考研数学二·零基础讲义 第17讲（上）｜向量组：线性表示与线性相关

考研数学二·零基础讲义 · 第 17 讲（上）｜向量组：线性表示与线性相关

学完本讲，你能判断一个向量能不能由一组向量"凑出来"、会用行列式和秩判断向量组线性相关还是无关，并会用定义证明简单的线性无关问题。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• n 维向量：就是一行或一列数，以及它的加法、数乘。
• 线性组合与线性表示："能不能用已有的向量凑出目标向量"，本质是"方程组有没有解"。
• 线性相关与线性无关：一组向量里"有没有多余的"；定义、直观意义、判别方法（行列式、秩）。
• 常用结论：部分相关则整体相关、个数大于维数必相关、"加长"保持无关、表示的唯一性等。
• 考研怎么考：线性相关性是线代的核心概念，选择题常考结论辨析，大题常要求证明一组向量线性无关，或讨论参数使某向量能被线性表示（和第 18 讲方程组紧密相连）。
• 大纲要求：理解 $n$ 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念；理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

前置知识#

• 行列式的计算，见第 15 讲（上）（下）。
• 矩阵乘法、矩阵的秩与行变换求秩，见第 16 讲（上）（下）。尤其是"$Ax=b$ 就是方程组"这个写法（第 16 讲（上））。

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一、n 维向量#

1.1 大白话#

描述一个人：身高 175、体重 65、年龄 23，可以写成 $(175,65,23)$。这就是一个 3 维向量——一串按顺序排好的数。中学学的平面向量 $(x,y)$ 是 2 维，空间向量 $(x,y,z)$ 是 3 维。线性代数把它推广到任意 $n$ 个数，"维"就是"数的个数"。

1.2 定义与记号#

$n$ 个数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 组成的有序数组叫 $n$ 维向量，$a_i$ 叫第 $i$ 个分量。

• 竖着写叫列向量：$\alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$；横着写叫行向量：$\alpha^T=(a_1,a_2,\dots,a_n)$。
• 本讲义默认向量是列向量，用希腊字母 $\alpha,\beta,\gamma$（读作"阿尔法、贝塔、伽马"）表示。为了节省版面，常写成 $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)^T$，右上角的 $T$ 表示"其实是竖的"。
• 分量全为 0 的向量叫零向量，记作 $0$。
• 若干个同维向量放在一起叫向量组，比如 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$。

和矩阵的关系：列向量就是 $n\times1$ 矩阵，所以向量的加法、数乘和矩阵完全一样（对应分量相加、每个分量乘 $k$）。反过来，一个 $m\times n$ 矩阵可以看成 $n$ 个 $m$ 维列向量并排放：$A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$。这个"按列看矩阵"的视角是本讲和下一讲的关键。

例 1 设 $\alpha=(1,2,-1,3)^T$，$\beta=(0,1,2,-1)^T$，求 $2\alpha-3\beta$。

解：对应分量计算：

$$2\alpha-3\beta=(2-0,\ 4-3,\ -2-6,\ 6+3)^T=(2,1,-8,9)^T.$$

⚠️ 易错点#

• 不同维数的向量不能相加。
• 写成 $(a_1,\dots,a_n)^T$ 时别忘了 $T$，否则表示的是行向量；做矩阵乘法时形状会对不上。

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二、线性组合与线性表示#

2.1 大白话#

你有红、黄、蓝三种颜料，各取一定的量混起来，能调出很多颜色。"调色"就是线性组合：每个向量乘一个数，再加起来。如果某个目标颜色能被调出来，就说它能被这三种颜料"线性表示"。

图 1：线性组合：β = 2α₁ + α₂，就是先沿 α₁ 走 2 倍，再沿 α₂ 走 1 倍

2.2 定义#

给定向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 和数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，向量

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$$

叫这个向量组的一个线性组合，$k_1,\dots,k_s$ 叫组合系数。

如果向量 $\beta$ 能写成 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$，就说 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表示（也说"线性表出"）。

逐行拆解：

• "线性"指的就是只用"乘常数"和"相加"这两种操作，不平方、不开方。
• 系数 $k_i$ 可以是任何实数，包括 0 和负数。
• 零向量能被任何向量组表示（系数全取 0）。每个 $\alpha_i$ 也能被这组向量表示（自己系数取 1，其余取 0）。

