考研数学二·零基础讲义 第16讲（上）｜矩阵：运算与逆矩阵

考研数学二·零基础讲义 · 第 16 讲（上）｜矩阵：运算与逆矩阵

学完本讲，你能熟练做矩阵乘法、求方阵的幂、算方阵的行列式、用伴随矩阵求逆、解矩阵方程，并避开"矩阵不能交换、不能约分"这些新手大坑。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 矩阵是什么：一张有行有列的数表，以及几种特殊矩阵（单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等）。
• 怎么算：加法、数乘、乘法（重点：不满足交换律和消去律）、转置、方阵的幂、方阵的行列式（$|AB|=|A||B|$，$|kA|=k^n|A|$）。
• 逆矩阵：定义、可逆的充要条件 $|A|\neq0$、伴随矩阵 $A^*$ 与 $AA^*=|A|E$、伴随矩阵求逆、解矩阵方程、由矩阵多项式求逆。
• 考研怎么考：矩阵运算和逆矩阵几乎是每道线代题的"基本功"；小题常考 $|kA|$、$|A^*|$、$|A^{-1}|$ 的计算，抽象矩阵求逆，矩阵方程。
• 大纲要求：理解矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的概念；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律，逆矩阵的性质与可逆的充要条件；会用伴随矩阵求逆；了解特殊矩阵（含正交矩阵，放到第 17 讲（下）讲）、方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
• 分块矩阵、初等变换（含第二种求逆方法）、矩阵的秩放在第 16 讲（下）。

前置知识#

• 行列式的计算与性质、代数余子式，见第 15 讲（上）（下）（本讲大量使用）。
• 会解二元、三元一次方程组（消元法）。

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一、矩阵的概念与特殊矩阵#

1.1 大白话#

班里同学的各科成绩表，排成"行=人、列=科目"，就是一个矩阵。矩阵就是一张有序排好的数表，它本身不是一个数——这是和行列式最大的区别。行列式是"数表算出来的一个数"，矩阵就是"数表本身"。

1.2 定义与记号#

$m$ 行 $n$ 列的数表

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$$

叫作 $m\times n$ 矩阵（读作"m 乘 n 矩阵"），简记 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。

逐行拆解：

• 矩阵用圆括号（或方括号）包起来；行列式用竖线。看到括号就是矩阵，看到竖线就是一个数。
• $a_{ij}$：第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，仍然"先行后列"。
• $m=n$ 时叫 $n$ 阶方阵。只有方阵才有行列式，记作 $|A|$ 或 $\det A$。
• 两个矩阵相等：行数、列数都一样，并且对应位置每个元素都相等。

1.3 常见特殊矩阵#

名称	长什么样	记号/特点
零矩阵	元素全为 0	$O$
行矩阵 / 列矩阵	只有 1 行 / 只有 1 列	也叫行向量 / 列向量（第 17 讲主角）
单位矩阵	主对角线全 1，其余全 0 的方阵	$E$（有的书写 $I$），相当于数字里的 "1"
对角矩阵	主对角线以外全为 0	$\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，$\Lambda$ 读"兰姆达"大写
数量矩阵	对角线元素都相等的对角矩阵	$kE$
上（下）三角矩阵	主对角线下方（上方）全为 0	行列式 = 对角线乘积
对称矩阵	$a_{ij}=a_{ji}$，沿主对角线"镜像对称"	$A^T=A$
反对称矩阵	$a_{ij}=-a_{ji}$，对角线全为 0	$A^T=-A$

⚠️ 易错点#

• 不要把矩阵和行列式混为一谈：$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ 是一张表，$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2$ 是一个数。
• 非方阵没有行列式。

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二、矩阵的运算#

2.1 加法与数乘（线性运算）#

大白话：两张同样格式的成绩表"对应位置相加"，就是矩阵加法；每个人每科都乘 1.1（加分），就是数乘。

定义：$A,B$ 都是 $m\times n$ 矩阵，

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}),\qquad kA=(ka_{ij}).$$

逐行拆解：

• 加法要求同型（行数、列数都相同），不同型的矩阵不能相加。
• 数乘 $kA$：每一个元素都乘 $k$。（对比：行列式的倍乘只乘一行！）
• 运算律和数字一样：$A+B=B+A$，$(A+B)+C=A+(B+C)$，$k(A+B)=kA+kB$。

