\frac12x^2}=2 .

例 4：求 lim⁡x→01+x23−1xarcsin⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x\arcsin x}。

解：

  • 1+x23\sqrt[3]{1+x^2} 读作"三次根号下 1+x21+x^2"，就是 (1+x2)1/3(1+x^2)^{1/3}。用 (1+□)α−1∼α□(1+\square)^\alpha-1\sim\alpha\square，其中 α=13\alpha=\dfrac13，□=x2\square=x^2：1+x23−1∼13x2\sqrt[3]{1+x^2}-1\sim\dfrac13x^2。
  • arcsin⁡x∼x\arcsin x\sim x。
原式=lim⁡x→013x2x⋅x=13.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac13x^2}{x\cdot x}=\frac13 .

易错点 ⚠️

  • 1−cos⁡x1-\cos x 等价于 12x2\dfrac12x^2，不是 xx，也不是 x2x^2。漏掉 12\dfrac12 是最常见的丢分。
  • exe^x 本身不是无穷小（它趋于 1），只有 ex−1e^x-1 才等价于 xx。同理 ln⁡x\ln x 在 x→0x\to0 时不能换，要的是 ln⁡(1+x)\ln(1+x)。

三、第二层：广义替换（□\square 换成一整坨）

例 5：求 lim⁡x→0arctan⁡(3x2)ln⁡(1+xsin⁡x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arctan(3x^2)}{\ln(1+x\sin x)}。

解：

  • 分子：□=3x2→0\square=3x^2\to0，arctan⁡(3x2)∼3x2\arctan(3x^2)\sim3x^2。
  • 分母：□=xsin⁡x→0\square=x\sin x\to0，ln⁡(1+xsin⁡x)∼xsin⁡x\ln(1+x\sin x)\sim x\sin x；而 xsin⁡xx\sin x 里的 sin⁡x\sin x 又可以换成 xx，所以 ∼x2\sim x^2。
原式=lim⁡x→03x2x2=3.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{3x^2}{x^2}=3 .

这道题说明：替换可以"一层一层剥"，外层换完，里面的因子还能再换。

例 6：求 lim⁡x→∞x2(1−cos⁡1x)\lim\limits_{x\to\infty}x^2\left(1-\cos\dfrac1x\right)。

解：

  • 这次 x→∞x\to\infty，表面上不是"x→0x\to0"。但 □=1x→0\square=\dfrac1x\to0，所以 1−cos⁡1x∼12⋅1x21-\cos\dfrac1x\sim\dfrac12\cdot\dfrac1{x^2}。
原式=lim⁡x→∞x2⋅12x2=12.\text{原式}=\lim_{x\to\infty}x^2\cdot\frac{1}{2x^2}=\frac12 .

另一种思路：令 t=1xt=\dfrac1x，x→∞x\to\infty 时 t→0t\to0，原式变成 lim⁡t→01−cos⁡tt2=12\lim\limits_{t\to0}\dfrac{1-\cos t}{t^2}=\dfrac12。"倒代换"在 x→∞x\to\infty 的题里非常常用。

例 7：求 lim⁡x→1ln⁡xx2−1\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x^2-1}。

解：

  • x→1x\to1 时 ln⁡x→0\ln x\to0，但它不是"ln⁡(1+□)\ln(1+\square)"的样子。把它改写：ln⁡x=ln⁡(1+(x−1))\ln x=\ln\bigl(1+(x-1)\bigr)，这里 □=x−1→0\square=x-1\to0，所以 ln⁡x∼x−1\ln x\sim x-1。
  • 分母因式分解：x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1)。
原式=lim⁡x→1x−1(x−1)(x+1)=lim⁡x→11x+1=12.\text{原式}=\lim_{x\to1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{1}{x+1}=\frac12 .

