考研数学二·零基础讲义 第20讲（上）｜二次型：矩阵表示、合同与正交变换法

考研数学二·零基础讲义 · 第 20 讲（上）｜二次型：矩阵表示、合同、惯性定理与正交变换法

学完这一讲，你能把二次型和对称矩阵来回互写，理解线性变换、合同、标准形、规范形和惯性定理，读出正负惯性指数，并能用正交变换法把二次型化成标准形（含完整步骤）。预计用时：3–4 小时（含练习）。第 20 讲分上、下两篇，下篇讲配方法与正定。

本讲地图#

• 学什么：二次型的定义；二次型与实对称矩阵一一对应、矩阵表示 $f=x^TAx$、二次型的秩；可逆线性变换与合同；标准形与规范形；惯性定理（正、负惯性指数）；正交变换法化标准形；由标准形反求参数；等价、相似、合同的辨析。
• 考研怎么考：大题常考"用正交变换化二次型为标准形，并写出正交变换"（本质就是第 19 讲下篇的实对称矩阵正交对角化），或"已知标准形反求参数"；小题考二次型的矩阵与秩、惯性指数、规范形、合同的判断。
• 大纲要求：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法。
• 一句话主线：二次型 → 写出对称矩阵 $A$ → 求特征值和特征向量 → 正交化、单位化得 $Q$ → $x=Qy$ 下 $f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。

前置知识#

• 矩阵乘法、转置、秩、可逆（见第 16 讲）。
• 特征值、特征向量（见第 19 讲上篇）；实对称矩阵的正交相似对角化、施密特正交化（见第 19 讲下篇）——这一讲最依赖它。
• 中学的圆、椭圆、双曲线方程（见第 01 讲），用来建立几何直观。

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一、什么是二次型#

大白话#

"二次型"就是每一项都恰好是二次的多项式：要么是某个变量的平方（$x_1^2$），要么是两个变量的乘积（$x_1x_2$），没有一次项、没有常数项。

为什么要研究它？因为它描述的是"形状"：$x^2+y^2=1$ 是圆，$x^2+4y^2=1$ 是椭圆，$x^2-y^2=1$ 是双曲线。如果式子里混着 $xy$ 这种交叉项，图形就是"歪着放"的，看不出是什么。二次型这一章的核心任务就是：换个坐标，把交叉项消掉，只剩平方项，形状一目了然。

正式定义#

含 $n$ 个变量 $x_1,\dots,x_n$ 的二次齐次多项式

$$f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2+\sum_{1\le i<j\le n}2a_{ij}x_ix_j$$

称为 $n$ 元二次型（本讲只讨论系数为实数的实二次型）。

逐行拆解#

• $\sum$ 读作"求和"（sigma）。第一部分是所有平方项，第二部分是所有交叉项。
• 交叉项的系数故意写成 $2a_{ij}$，是为了下一节把它平均分到矩阵的两个对称位置上。
• "齐次"：每一项次数都一样（这里都是 2 次）。$x_1^2+x_1$ 就不是二次型。

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二、二次型 ↔ 对称矩阵：一一对应#

大白话#

一个二次型可以"存档"成一个对称矩阵：平方项系数放对角线，交叉项系数劈成两半放在对称的两个位置。反过来，给一个对称矩阵也能唯一地还原出二次型。所以研究二次型 = 研究实对称矩阵，第 19 讲的武器全部能用上。

正式写法#

令 $x=(x_1,\dots,x_n)^T$，$A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实对称矩阵（$a_{ij}=a_{ji}$），则

$$f(x)=x^TAx.$$

$A$ 称为二次型 $f$ 的矩阵，$r(A)$ 称为二次型的秩。

逐行拆解#

• $x^TAx$：$x^T$ 是 $1\times n$，$A$ 是 $n\times n$，$x$ 是 $n\times1$，乘出来是 $1\times1$，就是一个数。
• 规则（背下来）：
  • $x_i^2$ 的系数 → 放在 $a_{ii}$（对角线第 $i$ 个）；
  • $x_ix_j$ 的系数 $c$ → $a_{ij}=a_{ji}=\dfrac c2$。
• "一一对应"的前提是 $A$ 必须对称。不对称的矩阵也能写出 $x^TBx$，但它不叫这个二次型的矩阵。

