考研数学二·零基础讲义 第18讲（上）｜线性方程组：高斯消元与齐次方程组

考研数学二·零基础讲义 · 第 18 讲（上）｜线性方程组：高斯消元与齐次方程组

学完这一讲，你能把任何线性方程组写成矩阵形式，用初等行变换把它化成行阶梯形、行最简形，判断齐次方程组 $Ax=0$ 有没有非零解，并熟练求出基础解系和通解。预计用时：3 小时（含练习）。第 18 讲分上、下两篇，下篇讲非齐次方程组 $Ax=b$。

本讲地图#

• 学什么：方程组的矩阵形式 $Ax=0$、$Ax=b$；高斯消元（行阶梯形、行最简形）；克拉默法则回顾；齐次方程组有非零解的条件；基础解系与通解（自由变量怎么选）；"$AB=O$"与解的关系。
• 考研怎么考：求基础解系几乎是线性代数每道大题的"零件"（下一讲求特征向量就是在求基础解系）；小题常考"基础解系含几个向量""某组向量是不是基础解系""$AB=O$ 推秩的关系"。
• 大纲要求：会用克拉默法则；理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
• 一句话主线：系数矩阵化行最简形 → 数秩 $r$ → 选 $n-r$ 个自由变量 → 轮流取 1 得基础解系 → 写通解。

前置知识#

• 行列式的计算、克拉默法则（见第 15 讲）。
• 矩阵乘法、初等行变换、矩阵的秩（见第 16 讲）。
• 线性相关/无关、向量组的秩（见第 17 讲）。

如果你对"秩"还有点虚，先回看第 16 讲的"秩 = 行阶梯形里非零行的个数"这一句，本讲会反复用到。

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一、方程组的矩阵形式：把一堆方程"打包"#

大白话#

中学解方程组，是一个个方程写出来，加加减减。可是方程一多、未知数一多，写起来就很乱。线性代数的做法是：把系数全部抽出来排成一张表（矩阵），把未知数排成一列，把右边的常数也排成一列。这样一大堆方程就变成了一个式子 $Ax=b$，就像把散装的东西装进一个箱子，搬起来方便多了。

正式写法#

一般的 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \qquad\cdots\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$$

记

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\quad x=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix},$$

方程组就写成

$$Ax=b.$$

逐行拆解#

• $a_{ij}$：读作"a i j"，第 $i$ 个方程里 $x_j$ 前面的系数。下标先行后列。
• $A$ 叫系数矩阵，是 $m\times n$ 的（$m$ 行 $n$ 列，行数 = 方程个数，列数 = 未知数个数）。
• $x$ 是未知数列向量，$b$ 是常数项列向量。
• 若 $b=0$（右边全是 0），叫齐次方程组 $Ax=0$；若 $b\neq 0$，叫非齐次方程组。
• 把 $b$ 拼到 $A$ 的右边得到 $(A\,|\,b)$，叫增广矩阵，读作"A 增广 b"，有的书记作 $\overline{A}$。它是 $m\times(n+1)$ 的，包含了方程组的全部信息。
• 还有一种"列向量"视角：设 $A$ 的列为 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，则 $Ax=b$ 就是 $x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=b$。所以"方程组有解"⇔"$b$ 能由 $A$ 的列向量组线性表示"（第 17 讲的语言）。

例题 1（写成矩阵形式）#

把 $\begin{cases}x+y+z=6\\ x-y+2z=5\\ 2x+y-z=1\end{cases}$ 写成矩阵形式，并写出增广矩阵。

解：

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&2\\2&1&-1\end{pmatrix},\quad x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix},\quad (A\,|\,b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\1&-1&2&5\\2&1&-1&1\end{array}\right).$$

易错点 ⚠️#

• 缺项要补 0！比如方程里没有 $x_2$，那一格系数写 0，不能空着、也不能把后面的数往前挪。
• 未知数的顺序要统一，每一列对应同一个未知数。

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二、高斯消元：行阶梯形与行最简形#

大白话#

中学的"加减消元"本质就是三种操作：①交换两个方程；②某个方程乘一个非零数；③把一个方程的若干倍加到另一个方程上。这三种操作不改变方程组的解。把它们搬到增广矩阵上，就是第 16 讲的初等行变换。

