考研数学二·零基础讲义 第18讲（下）｜线性方程组：非齐次方程组的判定与通解

考研数学二·零基础讲义 · 第 18 讲（下）｜线性方程组：非齐次方程组的判定与通解

学完这一讲，你能一眼看出非齐次方程组 $Ax=b$ 是无解、唯一解还是无穷多解，能把无穷多解写成"特解 + 齐次通解"的标准形式，并能按固定流程完成含参数方程组的讨论。预计用时：3–4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：非齐次方程组有解的判定 $r(A)=r(A\,|\,b)$；唯一解与无穷多解的区分；解的性质；通解结构"特解 + 齐次通解"；由已知的几个解反推通解；含参数方程组的讨论流程；解的判定概念辨析。
• 考研怎么考：大题常考"含参数方程组讨论 + 求通解"，是线性代数的高频大题；小题常考"解的结构"（由几个特解写通解）和"判定定理"的概念辨析。
• 大纲要求：理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
• 一句话主线：增广矩阵化行阶梯形 → 比较 $r(A)$ 与 $r(A\,|\,b)$ → 有解时化最简 → 特解（自由变量全取 0）+ 齐次基础解系（轮流取 1）。

前置知识#

• 第 18 讲（上）：高斯消元、行最简形、齐次方程组的基础解系与通解——本讲直接在它上面搭楼。
• 矩阵的秩（见第 16 讲）；线性表示（见第 17 讲）。
• 行列式的计算与因式分解（见第 15 讲），含参数讨论要用。

---

一、快速回顾：上篇的三件工具#

在进入非齐次方程组之前，先把上篇最重要的三件工具摆在桌面上，后面每道题都要用：

1. 只用初等行变换把矩阵化成行阶梯形、行最简形；非零行个数就是秩。
2. 主元列对应主变量，非主元列对应自由变量，自由变量个数 $=n-r(A)$（$n$ 是未知数个数）。
3. 齐次方程组的基础解系：自由变量轮流取 1、其余取 0，算出主变量。

本篇唯一新增的对象是右边的常数列 $b$。你会看到，$b$ 只影响两件事：有没有解，以及特解是什么；至于"解有多少个自由度"，完全由 $A$ 决定，和上篇一模一样。

---

二、非齐次方程组 $Ax=b$：有没有解、有几个解#

大白话#

非齐次方程组就可能"无解"了。什么时候无解？消元消到最后出现一行"$0=1$"这种荒唐的式子，就说明方程之间互相矛盾。

用秩的语言：系数矩阵 $A$ 化成阶梯形后的非零行数是 $r(A)$；把 $b$ 带上一起化，非零行数是 $r(A\,|\,b)$。如果带上 $b$ 之后多出了一个非零行，那一行一定长成 $(0,0,\dots,0\,|\,d)$，$d\neq0$，也就是"$0=d$"——矛盾，无解。

正式结论#

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵：

$$Ax=b\ \text{有解}\iff r(A)=r(A\,|\,b).$$

在有解的前提下：

• $r(A)=r(A\,|\,b)=n$ ⇔ 唯一解；
• $r(A)=r(A\,|\,b)<n$ ⇔ 无穷多解；
• $r(A)<r(A\,|\,b)$（此时必有 $r(A\,|\,b)=r(A)+1$）⇔ 无解。

逐行拆解#

• $r(A\,|\,b)$：增广矩阵的秩。增广矩阵只比 $A$ 多一列，所以秩要么相等，要么多 1。
• 方阵情形（$m=n$）：$|A|\neq0$ ⇔ 唯一解（这就是克拉默法则的适用条件）；$|A|=0$ 时要么无解要么无穷多解，还要再看秩。
• 列向量视角：有解 ⇔ $b$ 能由 $A$ 的列向量组线性表示；唯一解 ⇔ 表示法唯一。

一张判定图（背下来）#

情况	齐次 $Ax=0$	非齐次 $Ax=b$
$r(A)=n$	只有零解	若 $r(A)=r(A,
$r(A)<n$	有非零解（无穷多）	若 $r(A)=r(A,
$r(A)<r(A,	,b)$	不会出现