易错点 ⚠️：x→1x\to1 时千万别写 ln⁡x∼x\ln x\sim x（xx 趋于 1，根本不是无穷小）。正确的是 ln⁡x∼x−1\ln x\sim x-1。

四、第三层：把减法变成乘法

很多题分子是"两个东西相减"，直接换会出错（第五节细说）。正确做法是先变形，把减法变成"乘积"或"单独一个无穷小"，再替换。常用三招：

  1. 指数差提公因子：eA−eB=eB(eA−B−1)e^A-e^B=e^B\left(e^{A-B}-1\right)，然后 eA−B−1∼A−Be^{A-B}-1\sim A-B。
  2. 三角差提公因子：比如 tan⁡x−sin⁡x=tan⁡x (1−cos⁡x)\tan x-\sin x=\tan x\,(1-\cos x)。
  3. 根式差有理化：A−B=A−BA+B\sqrt A-\sqrt B=\dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}。

例 8：求 lim⁡x→0ex−esin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-e^{\sin x}}{x^3}。

解：

  • 第一步，提公因子 esin⁡xe^{\sin x}：
ex−esin⁡x=esin⁡x(ex−sin⁡x−1).e^x-e^{\sin x}=e^{\sin x}\left(e^{x-\sin x}-1\right).
  • 第二步，esin⁡x→e0=1e^{\sin x}\to e^0=1，它是一个"极限非零的因子"，可以直接用极限值 1 代替（先算出来）。
  • 第三步，□=x−sin⁡x→0\square=x-\sin x\to0，所以 ex−sin⁡x−1∼x−sin⁡x∼16x3e^{x-\sin x}-1\sim x-\sin x\sim\dfrac16x^3（进阶等价）。
原式=lim⁡x→01⋅16x3x3=16.\text{原式}=\lim_{x\to0}1\cdot\frac{\frac16x^3}{x^3}=\frac16 .

小规律："极限非零的因子先算出来"——它乘在外面，直接换成极限值即可，这能让式子迅速变干净。

例 9：求 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}。

解：

  • 提公因子：tan⁡x−sin⁡x=tan⁡x−tan⁡xcos⁡x=tan⁡x (1−cos⁡x)\tan x-\sin x=\tan x-\tan x\cos x=\tan x\,(1-\cos x)。（因为 sin⁡x=tan⁡x⋅cos⁡x\sin x=\tan x\cdot\cos x。）
  • 现在是乘积了：tan⁡x∼x\tan x\sim x，1−cos⁡x∼12x21-\cos x\sim\dfrac12x^2。
原式=lim⁡x→0x⋅12x2x3=12.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac12x^2}{x^3}=\frac12 .

这正是进阶表里 tan⁡x−sin⁡x∼12x3\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3 的来历。

例 10：求 lim⁡x→01+tan⁡x−1+sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}。

解：

  • 第一步，分子有理化（上下同乘 1+tan⁡x+1+sin⁡x\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}）：
1+tan⁡x−1+sin⁡x=(1+tan⁡x)−(1+sin⁡x)1+tan⁡x+1+sin⁡x=tan⁡x−sin⁡x1+tan⁡x+1+sin⁡x.\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{(1+\tan x)-(1+\sin x)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} .
  • 第二步，分母 1+tan⁡x+1+sin⁡x→1+1=2\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\to1+1=2，是极限非零的因子，先算出来。
  • 第三步，tan⁡x−sin⁡x∼12x3\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3（例 9）。
原式=lim⁡x→012x32x3=14.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac12x^3}{2x^3}=\frac14 .

例 11：求 lim⁡x→03x−2xx\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3^x-2^x}{x}。

解：

  • 提公因子 2x2^x：3x−2x=2x[(32)x−1]3^x-2^x=2^x\left[\left(\dfrac32\right)^x-1\right]。
  • 2x→12^x\to1；(32)x−1∼xln⁡32\left(\dfrac32\right)^x-1\sim x\ln\dfrac32（用 ax−1∼xln⁡aa^x-1\sim x\ln a）。
原式=lim⁡x→0xln⁡32x=ln⁡32=ln⁡3−ln⁡2.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x\ln\frac32}{x}=\ln\frac32=\ln3-\ln2 .