例题 1（二次型 → 矩阵）#

写出 $f=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2+4x_1x_2-6x_2x_3$ 的矩阵，并求它的秩。

解：对角线：$1,2,-3$；$x_1x_2$ 系数 4 → $a_{12}=a_{21}=2$；$x_1x_3$ 没有 → 0；$x_2x_3$ 系数 $-6$ → $a_{23}=a_{32}=-3$。

$$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&-3\\0&-3&-3\end{pmatrix}.$$

$|A|=1\cdot(-6-9)-2\cdot(-6-0)+0=-15+12=-3\neq0$，所以 $r(A)=3$，二次型的秩为 3。

例题 2（矩阵 → 二次型）#

写出矩阵 $\begin{pmatrix}1&-1&2\\-1&0&3\\2&3&-2\end{pmatrix}$ 对应的二次型。

解：对角线给平方项：$x_1^2+0\cdot x_2^2-2x_3^2$；非对角元乘 2 给交叉项：$2\cdot(-1)x_1x_2+2\cdot2x_1x_3+2\cdot3x_2x_3$。

$$f=x_1^2-2x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3.$$

例题 3（$x^TBx$ 中 $B$ 不对称怎么办）#

二次型 $f=x^TBx$，其中 $B=\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}$，$x=(x_1,x_2)^T$。写出 $f$ 的表达式和它的矩阵。

解：先乘出来：

$$f=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}x_1+4x_2\\2x_2\end{pmatrix}=x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2.$$

$B$ 不对称，所以 $B$ 不是 $f$ 的矩阵。按规则重新写：对角线 $1,2$，$x_1x_2$ 的系数 4 平分成两个 2：

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}=\frac{B+B^T}{2}.$$

结论：任何 $x^TBx$ 都等于 $x^T\dfrac{B+B^T}{2}x$，二次型的矩阵是 $\dfrac{B+B^T}{2}$。

例题 4（由秩求参数）#

二次型 $f=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1x_2$ 的秩为 2，求 $a$。

解：

第 1 步，写矩阵：

$$A=\begin{pmatrix}1-a&1+a&0\\1+a&1-a&0\\0&0&2\end{pmatrix}.$$

第 2 步，秩为 2 $<3$，所以 $|A|=0$。按第 3 行展开：

$$|A|=2\big[(1-a)^2-(1+a)^2\big]=2\cdot(-4a)=-8a.$$

令 $-8a=0$，得 $a=0$。

第 3 步，检验：$a=0$ 时 $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$，前两行相同，第 3 行与它们无关，秩确实是 2 ✓。（只由 $|A|=0$ 得到的是"秩 $\le2$"，验证一下秩不是 1 更稳妥。）

易错点 ⚠️#

• 最常见的错：把交叉项系数整个放进去（$4x_1x_2$ 写成 $a_{12}=4$）。要除以 2！
• 反过来还原时，非对角元要乘 2。
• 缺的交叉项对应位置写 0，别漏。

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三、线性变换与合同#

大白话#

"换坐标"在代数上就是做一个代换 $x=Cy$：把旧变量 $x$ 用新变量 $y$ 表示。代进去后二次型变成关于 $y$ 的新二次型，它的矩阵从 $A$ 变成了 $C^TAC$。为了能"换回去"，要求 $C$ 可逆。

正式定义#

• 可逆线性变换：$x=Cy$，$C$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。代入得

$$f=x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y.$$

• 合同：若存在可逆矩阵 $C$ 使 $B=C^TAC$，称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$。

逐行拆解#

• $(Cy)^T=y^TC^T$：转置要"倒序"。
• $C^TAC$ 仍是对称矩阵（$(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC$）。
• 合同的性质：合同的矩阵秩相同；合同具有反身、对称、传递性。
• 合同 vs 相似：相似是 $P^{-1}AP$，合同是 $C^TAC$。两者一般不同；但若 $C$ 是正交矩阵，$C^T=C^{-1}$，二者就一致了——这正是"正交变换法"一石二鸟的原因：既相似又合同。

例题 5（亲手做一次线性变换，看矩阵怎么变）#

对 $f=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2$ 做变换 $x_1=y_1-y_2,\ x_2=y_2$，求新的二次型，并用 $C^TAC$ 验证。