例 1 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&-1\\2&5\end{pmatrix}$，求 $A+B$ 和 $2A-B$。

解：

$$A+B=\begin{pmatrix}1+0&2-1\\3+2&4+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\5&9\end{pmatrix},\quad 2A-B=\begin{pmatrix}2-0&4+1\\6-2&8-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&5\\4&3\end{pmatrix}.$$

2.2 矩阵乘法（重中之重）#

大白话：想象你去超市，买了 2 斤苹果、3 斤香蕉；苹果 5 元/斤、香蕉 4 元/斤。总价 $=2\times5+3\times4=22$。这就是"一行乘一列"：对应相乘再相加。矩阵乘法就是把这个动作批量做。

定义：$A$ 是 $m\times s$ 矩阵，$B$ 是 $s\times n$ 矩阵，则 $AB=C$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}.$$

逐行拆解：

• $c_{ij}$ = $A$ 的第 $i$ 行 与 $B$ 的第 $j$ 列 "对应相乘再相加"。
• 能乘的条件：左边矩阵的列数 = 右边矩阵的行数（都是 $s$）。口诀："中间相等才能乘，结果取两头"：$(m\times \underline{s})(\underline{s}\times n)=m\times n$。
• $AB$ 读作"A 左乘 B"或"B 右乘 A"……更简单地说"A 乘 B"，顺序很重要。

图 1："行乘列"逐格演示：AB 的第 i 行第 j 列 = A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应相乘再相加（动画循环播放）

为什么乘法要定义得这么"别扭"？ 因为它描述的是"连续两次代换"。看一个例子：

设 $u_1=v_1+2v_2,\ u_2=3v_1+4v_2$，而 $v_1=2w_1,\ v_2=w_1+w_2$。把 $v$ 代进去：

$$u_1=2w_1+2(w_1+w_2)=4w_1+2w_2,\qquad u_2=3\cdot2w_1+4(w_1+w_2)=10w_1+4w_2.$$

两次代换的系数矩阵分别是 $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$，合起来的系数矩阵是 $\begin{pmatrix}4&2\\10&4\end{pmatrix}$。你用"行乘列"算一下 $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}$，结果恰好就是它。所以矩阵乘法 = 把两次代换合成一次。顺序当然重要："先穿袜子再穿鞋"和"先穿鞋再穿袜子"不是一回事，这就是 $AB\neq BA$ 的直观原因。

图 2：矩阵乘法 = 两次变换接连做：字母 F 先被 B 错切，再被 A 旋转 90°，效果等于一次 AB（动画循环播放）

例 2 $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&1&3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\1&4\end{pmatrix}$，求 $AB$ 与 $BA$。

解：$A$ 是 $2\times3$，$B$ 是 $3\times2$，$AB$ 是 $2\times2$。

• 第 1 行乘第 1 列：$1\cdot2+2\cdot0+0\cdot1=2$；
• 第 1 行乘第 2 列：$1\cdot1+2\cdot(-1)+0\cdot4=-1$；
• 第 2 行乘第 1 列：$(-1)\cdot2+1\cdot0+3\cdot1=1$；
• 第 2 行乘第 2 列：$(-1)\cdot1+1\cdot(-1)+3\cdot4=10$。

$$AB=\begin{pmatrix}2&-1\\1&10\end{pmatrix}.$$

而 $BA$ 是 $3\times3$ 矩阵（同样逐个算）：

$$BA=\begin{pmatrix}1&5&3\\1&-1&-3\\-3&6&12\end{pmatrix}.$$

连"大小"都不一样，$AB\ne BA$ 一目了然。

例 3（行乘列得数，列乘行得矩阵） 设 $\alpha=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，求 $\alpha^T\beta$ 和 $\alpha\beta^T$。（$\alpha^T$ 是把列"放倒"成行，转置马上会正式讲。）

