考研数学二·零基础讲义 第16讲（下）｜矩阵：分块、初等变换与秩

考研数学二·零基础讲义 · 第 16 讲（下）｜矩阵：分块、初等变换与秩

学完本讲，你能用分块简化运算、看懂"左乘变行右乘变列"、用初等行变换求逆矩阵、把矩阵化成行阶梯形并求秩（含参数讨论）。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 分块矩阵：把大矩阵切成小块当"元素"运算；分块对角、副对角分块的逆。
• 初等变换与初等矩阵：三种初等变换、三种初等矩阵、"左乘变行、右乘变列"。
• 初等行变换求逆：$(A\mid E)\to(E\mid A^{-1})$，三阶及以上的主力方法。
• 行阶梯形、行最简形与秩：秩的定义、用行变换求秩、带参数的秩、常用秩不等式；矩阵等价。
• 考研怎么考：初等矩阵与变换的对应关系是选择题常客；求秩、含参数讨论秩会贯穿第 17–18 讲的向量组和方程组大题。
• 大纲要求：了解矩阵初等变换的概念、初等矩阵的性质、矩阵等价的概念、分块矩阵及其运算；理解矩阵的秩的概念；掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

前置知识#

• 矩阵乘法、逆矩阵、伴随矩阵，见第 16 讲（上）。
• 行列式的计算（判断可逆、子式），见第 15 讲（上）（下）。

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一、分块矩阵#

1.1 大白话#

大矩阵用横线竖线切成几块，每一块当成一个"大元素"来运算，这就是分块。就像把一个班分成几个小组，先按组管理。

1.2 常用结论#

• 分块后加法、数乘、乘法按"元素"的规则照做，前提是分块方式匹配（乘法时左边的列分法要和右边的行分法一致）。
• 转置：块的位置转置，每一块自己也要转置：

$$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}A^T&C^T\\B^T&D^T\end{pmatrix}.$$

• 分块对角矩阵（$A,B$ 都是方阵）：

$$\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}.$$

• 行列式：$\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}=|A||B|$（$A,B$ 为方阵）。
• 按列分块：$A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$，每个 $\alpha_j$ 是一列。这种写法在第 17、18 讲天天用。

例 1 求 $P=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&2\\0&1&3\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：$P=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$，$A=(2)$，$B=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}$。$A^{-1}=\left(\frac12\right)$；$|B|=1$，$B^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}$。所以

$$P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0&0\\0&3&-2\\0&-1&1\end{pmatrix}.$$

例 2（分块乘法） 设 $A=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&3&4\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$，求 $A^2$ 和 $A^n$。

解：按 2+2 分块，$A=\begin{pmatrix}E&C\\O&E\end{pmatrix}$，其中 $E$ 是 2 阶单位矩阵，$C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$。把块当成"元素"做乘法：

$$A^2=\begin{pmatrix}E&C\\O&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&C\\O&E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}EE+CO&EC+CE\\OE+EO&OC+EE\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E&2C\\O&E\end{pmatrix}.$$

同理 $A^3=A^2A=\begin{pmatrix}E&3C\\O&E\end{pmatrix}$，归纳得 $A^n=\begin{pmatrix}E&nC\\O&E\end{pmatrix}$。写成数字：

$$A^2=\begin{pmatrix}1&0&2&4\\0&1&6&8\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad A^n=\begin{pmatrix}1&0&n&2n\\0&1&3n&4n\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$

注意块乘法时 $EC$、$CE$ 的左右顺序要保持（这里恰好都等于 $C$）。

例 3（副对角分块求逆） 求 $P=\begin{pmatrix}0&0&3\\1&2&0\\1&3&0\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：分块成 $P=\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}$，其中 $A=(3)$（右上角 $1\times1$），$B=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}$（左下角 $2\times2$）。由公式

$$P^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}.$$

$A^{-1}=\left(\frac13\right)$，$B^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}$。注意 $B^{-1}$ 是 $2\times2$，放在右上角，于是 $P^{-1}$ 的前两行是 $(0,\ 3,\ -2)$、$(0,\ -1,\ 1)$，第三行是 $(\frac13,\ 0,\ 0)$：

$$P^{-1}=\begin{pmatrix}0&3&-2\\0&-1&1\\\frac13&0&0\end{pmatrix}.$$

验证第一行乘第一列：$0\cdot0+3\cdot1+(-2)\cdot1=1$ ✓（其余位置同样可验）。

⚠️ 易错点#

• 副对角分块的逆矩阵，$A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 的位置要交换。
• 分块转置时，小块自身也要转置。