解：

第 1 步，直接代入：

$$f=(y_1-y_2)^2+2(y_1-y_2)y_2+3y_2^2=y_1^2-2y_1y_2+y_2^2+2y_1y_2-2y_2^2+3y_2^2=y_1^2+2y_2^2.$$

交叉项没了！这就是一个标准形。

第 2 步，用矩阵验证。$f$ 的矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}$，变换写成 $x=Cy$，$C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$（$|C|=1\neq0$，可逆）：

$$C^TAC=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}.$$

正好对应 $y_1^2+2y_2^2$ ✓。所以 $A$ 与 $\operatorname{diag}(1,2)$ 合同。注意 $A$ 的特征值是 $2\pm\sqrt2$，并不是 $1,2$——合同不保特征值。

易错点 ⚠️#

• 线性变换一定要可逆，否则会"丢信息"，不叫化标准形。
• 合同的矩阵特征值一般不同，只保证秩和正负惯性指数相同（见第五节）。

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四、标准形与规范形#

正式定义#

• 标准形：只含平方项的二次型

$$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2.$$

对应的矩阵是对角矩阵。

• 规范形：标准形中系数只取 $1,-1,0$，并且按"正的在前、负的在后、零最后"排列：

$$f=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{r}^2.$$

逐行拆解#

• 任何二次型都能经可逆线性变换化成标准形（用配方法总能做到）。
• 标准形不唯一：换一种化法，系数 $d_i$ 可以不同。
• 从标准形到规范形：把 $d_iy_i^2$ 写成 $\pm(\sqrt{|d_i|}\,y_i)^2$，令 $z_i=\sqrt{|d_i|}\,y_i$ 即可。
• 标准形中非零系数的个数 = 二次型的秩 $r$。

例题 6（标准形 → 规范形）#

已知二次型经可逆线性变换化为 $f=2y_1^2-3y_2^2$（三元，$y_3$ 的系数为 0），求它的秩、正负惯性指数和规范形。

解：非零系数 2 个，秩 $r=2$；正的 1 个，$p=1$；负的 1 个，$q=1$。令 $z_1=\sqrt2\,y_1,\ z_2=\sqrt3\,y_2,\ z_3=y_3$（可逆），得规范形

$$f=z_1^2-z_2^2.$$

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五、惯性定理：正负个数是"铁打的"#

大白话#

标准形会因化法不同而变，但有两样东西不变：正系数有几个、负系数有几个。就像一个人换了衣服、换了发型，身高体重不会变。

正式结论（惯性定理）#

一个二次型无论用什么可逆线性变换化成标准形，其中正系数的个数 $p$ 和负系数的个数 $q$ 都是确定的。$p$ 叫正惯性指数，$q$ 叫负惯性指数，$p+q=r$（秩）。因此规范形是唯一的。

推论：两个实对称矩阵合同 ⇔ 它们的正、负惯性指数分别相同（等价地，秩和正惯性指数都相同）。

逐行拆解#

• 怎么最快读出 $p,q$？数 $A$ 的特征值中正的有几个、负的有几个（因为正交变换得到的标准形系数就是特征值，见第六节）。
• 用配方法得到的系数和特征值一般不一样，但正负个数一定一样。

惯性指数的几何意义（二元情形）#

对两个变量的二次型，$f=1$ 的图形完全由 $p,q$ 决定（正交变换只转不拉，配方法会拉伸，但都不改变"是哪一类曲线"）：

规范形	$p,q$	$f=1$ 的图形
$z_1^2+z_2^2$	$p=2,q=0$	椭圆（含圆）
$z_1^2-z_2^2$	$p=1,q=1$	双曲线
$z_1^2$	$p=1,q=0$	两条平行直线 $z_1=\pm1$
$-z_1^2-z_2^2$	$p=0,q=2$	空集（没有点满足）

所以"惯性指数不变"在几何上就是说：换坐标不会把椭圆变成双曲线。三元情形同理，$p=3$ 对应椭球面，这就是下篇"正定"的几何样子。

图 2：二元规范形 f = 1 的四种图形：椭圆、双曲线、两条平行线、空集，由正负惯性指数 p、q 决定

例题 7（判断合同）#

下列矩阵中，哪些与 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}$ 合同？$B=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。