2.3 与方程组的联系（核心）#

把 $\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$ 按分量写开，就是一个以 $k_1,\dots,k_s$ 为未知数的线性方程组。用矩阵写：令 $A=(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$，$k=(k_1,\dots,k_s)^T$，则

$$k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=Ak.$$

（矩阵乘以列向量 = 各列按系数组合，你可以拿二阶验证一下。）所以：

$$\beta\ \text{能由}\ \alpha_1,\dots,\alpha_s\ \text{线性表示}\iff Ak=\beta\ \text{有解}\iff r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta).$$

最后一个等价（"秩不变"）的证明在第 18 讲，现在先当成判别工具来用。直观上：把 $\beta$ 加进去，如果秩没涨，说明 $\beta$ 没带来"新信息"，它是能被原来的向量凑出来的。

进一步：

• $Ak=\beta$ 有唯一解 $\iff$ 表示法唯一；
• 有无穷多解 $\iff$ 表示法有无穷多种；
• 无解 $\iff$ 不能表示。

2.4 例题#

例 2（能表示，求系数） 设 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,0,1)^T$，$\beta=(2,3,3)^T$。$\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示？若能，写出表达式。

解：设 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$，按分量写：

$$\begin{cases}k_1+k_3=2\\k_1+k_2=3\\k_2+k_3=3\end{cases}$$

三式相加：$2(k_1+k_2+k_3)=8$，所以 $k_1+k_2+k_3=4$。分别减去三个方程：$k_2=4-2=2$，$k_3=4-3=1$，$k_1=4-3=1$。

所以 $\beta=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$。检验：$(1,1,0)+(0,2,2)+(1,0,1)=(2,3,3)$ ✓。

（系数矩阵 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的行列式为 $2\ne0$，由克拉默法则解唯一，所以表示法唯一。）

例 3（不能表示） 设 $\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\beta=(1,1,0)^T$。$\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示？

解：设 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=(k_1,\ k_2,\ k_1+k_2)^T$。比较前两个分量：$k_1=1$，$k_2=1$；但第 3 个分量要求 $k_1+k_2=0$，而 $1+1=2\ne0$，矛盾。方程组无解，不能表示。

用秩来看：$r(\alpha_1,\alpha_2)=2$，而 $r(\alpha_1,\alpha_2,\beta)=3$（三个向量的行列式 $\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=-2\ne0$），秩涨了，不能表示。

例 4（表示法不唯一） 设 $\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,1,2)^T$，$\beta=(2,3,5)^T$。写出 $\beta$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 表示的所有方式。

解：设 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$：

$$\begin{cases}k_1+k_3=2\\k_2+k_3=3\\k_1+k_2+2k_3=5\end{cases}$$

前两个方程相加正好是第三个，第三个方程是"多余的"。令 $k_3=c$（任意常数），则 $k_1=2-c$，$k_2=3-c$。所以

$$\beta=(2-c)\alpha_1+(3-c)\alpha_2+c\,\alpha_3,\quad c\ \text{为任意实数}.$$

比如 $c=0$ 时 $\beta=2\alpha_1+3\alpha_2$；$c=1$ 时 $\beta=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$。原因在于 $\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$ 本身就是多余的，所以有无穷多种"配方"。

例 5（含参数） 设 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1)^T$，$\beta=(1,a,3)^T$。$a$ 为何值时 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示？

解：$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=(k_1+k_2,\ k_1,\ k_2)^T$。令它等于 $(1,a,3)^T$：

• 第 3 个分量：$k_2=3$；
• 第 1 个分量：$k_1+k_2=1$，所以 $k_1=-2$；
• 第 2 个分量：$a=k_1=-2$。

所以当且仅当 $a=-2$ 时能表示，此时 $\beta=-2\alpha_1+3\alpha_2$。

⚠️ 易错点#

1. "能表示"问的是方程组有没有解，不要和"线性相关"搞混（下一节）。
2. 表示时系数可以是 0、负数、分数，不要只在正整数里找。
3. 用秩判断时，要比较的是 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ 和 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)$，两者都要算。

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三、线性相关与线性无关#

3.1 大白话#

还是调色：如果你手里有红、黄、橙三种颜料，橙色可以用红和黄调出来，那橙色就是"多余的"——这组颜料线性相关。如果红、黄、蓝三种，谁也调不出别人，那它们线性无关，每一种都不可替代。

几何上更直观：

• 平面上两个向量共线（方向相同或相反）⇔ 线性相关；不共线 ⇔ 线性无关。
• 空间中三个向量共面 ⇔ 线性相关；不共面 ⇔ 线性无关。

图 2：平面上两个向量：共线（一个是另一个的倍数）就线性相关，不共线就线性无关

图 3：空间三个向量：α₃ 躺在 α₁、α₂ 所在的平面里时三者共面、线性相关；α₃ 一离开平面就不共面、线性无关（动画循环播放）

3.2 定义#

对向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_s$，使

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0,$$

就称这个向量组线性相关；否则，即只有当 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ 时上式才成立，称为线性无关。