也可以写成 (3x−1)−(2x−1)(3^x-1)-(2^x-1) 再拆成两个极限：3x−1x→ln⁡3\dfrac{3^x-1}{x}\to\ln3，2x−1x→ln⁡2\dfrac{2^x-1}{x}\to\ln2，两个都存在，所以可以拆（见第五节"拆项"条件）。

五、第四层：加减到底能不能换？

5.1 一个经典的错误

还是例 9 的 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}。如果直接把 tan⁡x\tan x 和 sin⁡x\sin x 都换成 xx，分子变成 x−x=0x-x=0，答案是 0——错，正确答案是 12\dfrac12。

看下图就明白了：tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x（蓝）在 0 附近和 12x3\dfrac12x^3（橙）几乎重合，它是一个"很小但不是 0"的量；而错误替换得到的是一条平平的 y=0y=0（红）。

tan x − sin x 与 x³/2 几乎重合；错误替换得到的 0 是一条平线 x y O −1 −0.5 0.5 1 0.5 −0.5 蓝：y = tan x − sin x 橙虚：y = x³/2（正确的等价） 红：y = 0（错误替换的结果）

图 2：tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x 与 12x3\dfrac12x^3 几乎重合；"都换成 xx"得到的 0 把真正有用的三阶部分抹掉了

为什么会错？ tan⁡x∼x\tan x\sim x 的意思是"tan⁡x=x+\tan x=x+ 比 xx 更小的部分"。tan⁡x\tan x 和 sin⁡x\sin x 的"主要部分"都是 xx，一减就抵消了，剩下的恰恰是被我们扔掉的那些"更小的部分"（三阶项）。扔掉了它们，自然就错了。

5.2 加减能整体替换的条件（了解，会用）

结论：若 α∼α′\alpha\sim\alpha'，β∼β′\beta\sim\beta'，且 lim⁡αβ≠1\lim\dfrac{\alpha}{\beta}\neq1（也就是两者"主要部分"不相等、不会抵消），则

α−β∼α′−β′.\alpha-\beta\sim\alpha'-\beta' .

逐行拆解：lim⁡αβ=1\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=1 意味着 α\alpha 和 β\beta 主要部分一样，一减就抵消，此时不能换；不等于 1，主要部分抵消不掉，就能换。（同理，α+β\alpha+\beta 能换的条件是 lim⁡αβ≠−1\lim\dfrac{\alpha}{\beta}\neq-1。）

例 12：求 lim⁡x→0sin⁡2x−ln⁡(1+x)x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin2x-\ln(1+x)}{x}。

解：sin⁡2x∼2x\sin2x\sim2x，ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x，二者之比的极限是 2≠12\neq1，不会抵消，可以换：

原式=lim⁡x→02x−xx=1.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{2x-x}{x}=1 .

更稳妥的说法是"拆项"：sin⁡2xx→2\dfrac{\sin2x}{x}\to2，ln⁡(1+x)x→1\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1，两项极限都存在，差的极限 =2−1=1=2-1=1。

5.3 "拆项"的条件

规则：lim⁡(f±g)=lim⁡f±lim⁡g\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g 要求拆开后的两个极限都存在（是有限数）。拆开后只要有一个是 ∞\infty 或不存在，就不能拆。

例 13：求 lim⁡x→03sin⁡x+x2cos⁡1x(1+cos⁡x)ln⁡(1+x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3\sin x+x^2\cos\frac1x}{(1+\cos x)\ln(1+x)}。

解：

  • 第一步，分母：1+cos⁡x→21+\cos x\to2（极限非零的因子，先算），ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x，所以分母相当于 2x2x。
  • 第二步，分子是加法，试试拆项：
3sin⁡x2x→32,x2cos⁡1x2x=12 xcos⁡1x→0.\frac{3\sin x}{2x}\to\frac32,\qquad \frac{x^2\cos\frac1x}{2x}=\frac12\,x\cos\frac1x\to0 .