几何直观：三个平面的位置关系#

三元一次方程 $ax+by+cz=d$ 在空间里表示一个平面。三个方程组成的方程组，就是问"三个平面有没有公共点"：

• 唯一解：三个平面交于一个点（像房间的墙角，两面墙和地板交于一点）；
• 无穷多解：三个平面交于一条直线（像翻开的书，几页纸共用书脊），或者三个平面其实是同一个平面（自由度 2）；
• 无解：三个平面没有公共点，比如两个平面平行，或者三个平面两两相交成三条互相平行的直线（像三棱柱的三个侧面）。

自由度 $n-r$ 就是解集的"维数"：$0$ 是点，$1$ 是线，$2$ 是面。这个图像帮你记住：解要么没有、要么一个、要么无穷多，绝不会恰好两个——两个平面"交出"两个孤立点是不可能的。

图 2："三个平面"的低一维版本：3 个方程、2 个未知数时每个方程是一条直线。三线共点有唯一解；围成三角形或有两条平行都无解

例题 1（判定无解）#

判断 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=3\\ 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=5\end{cases}$ 是否有解。

解：

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&3\\2&3&4&5&5\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-2r_1]{r_2-r_1} \left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&2\\0&1&2&3&3\end{array}\right) \xrightarrow{r_3-r_2} \left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&2\\0&0&0&0&1\end{array}\right).$$

最后一行是"$0=1$"。$r(A)=2$，$r(A\,|\,b)=3$，不相等，无解。

（直观看：第 3 个方程左边恰好是前两个方程左边相加，前两个右边相加是 $1+3=4$，可它偏偏写 5，矛盾。）

例题 2（方程比未知数多，也可能唯一解）#

判断 $\begin{cases}x_1+x_2=2\\ x_2+x_3=5\\ x_1+x_3=3\\ x_1+x_2+x_3=5\end{cases}$ 的解的情况，有解则求出。

解：4 个方程、3 个未知数。

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&2\\0&1&1&5\\1&0&1&3\\1&1&1&5\end{array}\right) \xrightarrow[r_4-r_1]{r_3-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&2\\0&1&1&5\\0&-1&1&1\\0&0&1&3\end{array}\right) \xrightarrow{r_3+r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&2\\0&1&1&5\\0&0&2&6\\0&0&1&3\end{array}\right) \xrightarrow{r_4-\frac12r_3} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&0&2\\0&1&1&5\\0&0&2&6\\0&0&0&0\end{array}\right).$$

$r(A)=r(A\,|\,b)=3=n$，唯一解。从下往上回代：$2x_3=6\Rightarrow x_3=3$；$x_2=5-3=2$；$x_1=2-2=0$。解为 $(0,2,3)^T$。

启示：方程个数多不等于无解，关键看多出来的方程是不是"前面方程的组合"——这里第 4 个方程恰好是前三个相加再除以 2。

例题 3（列向量视角：能否线性表示）#

问 $\beta=(1,2,3)^T$ 能否由 $\alpha_1=(1,1,1)^T$、$\alpha_2=(0,1,2)^T$ 线性表示？若能，写出表示式。

解："能否表示"就是问方程组 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=\beta$ 有没有解：

$$\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\1&1&2\\1&2&3\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1} \left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&1\\0&2&2\end{array}\right) \xrightarrow{r_3-2r_2} \left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{array}\right).$$

$r(A)=r(A\,|\,b)=2=n$，唯一解 $x_1=1,\ x_2=1$。所以 $\beta=\alpha_1+\alpha_2$，且表示法唯一。检验：$(1,1,1)+(0,1,2)=(1,2,3)$ ✓。

易错点 ⚠️#

• 判定有解时，必须对增广矩阵一起做行变换，只化 $A$ 看不出来。
• 化到阶梯形就可以判断了，不一定非要化到最简；但要写通解时最好化到行最简形。

---

三、通解结构：特解 + 齐次通解#

大白话#

非齐次方程组有无穷多解时，全部解长什么样？打个比方：齐次方程组的解集像一条"穿过原点的直线"（或平面）；非齐次方程组的解集就是把这条直线整体平移了一下，不再过原点。平移的"距离和方向"由任意一个非齐次的解（叫特解）给出。

