考研数学二·零基础讲义 第19讲（下）｜相似对角化与实对称矩阵

考研数学二·零基础讲义 · 第 19 讲（下）｜相似对角化与实对称矩阵

学完这一讲，你能判断两个矩阵是否可能相似、由相似反求参数，判断一个矩阵能否相似对角化并具体求出可逆矩阵 $P$，用对角化求 $A^n$，还能对实对称矩阵完成正交相似对角化（含施密特正交化）。预计用时：4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：相似矩阵的定义与性质；相似对角化的充要条件与判断方法；对角化的步骤；含参数的对角化判断；用对角化求 $A^n$；实对称矩阵的性质；施密特正交化；正交相似对角化；由特征值、特征向量反求实对称矩阵。
• 考研怎么考：大题高频——"求特征值特征向量 → 判断能否对角化 → 求 $P$ 使 $P^{-1}AP=\Lambda$"，或"实对称矩阵求正交矩阵 $Q$"，或"由相似求参数"；小题考相似的必要条件、可对角化的判断、反求矩阵。
• 大纲要求：理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
• 一句话主线：求特征值 → 只查重根够不够数 → 特征向量拼成 $P$（实对称还要正交化、单位化拼成 $Q$）→ $P^{-1}AP=\Lambda$。

前置知识#

• 第 19 讲（上）：特征值、特征向量的求法与性质——本讲每道题的第一步。
• 逆矩阵、秩（见第 16 讲）；线性无关、内积与正交（见第 17 讲）。
• 齐次方程组的基础解系（见第 18 讲上篇）。

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一、快速回顾：上篇留下的三个结论#

1. 特征值由 $|\lambda E-A|=0$ 求出；属于 $\lambda$ 的线性无关特征向量个数是 $n-r(\lambda E-A)$。
2. 一个 $k$ 重特征值，线性无关的特征向量最多 $k$ 个（可能更少）。
3. 属于不同特征值的特征向量线性无关。

本篇的核心问题就一个：一个 $n$ 阶矩阵能不能凑出 $n$ 个线性无关的特征向量？ 能，就能对角化；不能，就不能。下面先从"相似"这个概念讲起。

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二、相似矩阵#

大白话#

同一个"变形动作"，换一套坐标系去描述，写出来的矩阵就不一样。相似就是说：两个矩阵描述的其实是同一个变换，只是"换了个视角/换了把尺子"。既然本质是同一个动作，那么跟视角无关的量——伸缩倍数（特征值）、体积缩放比（行列式）、压扁的程度（秩）——都应该一样。

正式定义#

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $P$，使

$$P^{-1}AP=B,$$

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$。

逐行拆解#

• $\sim$ 读作"相似于"。
• $P$ 必须可逆，它就是"换坐标"的那把钥匙；$P^{-1}$ 读作"P 逆"。
• 相似具有：反身性（$A\sim A$）、对称性（$A\sim B\Rightarrow B\sim A$）、传递性（$A\sim B,\ B\sim C\Rightarrow A\sim C$）。

相似的性质（必要条件）#

若 $A\sim B$，则：

1. $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$，即特征多项式相同、特征值相同；
2. $|A|=|B|$，$\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$；
3. $r(A)=r(B)$；
4. $A^k\sim B^k$，$f(A)\sim f(B)$；若可逆，$A^{-1}\sim B^{-1}$。

⚠️ 这些都是必要不充分的：特征值相同的两个矩阵不一定相似。（例：$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 和 $E$ 特征值都是 1, 1，但不相似——和 $E$ 相似的只有 $E$ 自己，因为 $P^{-1}EP=E$。）它们最大的用途是：已知相似，反求参数。

例题 1（由相似求参数）#

已知 $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&x\end{pmatrix}$ 与 $B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&y&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ 相似，求 $x,y$。

解：相似 ⇒ 迹相等、行列式相等。

• 迹：$2+0+x=2+y-1$，即 $x=y-1$；
• 行列式：$|A|=2\cdot(0\cdot x-1\cdot1)=-2$，$|B|=-2y$，所以 $-2=-2y$，$y=1$。