解：$A$ 的特征值 $1,-2$：$p=1,q=1$。

• $B$：迹 2，行列式 $-3$，特征方程 $\lambda^2-2\lambda-3=0$，特征值 $3,-1$，$p=1,q=1$，合同。
• $C$：特征值 $1,3$，$p=2$，不合同。

小技巧：2 阶矩阵 $|A|<0$ ⇔ 一正一负；$|A|>0$ 且迹 $>0$ ⇔ 两正。

易错点 ⚠️#

• 判断两个矩阵是否合同，看的是"特征值的正负个数"，不是特征值本身；判断相似才要求特征值完全相同。

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六、正交变换法化标准形（大题主力）#

大白话#

第 19 讲说过：实对称矩阵 $A$ 一定能找到正交矩阵 $Q$，使 $Q^TAQ=\Lambda$（对角）。令 $x=Qy$，二次型就变成 $y^T\Lambda y=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。几何上，正交变换就是"旋转（或翻转）坐标系"，不拉伸、不变形，所以图形的形状和大小完全保留，只是被"摆正"了。

定理#

任给实二次型 $f=x^TAx$，总存在正交变换 $x=Qy$，使

$$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2,$$

其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 是 $A$ 的全部特征值。

步骤（和第 19 讲正交对角化一模一样，只多了头尾两步）#

1. 写出二次型的矩阵 $A$；
2. 求 $A$ 的特征值；
3. 求每个特征值的特征向量（基础解系）；
4. 重特征值的特征向量施密特正交化；
5. 全部单位化，拼成正交矩阵 $Q$；
6. 写出正交变换 $x=Qy$ 和标准形 $f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$（顺序与 $Q$ 的列对应）。

热身：二元的情形，看看"摆正"是什么意思#

考虑 $f=2x^2+2xy+2y^2$，问曲线 $f=1$ 是什么形状。

它的矩阵是 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$（$2xy$ 的系数除以 2 得 1）。这正是第 19 讲上篇例题 1 的矩阵：特征值 $1,3$，单位特征向量 $\frac{1}{\sqrt2}(-1,1)^T$、$\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^T$。令

$$Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix},$$

则 $f=u^2+3v^2$。所以 $f=1$ 就是 $u^2+3v^2=1$：一个椭圆，在 $u$ 方向半轴长 $1$，在 $v$ 方向半轴长 $\frac{1}{\sqrt3}$。原来的式子因为有 $2xy$，椭圆是"斜着放"的（长轴沿直线 $y=-x$ 方向）；正交变换只是把坐标轴转了 $45^\circ$，椭圆本身的大小形状一点没变。

图 1：正交变换 = 旋转：斜放的椭圆 2x² + 2xy + 2y² = 1 转 45° 后变成 u² + 3v² = 1，长半轴 1、短半轴 1/√3，大小形状不变（动画循环播放）

这就是正交变换法的全部思想，三元的情况只是计算更长。

例题 8（完整步骤）#

用正交变换把 $f=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 化为标准形，并写出所用的正交变换。

解：

第 1 步，写矩阵（交叉项系数除以 2）：

$$A=\begin{pmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{pmatrix}.$$

第 2 步，求特征值。

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-2&2\\-2&\lambda-5&4\\2&4&\lambda-5\end{vmatrix}.$$

把第 2 行加到第 3 行，第 3 行变成 $(0,\ \lambda-1,\ \lambda-1)$，提出 $\lambda-1$：

$$=(\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda-2&-2&2\\-2&\lambda-5&4\\0&1&1\end{vmatrix} \xrightarrow{c_2-c_3} (\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda-2&-4&2\\-2&\lambda-9&4\\0&0&1\end{vmatrix} =(\lambda-1)\big[(\lambda-2)(\lambda-9)-8\big].$$

$(\lambda-2)(\lambda-9)-8=\lambda^2-11\lambda+10=(\lambda-1)(\lambda-10)$，所以

$$|\lambda E-A|=(\lambda-1)^2(\lambda-10),$$

特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1,\ \lambda_3=10$。（检验：迹 $1+1+10=12=2+5+5$ ✓。$c_2-c_3$ 表示"第 2 列减第 3 列"。）

