考研数学二·零基础讲义 第19讲（上）｜特征值与特征向量

考研数学二·零基础讲义 · 第 19 讲（上）｜特征值与特征向量

学完这一讲，你能说清特征值、特征向量"是什么、为什么"，能熟练地用特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 求出 2 阶、3 阶矩阵的特征值和全部特征向量，并能用"迹、行列式、$A^{-1}$、$A^*$、$f(A)$"这一串性质秒杀选择填空。预计用时：3–4 小时（含练习）。第 19 讲分上、下两篇，下篇讲相似对角化与实对称矩阵。

本讲地图#

• 学什么：特征值与特征向量的直观意义和定义；特征方程 $|\lambda E-A|=0$；具体矩阵求特征值、特征向量（含 2 阶速算、三角矩阵、秩 1 矩阵）；已知特征向量反求参数；特征值的性质（迹、行列式、派生矩阵）；抽象矩阵求特征值。
• 考研怎么考：小题高频考特征值的性质（$A^*$、$f(A)$ 的特征值，迹与行列式）和抽象矩阵的特征值；大题里"求特征值和特征向量"是第一问，后面接相似对角化（下篇）或二次型（第 20 讲）。
• 大纲要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
• 一句话主线：$A\alpha=\lambda\alpha$ ⇔ $(\lambda E-A)\alpha=0$ 有非零解 ⇔ $|\lambda E-A|=0$；先求 $\lambda$，再解齐次方程组求 $\alpha$。

前置知识#

• 行列式计算（见第 15 讲），尤其是 3 阶行列式的化简与因式分解。
• 矩阵乘法、逆矩阵、伴随矩阵 $A^*=|A|A^{-1}$、秩（见第 16 讲）。
• 线性无关（见第 17 讲）。
• 求齐次方程组的基础解系（见第 18 讲上篇）——求特征向量就是在干这件事。

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一、直观意义：只伸缩、不转向的方向#

大白话#

把矩阵 $A$ 想成一台"变形机器"：你喂给它一个向量 $x$，它吐出一个新向量 $Ax$。一般来说，吐出来的向量既变了长短，也变了方向（被"拧"了一下）。

但总有一些特殊的方向，向量进去以后方向不变（或正好反向），只是被拉长或压短。这些方向上的向量就叫特征向量，被拉伸的倍数叫特征值。

打个比方：揉面团时你朝一个方向擀，面团在这个方向上被拉长了 3 倍，在另一个方向上几乎不变。这两个方向就是"特征方向"，3 和 1 就是"特征值"。找到这些方向，复杂的变形就被拆成了"沿几个方向各自伸缩"，一下子简单了。

比如 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$：

• 取 $x=(1,1)^T$，$Ax=(3,3)^T=3x$，方向没变，拉长 3 倍；
• 取 $x=(1,-1)^T$，$Ax=(1,-1)^T=1\cdot x$，原样不动；
• 取 $x=(1,0)^T$，$Ax=(2,1)^T$，方向变了——它不是特征向量。

图 1：A =（2 1；1 2）作用在单位圆上：沿 (1,1) 的向量只拉长 3 倍，沿 (−1,1) 的向量不动，其余向量都被"拧"偏了方向（动画循环播放）

特征值的大小和正负也各有含义，先建立画面感：

• $\lambda>1$：沿这个方向被拉长；$0<\lambda<1$：被压短；$\lambda=1$：原样不动。
• $\lambda<0$：方向掉头（反向），再按 $|\lambda|$ 伸缩。比如 $\lambda=-1$ 就是"照镜子"式的翻转。
• $\lambda=0$：这个方向被压扁成零——矩阵把一整条直线都"吃掉"了，这正是矩阵不可逆、行列式为 0 的原因。