逐行拆解：

• 系数全取 0 时，等式总是成立，这没有任何信息。关键是：能不能用不全为零的系数凑出零向量。
• 能凑出来 → 相关。比如 $k_1\ne0$，就能把 $\alpha_1$ 解出来：$\alpha_1=-\frac{k_2}{k_1}\alpha_2-\cdots$，说明 $\alpha_1$ 是多余的。
• 等价说法：线性相关 $\iff$ 至少有一个向量能由其余向量线性表示（$s\ge2$ 时）。
• 和方程组联系：令 $A=(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$，线性相关 $\iff Ak=0$ 有非零解；线性无关 $\iff Ak=0$ 只有零解。

几个特殊情形：

• 单个向量 $\alpha$：线性相关 $\iff\alpha=0$。
• 两个向量：线性相关 $\iff$ 对应分量成比例（共线）。
• 含零向量的向量组一定线性相关（零向量系数取 1，其余取 0）。

3.3 判别方法#

设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$，向量都是 $n$ 维。

方法一（秩，通用）：

$$\alpha_1,\dots,\alpha_s\ \text{线性相关}\iff r(A)<s;\qquad \text{线性无关}\iff r(A)=s.$$

即：秩小于向量个数就相关，等于向量个数就无关。

方法二（行列式，向量个数 = 维数时）：当 $s=n$ 时 $A$ 是方阵，

$$\alpha_1,\dots,\alpha_n\ \text{线性相关}\iff |A|=0;\qquad \text{线性无关}\iff |A|\ne0.$$

方法三（定义法，抽象向量组）：设 $k_1\beta_1+\cdots=0$，代入已知条件，推出系数必须全为零（无关），或找到一组不全为零的系数（相关）。

3.4 例题#

例 6（直接观察） 判断 $\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,1,0)^T$，$\alpha_3=(3,3,3)^T$ 的线性相关性。

解：观察到 $\alpha_1+\alpha_2=(3,3,3)^T=\alpha_3$，即 $\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，系数 $1,1,-1$ 不全为零，所以线性相关。

用行列式验证：$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&1&3\\3&0&3\end{vmatrix}=0$ ✓。

例 7（行列式法） 判断 $\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$ 的线性相关性。

解：3 个 3 维向量，用行列式。

$$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{vmatrix}=1\times1\times1=1\neq0,$$

（下三角行列式 = 对角线乘积）所以线性无关。

例 8（含参数） 设 $\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,4,t)^T$。$t$ 为何值时线性相关？此时把 $\alpha_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示出来。

解：

第 1 步，算行列式。$r_2-r_1$、$r_3-r_1$（把向量当列放，行变换不改变行列式的值）：

$$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&t\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&3\\0&2&t-1\end{vmatrix}=1\cdot[1\cdot(t-1)-3\cdot2]=t-7.$$

第 2 步，线性相关 $\iff t-7=0\iff t=7$。

第 3 步，$t=7$ 时，设 $\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$：$k_1+k_2=1$，$k_1+2k_2=4$，解得 $k_2=3$，$k_1=-2$。所以 $\alpha_3=-2\alpha_1+3\alpha_2$。检验第 3 个分量：$-2+9=7$ ✓。

例 9（个数多于维数） 判断 $\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$，$\alpha_4=(1,2,3)^T$ 的线性相关性。

解：4 个 3 维向量。矩阵 $(\alpha_1,\dots,\alpha_4)$ 是 $3\times4$，秩最多是 3，小于向量个数 4，所以必定线性相关。具体关系：$\alpha_4=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3$。

一般结论：向量个数大于维数时，必线性相关。（直观：平面上任意 3 个向量一定线性相关。）

例 10（定义法证明：考研高频题型） 设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关。

(1) 证明 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$ 线性无关；

(2) 判断 $\gamma_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\gamma_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\gamma_3=\alpha_3-\alpha_1$ 的相关性。

解：(1) 设 $k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$，代入：

$$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0,$$

按 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 整理：

$$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0.$$

因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以三个系数都必须为 0：

$$\begin{cases}k_1+k_3=0\\k_1+k_2=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$$

系数行列式 $\begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=2\ne0$，这个齐次方程组只有零解 $k_1=k_2=k_3=0$。所以 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关。