于是 $x=0,\ y=1$。（检验：$x=0$ 时 $A$ 的特征值为 $2,1,-1$，与 $B$ 一致。）

为什么相似矩阵的特征值相同？（推导只有一行）#

若 $B=P^{-1}AP$，则

$$|\lambda E-B|=|\lambda P^{-1}EP-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda E-A)P|=|P^{-1}|\,|\lambda E-A|\,|P|=|\lambda E-A|.$$

逐步看：第一步把 $E$ 写成 $P^{-1}EP$（因为 $P^{-1}P=E$）；第二步提出左边的 $P^{-1}$ 和右边的 $P$；第三步用"乘积的行列式 = 行列式的乘积"；最后 $|P^{-1}||P|=1$。特征多项式相同，特征值、迹、行列式自然都相同。

例题 2（判断是否相似）#

判断：(1) $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 与 $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ 是否相似？(2) $C=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ 与 $2E$ 是否相似？

解：

(1) $A$ 是上三角矩阵，特征值 $1,2$，互不相同，所以 $A$ 能对角化成 $\operatorname{diag}(1,2)=B$（第三节的充分条件），相似。

(2) 特征值都是 $2,2$，必要条件全满足（迹都是 4，行列式都是 4，秩都是 2）。但若 $C\sim2E$，则存在可逆 $P$ 使 $C=P(2E)P^{-1}=2PP^{-1}=2E$，与 $C\neq2E$ 矛盾，所以不相似。

启示：和数量矩阵 $kE$ 相似的只有 $kE$ 本身；特征值相同只是必要条件。

易错点 ⚠️#

• 用"迹 + 行列式"列方程时，未知数多于 2 个就不够用了，这时可以用"$B$ 的某个特征值代入 $|\lambda E-A|=0$"补方程。
• 反求出参数后最好检验一下特征值是否真的一致。

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三、相似对角化：什么时候、怎么做#

大白话#

对角矩阵是最好伺候的矩阵：求幂、求逆、求行列式都只要对着对角线操作。相似对角化就是找一把"钥匙" $P$，让 $P^{-1}AP$ 变成对角矩阵。钥匙是什么？就是把特征向量当新的坐标轴。在特征向量组成的坐标系里，$A$ 只做"沿每条轴伸缩"，所以看起来就是对角矩阵，对角线上恰好是特征值。

图 1：同一个 A =（2 1；1 2）：普通方格被拧成斜的平行四边形；沿特征向量画的方格只沿两条轴伸缩（ξ₁ 方向 ×1，ξ₂ 方向 ×3），所以在这组坐标下 A 就是 diag(1, 3)（动画循环播放）

正式结论#

$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 ⇔ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

等价说法（最实用）：

$$A\ \text{可对角化}\iff \text{对每个}\ k_i\ \text{重特征值}\ \lambda_i,\ \text{都有}\ r(\lambda_iE-A)=n-k_i.$$

（即每个特征值的几何重数 = 代数重数。）

充分条件：

• $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 ⇒ 可对角化（单根总是没问题的）；
• $A$ 是实对称矩阵 ⇒ 一定可对角化（见第四节）。

逐行拆解#

• 为什么是"$n$ 个线性无关的特征向量"？因为 $P$ 是由它们拼成的，$P$ 要可逆，列向量就必须线性无关。
• 单根（$k_i=1$）一定满足条件，所以只需检查重根。这是判断时的省力关键。
• $r(\lambda_iE-A)=n-k_i$ 意味着方程组 $(\lambda_iE-A)x=0$ 正好有 $k_i$ 个线性无关的解。

为什么特征向量拼成的 $P$ 能把 $A$ 变成对角形？#

把 $P$ 按列写成 $P=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$，其中 $A\xi_i=\lambda_i\xi_i$。矩阵乘法可以"逐列"做：

$$AP=(A\xi_1,A\xi_2,\dots,A\xi_n)=(\lambda_1\xi_1,\lambda_2\xi_2,\dots,\lambda_n\xi_n)=(\xi_1,\dots,\xi_n)\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}=P\Lambda.$$

最后一步是因为"右乘对角矩阵 = 每一列乘上对应的对角元"。只要 $P$ 可逆（列线性无关），两边左乘 $P^{-1}$ 就得到 $P^{-1}AP=\Lambda$。这一行推导同时解释了两件事：为什么必须有 $n$ 个线性无关的特征向量（否则 $P$ 不可逆），以及为什么 $P$ 的列序和 $\Lambda$ 的对角元顺序必须对应。