第 3 步，求特征向量。

• $\lambda=1$：

$$E-A=\begin{pmatrix}-1&-2&2\\-2&-4&4\\2&4&-4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

$x_1=-2x_2+2x_3$，自由变量 $x_2,x_3$ 轮流取 1：$\alpha_1=(-2,1,0)^T,\ \alpha_2=(2,0,1)^T$。

• $\lambda=10$：

$$10E-A=\begin{pmatrix}8&-2&2\\-2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&\frac12\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix},$$

$x_1=-\frac12x_3,\ x_2=-x_3$，取 $x_3=-2$：$\alpha_3=(1,2,-2)^T$。

第 4 步，对 $\alpha_1,\alpha_2$ 施密特正交化：$\beta_1=\alpha_1=(-2,1,0)^T$，

$$(\alpha_2,\beta_1)=-4,\quad(\beta_1,\beta_1)=5,\quad \beta_2=\alpha_2-\frac{-4}{5}\beta_1=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\frac45\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac25\\ \frac45\\1\end{pmatrix},$$

乘 5 取 $\beta_2=(2,4,5)^T$。检查：$(\beta_1,\beta_2)=-4+4+0=0$ ✓，$(\beta_2,\alpha_3)=2+8-10=0$ ✓。

第 5 步，单位化：$\|\beta_1\|=\sqrt5$，$\|\beta_2\|=\sqrt{45}=3\sqrt5$，$\|\alpha_3\|=3$。

$$Q=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt5}&\frac{2}{3\sqrt5}&\frac13\\ \frac{1}{\sqrt5}&\frac{4}{3\sqrt5}&\frac23\\ 0&\frac{5}{3\sqrt5}&-\frac23\end{pmatrix}.$$

第 6 步，正交变换 $x=Qy$ 下，

$$f=y_1^2+y_2^2+10y_3^2.$$

从结果还能读出：$p=3,\ q=0$，规范形 $z_1^2+z_2^2+z_3^2$，并且这个二次型是正定的（见第 20 讲下篇）。

例题 9（二元：从式子看出曲线形状）#

用正交变换化 $f=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2$ 为标准形，并说明 $f=1$ 是什么曲线。

解：

第 1 步，矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$。速算：迹 2，行列式 $-3$，$\lambda^2-2\lambda-3=0$，特征值 $3,-1$。

第 2 步，特征向量：$\lambda=3$：$3E-A=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}$，得 $(1,1)^T$；$\lambda=-1$：$-E-A=\begin{pmatrix}-2&-2\\-2&-2\end{pmatrix}$，得 $(-1,1)^T$。两者已正交。

第 3 步，单位化，$Q=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$，在 $x=Qy$ 下

$$f=3y_1^2-y_2^2.$$

$f=1$ 即 $3y_1^2-y_2^2=1$，是双曲线（一正一负）。原式里的 $4x_1x_2$ 让它"斜着放"，正交变换把坐标轴转了 $45^\circ$ 就摆正了。

例题 10（已知标准形，反求参数和正交变换）#

已知二次型 $f=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2ax_2x_3\ (a>0)$ 经正交变换 $x=Qy$ 化为标准形 $f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$，求 $a$ 和正交矩阵 $Q$。

解：

第 1 步，矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&a\\0&a&3\end{pmatrix}$（$2ax_2x_3$ 的系数除以 2 得 $a$）。

第 2 步，正交变换的标准形系数就是特征值，所以 $A$ 的特征值为 $1,2,5$。用"行列式 = 特征值之积"：

$$|A|=2(9-a^2)=1\times2\times5=10\ \Longrightarrow\ a^2=4,\ a=2\ (a>0).$$

（迹也可以检查：$2+3+3=8=1+2+5$ ✓，但迹里没有 $a$，所以要用行列式。）

第 3 步，$a=2$ 时求特征向量：

• $\lambda=1$：$E-A=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-2&-2\\0&-2&-2\end{pmatrix}$，$x_1=0,\ x_2=-x_3$，$\alpha_1=(0,-1,1)^T$；
• $\lambda=2$：$2E-A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&-2\\0&-2&-1\end{pmatrix}$，$x_2=x_3=0$，$\alpha_2=(1,0,0)^T$；
• $\lambda=5$：$5E-A=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&-2\\0&-2&2\end{pmatrix}$，$x_1=0,\ x_2=x_3$，$\alpha_3=(0,1,1)^T$。

