考研数学二·零基础讲义 第17讲（下）｜向量组：极大无关组与秩、内积与正交化

考研数学二·零基础讲义 · 第 17 讲（下）｜向量组：极大无关组与秩、内积与正交化

学完本讲，你能求向量组的极大线性无关组和秩、把其余向量用它表示出来，会判断两个向量组是否等价，并会算内积、做施密特正交化、判断正交矩阵。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 极大线性无关组与向量组的秩：一组向量里"最精干的骨干"有几个。
• 向量组的秩与矩阵的秩：三秩相等（矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩），由此用初等行变换求极大无关组。
• 向量组等价：两组向量能互相表示；判别 $r(A)=r(B)=r(A,B)$。
• 内积、长度、正交：把"长度、夹角、垂直"推广到 $n$ 维。
• 施密特正交化与正交矩阵：把一组线性无关向量"掰直"成两两垂直的单位向量；$Q^TQ=E$ 的矩阵。
• 考研怎么考：求极大无关组并表示其余向量是常见的解答题小问；施密特正交化和正交矩阵是第 19、20 讲（实对称矩阵对角化、正交变换化二次型）的必备工具。
• 大纲要求：了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩；了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系；了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法；正交矩阵属于矩阵部分要求"了解"的特殊矩阵。

前置知识#

• 线性表示、线性相关与线性无关，见第 17 讲（上）。
• 矩阵的秩、初等行变换、行最简形，见第 16 讲（下）。
• 矩阵乘法与转置，见第 16 讲（上）。

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一、极大线性无关组与向量组的秩#

1.1 大白话#

一个篮球队 12 个人，但有些人的技术特点可以被别人组合替代。如果从中挑出几个人，他们彼此不可替代，而且其余每个人都能被他们组合出来，这几个人就是"骨干"——极大线性无关组。骨干的人数，就是向量组的秩。

骨干的人选可能不唯一，但人数是确定的。

1.2 定义#

设向量组 $A$：$\alpha_1,\dots,\alpha_s$。如果能从中选出 $r$ 个向量 $\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}$，满足：

1. $\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}$ 线性无关；
2. 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果有的话）都线性相关，

则称 $\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组（简称极大无关组），$r$ 叫向量组 $A$ 的秩，记作 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$。

逐行拆解：

• 条件 1："自己人之间互不可替代"；
• 条件 2："再多加一个就有多余的了"，等价于：向量组中每个向量都能由这 $r$ 个向量线性表示；
• 只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为 0；
• 向量组线性无关 $\iff$ 它的秩等于向量个数（它自己就是极大无关组）。

例 1（直接观察） 求 $\alpha_1=(1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1)^T$，$\alpha_3=(1,1)^T$ 的秩和极大无关组。

解：任意两个都不成比例，所以任意两个都线性无关；而 3 个 2 维向量必相关。所以秩为 2，而且 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$、$\{\alpha_1,\alpha_3\}$、$\{\alpha_2,\alpha_3\}$ 都是极大无关组。这说明极大无关组不唯一，但秩唯一。

1.3 向量组的秩与矩阵的秩（三秩相等）#

定理：矩阵的秩 = 它的列向量组的秩 = 它的行向量组的秩。

例 2 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$：两行成比例，行向量组的秩为 1；三列 $(1,2)^T,(2,4)^T,(3,6)^T$ 全部成比例，列向量组的秩也为 1；矩阵的秩（化阶梯形 $r_2-2r_1$ 得零行）也是 1。三者相等。

这个定理的用处：求向量组的秩，只要把向量作为列排成矩阵，求矩阵的秩即可。

1.4 求极大无关组的标准步骤#

关键事实：初等行变换不改变矩阵各列之间的线性关系。也就是说，如果变换后第 3 列 = 第 1 列 + 第 2 列，那么变换前也是这样。

步骤：

1. 把向量按列排成矩阵 $A=(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$；
2. 只用初等行变换化为行阶梯形，非零行数就是秩 $r$；
3. 每个非零行首元所在的列，对应的原向量合起来就是一个极大无关组；
4. 若要用极大无关组表示其余向量，继续化成行最简形，非首元列里的数字就是表示系数。

例 3 求 $\alpha_1=(1,1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3,4)^T$，$\alpha_3=(2,3,4,5)^T$，$\alpha_4=(1,0,-1,1)^T$ 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用它线性表示。