高斯消元的目标是把矩阵变成"楼梯"形状：越往下，开头的 0 越多，像一级一级的台阶。到了这一步，从最后一个方程往上"回代"就能解出来。

正式定义#

行阶梯形矩阵：

1. 全零行（如果有）都在最下面；
2. 每个非零行的第一个非零元（叫主元或首非零元）所在的列，严格位于上一行主元的右边。

行最简形矩阵：在行阶梯形基础上再要求 3. 每个主元都是 1； 4. 主元所在的列，除了主元本身，其余元素全是 0。

逐行拆解#

• "主元"：每一级台阶最左边那个非零数。主元的个数 = 非零行的个数 = 矩阵的秩。
• 行阶梯形不唯一（化法不同结果可以不同），但行最简形是唯一的，而且主元个数总是一样的。
• 行最简形最好用：每个主元变量可以直接用其他变量表示出来，不用回代。
• 记号：变换过程写成 $\xrightarrow{r_2-r_1}$，读作"第二行减去第一行"。$r_i\leftrightarrow r_j$ 表示交换，$k r_i$ 表示第 $i$ 行乘 $k$。

例题 2（唯一解，完整消元）#

解例题 1 的方程组。

解：对增广矩阵做初等行变换。

第一步，用第 1 行把第 1 列下面的数消成 0：

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\1&-1&2&5\\2&1&-1&1\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-2r_1]{r_2-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-2&1&-1\\0&-1&-3&-11\end{array}\right).$$

第二步，为了避免分数，先交换第 2、3 行，再把第 2 行乘 $-1$：

$$\xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-1&-3&-11\\0&-2&1&-1\end{array}\right) \xrightarrow{-r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&3&11\\0&-2&1&-1\end{array}\right).$$

第三步，消第 2 列下面的数：

$$\xrightarrow{r_3+2r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&3&11\\0&0&7&21\end{array}\right).$$

这已经是行阶梯形了。继续化成行最简形：$r_3\div 7$ 得 $z$ 那一行为 $(0,0,1\,|\,3)$；再 $r_2-3r_3$、$r_1-r_3$、$r_1-r_2$：

$$\xrightarrow{\cdots} \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right).$$

所以 $x=1,\ y=2,\ z=3$。代回原方程检查：$1+2+3=6$ ✓，$1-2+6=5$ ✓，$2+2-3=1$ ✓。

易错点 ⚠️#

• 解方程组只能做行变换，不能做列变换！列变换会把未知数的位置搞乱。（求秩时行列都可以，解方程组只能行。）
• 一步里同时做几个变换时，都以"变换前"的矩阵为准，别拿刚改过的行去改别的行又忘了改动。初学者宁可一步一步来。
• 这一题系数行列式不为 0，也可以用克拉默法则（第 15 讲），但三元以上用消元法计算量小得多。

例题 3（只化形、求秩，练手感）#

把矩阵 $B=\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\2&4&1&0\\1&2&2&-3\end{pmatrix}$ 化成行最简形，并指出主元所在的列和 $r(B)$。

解：

第 1 步，用第 1 行消去第 1 列下面的数：

$$B\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&0&3&-6\\0&0&3&-6\end{pmatrix}.$$

注意：第 2 行的第 2 个数也变成了 0，所以第 2 行的主元"跳"到了第 3 列——台阶可以一次跨好几格，这完全正常。

第 2 步，消第 3 列下面的数：

$$\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&0&3&-6\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

这是行阶梯形，非零行 2 行，所以 $r(B)=2$。

第 3 步，化行最简形：第 2 行除以 3 得 $(0,0,1,-2)$，再把它加到第 1 行（$r_1+r_2$）消掉第 1 行第 3 列的 $-1$：

$$\xrightarrow[r_1+r_2]{\frac13r_2}\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