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二、初等变换与初等矩阵#

2.1 三种初等行变换#

和第 15 讲行列式里的三种操作一样：

1. 交换两行：$r_i\leftrightarrow r_j$；
2. 某行乘非零数 $k$：$r_i\times k$（$k\ne0$）；
3. 某行加上另一行的 $k$ 倍：$r_i+kr_j$。

把 $r$ 换成 $c$ 就是初等列变换。区别：行列式里这些操作会改变"值"，而矩阵做初等变换后得到的是另一个矩阵，要用箭头"$\to$"连接，不能用等号。

2.2 初等矩阵#

定义：对单位矩阵 $E$ 做一次初等变换得到的矩阵，叫初等矩阵。三种：

• $E(i,j)$：交换 $E$ 的第 $i,j$ 行；
• $E(i(k))$：$E$ 的第 $i$ 行乘 $k$；
• $E(i,j(k))$：$E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行。

三阶的三个具体例子（自己对照"对 $E$ 做了什么"）：

$$E(1,3)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix},\quad E(2(5))=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad E(1,3(2))=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

• 第一个：$E$ 的第 1、3 行互换；
• 第二个：$E$ 的第 2 行乘 5；
• 第三个：$E$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行，所以 2 出现在第 1 行第 3 列。

它们的行列式分别是 $-1$、$5$、$1$，正好对应第 15 讲（上）的"换行变号、倍乘、倍加不变"。

核心定理（左行右列）：

• 对 $A$ 做一次初等行变换，等于在 $A$ 的左边乘一个对应的初等矩阵；
• 对 $A$ 做一次初等列变换，等于在 $A$ 的右边乘一个对应的初等矩阵。

口诀："左乘变行，右乘变列"。

例 4 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$，$E(1,2)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，计算 $E(1,2)A$ 和 $AE(1,2)$。

解：

$$E(1,2)A=\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}\ (\text{交换了 1、2 行}),\qquad AE(1,2)=\begin{pmatrix}2&1&3\\5&4&6\\8&7&9\end{pmatrix}\ (\text{交换了 1、2 列}).$$

例 5（把变换翻译成矩阵乘法） 设 $A$ 为 3 阶矩阵。先交换 $A$ 的第 1、2 行得到 $B$，再把 $B$ 的第 2 列加到第 1 列得到 $C$。求可逆矩阵 $P,Q$ 使 $C=PAQ$。

解：

• 交换第 1、2 行 → 左乘 $P=E(1,2)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$B=PA$；
• 把第 2 列加到第 1 列 → 右乘一个初等矩阵 $Q$。$Q$ 怎么写？对 $E$ 做同样的列变换：$E$ 的第 2 列 $(0,1,0)^T$ 加到第 1 列 $(1,0,0)^T$ 上，第 1 列变成 $(1,1,0)^T$：

$$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

所以 $C=BQ=PAQ$。

⚠️ 这里最容易错的是 $Q$ 中那个 1 的位置：列变换"第 2 列加到第 1 列"，1 出现在第 2 行第 1 列；如果你把它看成行变换"第 1 行加到第 2 行"，得到的是同一个矩阵——这正是同一个初等矩阵"左乘看行、右乘看列"的两种读法。

初等矩阵的逆（还是初等矩阵，"反着做一次"）：

$$E(i,j)^{-1}=E(i,j),\quad E(i(k))^{-1}=E\!\left(i\!\left(\tfrac1k\right)\right),\quad E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k)).$$

例如 $E(3,1(2))=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}$（把第 1 行的 2 倍加到第 3 行），它的逆是 $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}$（再减回去）。