所以：非齐次通解 = 一个特解 + 对应齐次方程组的通解。

图 1：以 x + 2y = 4 为例：齐次解 kξ 在过原点的直线上（蓝），非齐次解 η* + kξ 在平移后的平行直线上（橙），两点同步移动（动画循环播放）

先看三条性质（都很好证明，代进去就行）#

设 $\eta_1,\eta_2$ 是 $Ax=b$ 的解，$\xi$ 是 $Ax=0$ 的解，则：

1. $\eta_1-\eta_2$ 是 $Ax=0$ 的解（因为 $A\eta_1-A\eta_2=b-b=0$）；
2. $\eta_1+\xi$ 是 $Ax=b$ 的解（因为 $b+0=b$）；
3. 更一般地，$k_1\eta_1+k_2\eta_2$ 是 $Ax=b$ 的解 ⇔ $k_1+k_2=1$；是 $Ax=0$ 的解 ⇔ $k_1+k_2=0$。

（$\eta$ 读作"伊塔"，习惯上表示非齐次方程组的解。）

正式结论#

若 $Ax=b$ 有无穷多解，$\eta^*$ 是它的一个特解，$\xi_1,\dots,\xi_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，则 $Ax=b$ 的通解为

$$x=\eta^*+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r},\qquad k_i\ \text{为任意常数}.$$

求法步骤#

1. 增广矩阵化行最简形，确认 $r(A)=r(A\,|\,b)<n$；
2. 求特解：自由变量全部取 0，读出主变量（就是最后一列的数）；
3. 求齐次基础解系：把最后一列当成 0，自由变量轮流取 1（同第四节）；
4. 写成"特解 + 齐次通解"。

例题 4（求非齐次通解）#

求 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=3\\ 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=4\end{cases}$ 的通解。（和例题 1 只差最后一个常数。）

解：

第 1 步，化行最简形：

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&3\\2&3&4&5&4\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-2r_1]{r_2-r_1} \left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&2\\0&1&2&3&2\end{array}\right) \xrightarrow[r_1-r_2]{r_3-r_2} \left(\begin{array}{cccc|c}1&0&-1&-2&-1\\0&1&2&3&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right).$$

（这里先做 $r_3-r_2$，再做 $r_1-r_2$，两步都用的是已经消过的第 2 行。）

$r(A)=r(A\,|\,b)=2<4$，有无穷多解。$x_3,x_4$ 是自由变量。

第 2 步，同解方程组：

$$\begin{cases}x_1=-1+x_3+2x_4\\ x_2=2-2x_3-3x_4\end{cases}$$

第 3 步，特解：令 $x_3=x_4=0$，得 $\eta^*=(-1,2,0,0)^T$。

第 4 步，齐次基础解系：去掉常数项，正好是第 18 讲（上）例题 7 的结果：$\xi_1=(1,-2,1,0)^T$，$\xi_2=(2,-3,0,1)^T$。

通解：

$$x=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\1\end{pmatrix},\quad k_1,k_2\ \text{为任意常数}.$$

检查特解：$-1+2=1$ ✓；$-1+4=3$ ✓；$-2+6=4$ ✓。

例题 5（由已知的几个解写出通解）#

设 4 元非齐次方程组 $Ax=b$ 的系数矩阵秩为 3，已知它的三个解 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 满足 $\eta_1=(2,3,4,5)^T$，$\eta_2+\eta_3=(1,2,3,4)^T$。求 $Ax=b$ 的通解。

解：

第 1 步，数自由度：$n-r(A)=4-3=1$，齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系只含 1 个向量。

第 2 步，造一个齐次的非零解。手里有"$\eta_1$"和"$\eta_2+\eta_3$"，要组合出系数和为 0 的东西：

$$2\eta_1-(\eta_2+\eta_3)=(\eta_1-\eta_2)+(\eta_1-\eta_3),$$

两个括号都是 $Ax=0$ 的解，所以它也是。算出来：$2(2,3,4,5)^T-(1,2,3,4)^T=(3,4,5,6)^T\neq0$，可作基础解系。

第 3 步，特解直接用 $\eta_1$。通解：

$$x=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}3\\4\\5\\6\end{pmatrix},\quad k\ \text{为任意常数}.$$

思路小结：这类题不需要知道 $A$ 长什么样，只靠"系数和为 0 → 齐次解，系数和为 1 → 非齐次解"这把钥匙。直接用 $\eta_2+\eta_3$ 当特解是错的，因为它的系数和是 2，满足的是 $Ax=2b$。