第二个用了"有界 × 无穷小 = 无穷小"：∣cos⁡1x∣≤1\left|\cos\dfrac1x\right|\le1，x→0x\to0。两项极限都存在，可以拆。

  • 第三步：
原式=32+0=32.\text{原式}=\frac32+0=\frac32 .

易错点 ⚠️：cos⁡1x\cos\dfrac1x 在 x→0x\to0 时没有极限（一直在 −1-1 到 11 之间振荡），它不能"换成 1"。它只能借助"有界 × 无穷小"消掉。

5.4 一张决策小表

情况 能不能直接换
乘除因子 能
加减，且两项主要部分不抵消（比的极限 ≠1\neq1） 能（或拆项）
加减，两项主要部分抵消（如 tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x） 不能！先变形（第三层）或用泰勒（S01 下）
极限非零的因子（如 esin⁡x→1e^{\sin x}\to1、1+cos⁡x→21+\cos x\to2） 先算出极限值

六、第五层：已知等价/同阶，求参数

思路：把题目里的每个无穷小都换成"kxnk x^n"的最简形式（kk 叫系数，nn 叫阶数），然后比较。"等价"要求阶数相同且系数相同；"同阶"只要求阶数相同。

例 14：已知 x→0x\to0 时，(1+ax2)13−1(1+ax^2)^{\frac13}-1 与 cos⁡x−1\cos x-1 是等价无穷小，求常数 aa。

解：

  • (1+ax2)13−1∼13ax2(1+ax^2)^{\frac13}-1\sim\dfrac13ax^2（α=13\alpha=\dfrac13，□=ax2\square=ax^2）。
  • cos⁡x−1=−(1−cos⁡x)∼−12x2\cos x-1=-(1-\cos x)\sim-\dfrac12x^2。
  • 等价 ⟹ 比值极限为 1：
lim⁡x→013ax2−12x2=−2a3=1 ⟹ a=−32.\lim_{x\to0}\frac{\frac13ax^2}{-\frac12x^2}=-\frac{2a}{3}=1\ \Longrightarrow\ a=-\frac32 .

例 15：x→0x\to0 时，tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x 与 kxnkx^n 等价，求 kk、nn。

解：由例 9，tan⁡x−sin⁡x=tan⁡x(1−cos⁡x)∼x⋅12x2=12x3\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot\dfrac12x^2=\dfrac12x^3，所以 n=3n=3，k=12k=\dfrac12。也就是说 tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin x 是 xx 的 3 阶无穷小。

易错点 ⚠️：cos⁡x−1\cos x-1 是负的，等价于 −12x2-\dfrac12x^2，符号别丢。

七、综合演练：把五层串起来

前面每道题只练一招，真正做题时往往几招一起上。下面两道题，按"先看结构 → 先算非零因子 → 乘除换等价 → 加减先变形"的顺序走一遍。

例 16：求 lim⁡x→0ln⁡(1+x2)(1+sin⁡x−1)x2(etan⁡x−1)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x^2)\left(\sqrt{1+\sin x}-1\right)}{x^2\left(e^{\tan x}-1\right)}。

解：

  • 第一步，看结构：分子是两个因子相乘，分母也是两个因子相乘，没有加减，所以每个因子都能换。
  • 第二步，逐个换（注意每个 □\square 都趋于 0）：
    • ln⁡(1+x2)∼x2\ln(1+x^2)\sim x^2（□=x2\square=x^2）；
    • 1+sin⁡x−1∼12sin⁡x∼12x\sqrt{1+\sin x}-1\sim\dfrac12\sin x\sim\dfrac12x（先用 (1+□)12−1∼12□(1+\square)^{\frac12}-1\sim\dfrac12\square，再把 sin⁡x\sin x 换成 xx）；
    • etan⁡x−1∼tan⁡x∼xe^{\tan x}-1\sim\tan x\sim x。
  • 第三步，代入：
原式=lim⁡x→0x2⋅12xx2⋅x=12.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\cdot\frac12x}{x^2\cdot x}=\frac12 .