图 2：特征值的大小和正负：λ = 2 拉长，λ = 0.5 压短，λ = −1 掉头，λ = 0 压成零向量

记住这幅图，后面"可逆 ⇔ 0 不是特征值""特征值之积 = 行列式（体积缩放比）"都会变得很自然。

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二、定义#

正式定义#

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。如果存在数 $\lambda$ 和非零列向量 $\alpha$，使得

$$A\alpha=\lambda\alpha,$$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\alpha$ 为 $A$ 属于（对应于）特征值 $\lambda$ 的特征向量。

逐行拆解#

• $\lambda$ 读作"兰姆达"，是一个数（可以是 0，可以是负数）。
• $\alpha$ 读作"阿尔法"，必须非零——零向量乘谁都是零，没有"方向"可言，所以排除。
• 只有方阵才谈特征值（$Ax$ 和 $x$ 要是同样长度的向量才能比较）。
• 一个特征向量只属于一个特征值；但一个特征值有无穷多个特征向量：若 $\alpha$ 是，则 $k\alpha\ (k\neq0)$ 也是；属于同一 $\lambda$ 的两个特征向量相加（只要不为零）也是。
• 特征值 $\lambda=0$ 意味着 $A\alpha=0$ 有非零解，即 $|A|=0$。所以：$A$ 可逆 ⇔ 0 不是 $A$ 的特征值。

易错点 ⚠️#

• 特征向量不能是零向量，但特征值可以是 0。
• 说"$\alpha$ 是特征向量"时，必须说清楚是属于哪个特征值的。

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三、求法：特征方程 $|\lambda E-A|=0$#

大白话#

$A\alpha=\lambda\alpha$ 移项变成 $(\lambda E-A)\alpha=0$。这是一个齐次方程组，我们要它有非零解 $\alpha$。第 18 讲说过：方阵齐次方程组有非零解 ⇔ 系数行列式为 0。所以先让 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $\lambda$，再把每个 $\lambda$ 代回去解方程组求 $\alpha$。

正式步骤#

1. 写出特征矩阵 $\lambda E-A$，计算特征多项式 $|\lambda E-A|$；
2. 解特征方程 $|\lambda E-A|=0$，得到全部特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$（重根按重数计）；
3. 对每个不同的 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_iE-A)x=0$，求出基础解系 $\xi_1,\dots,\xi_s$；
4. 属于 $\lambda_i$ 的全部特征向量为 $k_1\xi_1+\cdots+k_s\xi_s$（$k_1,\dots,k_s$ 不全为零）。

逐行拆解#

• $E$ 是单位矩阵（有的书写 $I$）。$\lambda E$ 就是对角线全是 $\lambda$ 的矩阵，所以 $\lambda E-A$ 就是"对角线上写 $\lambda-a_{ii}$，其余位置写 $-a_{ij}$"。
• $n$ 阶矩阵的特征多项式是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，在复数范围内恰有 $n$ 个根。
• 若 $\lambda_i$ 是 $k$ 重根，就说它的代数重数是 $k$；它对应的线性无关特征向量个数 $n-r(\lambda_iE-A)$ 叫几何重数。总有：$1\le$ 几何重数 $\le$ 代数重数。
• "不全为零"这四个字是因为特征向量必须非零。

例题 1（2 阶，入门）#

求 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-1\\-1&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-2)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3).$$

特征值 $\lambda_1=1,\ \lambda_2=3$。

• $\lambda_1=1$：$E-A=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$，$x_1=-x_2$，取 $x_2=1$ 得 $\xi_1=(-1,1)^T$。全部特征向量 $k_1\xi_1\ (k_1\neq0)$。
• $\lambda_2=3$：$3E-A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}$，$x_1=x_2$，得 $\xi_2=(1,1)^T$。全部特征向量 $k_2\xi_2\ (k_2\neq0)$。

和第一节"揉面团"的观察完全一致。

例题 2（3 阶，有重根）#

求 $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&4&-2\\-3&-3&5\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解：

第 1 步，特征多项式：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&1&-1\\-2&\lambda-4&2\\3&3&\lambda-5\end{vmatrix}.$$