易错点 ⚠️#

• 特解前面不能带任意常数 $k$！写成 $k_0\eta^*+\dots$ 是错的。
• 求基础解系时要把常数列"当 0"，别把常数项混进去。
• 特解不唯一，所以不同的人写出的通解"长得不一样"可能都对；检验方法是把你的特解代回去、把基础解系代回齐次方程。

---

四、含参数方程组的讨论：考研大题的固定套路#

大白话#

题目里系数带个字母（比如 $\lambda$ 或 $a$），问"参数取何值时唯一解/无解/无穷多解，并求解"。这类题看着吓人，其实就是把判定定理按参数分情况套一遍。

基本流程#

1. 方程个数 = 未知数个数（方阵）时，先算系数行列式 $|A|$，因式分解。
   • $|A|\neq0$ 的参数值：唯一解（可用克拉默法则或消元求出）；
   • 让 $|A|=0$ 的每个参数值：分别代回增广矩阵，化阶梯形，比较 $r(A)$ 与 $r(A\,|\,b)$，判断无解还是无穷多解；无穷多解时写通解。
2. 不是方阵时，直接对增广矩阵做行变换化阶梯形（尽量别用含参数的数当除数），看最后几行在参数取什么值时变成 0。
3. 最后把结论按"唯一解/无解/无穷多解"分类写清楚。

例题 6（经典例题）#

讨论 $\lambda$ 取何值时，方程组

$$\begin{cases}\lambda x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda\\ x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2\end{cases}$$

有唯一解、无解、无穷多解？有无穷多解时求通解。

解：

第 1 步，算系数行列式。每一行加起来都是 $\lambda+2$，把第 2、3 列都加到第 1 列，提出 $\lambda+2$：

$$|A|=\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix} =(\lambda+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix} =(\lambda+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix} =(\lambda+2)(\lambda-1)^2.$$

第 2 步，$\lambda\neq1$ 且 $\lambda\neq-2$ 时，$|A|\neq0$，唯一解。（可以求出 $x_1=-\dfrac{\lambda+1}{\lambda+2},\ x_2=\dfrac{1}{\lambda+2},\ x_3=\dfrac{(\lambda+1)^2}{\lambda+2}$，考题一般只要求判定时可不算。）

第 3 步，$\lambda=1$：三个方程都是 $x_1+x_2+x_3=1$。

$$(A\,|\,b)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right),$$

$r(A)=r(A\,|\,b)=1<3$，无穷多解。$x_1=1-x_2-x_3$，自由变量 $x_2,x_3$。特解（$x_2=x_3=0$）：$(1,0,0)^T$；基础解系：$(-1,1,0)^T$、$(-1,0,1)^T$。通解

$$x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad k_1,k_2\ \text{任意}.$$

第 4 步，$\lambda=-2$：

$$\left(\begin{array}{ccc|c}-2&1&1&1\\1&-2&1&-2\\1&1&-2&4\end{array}\right) \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_3} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&4\\1&-2&1&-2\\-2&1&1&1\end{array}\right) \xrightarrow[r_3+2r_1]{r_2-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&4\\0&-3&3&-6\\0&3&-3&9\end{array}\right) \xrightarrow{r_3+r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&4\\0&-3&3&-6\\0&0&0&3\end{array}\right).$$

$r(A)=2\neq r(A\,|\,b)=3$，无解。

结论：$\lambda\neq1,-2$ 时唯一解；$\lambda=-2$ 时无解；$\lambda=1$ 时无穷多解，通解如上。

例题 7（非方阵思路：参数在常数列里）#

讨论 $a,b$ 取何值时，方程组 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+2x_2+3x_3=3\\ 2x_1+3x_2+ax_3=b\end{cases}$ 无解、有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求通解。

解：两个参数，其中 $b$ 在常数列里，用行列式只能管住 $a$，所以直接对增广矩阵做行变换更清楚（注意只做加减，不除以含参数的数）：

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&2&3&3\\2&3&a&b\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-2r_1]{r_2-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&1&2&2\\0&1&a-2&b-2\end{array}\right) \xrightarrow{r_3-r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&1&2&2\\0&0&a-4&b-4\end{array}\right).$$