解：

第 1 步，按列排：

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&2&3&0\\1&3&4&-1\\1&4&5&1\end{pmatrix}.$$

第 2 步，用第 1 行消第 1 列：$r_2-r_1$，$r_3-r_1$，$r_4-r_1$：

$$\begin{pmatrix}1&1&2&1\\0&1&1&-1\\0&2&2&-2\\0&3&3&0\end{pmatrix}.$$

第 3 步，用第 2 行消第 2 列：$r_3-2r_2$，$r_4-3r_2$：

$$\begin{pmatrix}1&1&2&1\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}.$$

第 4 步，交换第 3、4 行得行阶梯形：

$$\begin{pmatrix}1&1&2&1\\0&1&1&-1\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

非零行 3 行，秩为 3。首元在第 1、2、4 列，所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 是一个极大无关组。

第 5 步，化行最简形：$r_3\times\frac13$ 得 $(0,0,0,1)$；$r_2+r_3$ 得 $(0,1,1,0)$；$r_1-r_3$ 得 $(1,1,2,0)$；$r_1-r_2$ 得 $(1,0,1,0)$：

$$\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

第 3 列是 $(1,1,0,0)^T$，表示"第 3 列 = 1×第 1 列 + 1×第 2 列 + 0×第 4 列"。由关键事实，原向量同样满足：

$$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2.$$

检验：$(1,1,1,1)+(1,2,3,4)=(2,3,4,5)$ ✓。

⚠️ 易错点#

1. 求极大无关组时只能用行变换，用了列变换会打乱各列的关系。
2. 向量要按列放。如果题目给的是行向量，先转置成列再排。
3. 行最简形里读系数时，系数对应的是首元所在的那些列，不是按第 1、2、3 列顺序硬读。

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二、向量组等价#

2.1 定义#

如果向量组 $A$ 中每个向量都能由向量组 $B$ 线性表示，就说 $A$ 能由 $B$ 线性表示。如果 $A$、$B$ 能互相线性表示，称两个向量组等价。

大白话：两套"颜料"能互相调出对方的每一种颜色，那它们能调出的颜色范围完全一样。

2.2 常用结论#

• 向量组和它的任意一个极大无关组等价。
• 若 $A$ 能由 $B$ 线性表示，则 $r(A)\le r(B)$（表示出来的不会比原料更"丰富"）。
• 等价的向量组秩相等（反过来不对：秩相等不一定等价）。
• 判别方法（把向量按列排成矩阵 $A$、$B$）：

$$A\ \text{能由}\ B\ \text{表示}\iff r(B)=r(B,A);\qquad A,B\ \text{等价}\iff r(A)=r(B)=r(A,B).$$

例 4 设 $\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$；$\beta_1=(1,1,2)^T$，$\beta_2=(1,-1,0)^T$。判断两组是否等价。

解法一（直接找表示）：$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-\alpha_2$，所以 $\beta$ 组能由 $\alpha$ 组表示；反过来，两式相加、相减得 $\alpha_1=\frac12(\beta_1+\beta_2)$，$\alpha_2=\frac12(\beta_1-\beta_2)$，$\alpha$ 组也能由 $\beta$ 组表示。所以等价。

解法二（秩）：$r(\alpha_1,\alpha_2)=2$（不成比例），$r(\beta_1,\beta_2)=2$；$(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)$ 是 $3\times4$ 矩阵，由于 $\beta_1,\beta_2$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示，它的秩仍是 2。三个秩都等于 2，所以等价。

例 5（秩相等但不等价） $\alpha_1=(1,0,0)^T$ 与 $\beta_1=(0,1,0)^T$ 各自组成的向量组秩都是 1，但 $\beta_1$ 不能由 $\alpha_1$ 表示，所以不等价。

⚠️ 易错点#

• 向量组"等价"和第 16 讲（下）的矩阵"等价"是两回事：矩阵等价只要求同型且秩相等；向量组等价要求能互相表示，条件更强。

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三、内积、长度与正交#

3.1 大白话#

中学学过平面向量的数量积 $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2$，它能算长度、夹角，判断垂直。现在把它推广到 $n$ 维：对应分量相乘再相加。