第 4 步，三个特征值互不相同，向量已正交，单位化：

$$Q=\begin{pmatrix}0&1&0\\-\frac{1}{\sqrt2}&0&\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2}&0&\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$

列的顺序必须对应 $1,2,5$，这样 $x=Qy$ 下才是 $y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$。

正交变换法的答题模板#

大题按下面六行写，每一行都是得分点：

1. "二次型的矩阵为 $A=\cdots$"；
2. "由 $|\lambda E-A|=\cdots=0$ 得特征值 $\cdots$"（写出因式分解过程）；
3. "当 $\lambda=\cdots$ 时，解 $(\lambda E-A)x=0$ 得基础解系 $\cdots$"（每个特征值一行）；
4. "将 $\cdots$ 正交化得 $\cdots$"（只有重根才需要这一行）；
5. "单位化得 $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$，令 $Q=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$，则 $Q$ 为正交矩阵"；
6. "在正交变换 $x=Qy$ 下，$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2$"。

常见失分：漏写"正交变换 $x=Qy$"这句话；$Q$ 没有单位化；标准形系数顺序与 $Q$ 的列不对应。

易错点 ⚠️#

• 标准形系数的顺序必须和 $Q$ 的列顺序一致。
• 题目若只问"标准形"而不问变换，求出特征值就可以直接写，不必求 $Q$——别做无用功。
• 正交变换得到的标准形系数一定是特征值；配方法得到的不一定是。

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七、防混淆：等价、相似、合同三种关系#

学到这里，三个"矩阵之间的关系"很容易搅在一起。用一张表彻底分开：

关系	定义	适用对象	判断依据（必要或充要）
等价	$PAQ=B$，$P,Q$ 可逆	同型矩阵	充要：$r(A)=r(B)$
相似	$P^{-1}AP=B$	方阵	必要：特征值、迹、行列式、秩相同；若都可对角化，则特征值相同 ⇔ 相似
合同	$C^TAC=B$	实对称矩阵（本讲范围）	充要：正、负惯性指数分别相同

三者的强弱关系：相似 ⇒ 等价，合同 ⇒ 等价（因为都保秩）。对于两个实对称矩阵，还多一条：相似 ⇒ 合同（特征值完全相同，正负个数自然相同），反过来不成立（例：$\operatorname{diag}(1,2)$ 与 $E$ 合同但不相似）。

小题里看到"判断 $A$ 与 $B$ 是否相似/合同"，先算出两者的特征值，然后：

• 问相似：特征值是否完全相同 + 能否都对角化；
• 问合同：只数正、负特征值的个数。

易错点 ⚠️#

• "合同 ⇒ 相似"是错的；"实对称矩阵相似 ⇒ 合同"是对的。别记反。
• 非对称矩阵的合同数二基本不涉及，遇到时按定义处理即可。

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公式/结论速记卡#

内容	结论
二次型	每项都是二次的齐次多项式
矩阵表示	$f=x^TAx$，$A^T=A$；平方项系数上对角线，$x_ix_j$ 系数除以 2 放 $a_{ij},a_{ji}$
不对称的 $B$	$x^TBx$ 的矩阵是 $\frac{B+B^T}{2}$
二次型的秩	$r(A)$
可逆线性变换	$x=Cy$，$
合同	$B=C^TAC$；保秩、保正负惯性指数，不保特征值
标准形 / 规范形	只有平方项 / 系数只取 $1,-1,0$ 且正前负后；规范形唯一
惯性定理	$p,q$ 不随化法改变，$p+q=r$
合同判别	实对称 $A\simeq B$ ⇔ $p,q$ 分别相同
读 $p,q$ 最快	数特征值的正、负个数
正交变换法	$x=Qy$，$f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$（系数 = 特征值）
反求参数	标准形系数 = 特征值 → 用迹、行列式或 $
三种关系	相似、合同都 ⇒ 等价；实对称时相似 ⇒ 合同

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自测练习#

1. 写出 $f=x_1^2-x_2^2+2x_1x_3+4x_2x_3$ 的矩阵，并求二次型的秩。

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&2\\1&2&0\end{pmatrix}$（$x_3^2$ 系数为 0）。$|A|=1\cdot(0-4)-0+1\cdot(0+1)=-3\neq0$，秩为 3。