主元在第 1、3 列。如果 $B$ 是某个齐次方程组的系数矩阵，那么 $x_1,x_3$ 是主变量，$x_2,x_4$ 是自由变量——这一点第五节会用到。

易错点 ⚠️（化行最简形的小技巧）#

• 先消"下面"再消"上面"：从左到右把每列主元下方清零得到阶梯形，再从右到左把主元上方清零得到最简形，顺序清楚就不容易乱。
• 能交换行就先交换，让主元是 1 或 $-1$，可以少算很多分数。
• 每一步写清楚用了哪个变换（$r_2-2r_1$ 之类），检查时能一眼定位错误。

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三、克拉默法则回顾：方阵且行列式不为零时的"公式解"#

大白话#

第 15 讲学过克拉默法则：方程个数 = 未知数个数，而且系数行列式不为 0 时，解可以用行列式直接"套公式"写出来。它的好处是公式漂亮、适合理论推导和含参数讨论；坏处是三元以上计算量大。考研要求"会用"，一般用在 2、3 元的小题里。

正式结论#

若 $n$ 元方程组 $Ax=b$ 的系数行列式 $D=|A|\neq0$，则它有唯一解

$$x_j=\frac{D_j}{D},\qquad j=1,2,\dots,n,$$

其中 $D_j$ 是把 $D$ 的第 $j$ 列换成常数列 $b$ 后得到的行列式。

逐行拆解#

• $D$ 读作"大 D"，就是系数行列式；$D_j$ 是"把第 $j$ 列换成右边那一列"。
• 前提有两个：方阵、$D\neq0$。缺一个都不能用。
• 对齐次方程组 $Ax=0$：$D\neq0$ 时唯一解就是零解；所以齐次方程组要有非零解，必须 $D=0$（这正是下一节结论的方阵版）。

例题 4（克拉默法则）#

用克拉默法则解 $\begin{cases}3x+2y=7\\ x-y=-1\end{cases}$。

解：

$$D=\begin{vmatrix}3&2\\1&-1\end{vmatrix}=-3-2=-5\neq0,$$ $$D_1=\begin{vmatrix}7&2\\-1&-1\end{vmatrix}=-7+2=-5,\qquad D_2=\begin{vmatrix}3&7\\1&-1\end{vmatrix}=-3-7=-10.$$

所以 $x=\dfrac{D_1}{D}=1$，$y=\dfrac{D_2}{D}=2$。检验：$3+4=7$ ✓，$1-2=-1$ ✓。

易错点 ⚠️#

• $D_1$ 换的是第 1 列（$x$ 的系数那一列），$D_2$ 换的是第 2 列，别换成行。
• $D=0$ 时克拉默法则失效，并不代表无解——要回到消元法、看秩（见第 18 讲下篇）。

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四、齐次方程组 $Ax=0$：什么时候有非零解#

大白话#

齐次方程组 $Ax=0$ 永远有一个"白给"的解：$x=0$（全取 0），叫零解。所以它从来不会"无解"，问题只在于：除了零解，还有没有别的解？

想象你有 $n$ 个未知数，就像有 $n$ 个可以自由转动的旋钮；每一个"真正有用"的方程会锁死一个旋钮。真正有用的方程有几个？就是 $r(A)$ 个（多余的方程能被别的方程组合出来，不算数）。如果 $r(A)<n$，就还剩 $n-r(A)$ 个旋钮能自由转，自然就有无穷多个解，其中当然有非零解。

图 1：两个未知数的齐次方程组：每个方程是一条过原点的直线。两线只交于原点 ⇒ 只有零解；两线重合 ⇒ 整条线都是解

正式结论#

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则

$$Ax=0\ \text{有非零解}\iff r(A)<n;\qquad Ax=0\ \text{只有零解}\iff r(A)=n.$$

特别地：

• 当 $A$ 是方阵（$m=n$）时，$Ax=0$ 有非零解 $\iff |A|=0$。
• 当 $m<n$（方程个数少于未知数个数）时，必有 $r(A)\le m<n$，所以一定有非零解。