3.2 定义#

$\alpha=(a_1,\dots,a_n)^T$，$\beta=(b_1,\dots,b_n)^T$，内积

$$(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\alpha^T\beta.$$

逐行拆解：

• $(\alpha,\beta)$ 读作"阿尔法与贝塔的内积"，结果是一个数。
• $\alpha^T\beta$ 就是第 16 讲（上）说过的"行乘列得一个数"。
• 性质：$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$；$(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)$；$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$；$(\alpha,\alpha)\ge0$，且等号仅当 $\alpha=0$ 时成立。

长度（范数）：

$$\Vert \alpha\Vert =\sqrt{(\alpha,\alpha)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}.$$

$\Vert \alpha\Vert$ 读作"阿尔法的长度"或"范数"。$\Vert \alpha\Vert =1$ 的向量叫单位向量。非零向量除以自己的长度 $\dfrac{\alpha}{\Vert \alpha\Vert }$，就得到同方向的单位向量，这一步叫单位化。

夹角：非零向量 $\alpha,\beta$ 的夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\dfrac{(\alpha,\beta)}{\Vert \alpha\Vert \,\Vert \beta\Vert }$（$0\le\theta\le\pi$）。

正交：$(\alpha,\beta)=0$ 时称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交（就是"垂直"的推广）。零向量与任何向量正交。

例 6 设 $\alpha=(1,2,2)^T$，$\beta=(2,-1,0)^T$。求 $\Vert \alpha\Vert$、$\alpha$ 的单位化向量，并判断 $\alpha,\beta$ 是否正交。

解：

• $\Vert \alpha\Vert =\sqrt{1+4+4}=3$；
• 单位化：$\dfrac{\alpha}{3}=\left(\dfrac13,\dfrac23,\dfrac23\right)^T$；
• $(\alpha,\beta)=1\times2+2\times(-1)+2\times0=0$，所以正交。

例 7（求夹角） 求 $\alpha=(1,0,1)^T$ 与 $\beta=(0,1,1)^T$ 的夹角。

解：$(\alpha,\beta)=0+0+1=1$，$\Vert \alpha\Vert =\Vert \beta\Vert =\sqrt2$，$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12$，所以 $\theta=\dfrac\pi3$。

例 8（求与已知向量都正交的向量） 求一个非零向量 $\gamma$，使它与 $\alpha_1=(1,1,1)^T$、$\alpha_2=(1,-2,1)^T$ 都正交。

解：设 $\gamma=(x_1,x_2,x_3)^T$，正交条件就是两个方程：

$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1-2x_2+x_3=0\end{cases}$$

两式相减：$3x_2=0$，$x_2=0$；代回得 $x_1=-x_3$。取 $x_3=-1$，得 $\gamma=(1,0,-1)^T$。检验：$(\gamma,\alpha_1)=1+0-1=0$，$(\gamma,\alpha_2)=1+0-1=0$ ✓。

3.3 正交向量组#

两两正交的非零向量组叫正交向量组。

定理：正交向量组一定线性无关。

推导很短：设 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$，两边与 $\alpha_1$ 做内积。因为 $\alpha_1$ 与其他向量正交，只剩 $k_1(\alpha_1,\alpha_1)=0$；而 $(\alpha_1,\alpha_1)>0$，所以 $k_1=0$。同理所有 $k_i=0$。

两两正交、且每个都是单位向量的向量组叫规范正交向量组（标准正交向量组）。

⚠️ 易错点#

1. 内积是数，不是向量；$\alpha^T\beta$ 是数，$\alpha\beta^T$ 是矩阵，别写反。
2. 长度要开根号：$\Vert \alpha\Vert =\sqrt{(\alpha,\alpha)}$，不是 $(\alpha,\alpha)$ 本身。
3. 线性无关不一定正交（比如 $(1,0)^T,(1,1)^T$），但正交（非零）一定线性无关。

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四、施密特正交化#

4.1 大白话#

给你两根不垂直的木棍（线性无关），想做成一个直角架子。办法是：第一根不动；第二根减去它"沿第一根方向的影子"（投影），剩下的部分就和第一根垂直了。三根木棍就再减去它在前两根方向上的影子。这就是施密特正交化——一个"减影子"的过程。

图 1：施密特正交化分步演示：β₁ = α₁；找出 α₂ 在 β₁ 上的影子；α₂ 减去影子得到 β₂ ⊥ β₁；最后单位化（动画循环播放）

4.2 公式#

设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关。令

$$\beta_1=\alpha_1,$$ $$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,$$ $$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2.$$