解：

• $\alpha^T\beta=(1,2,3)\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$：$(1\times3)(3\times1)=1\times1$，结果是一个数：$1\cdot1+2\cdot(-1)+3\cdot2=1-2+6=5$。
• $\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}(1,-1,2)$：$(3\times1)(1\times3)=3\times3$，结果是一个矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列 = $\alpha$ 的第 $i$ 个数 × $\beta$ 的第 $j$ 个数：

$$\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&-2&4\\3&-3&6\end{pmatrix}.$$

同样两个向量，顺序一换，一个是数，一个是 $3\times3$ 矩阵。这对组合在后面求 $A^n$、特征值时经常出现。

例 4（方程组可以写成一个矩阵等式） 把方程组 $\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=b_1\\x_1+4x_2-2x_3=b_2\end{cases}$ 写成矩阵形式。

解：令系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&4&-2\end{pmatrix}$，未知数列 $x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$，常数列 $b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$。按乘法规则，

$$Ax=\begin{pmatrix}2x_1-x_2+3x_3\\x_1+4x_2-2x_3\end{pmatrix},$$

所以方程组就是 $Ax=b$。一整个方程组被压缩成一个式子——这正是矩阵乘法这样定义的原因，第 18 讲会天天用这个写法。

2.3 乘法的两大"反常识"：不满足交换律、不满足消去律#

例 5 $A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$，计算 $AB$ 和 $BA$。

解：

$$AB=\begin{pmatrix}1-1&-1+1\\-1+1&1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1+1&1+1\\-1-1&-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix}.$$

这一个例子暴露了三件事：

1. $AB\neq BA$（不满足交换律）。所以 $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$，不能写成 $A^2+2AB+B^2$；只有当 $AB=BA$（称 $A,B$ "可交换"）时才可以。
2. $A\ne O$，$B\ne O$，但 $AB=O$。数字里"$ab=0$ 则 $a=0$ 或 $b=0$"在矩阵里不成立。
3. 由此，消去律不成立：$AC=AD$ 且 $A\ne O$，推不出 $C=D$。例如 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，$C=E$，$D=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，算一下 $AC=AD=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，但 $C\ne D$。

（什么时候可以"约掉"$A$？当 $A$ 可逆时，两边左乘 $A^{-1}$ 即可。见第三节。）

图 3：同一个 F，"先 B 后 A"和"先 A 后 B"得到的图形不同——AB ≠ BA 的直观样子

例 6（中学公式失效的现场） 仍用例 5 的 $A,B$，比较 $(A+B)^2$ 和 $A^2+2AB+B^2$。

解：$A+B=\begin{pmatrix}2&0\\-2&0\end{pmatrix}$，$(A+B)^2=\begin{pmatrix}2&0\\-2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\-4&0\end{pmatrix}$。

另一边：$A^2=\begin{pmatrix}1-1&1-1\\-1+1&-1+1\end{pmatrix}=O$，$B^2=\begin{pmatrix}1+1&-1-1\\-1-1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}$，$AB=O$，所以 $A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}$。

两者不相等！差别就在 $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ 里，$BA\ne AB$。（顺便看到：$A\neq O$ 但 $A^2=O$。）

仍然成立的运算律：

• 结合律 $(AB)C=A(BC)$；
• 分配律 $A(B+C)=AB+AC$，$(B+C)A=BA+CA$（注意左右不能乱）；
• $k(AB)=(kA)B=A(kB)$；
• $EA=AE=A$（单位矩阵像数字 1）。

2.4 转置#

定义：把 $A$ 的行换成同序号的列，得到 $A^T$（读作"A 转置"）。$m\times n$ 矩阵转置后是 $n\times m$ 矩阵。

运算律：

$$(A^T)^T=A,\quad (A+B)^T=A^T+B^T,\quad (kA)^T=kA^T,\quad (AB)^T=B^TA^T.$$

最后一条要倒序，像"穿袜子再穿鞋，脱的时候先脱鞋再脱袜子"。

例 7 用例 2 的 $A,B$ 验证 $(AB)^T=B^TA^T$。

解：$(AB)^T=\begin{pmatrix}2&1\\-1&10\end{pmatrix}$。另算 $B^T=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&-1&4\end{pmatrix}$，$A^T=\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\\0&3\end{pmatrix}$，