逐行拆解#

• $\iff$ 读作"当且仅当"，意思是左右两边互相能推出。
• $r(A)$ 读作"A 的秩"。$n$ 是未知数个数（= $A$ 的列数），不是方程个数！
• 方阵情形：$r(A)<n$ 和 $|A|=0$ 是一回事（第 16 讲：方阵满秩 ⇔ 行列式不为零 ⇔ 可逆）。
• 列向量视角：$Ax=0$ 有非零解 ⇔ $x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=0$ 有不全为 0 的系数 ⇔ $A$ 的列向量组线性相关。

例题 5（判断是否有非零解）#

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\end{cases}$ 有没有非零解？

解：2 个方程、4 个未知数，$m=2<n=4$，直接判断：一定有非零解。（下面一节会把它们全部求出来。）

例题 6（含参数的齐次方程组）#

$k$ 取何值时，齐次方程组 $\begin{cases}kx_1+x_2+x_3=0\\ x_1+kx_2+x_3=0\\ x_1+x_2+kx_3=0\end{cases}$ 有非零解？并求出非零解。

解：

第 1 步，方阵，用行列式判断。每行之和都是 $k+2$，把第 2、3 列加到第 1 列，提出 $k+2$，再用第 1 行去减其余各行：

$$|A|=(k+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{vmatrix}=(k+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&k-1&0\\0&0&k-1\end{vmatrix}=(k+2)(k-1)^2.$$

有非零解 $\iff|A|=0\iff k=1$ 或 $k=-2$。

第 2 步，$k=1$：三个方程都是 $x_1+x_2+x_3=0$，$r(A)=1$，自由变量 $x_2,x_3$，基础解系 $(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T$，通解 $k_1(-1,1,0)^T+k_2(-1,0,1)^T$。

第 3 步，$k=-2$：

$$A=\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&1&1\\1&1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2+2r_1}\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&-3&3\\0&3&-3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

（最后一步：$r_3+r_2$，$r_2\div(-3)$，$r_1+2r_2$。）$r(A)=2$，$x_1=x_3,\ x_2=x_3$，基础解系 $(1,1,1)^T$，通解 $k(1,1,1)^T$。

检验：$(1,1,1)$ 代入第一个方程 $-2+1+1=0$ ✓。

易错点 ⚠️#

• "方程个数 ≥ 未知数个数"不能推出只有零解，要看秩。多出来的方程可能是"重复"的。
• 不要把 $n$ 记成方程个数 $m$。判定永远拿秩和未知数个数比。

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五、基础解系与通解：把无穷多个解"一网打尽"#

大白话#

齐次方程组有非零解时，解有无穷多个。我们不可能一个个列出来，怎么办？

关键事实：齐次方程组的解，加起来还是解；乘一个数还是解。 所以只要找出几个"骨干"解，其余所有的解都能由它们"搭积木"拼出来。这组骨干就叫基础解系，它就像一套乐高的基础零件：零件不多不少（彼此独立、没有多余），但能拼出所有作品。

图 2：三个未知数、两个方程的齐次方程组：两个过原点的平面交成一条过原点的直线，全部解就是 kξ（动画循环播放）

正式定义与结论#

若 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 满足：

1. 它们都是 $Ax=0$ 的解；
2. 它们线性无关；
3. $Ax=0$ 的任一解都能由它们线性表示，

则称 $\xi_1,\dots,\xi_s$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系。并且

$$s=n-r(A),$$

$Ax=0$ 的通解为

$$x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r},\qquad k_1,\dots,k_{n-r}\ \text{为任意常数}.$$

逐行拆解#

• $\xi$ 读作"克西"（xi），专门用来表示齐次方程组的解向量。
• $s=n-r(A)$：基础解系里向量的个数 = 未知数个数 − 秩 = 自由变量的个数。这个公式考研极常用。
• "通解"就是"全部解的统一表达式"。$k_i$ 取遍所有实数，就得到所有解。
• 基础解系不唯一（同一个方程组可以有很多组不同的基础解系），但个数 $n-r(A)$ 是固定的。