重要推论：

• 可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积；
• 因此"对 $(A\mid E)$ 做行变换化成 $(E\mid A^{-1})$"的原理是：一串行变换 = 左乘 $P$，$PA=E$ 说明 $P=A^{-1}$，而右半边 $PE=P=A^{-1}$。

⚠️ 易错点#

• 初等变换前后的矩阵用"$\to$"连接，写等号是错的。
• "左行右列"别记反。考研选择题常给"$PA$ 是对 $A$ 做了什么变换"。

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三、用初等行变换求逆矩阵（推荐三阶及以上用）#

第 16 讲（上）学了伴随矩阵法，三阶就要算 9 个代数余子式，四阶要算 16 个三阶行列式，太累。下面这个方法只需要做行变换，是更通用的"主力方法"。

做法：把 $A$ 和同阶单位矩阵 $E$ 并排写成 $(A\mid E)$，只用初等行变换把左边化成 $E$，右边就自动变成 $A^{-1}$：

$$(A\mid E)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(E\mid A^{-1}).$$

为什么这样行？ 上一节说过：一串初等行变换 = 左乘一串初等矩阵，合起来记作 $P$。如果 $P$ 把 $A$ 变成了 $E$，即 $PA=E$，那 $P$ 就是 $A^{-1}$；而同样的变换作用在右半边的 $E$ 上，得到 $PE=P=A^{-1}$。所以右半边自动就是逆矩阵。

例 6 求 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\1&2&3\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：

$$(A\mid E)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&2&3&0&0&1\end{array}\right) \xrightarrow{r_3-r_1} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&1&2&-1&0&1\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{r_3-r_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&1&-1&-1&1\end{array}\right) \xrightarrow[r_1-r_3]{r_2-r_3} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&2&1&-1\\0&1&0&1&2&-1\\0&0&1&-1&-1&1\end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{r_1-r_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-1&0\\0&1&0&1&2&-1\\0&0&1&-1&-1&1\end{array}\right).$$

所以 $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&2&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$。

策略：先"从上往下"把左下角消成 0，再"从下往上"把右上角消成 0，最后把对角线化成 1。

⚠️ 易错点#

1. 只能用行变换，不能行列混用（混用了右边就不是 $A^{-1}$）。
2. 如果左半边化出了全零行，说明 $|A|=0$，$A$ 不可逆，立即停止。
3. 每一步对整行操作，右半边也要跟着变，最常见的错误是只改了左半边。
4. 求完逆矩阵，花 30 秒乘回去验证一行。

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四、行阶梯形与行最简形#

• 行阶梯形：零行（全 0 的行）在最下面；每个非零行从左数第一个非零元素（叫"首元"或"主元"）所在的列，越往下越靠右，像台阶。
• 行最简形：在阶梯形基础上，首元都是 1，且首元所在列的其他元素都是 0。

任何矩阵都能用初等行变换化为行阶梯形、再化为行最简形。这是求秩、解方程组的"标准动作"。

例 7（化为行最简形） 把 $M=\begin{pmatrix}2&4&-2&2\\1&2&0&3\\3&6&-1&7\end{pmatrix}$ 化为行阶梯形和行最简形。

解：

第 1 步，左上角最好是 1，先 $r_1\leftrightarrow r_2$：

$$\begin{pmatrix}1&2&0&3\\2&4&-2&2\\3&6&-1&7\end{pmatrix}.$$

第 2 步，用第 1 行消第 1 列：$r_2-2r_1$ 得 $(0,0,-2,-4)$，$r_3-3r_1$ 得 $(0,0,-1,-2)$：

$$\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&-2&-4\\0&0&-1&-2\end{pmatrix}.$$

第 3 步，$r_3-\frac12r_2$ 得零行：

$$\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&-2&-4\\0&0&0&0\end{pmatrix}\quad(\text{行阶梯形}).$$

第 4 步，$r_2\times\left(-\frac12\right)$ 把首元变成 1：

$$\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\quad(\text{行最简形}).$$

首元在第 1 列和第 3 列，它们所在列的其他元素都已经是 0。注意第 2 行的首元在第 3 列（台阶可以一次"跨"两格），这完全允许。

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五、矩阵的秩#

5.1 大白话#

一个矩阵里，有些行是"多余的"——它能被别的行凑出来（比如第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行）。把多余的去掉，剩下真正"独立"的行有几条，这个数就是秩。秩衡量一个矩阵包含了多少"有效信息"。