盯住最后一行 $(0,0,a-4\,|\,b-4)$ 分情况：

• $a\neq4$：最后一行主元 $a-4\neq0$，$r(A)=r(A\,|\,b)=3$，唯一解（$b$ 取什么都行）。
• $a=4,\ b\neq4$：最后一行变成 $(0,0,0\,|\,b-4)$，即"$0=b-4\neq0$"，$r(A)=2<r(A\,|\,b)=3$，无解。
• $a=4,\ b=4$：最后一行全为 0，$r(A)=r(A\,|\,b)=2<3$，无穷多解。继续化最简：$r_1-r_2$ 得 $(1,0,-1\,|\,-1)$，所以

$$\begin{cases}x_1=-1+x_3\\ x_2=2-2x_3\end{cases}$$

特解 $(-1,2,0)^T$，基础解系 $(1,-2,1)^T$，通解 $x=(-1,2,0)^T+k(1,-2,1)^T$。

检验特解：$-1+2+0=1$ ✓；$-1+4=3$ ✓；$-2+6=4=b$ ✓。

易错点 ⚠️#

• 化阶梯形时不要随便除以含参数的式子（比如除以 $\lambda-1$），因为它可能等于 0。要除就先说明"当 $\lambda\neq1$ 时"。
• 让 $|A|=0$ 的参数值要逐个代回去判断，不能想当然地认为"行列式为 0 就无解"。
• 结论要分三类写全，漏一类扣分。

---

五、概念辨析：判定定理的"能推/不能推"#

大白话#

选择题最爱考这几句话的真假。记住一个核心：齐次方程组只管"解的自由度"，管不了"有没有解"；"有没有解"是 $b$ 和 $A$ 一起决定的。

逐条分析#

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵：

1. "$Ax=0$ 只有零解 ⇒ $Ax=b$ 有唯一解"——错。 $Ax=0$ 只有零解说明 $r(A)=n$，但 $Ax=b$ 可能根本无解（例如 $m>n$ 时 $b$ 选得不好，例题 1 那种矛盾）。正确说法：若 $Ax=b$ 有解，则解唯一。
2. "$Ax=0$ 有非零解 ⇒ $Ax=b$ 有无穷多解"——错。 同理，可能无解。
3. "$Ax=b$ 有无穷多解 ⇒ $Ax=0$ 有非零解"——对。 两个不同的解相减就是非零的齐次解。
4. "$Ax=b$ 有唯一解 ⇒ $Ax=0$ 只有零解"——对。 否则唯一解加上非零齐次解又是一个解。
5. "$r(A)=m$（行满秩）⇒ $Ax=b$ 对任何 $b$ 都有解"——对。 因为增广矩阵只有 $m$ 行，$m=r(A)\le r(A\,|\,b)\le m$，两秩被夹成相等。
6. "$m<n$ ⇒ $Ax=b$ 有无穷多解"——错。 只能保证 $Ax=0$ 有非零解；$Ax=b$ 仍可能无解（比如两个方程 $x_1+x_2+x_3=1$ 与 $x_1+x_2+x_3=2$）。

例题 8（选择题式辨析）#

设 $A$ 为 $4\times3$ 矩阵，$r(A)=3$，$b\neq0$。下列说法正确的是哪一个？ (A) $Ax=b$ 一定有唯一解；(B) $Ax=b$ 一定无解；(C) $Ax=0$ 只有零解；(D) $Ax=b$ 有无穷多解。

解：$r(A)=3=n$，所以 $Ax=0$ 只有零解，(C) 对。$Ax=b$ 是否有解要看 $r(A\,|\,b)$ 是 3 还是 4，题目没给，所以 (A)(B) 都不一定；(D) 不可能（$r=n$ 时不会无穷多解）。答案 (C)。

易错点 ⚠️#

• "有解"的判断必须带上 $b$；只说 $r(A)$ 而不说 $r(A\,|\,b)$，非齐次方程组的结论通常下不了。
• 唯一 ⇔ $r=n$（未知数个数），不是 $r=m$。