技巧：把第 2 列加到第 3 列（列变换不改变行列式的值），第 3 列变成 $(0,\ \lambda-2,\ \lambda-2)^T$，提出 $\lambda-2$：

$$=(\lambda-2)\begin{vmatrix}\lambda-1&1&0\\-2&\lambda-4&1\\3&3&1\end{vmatrix} \xrightarrow{r_2-r_3}(\lambda-2)\begin{vmatrix}\lambda-1&1&0\\-5&\lambda-7&0\\3&3&1\end{vmatrix} =(\lambda-2)\big[(\lambda-1)(\lambda-7)+5\big].$$

而 $(\lambda-1)(\lambda-7)+5=\lambda^2-8\lambda+12=(\lambda-2)(\lambda-6)$，所以

$$|\lambda E-A|=(\lambda-2)^2(\lambda-6),$$

特征值 $\lambda_1=\lambda_2=2$（二重），$\lambda_3=6$。

第 2 步，$\lambda=2$：

$$2E-A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-2&-2&2\\3&3&-3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

秩为 1，有 $3-1=2$ 个自由变量 $x_2,x_3$，$x_1=-x_2+x_3$。基础解系 $\xi_1=(-1,1,0)^T,\ \xi_2=(1,0,1)^T$。属于 2 的全部特征向量：$k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1,k_2$ 不全为 0）。

第 3 步，$\lambda=6$：

$$6E-A=\begin{pmatrix}5&1&-1\\-2&2&2\\3&3&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-\frac13\\0&1&\frac23\\0&0&0\end{pmatrix},$$

（先把第 2 行除以 $-2$ 换到第一行会好算些。）$x_1=\frac13x_3,\ x_2=-\frac23x_3$，取 $x_3=3$ 避免分数，$\xi_3=(1,-2,3)^T$。全部特征向量 $k_3\xi_3\ (k_3\neq0)$。

验证：$A\xi_3=(1+2+3,\ 2-8-6,\ -3+6+15)^T=(6,-12,18)^T=6\xi_3$ ✓。

2 阶矩阵的速算公式#

对 2 阶矩阵 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，展开特征多项式：

$$|\lambda E-A|=(\lambda-a)(\lambda-d)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\,\lambda+|A|.$$

所以 2 阶矩阵的特征方程就是 $\lambda^2-(\text{迹})\lambda+(\text{行列式})=0$，写出来不用展开行列式。（$\operatorname{tr}$ 读作"迹"，即主对角线之和，第五节细讲。）

例题 3（用速算公式）#

求 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解：$\operatorname{tr}A=5$，$|A|=4-4=0$，特征方程 $\lambda^2-5\lambda=0$，特征值 $\lambda_1=0,\ \lambda_2=5$。

• $\lambda=0$：解 $(0E-A)x=0$，即 $Ax=0$：$x_1+2x_2=0$，得 $\xi_1=(-2,1)^T$。
• $\lambda=5$：$5E-A=\begin{pmatrix}4&-2\\-2&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}$，$2x_1=x_2$，得 $\xi_2=(1,2)^T$。

全部特征向量分别为 $k_1\xi_1\ (k_1\neq0)$、$k_2\xi_2\ (k_2\neq0)$。注意 $|A|=0$，所以 0 是特征值——和"不可逆 ⇔ 0 是特征值"吻合。

例题 4（三角矩阵：特征值就在对角线上）#

求 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&4\\0&0&3\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解：$\lambda E-A$ 仍是上三角矩阵，行列式等于对角线之积：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&-3\\0&\lambda-2&-4\\0&0&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3).$$

特征值 $1,2,3$，正好是对角元。结论：上（下）三角矩阵、对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。