怎么求：自由变量怎么选（核心操作）#

1. 把系数矩阵 $A$ 用初等行变换化成行最简形（齐次方程组右边全是 0，不用写增广列）。
2. 主元所在列对应的未知数叫"主变量"，其余的叫"自由变量"。自由变量个数 = $n-r$。
3. 把主变量用自由变量表示出来（行最简形每一行正好给出一个主变量的表达式）。
4. 让自由变量轮流取 1、其余取 0，算出主变量，得到 $n-r$ 个解向量，它们就是一个基础解系。

为什么"轮流取 1"？因为这样得到的向量在自由变量的位置上分别是 $(1,0,\dots)$、$(0,1,\dots)$……天然线性无关，省得再验证。

例题 7（求基础解系和通解）#

求例题 5 中方程组的基础解系与通解。

解：

第 1 步，化行最简形：

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1} \begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-r_2} \begin{pmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&2&3\end{pmatrix}.$$

第 2 步，数秩、选自由变量：$r(A)=2$，$n=4$，基础解系含 $4-2=2$ 个向量。主元在第 1、2 列，所以 $x_1,x_2$ 是主变量，$x_3,x_4$ 是自由变量。

第 3 步，写出同解方程组（把行最简形翻译回方程）：

$$\begin{cases}x_1=x_3+2x_4\\ x_2=-2x_3-3x_4\end{cases}$$

注意移项变号：第一行是 $x_1-x_3-2x_4=0$，所以 $x_1=x_3+2x_4$。

第 4 步，自由变量轮流取 1：

• 取 $x_3=1,x_4=0$：$x_1=1,\ x_2=-2$，得 $\xi_1=(1,-2,1,0)^T$；
• 取 $x_3=0,x_4=1$：$x_1=2,\ x_2=-3$，得 $\xi_2=(2,-3,0,1)^T$。

通解：

$$x=k_1\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\1\end{pmatrix},\quad k_1,k_2\in\mathbb{R}.$$

验证：把 $\xi_1$ 代入第二个方程，$1-4+3+0=0$ ✓。（上标 $T$ 读作"转置"，$(1,-2,1,0)^T$ 就是把这一行竖起来写成列向量。）

例题 8（主元不在前几列：自由变量要看清）#

求 $\begin{cases}x_1+2x_2+x_4=0\\ 2x_1+4x_2+x_3+3x_4=0\\ x_1+2x_2+x_3+2x_4=0\end{cases}$ 的基础解系与通解。

解：

第 1 步，化行最简形：

$$A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&3\\1&2&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

第 2 步，主元在第 1、3 列，所以主变量是 $x_1,x_3$，自由变量是 $x_2,x_4$（不是 $x_3,x_4$！）。$r(A)=2$，基础解系含 $4-2=2$ 个向量。

第 3 步，同解方程组：$x_1=-2x_2-x_4,\quad x_3=-x_4$。

第 4 步，自由变量轮流取 1：

• $x_2=1,x_4=0$：$x_1=-2,\ x_3=0$，$\xi_1=(-2,1,0,0)^T$；
• $x_2=0,x_4=1$：$x_1=-1,\ x_3=-1$，$\xi_2=(-1,0,-1,1)^T$。

通解 $x=k_1(-2,1,0,0)^T+k_2(-1,0,-1,1)^T$，$k_1,k_2$ 任意。

检验 $\xi_2$：第二个方程 $-2+0-1+3=0$ ✓。

为什么不能选 $x_3,x_4$ 当自由变量？ 因为第 2 行告诉我们 $x_3=-x_4$，$x_3$ 被 $x_4$"绑死"了，两者不能同时自由取值。规律：永远选非主元列当自由变量。

例题 9（判断一组向量是不是基础解系）#

设 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系。问：(1) $\xi_1+\xi_2,\ \xi_2+\xi_3,\ \xi_3+\xi_1$ 是不是基础解系？(2) $\xi_1-\xi_2,\ \xi_2-\xi_3,\ \xi_3-\xi_1$ 呢？

解：判断"是不是基础解系"要过三关：①都是解；②线性无关；③个数等于 $n-r$。新的三个向量都是解的线性组合，所以①成立；原来是 3 个，现在也是 3 个，③成立。关键看②。