2. 写出矩阵 $\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&0&3\\0&3&1\end{pmatrix}$ 对应的二次型。

答案与提示

$f=2x_1^2+x_3^2-2x_1x_2+6x_2x_3$（非对角元乘 2；$x_2^2$ 系数为 0，$x_1x_3$ 系数为 0）。

3. 二次型 $f=x^TBx$，其中 $B=\begin{pmatrix}3&1\\5&-1\end{pmatrix}$，写出 $f$ 的表达式和它的矩阵。

答案与提示

$f=3x_1^2+(1+5)x_1x_2-x_2^2=3x_1^2+6x_1x_2-x_2^2$，矩阵 $\frac{B+B^T}{2}=\begin{pmatrix}3&3\\3&-1\end{pmatrix}$。

4. 已知二次型 $f=x^TAx$ 的矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,-3$。写出它在正交变换下的标准形、正负惯性指数和规范形。

答案与提示

标准形 $f=y_1^2+2y_2^2-3y_3^2$；$p=2,\ q=1$；规范形 $z_1^2+z_2^2-z_3^2$。

5. 用正交变换化 $f=2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$ 为标准形，并写出正交矩阵。

答案与提示

矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$ 就是第 19 讲下篇例题 7 的矩阵，特征值 $2,-1,-1$。沿用那里的 $Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&0&\frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix}$，在 $x=Qy$ 下 $f=2y_1^2-y_2^2-y_3^2$。

6. 已知 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+2bx_2x_3$ 经正交变换化为 $f=y_2^2+2y_3^2$，求 $a,b$。

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}1&a&1\\a&1&b\\1&b&1\end{pmatrix}$ 的特征值为 $0,1,2$（迹 $3=0+1+2$ ✓）。

• 0 是特征值：$|A|=0$。展开得 $|A|=-(a-b)^2$，所以 $a=b$。
• 1 是特征值：$|E-A|=\begin{vmatrix}0&-a&-1\\-a&0&-b\\-1&-b&0\end{vmatrix}=-2ab=0$。 联立得 $a=b=0$。

7. 下列矩阵中，哪些与 $\Lambda=\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&-1\end{pmatrix}$ 合同？ (A) $\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$　(B) $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$　(C) $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$

答案与提示

$\Lambda$ 的 $p=2,\ q=1$。(A) 特征值 $1,-1,1$：$p=2,q=1$，合同。(B) $p=3$，不合同。(C) 左上 2 阶块特征值 $3,-1$，再加 $-1$：$p=1,q=2$，不合同。答案：只有 (A)。

8. 二次型 $f=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1x_2$ 中取 $a=0$（例题 4），用正交变换化为标准形。

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$，按第 3 行展开 $|\lambda E-A|=(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-1]=\lambda(\lambda-2)^2$。 $\lambda=2$：$(1,1,0)^T,(0,0,1)^T$；$\lambda=0$：$(1,-1,0)^T$。全部已正交，单位化：$Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&0&\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2}&0&-\frac{1}{\sqrt2}\\0&1&0\end{pmatrix}$，$x=Qy$ 下 $f=2y_1^2+2y_2^2$（$y_3$ 系数为 0），$p=2,q=0$，秩 2 与例题 4 一致。

9. 用正交变换化 $f=5x_1^2-4x_1x_2+2x_2^2$ 为标准形，写出正交矩阵，并说明 $f=1$ 是什么曲线。

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&2\end{pmatrix}$，迹 7、行列式 6，$\lambda^2-7\lambda+6=0$，特征值 $1,6$。 $\lambda=1$：$E-A=\begin{pmatrix}-4&2\\2&-1\end{pmatrix}$，$x_2=2x_1$，$(1,2)^T$；$\lambda=6$：$6E-A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$，$(2,-1)^T$。 $Q=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1&2\\2&-1\end{pmatrix}$，$x=Qy$ 下 $f=y_1^2+6y_2^2$；$f=1$ 是椭圆（两正）。

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下一讲预告#

第 20 讲（下）学习配方法化标准形，以及正定二次型、正定矩阵的定义和判别——这是线性代数的最后一块拼图。