特征向量仍要老老实实解方程：

• $\lambda=1$：$E-A=\begin{pmatrix}0&-2&-3\\0&-1&-4\\0&0&-2\end{pmatrix}$，最后一行得 $x_3=0$，代入第二行得 $x_2=0$，$x_1$ 自由，$\xi_1=(1,0,0)^T$。
• $\lambda=2$：$2E-A=\begin{pmatrix}1&-2&-3\\0&0&-4\\0&0&-1\end{pmatrix}$，得 $x_3=0$，$x_1=2x_2$，$\xi_2=(2,1,0)^T$。
• $\lambda=3$：$3E-A=\begin{pmatrix}2&-2&-3\\0&1&-4\\0&0&0\end{pmatrix}$，$x_2=4x_3$，$2x_1=2x_2+3x_3=11x_3$，取 $x_3=2$：$\xi_3=(11,8,2)^T$。

验证 $\xi_3$：$A\xi_3=(11+16+6,\ 16+8,\ 6)^T=(33,24,6)^T=3\xi_3$ ✓。

例题 5（秩为 1 的矩阵）#

求 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

解：

第 1 步，观察：$r(A)=1$，所以 $Ax=0$ 有 $3-1=2$ 个线性无关解，即 0 是特征值，且至少有 2 个线性无关的特征向量；又因为特征值之和 = 迹 $=3$，剩下那个特征值是 $3-0-0=3$。（这一步用到第五节的性质，先感受一下有多快。）

第 2 步，老实验证一遍：把第 2、3 列加到第 1 列，提出 $\lambda-3$：

$$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&-1\\-1&\lambda-1&-1\\-1&-1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-3)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\1&\lambda-1&-1\\1&-1&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-3)\lambda^2.$$

第 3 步，特征向量：

• $\lambda=0$：$x_1+x_2+x_3=0$，$\xi_1=(-1,1,0)^T,\ \xi_2=(-1,0,1)^T$；全部特征向量 $k_1\xi_1+k_2\xi_2$（不全为 0）。
• $\lambda=3$：每行和都是 3，所以 $A(1,1,1)^T=3(1,1,1)^T$，$\xi_3=(1,1,1)^T$。

小技巧：若矩阵每一行元素之和都等于 $a$，则 $a$ 是特征值，$(1,1,\dots,1)^T$ 是对应的特征向量。

例题 6（已知特征向量，反求参数）#

已知 $\xi=(1,1,-1)^T$ 是 $A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&a&3\\-1&b&-2\end{pmatrix}$ 的一个特征向量，求 $a,b$ 及 $\xi$ 对应的特征值。

解：设对应特征值为 $\lambda$，由定义 $A\xi=\lambda\xi$，逐行写出来：

$$\begin{cases}2-1-2=\lambda\\ 5+a-3=\lambda\\ -1+b+2=-\lambda\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\lambda=-1\\ a+2=-1\\ b+1=1\end{cases} \Longrightarrow \lambda=-1,\ a=-3,\ b=0.$$

验证：$A\xi=(2-1-2,\ 5-3-3,\ -1+0+2)^T=(-1,-1,1)^T=-\xi$ ✓。

思路：给了特征向量就直接用定义 $A\xi=\lambda\xi$ 列方程，比算特征多项式快得多。

易错点 ⚠️#

• 3 阶特征多项式千万别直接展开成三次多项式再去猜根，先用行/列变换"凑出公因式"，能省大量时间、少出错。常用信号：某两行/两列相加后出现相同的因子。
• 求特征向量时写的是 $(\lambda E-A)x=0$，代入具体 $\lambda$ 后再化简，符号别弄反。用 $(A-\lambda E)x=0$ 也可以，解是一样的，但同一道题里要统一。
• 写"全部特征向量"时别忘"不全为零"。

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四、算特征多项式的四个化简套路#

3 阶特征多项式是本章计算量最大、也最容易出错的地方。直接按对角线法则展开成三次多项式再去"猜根"，又慢又容易错。下面四个套路覆盖了考研绝大多数题目，做题前先花十秒钟"看一眼"该用哪个：