(1) 把新向量用旧向量表示，系数排成矩阵（按列写）：

$$(\xi_1+\xi_2,\ \xi_2+\xi_3,\ \xi_3+\xi_1)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=2\neq0.$$

系数矩阵可逆，所以新向量组线性无关（第 17 讲），是基础解系。

(2) 注意 $(\xi_1-\xi_2)+(\xi_2-\xi_3)+(\xi_3-\xi_1)=0$，三者线性相关（对应系数行列式为 0），不是基础解系。

易错点 ⚠️#

• 移项变号是最常见的低级错误：行最简形里写的是"$-1$"，表达式里就是"$+x_3$"。
• 自由变量不是随便挑的：通常选非主元列对应的变量，这样一定行得通。
• 写通解别忘了"$k_1,k_2$ 为任意常数"这句话，阅卷时这是步骤分。
• 基础解系个数算错（用方程个数减秩）是概念性错误，一定是 $n-r$。

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六、一个重要应用：$AB=O$ 时说明了什么#

大白话#

如果 $AB=O$（零矩阵），把 $B$ 按列拆开 $B=(\beta_1,\dots,\beta_s)$，那么 $AB=(A\beta_1,\dots,A\beta_s)=O$，也就是说 $B$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解。而 $Ax=0$ 的解最多只有 $n-r(A)$ 个线性无关的，所以 $B$ 的列向量组的秩不会超过 $n-r(A)$。

正式结论#

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵，若 $AB=O$，则

$$r(A)+r(B)\le n.$$

特别地，若 $B\neq O$，则 $Ax=0$ 有非零解，从而 $r(A)<n$；当 $A$ 是方阵时，$|A|=0$。

逐行拆解#

• $O$ 读作"零矩阵"，所有元素都是 0。
• $B$ 的列是 $Ax=0$ 的解，所以 $r(B)\le$ 基础解系个数 $=n-r(A)$，移项就是 $r(A)+r(B)\le n$。
• 这个不等式在选择题里常用来"夹"秩：再配合 $r(A)\ge1$（$A\ne O$）之类的条件就能定出具体值。

例题 10（由 $AB=O$ 求参数）#

设 $A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&-1&t\\3&1&-1\end{pmatrix}$，$B$ 为 3 阶非零矩阵，且 $AB=O$，求 $t$。

解：$B\neq O$，所以 $B$ 至少有一列是非零向量，它是 $Ax=0$ 的非零解，于是 $|A|=0$。按第 1 行展开：

$$|A|=1\cdot(1-t)-2\cdot(-2-3t)+(-2)\cdot(2+3)=1-t+4+6t-10=5t-5.$$

令 $5t-5=0$，得 $t=1$。进一步，$t=1$ 时 $r(A)=2$（前两行不成比例），由 $r(A)+r(B)\le3$ 还知道 $r(B)=1$。

易错点 ⚠️#

• $AB=O$ 推不出 $A=O$ 或 $B=O$（矩阵乘法没有"消去律"），能推出的只是秩的不等式。
• 记住是 $B$ 的列是 $A$ 的解（$A$ 在左边）。如果是 $BA=O$，就要倒过来说 $A$ 的列是 $Bx=0$ 的解。

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公式/结论速记卡#

内容	结论
矩阵形式	$Ax=b$，增广矩阵 $(A,
允许的变换	解方程组只用初等行变换
行阶梯形	零行在下，主元逐行右移；主元个数 = 秩
行最简形	主元为 1，主元列其余元素为 0；唯一
克拉默法则	方阵且 $D\neq0$：$x_j=D_j/D$
齐次有非零解	$r(A)<n$；方阵 ⇔ $
只有零解	$r(A)=n$；列向量组线性无关
基础解系个数	$n-r(A)$ = 自由变量个数（$n$ 是列数）
自由变量	选非主元列对应的变量
齐次通解	$k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$，$k_i$ 任意
基础解系三关	是解、线性无关、个数为 $n-r$
$AB=O$	$B$ 的列是 $Ax=0$ 的解；$r(A)+r(B)\le n$
求解口诀	化最简 → 数秩 → 选自由变量 → 轮流取 1 → 写通解