图 1：秩的直观（帮助理解，不考）：把 2 阶矩阵看成平面变换，秩 2 把正方形变成平行四边形，秩 1（两行成比例）压成线段，秩 0 缩成一点

5.2 定义（子式定义）#

在 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列，交叉处的元素组成的 $k$ 阶行列式，叫 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

定义：如果 $A$ 中有一个 $r$ 阶子式不为 0，而所有 $r+1$ 阶子式（如果有的话）都为 0，则 $r$ 叫矩阵 $A$ 的秩，记作 $r(A)$（也写 $R(A)$ 或 $\mathrm{rank}\,A$）。规定 $r(O)=0$。

逐行拆解：

• 秩 = 不为零的子式的最高阶数。
• $0\le r(A)\le\min(m,n)$：秩不超过行数，也不超过列数。
• $n$ 阶方阵 $A$：$r(A)=n\iff|A|\ne0\iff A$ 可逆。这种方阵叫满秩矩阵。

5.3 求法：化为行阶梯形，数非零行#

定理：初等变换不改变矩阵的秩。行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数。

例 8 求 $A=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\2&4&1&3\\3&6&0&3\end{pmatrix}$ 的秩。

解：

$$A\xrightarrow[r_3-3r_1]{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\0&0&3&3\\0&0&3&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\0&0&3&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

非零行 2 行，所以 $r(A)=2$。（观察原矩阵会发现第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行，确实有一行"多余"。）

例 9（带参数） 讨论 $A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}$ 的秩。

解：方阵先算行列式。各行和都是 $a+2$，用第 15 讲"各行和相等"的方法：

$$|A|=-(a-1)^2(a+2).$$

• 当 $a\ne1$ 且 $a\neq-2$ 时，$|A|\ne0$，$r(A)=3$；
• 当 $a=1$ 时，$A$ 三行全是 $(1,1,1)$，化简后只剩 1 个非零行，$r(A)=1$；
• 当 $a=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}$，$|A|=0$ 所以秩 $<3$；而左上角二阶子式 $\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0$，所以 $r(A)=2$。

（行列式的计算细节：把第 2、3 列都加到第 1 列，第 1 列全变成 $a+2$，提出来；再用第 1 行去减其余两行，得 $|A|=(a+2)\begin{vmatrix}1&1&a\\0&a-1&1-a\\0&0&1-a\end{vmatrix}=(a+2)(a-1)(1-a)=-(a-1)^2(a+2)$。）

例 10（两个参数） 设 $A=\begin{pmatrix}1&-1&1&2\\3&\lambda&-1&2\\5&3&\mu&6\end{pmatrix}$ 的秩为 2，求 $\lambda,\mu$。

解：

第 1 步，$r_2-3r_1$，$r_3-5r_1$：

$$A\to\begin{pmatrix}1&-1&1&2\\0&\lambda+3&-4&-4\\0&8&\mu-5&-4\end{pmatrix}.$$

第 2 步，秩为 2 意味着后两行必须"合并成一行"，即这两行成比例。比较最后一列：都是 $-4$，所以比例是 1，两行必须完全相同：

$$\lambda+3=8,\qquad -4=\mu-5.$$

得 $\lambda=5$，$\mu=1$。（代回去，第 3 行减第 2 行变成零行，确实剩 2 个非零行。）

例 11（$AB=O$ 时的秩） $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}$，验证 $AB=O$ 和 $r(A)+r(B)\le2$。

解：$AB=\begin{pmatrix}2-2&-2+2\\4-4&-4+4\end{pmatrix}=O$。$A$ 的两行成比例，$r(A)=1$；$B$ 的两行成比例，$r(B)=1$。$1+1=2\le2$ ✓，和下面的结论 6 吻合。