1. 行和（或列和）都相等：把其余各列都加到第 1 列，第 1 列出现公因子，提出来后再用第 1 行去减其他行，立刻变成三角形。例题 5 就是这样做的。
2. 某一行（列）有两个 0：直接按这一行（列）展开，3 阶变成"一个数 × 2 阶行列式"。比如三角矩阵、分块形状的矩阵。
3. 两行（列）相加或相减后出现公因子 $(\lambda-c)$：例题 2 中把第 2 列加到第 3 列，第 3 列变成 $(0,\lambda-2,\lambda-2)^T$，提出 $\lambda-2$。找的方法：看哪两行（列）对应位置的元素"凑一凑"能出现同一个式子。
4. 实在没有规律：先展开成三次多项式，然后用"整数根只可能是常数项的因数"去试根，试出一个根 $c$ 后用多项式除法除以 $(\lambda-c)$，剩下二次式求根。

做完以后，一定用"特征值之和 = 迹"检查一遍，这是最便宜的保险：迹算错的概率很低，而特征值算错时和几乎一定对不上。

求特征值和特征向量的完整答题格式#

大题第一问通常就是"求 $A$ 的特征值和特征向量"，按下面格式写不丢分：

1. 写出 $|\lambda E-A|$，化简并因式分解，写"得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\cdots,\ \lambda_2=\lambda_3=\cdots$"；
2. 对每个不同的特征值，写"当 $\lambda=\cdots$ 时，解 $(\lambda E-A)x=0$"，给出行变换结果、基础解系；
3. 写"属于 $\lambda=\cdots$ 的全部特征向量为 $k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1,k_2$ 不全为零）"，单个向量就写"$k\xi\ (k\neq0)$"。

最后这句"不全为零 / $k\neq0$"是阅卷的常见扣分点，因为零向量不是特征向量。

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五、特征值的性质（小题提分点）#

性质 1：和等于迹，积等于行列式#

设 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则

$$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\operatorname{tr}(A),\qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|.$$

• $\operatorname{tr}(A)$ 读作"A 的迹"（trace），就是主对角线元素之和。
• 用途：检验你算的特征值对不对（例题 2：$2+2+6=10=1+4+5$ ✓，$2\cdot2\cdot6=24=|A|$）；已知部分特征值求剩下的。

性质 2：矩阵"变形"，特征值跟着同样变#

若 $A\alpha=\lambda\alpha$（$\alpha\neq0$），则（特征向量 $\alpha$ 不变）：

矩阵	特征值	条件
$kA$	$k\lambda$
$A^k$	$\lambda^k$
$f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0E$	$f(\lambda)=a_m\lambda^m+\cdots+a_1\lambda+a_0$
$A^{-1}$	$\dfrac1\lambda$	$A$ 可逆
$A^*$	$\dfrac{	A
$A^T$	$\lambda$（特征向量一般会变）

为什么？ 以 $A^2$ 为例：$A^2\alpha=A(A\alpha)=A(\lambda\alpha)=\lambda A\alpha=\lambda^2\alpha$。$A^{-1}$：在 $A\alpha=\lambda\alpha$ 两边左乘 $A^{-1}$，得 $\alpha=\lambda A^{-1}\alpha$，所以 $A^{-1}\alpha=\frac1\lambda\alpha$。$A^*$：由 $A^*=|A|A^{-1}$ 立得。

例题 7（性质综合）#

设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$。求 $|A|$、$\operatorname{tr}(A)$、$A^{-1}$ 和 $A^*$ 的特征值、$|A^2-2A+E|$。

解：

• $|A|=1\cdot2\cdot3=6$，$\operatorname{tr}(A)=1+2+3=6$。
• $A^{-1}$ 的特征值：$1,\ \frac12,\ \frac13$。
• $A^*$ 的特征值 $\frac{|A|}{\lambda}$：$\frac61=6,\ \frac62=3,\ \frac63=2$。
• 令 $f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$，$A^2-2A+E=f(A)$ 的特征值为 $f(1)=0,\ f(2)=1,\ f(3)=4$，所以 $|A^2-2A+E|=0\cdot1\cdot4=0$。