对角化步骤#

1. 求特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$；
2. 对每个特征值求基础解系（线性无关的特征向量）；
3. 若一共凑够 $n$ 个，令 $P=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$，则

$$P^{-1}AP=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix};$$

4. 顺序要对应：$P$ 的第 $j$ 列是属于 $\Lambda$ 第 $j$ 个对角元的特征向量。

$\Lambda$ 读作"大写兰姆达"，专门表示对角矩阵。

例题 3（完成对角化）#

把 $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&4&-2\\-3&-3&5\end{pmatrix}$（第 19 讲上篇例题 2 的矩阵）相似对角化。

解：上篇例题 2 已求得：$\lambda=2$（二重）有 2 个线性无关特征向量 $\xi_1=(-1,1,0)^T,\ \xi_2=(1,0,1)^T$；$\lambda=6$ 有 $\xi_3=(1,-2,3)^T$。

检查重根：$r(2E-A)=1=3-2$ ✓，所以可对角化。令

$$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&0&-2\\0&1&3\end{pmatrix},\qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&&\\&2&\\&&6\end{pmatrix}.$$

（不用真去算 $P^{-1}$；理论保证 $AP=P\Lambda$，可以通过验证 $A\xi_i=\lambda_i\xi_i$ 来检查。）

例题 4（不能对角化的例子）#

判断 $A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}$ 能否相似对角化。

解：按第 3 列展开：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda+1&-1&0\\4&\lambda-3&0\\-1&0&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-2)\big[(\lambda+1)(\lambda-3)+4\big]=(\lambda-2)(\lambda-1)^2.$$

特征值 $2$ 和 $1$（二重）。检查重根 $\lambda=1$：

$$E-A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\4&-2&0\\-1&0&-1\end{pmatrix},$$

第 2 行是第 1 行的 2 倍，第 1、3 行不成比例，$r(E-A)=2\neq3-2=1$。二重特征值只有 $3-2=1$ 个线性无关特征向量（如 $(1,2,-1)^T$），凑不够 3 个，不能对角化。

对角化有什么用？——以求 $A^n$ 为例#

大白话：直接算 $A^{100}$ 要连乘 100 次，累死人；对角矩阵的 100 次方却只要把对角线上的数各自 100 次方。对角化就是"先换到特征向量的坐标系里，在那里轻松地乘 100 次，再换回来"。

由 $P^{-1}AP=\Lambda$ 得 $A=P\Lambda P^{-1}$，于是

$$A^n=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots(P\Lambda P^{-1})=P\Lambda^nP^{-1},$$

中间的 $P^{-1}P$ 两两抵消成 $E$，这一步是整个技巧的灵魂。

例题 5（求 $A^n$）#

设 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$，求 $A^n$。

解：由上篇例题 1，特征值 $1,3$，对应特征向量 $(-1,1)^T,(1,1)^T$。令

$$P=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad \Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}.$$

（2 阶矩阵求逆："主对角线互换、副对角线变号、再除以行列式"，见第 16 讲。）

$$A^n=P\Lambda^nP^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}\cdot\frac12\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix} =\frac12\begin{pmatrix}3^n+1&3^n-1\\3^n-1&3^n+1\end{pmatrix}.$$

检验：$n=1$ 时得 $\frac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=A$ ✓；$n=2$ 时得 $\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$，与直接计算 $A^2$ 一致 ✓。

例题 6（含参数：何时能对角化）#

设 $A=\begin{pmatrix}2&2&0\\8&2&a\\0&0&6\end{pmatrix}$，问 $a$ 为何值时 $A$ 可相似对角化？

解：

第 1 步，求特征值。第 3 行有两个 0，按第 3 行展开：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-2&0\\-8&\lambda-2&-a\\0&0&\lambda-6\end{vmatrix}=(\lambda-6)\big[(\lambda-2)^2-16\big]=(\lambda-6)(\lambda-6)(\lambda+2).$$