5.4 常用秩的结论（基础版）#

设下面的运算都有意义：

1. $r(A^T)=r(A)$；$r(kA)=r(A)$（$k\neq0$）。
2. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$。
3. $r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}$——"乘出来只会变小（或不变），不会变大"。
4. 若 $P,Q$ 可逆，则 $r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)$——"乘可逆矩阵不改变秩"。
5. $\max\{r(A),r(B)\}\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$，$(A,B)$ 表示把 $A,B$ 左右拼起来。
6. 若 $A$ 是 $m\times n$，$B$ 是 $n\times s$，且 $AB=O$，则 $r(A)+r(B)\le n$（证明要用第 18 讲的方程组知识，先记住）。
7. 伴随矩阵的秩（$A$ 为 $n$ 阶，$n\ge2$）：$r(A)=n\Rightarrow r(A^*)=n$；$r(A)=n-1\Rightarrow r(A^*)=1$；$r(A)<n-1\Rightarrow r(A^*)=0$。

几条结论的直观理解：

• $r(AB)\le r(A)$：$AB$ 的每一列都是 $A$ 的各列的组合（第 17 讲会讲清楚"组合"），"组合出来的东西"不可能比原料更丰富。
• 乘可逆矩阵不改变秩：可逆矩阵是一串初等矩阵的乘积，而初等变换不改变秩。
• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$：两张表相加，有效信息最多是两者之和，可能因为互相抵消而更少。

这些结论现在先记住、会用；第 17 讲学完向量组以后，回头再看会觉得非常自然。

⚠️ 易错点#

1. 求秩只需化成行阶梯形，不必化到最简形。
2. 化阶梯形的时候，带参数的行不要随意除以含参数的式子（如除以 $a-1$），可能为 0。正确做法是分情况讨论。
3. 秩是一个非负整数，不会是分数。

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六、矩阵等价#

定义：如果 $A$ 经过有限次初等变换（行、列都可以）变成 $B$，称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\cong B$。

等价的判别：

$$A\cong B\iff \text{存在可逆矩阵 } P,Q \text{ 使 } PAQ=B \iff A,B\ \text{同型且}\ r(A)=r(B).$$

等价标准形：任何秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵都等价于

$$\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix},$$

即左上角是 $r$ 阶单位矩阵，其余全为 0。

大白话：在"可以随便做行列初等变换"的眼光下，同样大小的矩阵只看一个指标——秩。秩一样就算"同一类"。

例 12（判断等价） 判断 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ 与 $B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 是否等价；$A$ 与 $C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 呢？

解：都是 $2\times2$（同型）。$r(A)=1$（两行成比例），$r(B)=1$（一个非零行），所以 $A\cong B$；$r(C)=2\ne1$，所以 $A$ 与 $C$ 不等价。$A$、$B$ 的等价标准形都是 $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$。

⚠️ 易错点#

• "等价"要求同型（行数列数相同），秩相同但大小不同的矩阵不叫等价。
• 不要把"等价"和第 19 讲的"相似"、第 20 讲的"合同"搞混，它们是越来越严格的关系。

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本讲题型小结#

题型	抓手
分块对角 / 副对角矩阵求逆、求幂	按块处理；副对角的逆要交换位置
"$PA$ / $AQ$ 是对 $A$ 做了什么"	左乘变行、右乘变列；初等矩阵 = 对 $E$ 做同样的变换
三阶及以上求逆	$(A\mid E)$ 只做行变换
求秩	行变换化阶梯形，数非零行
含参数的秩	方阵先算行列式找"危险值"，再逐个代入；非方阵看哪几行可能成比例
判断等价	同型 + 秩相等

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公式/结论速记卡#

内容	结论
分块转置	块的位置转置，每块自身也转置
分块对角	$\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix}$，行列式 $=\lvert A\rvert\lvert B\rvert$
副对角分块	$\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}$
初等矩阵	左乘变行，右乘变列
初等矩阵的逆	$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$；$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac1k))$；$E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k))$
行变换求逆	$(A\mid E)\xrightarrow{\text{行}}(E\mid A^{-1})$
秩的定义	非零子式的最高阶数；$0\le r(A)\le\min(m,n)$
求秩	= 行阶梯形非零行数；初等变换不改变秩
满秩	$n$ 阶方阵 $r(A)=n\iff\lvert A\rvert\ne0\iff A$ 可逆
秩不等式	$r(A^T)=r(A)$；$r(AB)\le\min$；乘可逆不变；$r(A+B)\le r(A)+r(B)$；$\max\{r(A),r(B)\}\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$；$AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$
伴随的秩	$r(A^*)=n,1,0$ 分别对应 $r(A)=n$、$n-1$、$<n-1$
等价	同型且秩相等；标准形 $\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}$