例题 8（用迹和行列式补全特征值）#

设 3 阶矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$ 有一个特征值是 $5$，另外两个特征值相等，求它们，并求 $|A|$。

解：每行和为 5，确认 5 是特征值（例题 5 的小技巧）。设另两个特征值都是 $\mu$（读作"缪"）。由迹：$5+2\mu=1+1+1=3$，得 $\mu=-1$。于是 $|A|=5\times(-1)\times(-1)=5$。

（直接算行列式核对：$|A|=1\cdot(1-4)-2\cdot(2-4)+2\cdot(4-2)=-3+4+4=5$ ✓。）

性质 3：不同特征值的特征向量线性无关#

属于不同特征值的特征向量线性无关。更进一步：把各个不同特征值的线性无关特征向量放在一起，整组仍线性无关。

直观理解：不同的特征值意味着"伸缩倍数不同"的方向，这些方向不可能互相"凑"出来。

易错点 ⚠️#

• $A^*$ 的特征值是 $\frac{|A|}{\lambda}$，不是 $\frac{1}{\lambda}$，也不是 $|A|\lambda$。
• $A^T$ 和 $A$ 特征值相同（因为 $|\lambda E-A^T|=|\lambda E-A|$），但特征向量一般不同。
• $A+B$ 的特征值不等于"$A$ 的特征值 + $B$ 的特征值"（除非特征向量相同）。性质 2 只对"同一个 $A$ 的多项式"成立。

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六、抽象矩阵的特征值：不给具体数字怎么办#

大白话#

考研常出现这种题：只告诉你矩阵满足某个等式（比如 $A^2=A$），问特征值可能是多少。这时没法写 $|\lambda E-A|$，但可以用定义"把 $A$ 换成 $\lambda$"：因为 $A$ 作用在特征向量上就等于乘 $\lambda$，矩阵的等式就"降级"成了数的等式。

正式结论#

若 $f(A)=O$（$f$ 是多项式），$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则

$$f(\lambda)=0.$$

为什么？ 设 $A\alpha=\lambda\alpha,\ \alpha\neq0$，由性质 2，$f(A)\alpha=f(\lambda)\alpha$。而 $f(A)=O$，所以 $f(\lambda)\alpha=0$；$\alpha\neq0$，只能 $f(\lambda)=0$。

逐行拆解#

• 这只给出范围："$A$ 的特征值只能从 $f(\lambda)=0$ 的根里挑"，但不保证每个根都真的是特征值。例如 $A=E$ 也满足 $A^2=A$，它的特征值只有 1，没有 0。
• 要进一步确定，通常还需要别的条件，比如秩、迹或行列式。

例题 9（由矩阵方程求特征值）#

(1) 若 $A^2=A$，求 $A$ 的特征值的可能取值。 (2) 若 3 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2-3A+2E=O$，且 $r(A-E)=1$，求 $A$ 的特征值和 $|A|$。

解：

(1) $\lambda^2=\lambda$，即 $\lambda(\lambda-1)=0$，特征值只能是 $0$ 或 $1$。

(2) 由 $\lambda^2-3\lambda+2=0$ 得特征值只能是 $1$ 或 $2$。下面分两步确定每个出现几次。

第 1 步，看 1：$r(A-E)=1$，所以 $(E-A)x=0$ 有 $3-1=2$ 个线性无关的解，即属于 1 的线性无关特征向量有 2 个，1 至少出现两次（几何重数不超过代数重数）。

第 2 步，看 2：因式分解 $A^2-3A+2E=(A-E)(A-2E)=O$。由第 18 讲上篇"$AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$"，得 $r(A-E)+r(A-2E)\le3$，所以 $r(A-2E)\le2<3$，$(2E-A)x=0$ 有非零解，2 一定是特征值。