（$(\lambda-2)^2-16=(\lambda-2-4)(\lambda-2+4)$，平方差公式。）特征值 $6,6,-2$。

第 2 步，只查二重根 $\lambda=6$：需要 $r(6E-A)=3-2=1$。

$$6E-A=\begin{pmatrix}4&-2&0\\-8&4&-a\\0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+2r_1}\begin{pmatrix}4&-2&0\\0&0&-a\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

$a=0$ 时秩为 1，可对角化；$a\neq0$ 时秩为 2，不可对角化。答：$a=0$。

套路总结：含参数的对角化问题，先求出特征值（参数常常不影响特征值），再对重根列"$r(\lambda E-A)=n-k$"解出参数。

易错点 ⚠️#

• 求 $A^n$ 时是 $P\Lambda^nP^{-1}$，$P$ 在左、$P^{-1}$ 在右，顺序写反结果就错了。
• $P$ 的列和 $\Lambda$ 的对角元顺序必须一一对应，换了 $P$ 的列序，$\Lambda$ 也要跟着换。
• $P$ 不唯一（特征向量可以乘非零常数、可以换基础解系），但 $\Lambda$ 在不计顺序的意义下唯一。
• 判断能否对角化只查重根，查 $r(\lambda E-A)$ 是否等于 $n-$ 重数。

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四、实对称矩阵与正交相似对角化#

大白话#

实对称矩阵（元素都是实数，且 $A^T=A$，沿主对角线"镜像对称"）是线性代数里的"模范生"：特征值全是实数、一定能对角化，而且不同特征值的特征向量互相垂直。于是我们可以挑一组两两垂直、长度为 1 的特征向量当新坐标轴——这就像把一个斜放的椭圆"转正"，只转不拉伸。这个"只转不拉伸"的钥匙叫正交矩阵。它是第 20 讲"正交变换化二次型"的核心工具。

实对称矩阵的性质#

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，则：

1. 特征值都是实数；
2. 属于不同特征值的特征向量正交（内积为 0）；
3. $k$ 重特征值一定恰有 $k$ 个线性无关的特征向量，即 $r(\lambda E-A)=n-k$，所以必可对角化；
4. 存在正交矩阵 $Q$，使

$$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda.$$

逐行拆解#

• 正交矩阵：满足 $Q^TQ=E$，即 $Q^{-1}=Q^T$。等价于：$Q$ 的列向量两两正交，且每一列长度都是 1（叫单位正交向量组）。
• 内积：$(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=a_1b_1+\cdots+a_nb_n$；正交即内积为 0；长度 $\|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$，读作"$\alpha$ 的范数/长度"。
• 单位化：$\dfrac{\alpha}{\|\alpha\|}$，把向量长度变成 1，方向不变。
• 施密特正交化（Schmidt）：同一个重特征值的几个特征向量不一定互相垂直，需要"掰正"。两个向量的情形：

$$\beta_1=\alpha_1,\qquad \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1.$$

意思是：从 $\alpha_2$ 里减掉它在 $\beta_1$ 方向上的"影子"，剩下的部分就和 $\beta_1$ 垂直了。（三个向量时再减掉在 $\beta_2$ 上的影子，同理。）

正交相似对角化步骤#

1. 求特征值；
2. 对每个特征值求基础解系；
3. 重特征值的基础解系做施密特正交化（单根不用；不同特征值之间自动正交，不用管）；
4. 所有向量单位化；
5. 拼成 $Q$，得 $Q^TAQ=\Lambda$（顺序对应）。

例题 7（完整的正交对角化）#

设 $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$，求正交矩阵 $Q$，使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵。

解：

第 1 步，特征值。把第 2、3 列加到第 1 列：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-1&-1\\-1&\lambda&-1\\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-2)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\1&\lambda&-1\\1&-1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-2)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\0&\lambda+1&0\\0&0&\lambda+1\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda+1)^2.$$

特征值 $\lambda_1=2$，$\lambda_2=\lambda_3=-1$。（检验：迹 $2-1-1=0$ ✓。）

第 2 步，特征向量。

• $\lambda=2$：$2E-A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}$，得 $\alpha_1=(1,1,1)^T$。
• $\lambda=-1$：$-E-A=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$x_1=-x_2-x_3$，得 $\alpha_2=(-1,1,0)^T,\ \alpha_3=(-1,0,1)^T$。