例 17：求 lim⁡x→0ex−etan⁡xln⁡(1+x3)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-e^{\tan x}}{\ln(1+x^3)}。

解：

  • 第一步，分母是单个因子：ln⁡(1+x3)∼x3\ln(1+x^3)\sim x^3。
  • 第二步，分子是减法，而且 exe^x、etan⁡xe^{\tan x} 都趋于 1，直接换不了，用第三层的"指数差提公因子"：
ex−etan⁡x=etan⁡x(ex−tan⁡x−1).e^x-e^{\tan x}=e^{\tan x}\left(e^{x-\tan x}-1\right).
  • 第三步，etan⁡x→1e^{\tan x}\to1 先算掉；ex−tan⁡x−1∼x−tan⁡x=−(tan⁡x−x)∼−13x3e^{x-\tan x}-1\sim x-\tan x=-(\tan x-x)\sim-\dfrac13x^3。
  • 第四步：
原式=lim⁡x→0−13x3x3=−13.\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac13x^3}{x^3}=-\frac13 .

易错点 ⚠️：x−tan⁡xx-\tan x 是负的（tan⁡x>x\tan x>x），等价于 −13x3-\dfrac13x^3。很多同学背熟了"tan⁡x−x∼13x3\tan x-x\sim\dfrac13x^3"，遇到反过来的 x−tan⁡xx-\tan x 就把负号丢了。

做题前的 30 秒检查清单

  1. 过程是什么？x→0x\to0、x→∞x\to\infty 还是 x→1x\to1？每个要换的 □\square 真的趋于 0 吗？
  2. 有没有"极限非零的因子"（如 esin⁡xe^{\sin x}、cos⁡x\cos x、1+cos⁡x1+\cos x、1+tan⁡x+1+sin⁡x\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}）？先把它们算成数字。
  3. 剩下的是乘除还是加减？乘除直接换；加减先判断会不会抵消。
  4. 会抵消：试"提公因子 / 有理化 / 进阶等价"；还不行就交给泰勒（S01 下）。
  5. 最后检查系数（12\dfrac12、16\dfrac16、13\dfrac13、ln⁡a\ln a）和正负号。

公式/结论速记卡

  • 基本等价（□→0\square\to0）：sin⁡□,tan⁡□,arcsin⁡□,arctan⁡□,ln⁡(1+□),e□−1∼□\sin\square,\tan\square,\arcsin\square,\arctan\square,\ln(1+\square),e^{\square}-1\sim\square；a□−1∼□ln⁡aa^{\square}-1\sim\square\ln a；1−cos⁡□∼12□21-\cos\square\sim\dfrac12\square^2；(1+□)α−1∼α□(1+\square)^\alpha-1\sim\alpha\square。
  • 进阶等价：x−sin⁡x∼16x3x-\sin x\sim\dfrac16x^3，tan⁡x−x∼13x3\tan x-x\sim\dfrac13x^3，arcsin⁡x−x∼16x3\arcsin x-x\sim\dfrac16x^3，x−arctan⁡x∼13x3x-\arctan x\sim\dfrac13x^3，tan⁡x−sin⁡x∼12x3\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3，x−ln⁡(1+x)∼12x2x-\ln(1+x)\sim\dfrac12x^2。
  • 能换：乘除因子；先算：极限非零的因子。
  • 加减：主要部分会抵消就不能换；能拆项的前提是拆开后每项极限都存在。
  • 减法变乘法：eA−eB=eB(eA−B−1)e^A-e^B=e^B(e^{A-B}-1)；tan⁡x−sin⁡x=tan⁡x(1−cos⁡x)\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)；根式差有理化；ax−bx=bx[(ab)x−1]a^x-b^x=b^x\left[\left(\frac ab\right)^x-1\right]。
  • 非 x→0x\to0 过程：x→∞x\to\infty 用 □=1x\square=\dfrac1x 或倒代换；x→1x\to1 用 ln⁡x=ln⁡(1+(x−1))∼x−1\ln x=\ln(1+(x-1))\sim x-1。
  • 求参数：都化成 kxnkx^n，等价比 kk 和 nn，同阶只比 nn。