(2) 同样整理得到 $(k_1-k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$，系数方程组的行列式 $\begin{vmatrix}1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=0$，有非零解。比如取 $k_1=1,k_2=-1,k_3=1$：$\gamma_1-\gamma_2+\gamma_3=(\alpha_1+\alpha_2)-(\alpha_2+\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_1)=0$ ✓。所以 $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 线性相关。

套路总结：$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)C$，其中 $C$ 是系数矩阵（第 $j$ 列是 $\beta_j$ 的组合系数）。当 $\alpha$ 组线性无关时，$\beta$ 组线性无关 $\iff|C|\neq0$。(1) 中 $C=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$，$|C|=2$；(2) 中 $|C|=0$。

⚠️ 易错点#

1. 定义里是"存在不全为零的系数"使组合为零就相关；不是"任意不全为零的系数"。
2. "线性相关"不等于"每个向量都能由其余向量表示"，只是至少有一个能。比如 $\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(2,0)^T,\alpha_3=(0,1)^T$ 线性相关，但 $\alpha_3$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示。
3. 行列式法只适用于"个数 = 维数"。个数不等于维数时用秩。
4. 定义法证明时，一定要写出"由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，得各系数为零"这一步，这是得分点。

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四、线性相关性的常用结论#

下面这些结论在选择题里反复出现，每条都配了直观解释。

结论 1（部分与整体）：部分相关 ⇒ 整体相关；整体无关 ⇒ 部分无关。

直观：一组向量里已经有"多余的"，再加进别的向量，多余的还在。

结论 2（个数与维数）：$s>n$ 时，$s$ 个 $n$ 维向量必线性相关（例 9）。特别地，$n+1$ 个 $n$ 维向量必相关。

结论 3（加长与缩短）：若一组向量线性无关，在每个向量后面添上若干分量（各向量添的位置相同）得到的"加长"向量组仍线性无关。反过来：加长后相关，则原向量组（缩短）也相关。

例：$(1,0)^T,(0,1)^T$ 无关，加长成 $(1,0,5)^T,(0,1,7)^T$ 仍无关（矩阵 $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\5&7\end{pmatrix}$ 的秩为 2）。直观：原来就分得开，多了几个"维度"只会更分得开。

结论 4（表示的唯一性）：若 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，而 $\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表示，且表示法唯一。

简单推导：相关说明有不全为零的 $k_1,\dots,k_s,k$ 使 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s+k\beta=0$。如果 $k=0$，就成了 $\alpha$ 组的非零组合为零，与无关矛盾，所以 $k\ne0$，$\beta$ 可以解出来。唯一性：若有两种表示，相减得到 $\alpha$ 组的一个组合为零，由无关知系数差全为 0，所以两种表示其实一样。

例 11 $\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\beta=(2,3,5)^T$。说明 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 唯一表示，并求表达式。

解：$\alpha_1,\alpha_2$ 不成比例，线性无关；$\alpha_1,\alpha_2,\beta$ 的行列式 $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&1&3\\1&1&5\end{vmatrix}=1\cdot(5-3)-0+2\cdot(0-1)=0$，线性相关。由结论 4，$\beta$ 能被唯一表示。设 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=(k_1,k_2,k_1+k_2)^T$，得 $k_1=2,k_2=3$，检验 $2+3=5$ ✓。所以 $\beta=2\alpha_1+3\alpha_2$。（对比例 4：那里多了一个多余的 $\alpha_3$，表示法就不唯一了。）

结论 5（多的由少的表示）：若 $\beta_1,\dots,\beta_t$ 能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表示，且 $t>s$，则 $\beta_1,\dots,\beta_t$ 线性相关。口诀"以少表多，多的相关"。（结论 2 是它的特例：任何 $n$ 维向量都能由 $n$ 个单位向量 $e_1,\dots,e_n$ 表示。）

⚠️ 易错点#

• 结论 1 不能反着用：整体相关推不出部分相关（例：$(1,0)^T,(0,1)^T,(1,1)^T$ 整体相关，但任意两个都无关）。
• 结论 3 的"加长"要在相同位置添分量；而且"缩短"保持的是"相关"，不是"无关"。

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本讲题型小结#

题型	方法
$\beta$ 能否由 $\alpha$ 组表示、求表达式	解方程组 $(\alpha_1,\dots,\alpha_s)k=\beta$；或比较秩
含参数的能否表示	写出方程组，看哪个参数值使方程组有解
具体向量组的相关性	个数 = 维数用行列式；否则用秩；个数 > 维数直接相关
含参数的相关性	行列式 = 0 解参数
抽象向量组 $\beta=\alpha C$ 的相关性	定义法，或看 $\lvert C\rvert$ 是否为 0
结论辨析选择题	结论 1–5，配合反例