则 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 两两正交，且与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 等价。再单位化：

$$e_i=\frac{\beta_i}{\Vert \beta_i\Vert }\quad(i=1,2,3),$$

得到规范正交向量组 $e_1,e_2,e_3$。

逐行拆解：

• $\dfrac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$ 就是 $\alpha_2$ 在 $\beta_1$ 方向上的"影子"（投影向量）。分母是 $(\beta_1,\beta_1)$，不是 $\Vert \beta_1\Vert$。
• 为什么 $\beta_2\perp\beta_1$？验证：$(\beta_2,\beta_1)=(\alpha_2,\beta_1)-\dfrac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}(\beta_1,\beta_1)=0$ ✓。
• 计算 $\beta_3$ 时减的是在 $\beta_1$、$\beta_2$ 上的影子（用已经正交化好的 $\beta$，不是原来的 $\alpha$）。
• 小技巧：$\beta_i$ 乘一个非零常数不影响正交性。中间出现分数时，可以把 $\beta_i$ 放大成整数向量再往下算，最后单位化结果不变。

4.3 例题#

例 9（两个向量） 把 $\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$ 正交化并单位化。

解：

• $\beta_1=\alpha_1=(1,1,1)^T$；
• $(\alpha_2,\beta_1)=1+2+3=6$，$(\beta_1,\beta_1)=3$，所以 $\beta_2=\alpha_2-\dfrac63\beta_1=(1,2,3)^T-(2,2,2)^T=(-1,0,1)^T$；
• 检验：$(\beta_1,\beta_2)=-1+0+1=0$ ✓；
• 单位化：$e_1=\dfrac1{\sqrt3}(1,1,1)^T$，$e_2=\dfrac1{\sqrt2}(-1,0,1)^T$。

例 10（三个向量） 把 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1)^T$，$\alpha_3=(0,1,1)^T$ 化为规范正交向量组。

解：

第 1 步，$\beta_1=\alpha_1=(1,1,0)^T$，$(\beta_1,\beta_1)=2$。

第 2 步，$(\alpha_2,\beta_1)=1+0+0=1$，

$$\beta_2=\alpha_2-\frac12\beta_1=(1,0,1)^T-\left(\frac12,\frac12,0\right)^T=\left(\frac12,-\frac12,1\right)^T.$$

为方便计算，可以取 $\beta_2'=2\beta_2=(1,-1,2)^T$（方向不变）。

第 3 步，用 $\beta_1$ 和 $\beta_2'$ 计算：$(\alpha_3,\beta_1)=0+1+0=1$；$(\alpha_3,\beta_2')=0-1+2=1$，$(\beta_2',\beta_2')=1+1+4=6$。

$$\beta_3=\alpha_3-\frac12\beta_1-\frac16\beta_2'=(0,1,1)^T-\left(\frac12,\frac12,0\right)^T-\left(\frac16,-\frac16,\frac13\right)^T=\left(-\frac23,\frac23,\frac23\right)^T.$$

（用原来的 $\beta_2$ 算也一样：$\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2=\frac{1/2}{3/2}\beta_2=\frac13\beta_2=\frac16\beta_2'$。）

检验：$(\beta_1,\beta_3)=-\frac23+\frac23+0=0$，$(\beta_2',\beta_3)=-\frac23-\frac23+\frac43=0$ ✓。

第 4 步，单位化。$\beta_3$ 与 $(-1,1,1)^T$ 同方向，

$$e_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)^T,\quad e_2=\frac1{\sqrt6}(1,-1,2)^T,\quad e_3=\frac1{\sqrt3}(-1,1,1)^T.$$

⚠️ 易错点#

1. 投影系数的分母是 $(\beta_i,\beta_i)$（长度的平方），不是长度。
2. 求 $\beta_3$ 时用的是 $\beta_1,\beta_2$，不是 $\alpha_1,\alpha_2$。
3. 每一步做完都用内积检验一下是否为 0，错了能及时发现。
4. 单位化放在最后统一做，中途单位化会带来一堆根号。