自测练习

1. 求 lim⁡x→0(e3x−1)sin⁡2xxln⁡(1+x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(e^{3x}-1)\sin2x}{x\ln(1+x)}。

答案与提示

e3x−1∼3xe^{3x}-1\sim3x，sin⁡2x∼2x\sin2x\sim2x，ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x，原式 =3x⋅2xx⋅x=6=\dfrac{3x\cdot2x}{x\cdot x}=6。

2. 求 lim⁡x→01−cos⁡2xxarctan⁡x\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x\arctan x}。

答案与提示

1−cos⁡2x∼12(2x)2=2x21-\cos2x\sim\dfrac12(2x)^2=2x^2，arctan⁡x∼x\arctan x\sim x，原式 =2=2。注意 □=2x\square=2x，平方后是 4x24x^2，再乘 12\dfrac12。

3. 求 lim⁡x→∞x(31x−1)\lim\limits_{x\to\infty}x\left(3^{\frac1x}-1\right)。

答案与提示

□=1x→0\square=\dfrac1x\to0，31x−1∼1xln⁡33^{\frac1x}-1\sim\dfrac1x\ln3，原式 =ln⁡3=\ln3。

4. 求 lim⁡x→01+xsin⁡x−1x2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{x^2}。

答案与提示

1+□−1∼12□\sqrt{1+\square}-1\sim\dfrac12\square，□=xsin⁡x∼x2\square=x\sin x\sim x^2，原式 =12=\dfrac12。

5. 求 lim⁡x→0etan⁡x−exx3\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{\tan x}-e^x}{x^3}。

答案与提示

etan⁡x−ex=ex(etan⁡x−x−1)e^{\tan x}-e^x=e^x\left(e^{\tan x-x}-1\right)，ex→1e^x\to1，etan⁡x−x−1∼tan⁡x−x∼13x3e^{\tan x-x}-1\sim\tan x-x\sim\dfrac13x^3，原式 =13=\dfrac13。

6. 求 lim⁡x→0sin⁡x+x2sin⁡1xln⁡(1+x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x+x^2\sin\frac1x}{\ln(1+x)}。

答案与提示

分母 ∼x\sim x。拆项：sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to1，x2sin⁡1xx=xsin⁡1x→0\dfrac{x^2\sin\frac1x}{x}=x\sin\dfrac1x\to0（有界 × 无穷小）。原式 =1=1。

7. 已知 x→0x\to0 时 (1−ax2)14−1(1-ax^2)^{\frac14}-1 与 xsin⁡xx\sin x 等价，求 aa。

答案与提示

(1−ax2)14−1∼14⋅(−ax2)=−a4x2(1-ax^2)^{\frac14}-1\sim\dfrac14\cdot(-ax^2)=-\dfrac a4x^2，xsin⁡x∼x2x\sin x\sim x^2。令 −a4=1-\dfrac a4=1，得 a=−4a=-4。

8.（略提高）求 lim⁡x→1xx−1xln⁡x\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^x-1}{x\ln x}。

答案与提示

xx=exln⁡xx^x=e^{x\ln x}；x→1x\to1 时 □=xln⁡x→0\square=x\ln x\to0，所以 xx−1=exln⁡x−1∼xln⁡xx^x-1=e^{x\ln x}-1\sim x\ln x，原式 =1=1。

下一篇预告

S01（下）专讲泰勒展开求极限：当加减抵消、等价替换失灵时，展开到几阶、怎么展开复合函数、怎么用展开式求参数。

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