3 阶矩阵只有 3 个特征值，所以它们是 $1,1,2$，$|A|=1\times1\times2=2$。

例题 10（秩 1 矩阵 $\alpha\beta^T$ 的特征值）#

设 $\alpha=(1,2,3)^T$，$\beta=(1,1,1)^T$，$A=\alpha\beta^T$，求 $A$ 的特征值。

解：$A=\alpha\beta^T$ 是 $3\times3$ 矩阵，每一列都是 $\alpha$ 的倍数，所以 $r(A)=1$，0 是特征值且有 2 个线性无关特征向量（二重）。另一个特征值 = 迹：

$$\operatorname{tr}(A)=1\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=\beta^T\alpha=6.$$

所以特征值为 $6,0,0$。而且 $A\alpha=\alpha(\beta^T\alpha)=6\alpha$，$\alpha$ 就是属于 6 的特征向量。

结论：$n$ 阶矩阵 $A=\alpha\beta^T$（$\alpha,\beta$ 为非零列向量）的特征值是 $\beta^T\alpha$（一个）和 $0$（$n-1$ 重）。

易错点 ⚠️#

• $f(A)=O$ 只能推出"特征值是 $f(\lambda)=0$ 的根"，不能推出"所有根都是特征值"。
• $\alpha\beta^T$（列乘行）是矩阵，$\beta^T\alpha$（行乘列）是一个数，别搞反。

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公式/结论速记卡#

内容	结论
定义	$A\alpha=\lambda\alpha,\ \alpha\neq0$；只对方阵
求特征值	$
2 阶速算	$\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+
三角/对角矩阵	特征值 = 主对角元
求特征向量	解 $(\lambda E-A)x=0$；全部特征向量 = 基础解系的不全为零组合
行和相等	每行和为 $a$ ⇒ $a$ 是特征值，$(1,\dots,1)^T$ 是特征向量
秩 1 矩阵	$\alpha\beta^T$ 的特征值：$\beta^T\alpha$ 和 $0$（$n-1$ 重）
迹与行列式	$\sum\lambda_i=\operatorname{tr}A$，$\prod\lambda_i=
可逆判断	$A$ 可逆 ⇔ 0 不是特征值
派生矩阵	$kA\to k\lambda$；$A^k\to\lambda^k$；$f(A)\to f(\lambda)$；$A^{-1}\to\frac1\lambda$；$A^*\to\frac{
转置	$A^T$ 与 $A$ 特征值相同，特征向量一般不同
抽象矩阵	$f(A)=O$ ⇒ 特征值满足 $f(\lambda)=0$（只给范围）
线性无关	不同特征值的特征向量线性无关
反求参数	给了特征向量，直接用 $A\xi=\lambda\xi$ 列方程

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自测练习#

1. 求 $A=\begin{pmatrix}3&1\\5&-1\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

答案与提示

速算：$\operatorname{tr}=2,\ |A|=-8$，$\lambda^2-2\lambda-8=(\lambda-4)(\lambda+2)=0$。 $\lambda=4$：$4E-A=\begin{pmatrix}1&-1\\-5&5\end{pmatrix}$，$\xi_1=(1,1)^T$；$\lambda=-2$：$-2E-A=\begin{pmatrix}-5&-1\\-5&-1\end{pmatrix}$，$5x_1+x_2=0$，$\xi_2=(1,-5)^T$。全部特征向量 $k_1\xi_1,\ k_2\xi_2$（$k_1,k_2\neq0$）。

2. 求 $A=\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

答案与提示

$\lambda^2-5\lambda+6=0$，$\lambda=2,3$。$\lambda=2$：$2E-A=\begin{pmatrix}-2&2\\-1&1\end{pmatrix}$，$\xi_1=(1,1)^T$；$\lambda=3$：$3E-A=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&2\end{pmatrix}$，$\xi_2=(2,1)^T$。

3. 求 $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量，并指出二重特征值有几个线性无关的特征向量。