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五、正交矩阵#

5.1 定义#

若 $n$ 阶方阵 $Q$ 满足

$$Q^TQ=E\quad(\text{等价地 } QQ^T=E,\ \text{或}\ Q^{-1}=Q^T),$$

则称 $Q$ 为正交矩阵。

逐行拆解：

• $Q^TQ$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列 = $Q$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列的内积。$Q^TQ=E$ 就是说：每一列都是单位向量，不同的列两两正交。所以：$Q$ 是正交矩阵 $\iff$ $Q$ 的列向量组是规范正交向量组（行向量组也是）。
• 正交矩阵的逆就是它的转置，求逆零成本。

5.2 性质#

1. $|Q|=1$ 或 $-1$（对 $Q^TQ=E$ 取行列式：$|Q|^2=1$）；
2. $Q^T$、$Q^{-1}$ 也是正交矩阵；
3. 两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵：$(PQ)^T(PQ)=Q^TP^TPQ=Q^TQ=E$；
4. 正交变换保持长度：$\Vert Q\alpha\Vert ^2=(Q\alpha)^T(Q\alpha)=\alpha^TQ^TQ\alpha=\alpha^T\alpha=\Vert \alpha\Vert ^2$。（这就是第 20 讲用正交变换化二次型时"图形形状不变"的原因。）

例 11 验证 $Q=\dfrac13\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}$ 是正交矩阵，并写出 $Q^{-1}$ 和 $|Q|$。

解：检查各列。第 1 列 $\frac13(1,2,2)^T$，长度 $\frac13\sqrt{1+4+4}=1$；第 2 列 $\frac13(2,1,-2)^T$、第 3 列 $\frac13(2,-2,1)^T$ 长度同样为 1。两两内积：

• 第 1、2 列：$\frac19(2+2-4)=0$；
• 第 1、3 列：$\frac19(2-4+2)=0$；
• 第 2、3 列：$\frac19(4-2-2)=0$。

所以 $Q^TQ=E$，$Q$ 是正交矩阵，$Q^{-1}=Q^T=\dfrac13\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}$（这个 $Q$ 恰好是对称的，所以 $Q^T=Q$）。$|Q|=-1$（可以直接计算验证）。

例 12（补全正交矩阵） 已知 $Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&x\\\frac1{\sqrt3}&0&y\\\frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&z\end{pmatrix}$ 是正交矩阵，求第 3 列。

解：第 3 列 $(x,y,z)^T$ 要和前两列正交：

$$\begin{cases}x+y+z=0\\x-z=0\end{cases}$$

（第 1 列各分量都是 $\frac1{\sqrt3}$，约掉；第 2 列约掉 $\frac1{\sqrt2}$。）得 $z=x$，$y=-2x$，即第 3 列与 $(1,-2,1)^T$ 同方向。再要求长度为 1：$(1,-2,1)^T$ 的长度是 $\sqrt6$，所以

$$(x,y,z)^T=\pm\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)^T.$$

两个符号都可以（对应 $|Q|=\pm1$）。

⚠️ 易错点#

1. 正交矩阵要求列向量两两正交且都是单位向量，只正交不单位化的不算。
2. $|Q|=\pm1$ 是必要条件，不是充分条件：$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 行列式为 1，但不是正交矩阵。

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本讲题型小结#

题型	方法
求秩和极大无关组	按列排，行变换化阶梯形，首元所在列
用极大无关组表示其余向量	继续化行最简形，读非首元列的数字
判断两向量组等价	直接找互相表示，或 $r(A)=r(B)=r(A,B)$
长度、夹角、正交	内积公式
求与已知向量都正交的向量	列出"内积 = 0"的齐次方程组求解
施密特正交化	先正交化（减影子）再单位化；每步检验
正交矩阵判断 / 补全	列向量两两正交且长度为 1

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公式/结论速记卡#

内容	结论
极大无关组	线性无关 + 其余向量都能由它表示；不唯一
向量组的秩	极大无关组所含向量个数；唯一
三秩相等	$r(A)$ = 行向量组的秩 = 列向量组的秩
求极大无关组	按列排，只做行变换；行变换保持列之间的线性关系
表示与秩	$A$ 能由 $B$ 表示 ⇒ $r(A)\le r(B)$
等价	$r(A)=r(B)=r(A,B)$；等价 ⇒ 秩相等（反之不成立）
内积	$(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=\sum a_ib_i$
长度	$\Vert \alpha\Vert =\sqrt{(\alpha,\alpha)}$；单位化 $\alpha/\Vert \alpha\Vert$
夹角	$\cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{\Vert \alpha\Vert \Vert \beta\Vert }$
正交	$(\alpha,\beta)=0$；正交非零向量组线性无关
施密特	$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$，$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$
正交矩阵	$Q^TQ=E\iff Q^{-1}=Q^T\iff$ 列（行）向量组规范正交
正交矩阵性质	$\lvert Q\rvert=\pm1$；乘积、转置、逆仍正交；保持长度