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自测练习#

1. 求 $P=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ 的逆矩阵（用分块）。

答案与提示

$P=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}$，$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$，$|A|=1$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$；$B=(3)$，$B^{-1}=(\frac13)$。

$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&0\\0&0&\frac13\end{pmatrix}$。

2. 设 $A$ 为 3 阶矩阵，$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}$。$PA$ 是对 $A$ 做了什么变换？$AP$ 呢？

答案与提示

$P$ 是把 $E$ 的第 2 行的 $-2$ 倍加到第 3 行得到的。$PA$：把 $A$ 的第 2 行的 $-2$ 倍加到第 3 行（左乘变行）。$AP$：把 $A$ 的第 3 列的 $-2$ 倍加到第 2 列（右乘变列——$P$ 也可以看成"把 $E$ 的第 3 列的 $-2$ 倍加到第 2 列"）。

3. 用初等行变换求 $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

答案与提示

$(A\mid E)$ 先 $r_3-2r_1$，第 3 行变为 $(0,-4,1\mid-2,0,1)$；再 $r_3+4r_2$ 得 $(0,0,1\mid-2,4,1)$；最后 $r_1-2r_2$ 得 $(1,0,0\mid1,-2,0)$。

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\-2&4&1\end{pmatrix}$。

4. 把 $M=\begin{pmatrix}1&1&2&2\\0&2&1&5\\2&0&3&-1\end{pmatrix}$ 化为行最简形，并写出 $r(M)$。

答案与提示

$r_3-2r_1$ 得 $(0,-2,-1,-5)$；$r_3+r_2$ 得零行；$r_2\times\frac12$ 得 $(0,1,\frac12,\frac52)$；$r_1-r_2$ 得 $(1,0,\frac32,-\frac12)$。

行最简形 $\begin{pmatrix}1&0&\frac32&-\frac12\\0&1&\frac12&\frac52\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，$r(M)=2$。

5. 求 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\3&4&5&6\end{pmatrix}$ 的秩。

答案与提示

$r_2-2r_1$ 得 $(0,-1,-2,-3)$，$r_3-3r_1$ 得 $(0,-2,-4,-6)$，再 $r_3-2r_2$ 得零行。秩为 2。

6. 讨论 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&\lambda&3\end{pmatrix}$ 的秩。

答案与提示

$r_2-2r_1$ 得零行，$r_3-r_1$ 得 $(0,\lambda-2,0)$。$\lambda=2$ 时只剩第 1 行非零，$r(A)=1$；$\lambda\ne2$ 时 $r(A)=2$。（注意 $r(A)$ 不可能是 3，因为第 2 行永远是第 1 行的 2 倍。）

7. 设 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&a\end{pmatrix}$，$a$ 为何值时 $r(A)=2$？

答案与提示

$|A|=a-5$。$a\ne5$ 时 $|A|\neq0$，秩为 3；$a=5$ 时 $|A|=0$，且二阶子式 $\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0$，秩为 2。答案：$a=5$。

8. 判断：(1) 4 阶矩阵 $A$ 的秩为 3，则 $r(A^*)=1$；(2) 若 $r(A)=r(B)$，则 $A$ 与 $B$ 等价；(3) $P$ 可逆，则 $r(PA)=r(A)$。

答案与提示

(1) 对（$r(A)=n-1\Rightarrow r(A^*)=1$）。(2) 错，还必须同型。(3) 对（乘可逆矩阵不改变秩）。

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下一讲预告#

第 17 讲（上）把矩阵"拆成一列一列"来看——向量组：线性表示、线性相关与线性无关，这是理解方程组解的结构的钥匙。