---

六、答题模板：大题怎么写才不丢步骤分#

含参数方程组的大题，阅卷看的是"判定依据 + 分类完整 + 通解规范"。推荐这样组织答案（以方阵为例）：

1. 写出系数行列式并因式分解：$|A|=\cdots=(\ \ )(\ \ )^2$。
2. 唯一解情形：当参数 $\neq\cdots$ 时，$|A|\neq0$，由克拉默法则知方程组有唯一解。（若题目要求，写出解。）
3. 逐个代入特殊值：当参数 $=\cdots$ 时，对增广矩阵作初等行变换 $\to$（写出行阶梯形）。
   • 若 $r(A)\neq r(A\,|\,b)$：写"$r(A)=\_\_<r(A\,|\,b)=\_\_$，方程组无解"；
   • 若 $r(A)=r(A\,|\,b)<n$：写"方程组有无穷多解"，继续化行最简形，写出同解方程组、特解、基础解系，最后写"通解为 $x=\eta^*+k_1\xi_1+\cdots$，$k_1,\dots$ 为任意常数"。
4. 总结一句：分别列出唯一解、无解、无穷多解对应的参数值。

几个让答案"更稳"的小习惯：

• 写出通解后，把特解代回原方程组、把基础解系代回齐次方程组各检查一次，十秒钟就能发现移项变号的错误。
• 行变换的每一步都标注（如 $r_2-r_1$），万一算错，阅卷老师也能看到你的方法是对的。
• 参数出现在主元位置时，先说"当 $\cdots\neq0$ 时"，再除。

---

公式/结论速记卡#

内容	结论
非齐次有解	$r(A)=r(A,
唯一解	$r(A)=r(A,
无穷多解	$r(A)=r(A,
无解	$r(A)<r(A,
行满秩	$r(A)=m$ ⇒ 对任意 $b$ 有解
解的性质	$\eta_1-\eta_2$ 解 $Ax=0$；$\eta+\xi$ 解 $Ax=b$
系数和规则	$\sum k_i\eta_i$：和为 1 → 解 $Ax=b$；和为 0 → 解 $Ax=0$
通解结构	$\eta^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$（特解前不加 $k$）
求特解	自由变量全取 0，读最后一列
含参数（方阵）	先算 $
含参数（一般）	增广矩阵只做加减消元，盯住最后一行分情况
辨析	齐次只管自由度，不管有没有解

---

自测练习#

1. 判断 $\begin{cases}x_1+2x_2=3\\ 2x_1+4x_2=6\\ x_1-x_2=0\end{cases}$ 的解的情况，有解则求出。

答案与提示

$\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\2&4&6\\1&-1&0\end{array}\right)\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\0&0&0\\0&-3&-3\end{array}\right)$，交换第 2、3 行后为阶梯形，$r(A)=r(A\,|\,b)=2=n$，唯一解。$-3x_2=-3\Rightarrow x_2=1$，$x_1=3-2=1$。解为 $(1,1)^T$。（第 2 个方程是第 1 个的 2 倍，是"多余"的。）

2. 设系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&1&1\\3&0&3\end{pmatrix}$。(1) 当 $b=(1,2,4)^T$ 时，$Ax=b$ 是否有解？(2) 当 $b=(1,2,3)^T$ 时呢？若有解求通解。

答案与提示

$A$ 的第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行，$r(A)=2$。 (1) $1+2=3\neq4$，出现"$0=1$"，无解。 (2) $1+2=3$，相容，无穷多解。行最简形 $\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&1\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)$，通解 $x=(1,0,0)^T+k(-1,1,1)^T$。

3. 求 $\begin{cases}x_1-x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-3x_4=1\\ x_1-x_2-2x_3+3x_4=-\frac12\end{cases}$ 的通解。

答案与提示

行最简形 $\left(\begin{array}{cccc|c}1&-1&0&-1&\frac12\\0&0&1&-2&\frac12\\0&0&0&0&0\end{array}\right)$，主元在第 1、3 列，自由变量 $x_2,x_4$。$x_1=\frac12+x_2+x_4,\ x_3=\frac12+2x_4$。 特解 $\left(\frac12,0,\frac12,0\right)^T$；基础解系 $(1,1,0,0)^T$、$(1,0,2,1)^T$。通解 $x=\left(\frac12,0,\frac12,0\right)^T+k_1(1,1,0,0)^T+k_2(1,0,2,1)^T$。

4. 设 $\eta_1,\eta_2$ 是 $Ax=b\ (b\neq0)$ 的两个不同的解，判断下列向量哪些是 $Ax=b$ 的解，哪些是 $Ax=0$ 的解：$\eta_1-\eta_2$，$\eta_1+\eta_2$，$\dfrac{\eta_1+\eta_2}{2}$，$3\eta_1-2\eta_2$。