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自测练习#

1. 求 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(2,2,0)^T$，$\alpha_3=(0,1,1)^T$，$\alpha_4=(1,2,1)^T$ 的秩和一个极大无关组，并用它表示其余向量。

答案与提示

按列排成 $\begin{pmatrix}1&2&0&1\\1&2&1&2\\0&0&1&1\end{pmatrix}$，$r_2-r_1$ 得 $(0,0,1,1)$，$r_3-r_2$ 得零行。行最简形 $\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$。秩为 2，首元在第 1、3 列，极大无关组 $\alpha_1,\alpha_3$；$\alpha_2=2\alpha_1$，$\alpha_4=\alpha_1+\alpha_3$。

2. 求 $\alpha_1=(1,2,-1,1)^T$，$\alpha_2=(2,4,-2,2)^T$，$\alpha_3=(0,1,1,1)^T$，$\alpha_4=(1,3,0,2)^T$ 的秩和一个极大无关组。

答案与提示

按列排后化为行最简形 $\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$。秩为 2，极大无关组 $\alpha_1,\alpha_3$；$\alpha_2=2\alpha_1$，$\alpha_4=\alpha_1+\alpha_3$。

3. 判断 $\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(0,1,1)^T$ 与 $\beta_1=(1,2,1)^T,\beta_2=(1,0,-1)^T$ 是否等价。

答案与提示

$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-\alpha_2$；反过来 $\alpha_1=\frac12(\beta_1+\beta_2)$，$\alpha_2=\frac12(\beta_1-\beta_2)$。能互相表示，等价。（秩：$r(A)=r(B)=r(A,B)=2$。）

4. 设 $\alpha=(1,1,0,0)^T$，$\beta=(1,0,1,0)^T$，求 $\Vert \alpha\Vert$ 以及 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角。

答案与提示

$\Vert \alpha\Vert =\sqrt2$；$(\alpha,\beta)=1$，$\Vert \beta\Vert =\sqrt2$，$\cos\theta=\frac12$，$\theta=\frac\pi3$。

5. 求一个单位向量，使它与 $\alpha_1=(1,1,-1)^T$、$\alpha_2=(0,1,1)^T$ 都正交。

答案与提示

解 $x_1+x_2-x_3=0$，$x_2+x_3=0$：$x_2=-x_3$，$x_1=2x_3$，取 $(2,-1,1)^T$。单位化：$\pm\frac1{\sqrt6}(2,-1,1)^T$。

6. 把 $\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$ 规范正交化。

答案与提示

$\beta_1=\alpha_1$；$\beta_2=\alpha_2-\frac{6}{3}\beta_1=(-1,0,1)^T$。单位化：$e_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T$，$e_2=\frac1{\sqrt2}(-1,0,1)^T$。

7. 设 $Q=\dfrac13\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}$，$\alpha=(3,0,0)^T$。求 $Q^{-1}$ 和 $\Vert Q\alpha\Vert$。

答案与提示

$Q$ 是正交矩阵（例 11），$Q^{-1}=Q^T=Q$。正交变换保持长度：$\Vert Q\alpha\Vert =\Vert \alpha\Vert =3$。（直接算：$Q\alpha=(1,2,2)^T$，长度 3 ✓。）

8. 判断对错：(1) 正交矩阵的行列式一定是 1；(2) 线性无关的向量组一定两两正交；(3) 若 $A$、$B$ 都是正交矩阵，则 $AB$ 也是正交矩阵；(4) 秩相等的两个向量组一定等价。

答案与提示

(1) 错，是 $\pm1$（例 11 中 $|Q|=-1$）。(2) 错，反过来才对（正交非零 ⇒ 无关）。(3) 对。(4) 错（例 5）。

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下一讲预告#

第 18 讲把向量组的工具用到线性方程组上：什么时候有解、有多少解、通解怎么写。