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自测练习#

1. 把 $\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\2&-2&5&4\\-1&1&-1&1\end{pmatrix}$ 化为行最简形，并求秩。

答案与提示

$r_2-2r_1$ 得 $(0,0,1,2)$；$r_3+r_1$ 得 $(0,0,1,2)$；$r_3-r_2$ 得零行；$r_1-2r_2$ 得 $(1,-1,0,-3)$。行最简形 $\begin{pmatrix}1&-1&0&-3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，秩为 2，主元在第 1、3 列。

2. 用克拉默法则解 $\begin{cases}2x+y=5\\ x-3y=-1\end{cases}$。

答案与提示

$D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-3\end{vmatrix}=-7$，$D_1=\begin{vmatrix}5&1\\-1&-3\end{vmatrix}=-14$，$D_2=\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}=-7$。$x=2,\ y=1$。检验 $4+1=5$ ✓，$2-3=-1$ ✓。

3. 求齐次方程组 $\begin{cases}x_1+x_2+2x_3=0\\ 2x_1+3x_2+5x_3=0\\ x_1+2x_2+3x_3=0\end{cases}$ 的基础解系与通解。

答案与提示

$A\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow[r_1-r_2]{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$，$r(A)=2$，基础解系含 1 个向量。$x_1=-x_3,\ x_2=-x_3$，$\xi=(-1,-1,1)^T$，通解 $x=k(-1,-1,1)^T$。

4. 求 $\begin{cases}x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ 2x_1-2x_2+x_3+x_4=0\end{cases}$ 的基础解系与通解。

答案与提示

$\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\2&-2&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\0&0&-1&3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-1&0&2\\0&0&1&-3\end{pmatrix}$。主元在第 1、3 列，自由变量 $x_2,x_4$。$x_1=x_2-2x_4,\ x_3=3x_4$。基础解系 $(1,1,0,0)^T,\ (-2,0,3,1)^T$，通解 $k_1(1,1,0,0)^T+k_2(-2,0,3,1)^T$。

5. $a$ 为何值时 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+ax_2+x_3=0\\ x_1+x_2+ax_3=0\end{cases}$ 有非零解？求出此时的通解。

答案与提示

$|A|$：用第 1 行减第 2、3 行得 $\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{vmatrix}=(a-1)^2$。$a=1$ 时有非零解，此时只剩 $x_1+x_2+x_3=0$，通解 $k_1(-1,1,0)^T+k_2(-1,0,1)^T$。

6. 设 $A$ 是 $4\times5$ 矩阵，$r(A)=3$，则 $Ax=0$ 的基础解系含几个向量？若 $A$ 是 $5\times4$ 矩阵、$r(A)=4$ 呢？

答案与提示

$4\times5$：$n=5$，含 $5-3=2$ 个向量。$5\times4$：$n=4=r(A)$，只有零解，没有基础解系。关键：$n$ 是列数（未知数个数）。

7. 设 $\xi_1,\xi_2$ 是 $Ax=0$ 的基础解系。判断 $\xi_1+\xi_2,\ \xi_1-\xi_2$ 是否也是基础解系；$\xi_1,\ \xi_1+\xi_2,\ \xi_2$ 呢？

答案与提示

(1) 系数矩阵 $\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$，行列式 $-2\neq0$，线性无关，个数 2，是。(2) 3 个向量多于 $n-r=2$，而且 $\xi_1+\xi_2$ 能由另两个表示，线性相关，不是。

8. 设 $A$ 为 $3\times4$ 矩阵，$r(A)=2$，$B$ 为 $4\times3$ 矩阵且 $AB=O$。$r(B)$ 最大可能是多少？

答案与提示

$r(A)+r(B)\le n=4$，所以 $r(B)\le2$，最大为 2（取 $B$ 的两列为 $Ax=0$ 的基础解系、第三列为 0 即可达到）。

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下一讲预告#

第 18 讲（下）处理非齐次方程组 $Ax=b$：什么时候有解、有几个解、通解为什么是"特解 + 齐次通解"，以及考研大题最爱的含参数方程组讨论。