答案与提示

上三角，特征值 $2,2,3$。$\lambda=2$：$2E-A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$，秩 2，只有 $3-2=1$ 个线性无关特征向量 $(1,0,0)^T$。$\lambda=3$：$(0,0,1)^T$。（下篇会知道：这说明它不能对角化。）

4. 已知 $\xi=(1,1,1)^T$ 是 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&a&1\\1&1&b\end{pmatrix}$ 的特征向量，求 $a,b$ 和对应的特征值。

答案与提示

$A\xi=(4,\ a+2,\ b+2)^T=\lambda(1,1,1)^T$，所以 $\lambda=4$，$a=2,\ b=2$。

5. 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$。求 $|A|$、$\operatorname{tr}A$、$A^*$ 的特征值，以及 $|A^*+3A+2E|$。

答案与提示

$|A|=-2$，$\operatorname{tr}A=2$。$A^*$ 的特征值 $\frac{-2}{\lambda}$：$-2,\ 2,\ -1$。 $A^*+3A+2E$ 的特征值为 $\frac{-2}{\lambda}+3\lambda+2$：$3,\ 1,\ 7$。所以 $|A^*+3A+2E|=21$。

6. 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$，求 $|A^2+A^*|$。

答案与提示

$|A|=6$，$A^*$ 的特征值 $\frac6\lambda$。$A^2+A^*$ 的特征值 $\lambda^2+\frac6\lambda$：$1+6=7$，$4+3=7$，$9+2=11$。$|A^2+A^*|=7\times7\times11=539$。

7. 设 $\alpha=(1,-1,2)^T,\ \beta=(2,1,1)^T$，求 $A=\alpha\beta^T$ 的特征值，并写出一个非零特征值对应的特征向量。

答案与提示

$\beta^T\alpha=2-1+2=3$。特征值 $3,0,0$；属于 3 的特征向量是 $\alpha=(1,-1,2)^T$（因为 $A\alpha=\alpha(\beta^T\alpha)=3\alpha$）。

8. (1) 若 $A^2=E$，$A$ 的特征值可能是多少？(2) 若 $A$ 可逆且 $A^2=A$，求 $A$。

答案与提示

(1) $\lambda^2=1$，只能是 $1$ 或 $-1$。(2) 在 $A^2=A$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $A=E$。（也可以这样理解：特征值只能是 0 或 1，可逆又排除了 0。但"特征值全为 1"本身推不出 $A=E$，还是要用左乘 $A^{-1}$ 这一步。）

9. 判断对错，错的举反例：(1) 若 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，则 $\alpha$ 也是 $A^2$ 的特征向量；(2) 若 $\alpha$ 是 $A^2$ 的特征向量，则 $\alpha$ 一定是 $A$ 的特征向量；(3) 若 $\alpha_1,\alpha_2$ 都是 $A$ 的特征向量，则 $\alpha_1+\alpha_2$ 也是；(4) $A$ 与 $A^T$ 的特征向量相同。

答案与提示

(1) 对：$A^2\alpha=\lambda^2\alpha$。 (2) 错：取 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$A^2=O$，任何非零向量都是 $A^2$ 的特征向量（属于 0）；但 $A(0,1)^T=(1,0)^T$，不是 $(0,1)^T$ 的倍数，所以 $(0,1)^T$ 不是 $A$ 的特征向量。 (3) 错：只有属于同一个特征值（且和不为零）时才成立。例题 1 中 $(-1,1)^T+(1,1)^T=(0,2)^T$，而 $A(0,2)^T=(2,4)^T$，不是 $(0,2)^T$ 的倍数。 (4) 错：特征值相同，但特征向量一般不同。

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下一讲预告#

第 19 讲（下）讲相似矩阵与相似对角化：用特征向量当新坐标轴，把矩阵变成对角形，并学会实对称矩阵的正交对角化——这是第 20 讲二次型的核心工具。