答案与提示

看系数之和：$\eta_1-\eta_2$（和 0）解 $Ax=0$；$\eta_1+\eta_2$（和 2）两者都不是；$\frac{\eta_1+\eta_2}{2}$（和 1）解 $Ax=b$；$3\eta_1-2\eta_2$（和 1）解 $Ax=b$。

5. 设 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，$r(A)=2$，$\eta_1=(1,2,3)^T$、$\eta_2=(2,3,4)^T$ 是 $Ax=b$ 的两个解，写出 $Ax=b$ 的通解。

答案与提示

$n-r=1$。$\eta_2-\eta_1=(1,1,1)^T\neq0$ 是 $Ax=0$ 的解，可作基础解系。通解 $x=(1,2,3)^T+k(1,1,1)^T$。

6. 讨论 $a$ 取何值时，方程组 $\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=1\\ 2x_1+3x_2+(a+2)x_3=3\\ x_1+ax_2-2x_3=0\end{cases}$ 有唯一解、无解、无穷多解，并在无穷多解时求通解。

答案与提示

$|A|=-(a-3)(a+1)$。

• $a\neq3$ 且 $a\neq-1$：唯一解（$x_1=\frac{a+2}{a+1},x_2=-\frac{1}{a+1},x_3=\frac{1}{a+1}$）。
• $a=-1$：$r(A)=2$，$r(A\,|\,b)=3$，无解。
• $a=3$：行最简形 $\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&7&3\\0&1&-3&-1\\0&0&0&0\end{array}\right)$，通解 $x=(3,-1,0)^T+k(-7,3,1)^T$。

7. 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，判断对错：(1) 若 $Ax=0$ 只有零解，则 $Ax=b$ 有唯一解；(2) 若 $Ax=b$ 有两个不同的解，则 $Ax=0$ 有无穷多解；(3) 若 $r(A)=m$，则 $Ax=b$ 必有解；(4) 若 $m<n$，则 $Ax=b$ 必有无穷多解。

答案与提示

(1) 错，可能无解；(2) 对，两解之差是非零齐次解，再乘任意常数就有无穷多个；(3) 对，行满秩时两秩被夹成相等；(4) 错，可能无解。

8. 讨论 $\lambda$ 取何值时，$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=\lambda\\ x_1+\lambda x_2+x_3=1\\ x_1+x_2+\lambda x_3=1\end{cases}$ 无解、唯一解、无穷多解（无穷多解时求通解）。

答案与提示

$|A|$：第 2、3 行各减第 1 行得 $\begin{vmatrix}1&1&1\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2$。

• $\lambda\neq1$：唯一解。
• $\lambda=1$：三个方程都变成 $x_1+x_2+x_3=1$，$r(A)=r(A\,|\,b)=1<3$，无穷多解，通解 $(1,0,0)^T+k_1(-1,1,0)^T+k_2(-1,0,1)^T$。 本题不存在无解的情况——不是每道含参数题都三种情况俱全。

9. 讨论 $a,b$ 取何值时，$\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=2\\ 2x_1+3x_2+3x_3=5\\ x_1+x_2+ax_3=b\end{cases}$ 无解、唯一解、无穷多解，并在无穷多解时求通解。

答案与提示

$r_2-2r_1$ 得 $(0,-1,1\,|\,1)$；$r_3-r_1$ 得 $(0,-1,a-1\,|\,b-2)$；再 $r_3-r_2$ 得 $(0,0,a-2\,|\,b-3)$。

• $a\neq2$：唯一解；
• $a=2,\ b\neq3$：出现"$0=b-3\neq0$"，无解；
• $a=2,\ b=3$：$r(A)=r(A\,|\,b)=2<3$，由 $-x_2+x_3=1$ 得 $x_2=x_3-1$，代入第一式得 $x_1=4-3x_3$。通解 $x=(4,-1,0)^T+k(-3,1,1)^T$。检验特解：$4-2=2$ ✓，$8-3=5$ ✓，$4-1=3$ ✓。

---

下一讲预告#

第 19 讲（上）进入特征值与特征向量：找出矩阵作用下"只伸缩、不转向"的特殊方向——求特征向量时，你会发现本讲的"解齐次方程组"天天都在用。