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公式/结论速记卡#

内容	结论
线性表示	$\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$
能表示的判别	$Ak=\beta$ 有解 $\iff r(A)=r(A,\beta)$；唯一解 ⇔ 表示唯一
线性相关定义	存在不全为零的 $k_i$ 使 $\sum k_i\alpha_i=0$
相关 ⇔	至少一个向量可由其余表示；$Ak=0$ 有非零解；$r(A)<s$
无关 ⇔	$Ak=0$ 只有零解；$r(A)=s$
$n$ 个 $n$ 维向量	相关 $\iff\lvert A\rvert=0$
特殊情形	含零向量必相关；两个向量相关 ⇔ 成比例
部分与整体	部分相关 ⇒ 整体相关；整体无关 ⇒ 部分无关
个数 > 维数	必相关
加长/缩短	无关加长仍无关；相关缩短仍相关
唯一表示	$\alpha$ 组无关、加上 $\beta$ 后相关 ⇒ $\beta$ 唯一表示
以少表多	多的那组相关
$\beta=\alpha C$	$\alpha$ 组无关时，$\beta$ 组无关 $\iff\lvert C\rvert\neq0$（$C$ 为方阵时）

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自测练习#

1. 设 $\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,0,0)^T$，$\beta=(1,2,3)^T$。把 $\beta$ 表示成 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的线性组合。

答案与提示

设 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=(k_1+k_2+k_3,\ k_1+k_2,\ k_1)^T$。由第 3 个分量 $k_1=3$；第 2 个分量 $k_1+k_2=2$，$k_2=-1$；第 1 个分量 $k_1+k_2+k_3=1$，$k_3=-1$。$\beta=3\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3$。

2. 设 $\alpha_1=(1,2,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\beta=(3,b,1)^T$。$b$ 为何值时 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示？

答案与提示

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=(k_1,\ 2k_1+k_2,\ k_2)^T$。由第 1、3 个分量 $k_1=3,k_2=1$，所以 $b=2\times3+1=7$。

3. 判断 $\alpha_1=(1,-1,0)^T$，$\alpha_2=(2,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,3,-1)^T$ 的线性相关性。

答案与提示

$\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&1&3\\0&1&-1\end{vmatrix}=-7\ne0$，线性无关。

4. $t$ 为何值时 $\alpha_1=(1,2,-1)^T$ 与 $\alpha_2=(2,t,-2)^T$ 线性相关？

答案与提示

两个向量相关 ⇔ 成比例。第 1、3 个分量之比都是 $2$，所以需要 $t=2\times2=4$。

5. $t$ 为何值时 $\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1)^T$，$\alpha_3=(0,1,t)^T$ 线性相关？

答案与提示

$\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&t\end{vmatrix}=1\cdot(0-1)-1\cdot(t-0)+0=-1-t$。令其为 0 得 $t=-1$。

6. 设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，判断 $\alpha_1+2\alpha_2,\ \alpha_2+2\alpha_3,\ \alpha_3+2\alpha_1$ 的相关性。

答案与提示

系数矩阵 $C=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$（第 $j$ 列是第 $j$ 个新向量的系数），$|C|=1\cdot(1-0)-0+2\cdot(4-0)=9\neq0$，所以线性无关。

7. 5 个 4 维向量一定线性相关吗？3 个 4 维向量一定线性无关吗？

答案与提示

前者一定相关（个数 5 > 维数 4）。后者不一定，例如 $(1,0,0,0)^T,(2,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T$ 就相关。

8. 判断对错：(1) 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，则 $\alpha_1$ 能由 $\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示；(2) 若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性相关，则 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关；(3) 若向量组线性无关，则其中任意两个向量都不成比例。

答案与提示

(1) 错，只能说至少一个能被其余表示，不一定是 $\alpha_1$（反例：$\alpha_1=(0,1)^T,\alpha_2=(1,0)^T,\alpha_3=(2,0)^T$）。(2) 对（部分相关 ⇒ 整体相关）。(3) 对（整体无关 ⇒ 部分无关，两个无关的向量不成比例）。

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下一讲预告#

第 17 讲（下）学习一组向量里"最精干的骨干"——极大线性无关组与向量组的秩，以及内积、正交、施密特正交化和正交矩阵。