第 3 步，对 $\alpha_2,\alpha_3$ 施密特正交化：$\beta_2=\alpha_2=(-1,1,0)^T$，

$$(\alpha_3,\beta_2)=1,\quad(\beta_2,\beta_2)=2,\quad \beta_3=\alpha_3-\frac12\beta_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac12\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12\\-\frac12\\1\end{pmatrix}.$$

为了好看，取 $\beta_3=(-1,-1,2)^T$（乘 2 不影响方向和正交性）。检查：$(\beta_2,\beta_3)=1-1+0=0$ ✓；$(\alpha_1,\beta_3)=-1-1+2=0$ ✓。

第 4 步，单位化：

$$\gamma_1=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad \gamma_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\quad \gamma_3=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}.$$

第 5 步，

$$Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt6}\\ \frac{1}{\sqrt3}&0&\frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix},\qquad Q^TAQ=\begin{pmatrix}2&&\\&-1&\\&&-1\end{pmatrix}.$$

例题 8（特征值互不相同：不用施密特）#

求正交矩阵 $Q$，使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵，其中 $A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&2&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}$。

解：

第 1 步，特征值。没有明显规律，用上篇第四节的套路 4（展开后试根）。按第 1 行展开：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&2&0\\2&\lambda-2&2\\0&2&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)\big[(\lambda-2)(\lambda-3)-4\big]-2\cdot2(\lambda-3)=\lambda^3-6\lambda^2+3\lambda+10.$$

常数项 10 的因数有 $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$。试 $\lambda=-1$：$-1-6-3+10=0$ ✓。用多项式除法得 $\lambda^3-6\lambda^2+3\lambda+10=(\lambda+1)(\lambda^2-7\lambda+10)=(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-5)$。特征值 $-1,2,5$（检验：迹 $1+2+3=6=-1+2+5$ ✓）。

第 2 步，特征向量。

• $\lambda=-1$：$-E-A=\begin{pmatrix}-2&2&0\\2&-3&2\\0&2&-4\end{pmatrix}$，由第 1 行 $x_1=x_2$，由第 3 行 $x_2=2x_3$，取 $x_3=1$：$\alpha_1=(2,2,1)^T$。
• $\lambda=2$：$2E-A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{pmatrix}$，由第 1 行 $x_1=-2x_2$，由第 3 行 $x_3=2x_2$，取 $x_2=1$：$\alpha_2=(-2,1,2)^T$。
• $\lambda=5$：$5E-A=\begin{pmatrix}4&2&0\\2&3&2\\0&2&2\end{pmatrix}$，由第 1 行 $x_2=-2x_1$，由第 3 行 $x_3=-x_2=2x_1$，取 $x_1=1$：$\alpha_3=(1,-2,2)^T$。

第 3 步，三个特征值互不相同，特征向量自动两两正交（检查 $(\alpha_1,\alpha_2)=-4+2+2=0$ ✓），不需要施密特，直接单位化。三个向量长度都是 $\sqrt{4+4+1}=3$：

$$Q=\frac13\begin{pmatrix}2&-2&1\\2&1&-2\\1&2&2\end{pmatrix},\qquad Q^TAQ=\begin{pmatrix}-1&&\\&2&\\&&5\end{pmatrix}.$$

例题 9（由特征信息反求实对称矩阵）#

设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $1,1,-1$，属于 $-1$ 的特征向量为 $\alpha=(0,1,1)^T$，求 $A$。

解：

第 1 步，利用正交性求属于 1 的特征向量：它们与 $\alpha$ 正交，满足 $x_2+x_3=0$。基础解系 $\beta_1=(1,0,0)^T,\ \beta_2=(0,-1,1)^T$（恰好已经互相正交）。

第 2 步，单位化后拼 $Q$，或者直接用可逆矩阵 $P$：

$$P=(\beta_1,\beta_2,\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad A=P\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&-1\end{pmatrix}P^{-1}.$$

第 3 步，计算。更快的办法：$A$ 只在 $\alpha$ 方向上"翻转"，其余方向不动，可写成 $A=E-2\dfrac{\alpha\alpha^T}{\alpha^T\alpha}=E-\alpha\alpha^T$（因为 $\alpha^T\alpha=2$）：

$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}.$$

验证：$A\alpha=(0,-1,-1)^T=-\alpha$ ✓；$A\beta_2=(0,-1,1)^T=\beta_2$ ✓。用 $P\Lambda P^{-1}$ 硬算结果相同。

易错点 ⚠️#

• 只对同一特征值内部的向量做施密特正交化；不同特征值的向量本来就正交，不要多此一举。
• 正交化之后别忘了单位化，否则 $Q$ 不是正交矩阵，$Q^{-1}\neq Q^T$。
• 一般矩阵对角化用 $P^{-1}AP$；只有实对称矩阵才能用正交矩阵 $Q$，写成 $Q^TAQ$。
• 常用技巧：实对称矩阵若已知某特征值的特征向量 $\alpha$，则另一特征值的特征向量一定与 $\alpha$ 正交，可以直接由"与 $\alpha$ 垂直"列方程求出。

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五、综合流程图：拿到矩阵先想什么#

做对角化相关题目时，按这个顺序思考，基本不会迷路：

1. 是实对称矩阵吗？ 是 → 一定能对角化，而且能正交对角化；跳到第 4 步。
2. 求特征值。 全是单根 → 一定能对角化。
3. 有重根？ 对每个 $k$ 重根算 $r(\lambda E-A)$：都等于 $n-k$ → 能；有一个不等 → 不能（到此为止，答"不能相似对角化"并写出理由）。
4. 求特征向量，拼成 $P$（实对称：重根内部施密特正交化 → 全部单位化 → 拼成 $Q$）。
5. 写结论 $P^{-1}AP=\Lambda$ 或 $Q^TAQ=\Lambda$，对角元顺序与列顺序一致。
6. 若题目要 $A^n$ 或反求 $A$：用 $A=P\Lambda P^{-1}$，$A^n=P\Lambda^nP^{-1}$。

易错点 ⚠️（综合）#

• "能否对角化"的结论必须给出理由（哪个重根的秩不对），只写"能/不能"会扣分。
• 一般矩阵不能随便正交化——施密特只用于实对称矩阵的同一特征值内部；一般矩阵对角化只需线性无关，不需要正交。
• 反求矩阵时 $P$ 和 $\Lambda$ 的顺序要对应，算完用 $A\xi=\lambda\xi$ 验证一个向量。

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公式/结论速记卡#

内容	结论
相似	$P^{-1}AP=B$，$P$ 可逆
相似的必要条件	特征多项式、特征值、迹、行列式、秩都相同
数量矩阵	与 $kE$ 相似的只有 $kE$
可对角化	⇔ 有 $n$ 个线性无关特征向量 ⇔ 每个 $k$ 重根满足 $r(\lambda E-A)=n-k$
充分条件	$n$ 个互不相同特征值；或实对称
对角化	$P=(\xi_1,\dots,\xi_n)$，$P^{-1}AP=\Lambda$，顺序对应
两个都可对角化时	特征值相同 ⇔ 相似
求高次幂	$A^n=P\Lambda^nP^{-1}$
反求矩阵	$A=P\Lambda P^{-1}$
实对称	特征值全实；不同特征值的特征向量正交；$k$ 重根恰有 $k$ 个无关特征向量
正交矩阵	$Q^TQ=E$，$Q^{-1}=Q^T$，列向量两两正交且长度为 1
施密特	$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$；只在同一特征值内部做
正交对角化	$Q^TAQ=\Lambda$；步骤：求值 → 求向量 → 正交化 → 单位化 → 拼 $Q$

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自测练习#

1. $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 能否相似对角化？为什么？

答案与提示

不能。特征值 $1$（二重），$r(E-A)=r\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}=1\neq2-2=0$，只有 1 个线性无关特征向量 $(1,0)^T$。

2. 求可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，其中 $A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$。

答案与提示

每行和为 5，$|\lambda E-A|=(\lambda-5)(\lambda+1)^2$。$\lambda=5$：$(1,1,1)^T$；$\lambda=-1$：$-E-A$ 化为一行 $(1,1,1)$，得 $(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T$。 $P=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$，$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(5,-1,-1)$。

3. 已知 $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&4&-2\\-3&-3&a\end{pmatrix}$ 与 $\Lambda=\begin{pmatrix}2&&\\&2&\\&&b\end{pmatrix}$ 相似，求 $a,b$。

答案与提示

迹：$5+a=4+b$；行列式：$|A|=6a-6=4b$。联立得 $a=5,\ b=6$。这正是例题 3 的矩阵，特征值 $2,2,6$ ✓。

4. 设 $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\a&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}$，问 $a$ 为何值时 $A$ 可相似对角化？

答案与提示

下三角，特征值 $1,1,2$。$E-A=\begin{pmatrix}0&0&0\\-a&0&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}$，需要秩为 1。$a=0$ 时秩 1，可以；$a\neq0$ 时秩 2，不可以。答：$a=0$。

5. 设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$，求 $A^n$。

答案与提示

特征值 $1,3$。$\lambda=1$：$(1,0)^T$；$\lambda=3$：$3E-A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&0\end{pmatrix}$，$(1,1)^T$。$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$。 $A^n=P\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}P^{-1}=\begin{pmatrix}1&3^n-1\\0&3^n\end{pmatrix}$。检验 $n=1$ 得 $A$ ✓。

6. 设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $1,1,4$，属于 $4$ 的特征向量为 $\alpha=(1,1,1)^T$，求 $A$。

答案与提示

属于 1 的特征向量与 $\alpha$ 正交：$x_1+x_2+x_3=0$，取 $(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T$。$A=P\,\operatorname{diag}(4,1,1)\,P^{-1}$，其中 $P=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$，算得 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$。 （巧法：$A=E+3\dfrac{\alpha\alpha^T}{\alpha^T\alpha}=E+\alpha\alpha^T$。）

7. 判断下列每组矩阵是否相似：(1) $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}3&0\\5&1\end{pmatrix}$；(2) $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$；(3) $\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$。

答案与提示

(1) 两者都是三角矩阵，特征值都是 $1,3$ 且互不相同，都相似于 $\operatorname{diag}(1,3)$，由传递性相似。(2) 不相似：与 $E$ 相似的只有 $E$。(3) 不相似：迹不同（3 与 4）。

8. 求正交矩阵 $Q$，使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵，其中 $A=\begin{pmatrix}2&2&0\\2&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}$。

答案与提示

按第 3 行展开：$|\lambda E-A|=(\lambda-4)[(\lambda-2)^2-4]=(\lambda-4)\cdot\lambda(\lambda-4)=\lambda(\lambda-4)^2$。 $\lambda=0$：$x_1+x_2=0,\ x_3=0$，$\alpha_1=(1,-1,0)^T$。$\lambda=4$：$4E-A=\begin{pmatrix}2&-2&0\\-2&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$x_1=x_2$，$x_3$ 自由，取 $\alpha_2=(1,1,0)^T,\ \alpha_3=(0,0,1)^T$（已正交，无需施密特）。 $Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}&0\\-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$Q^TAQ=\operatorname{diag}(0,4,4)$。

9. 判断对错，错的给理由：(1) 若 $A\sim B$，则 $A^2\sim B^2$；(2) 若 $A,B$ 特征值相同，则 $A\sim B$；(3) 若 $A$ 可对角化，则 $A^2$ 可对角化；(4) 若 $A^2$ 可对角化，则 $A$ 可对角化；(5) $n$ 阶矩阵有 $n$ 个互不相同的特征值是它可对角化的必要条件。

答案与提示

(1) 对：$P^{-1}A^2P=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=B^2$。 (2) 错：如 $E$ 与 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$。 (3) 对：$P^{-1}A^2P=\Lambda^2$ 仍是对角矩阵。 (4) 错：$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$A^2=O$ 是对角矩阵，但 $A$ 不能对角化（特征值 0 二重，$r(0E-A)=1\neq0$）。 (5) 错：它是充分条件，不是必要条件，例如 $E$ 的特征值全相同，却本身就是对角矩阵。

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下一讲预告#

第 20 讲（上）进入二次型：你会看到"二次型 ↔ 实对称矩阵"一一对应，本讲的正交对角化直接变成"正交变换化标准形"。