$B^TA^T$ 第 1 行第 1 列：$2\cdot1+0\cdot2+1\cdot0=2$；第 1 行第 2 列：$2\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot3=1$；第 2 行第 1 列：$1\cdot1+(-1)\cdot2+4\cdot0=-1$；第 2 行第 2 列：$1\cdot(-1)+(-1)\cdot1+4\cdot3=10$。结果一致 ✓。

例 8（对称矩阵的制造机） 设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\3&-1\end{pmatrix}$，计算 $A^TA$ 与 $AA^T$，并说明它们为什么一定是对称矩阵。

解：$A$ 是 $3\times2$，$A^T$ 是 $2\times3$。

$$A^TA=\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+0+9&2+0-3\\2+0-3&4+1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&-1\\-1&6\end{pmatrix},$$ $$AA^T=\begin{pmatrix}5&2&1\\2&1&-1\\1&-1&10\end{pmatrix}\quad(3\times3).$$

两者都关于主对角线对称。一般证明：$(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA$，转置等于自己，所以是对称矩阵；$AA^T$ 同理。这个结论在第 20 讲二次型里会用到。

2.5 方阵的幂#

定义：$A$ 是方阵，$A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k\text{ 个}}$，规定 $A^0=E$。

• $A^kA^l=A^{k+l}$，$(A^k)^l=A^{kl}$ 照样成立；
• 但 $(AB)^k\ne A^kB^k$（一般情况），因为不能交换。

求 $A^n$ 的两个常用套路：

例 9（找规律） $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，求 $J^n$。

解：$J^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$，$J^3=J^2J=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$，猜 $J^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$（可用数学归纳法证明：$J^{n}J=\begin{pmatrix}1&n+1\\0&1\end{pmatrix}$）。

例 10（秩 1 矩阵） $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}$，求 $A^n$。

解：每一行都成比例，可写成"列 × 行"：$A=\alpha\beta^T$，$\alpha=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$，$\beta^T=(1,1,1)$。关键是 $\beta^T\alpha=1+2+3=6$ 是一个数。于是

$$A^n=\alpha(\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)\cdots(\beta^T\alpha)\beta^T=6^{n-1}\alpha\beta^T=6^{n-1}A.$$

（用结合律把中间的 $\beta^T\alpha$ 两两配对，共 $n-1$ 个。）

例 11（对角矩阵的幂最简单） 求 $\Lambda=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ 的 5 次幂。

解：对角矩阵相乘，就是对角线上的数各自相乘（自己乘两个对角矩阵验证一下）。所以

$$\Lambda^5=\begin{pmatrix}2^5&0&0\\0&(-1)^5&0\\0&0&3^5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}32&0&0\\0&-1&0\\0&0&243\end{pmatrix}.$$

这一点非常重要：第 19 讲"相似对角化"的一大用途，就是把一般矩阵的幂转化成对角矩阵的幂来算。

2.6 方阵的行列式#

$A$ 是 $n$ 阶方阵，$|A|$ 是一个数。重要规律：

$$|A^T|=|A|,\qquad |kA|=k^n|A|,\qquad |AB|=|A||B|.$$

逐行拆解：

• $|kA|=k^n|A|$：$kA$ 是每个元素乘 $k$，即每一行都乘 $k$，$n$ 行提出 $n$ 个 $k$。
• $|AB|=|A||B|$：虽然 $AB\neq BA$，但 $|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|$，行列式可以交换。
• 注意：$|A+B|\neq|A|+|B|$（一般情况），行列式对加法没有这种规律。

例 12 $A$ 是 3 阶方阵，$|A|=2$。求 $|3A|$、$|-A|$、$|A^2|$。

解：$|3A|=3^3\times2=54$；$|-A|=(-1)^3\times2=-2$；$|A^2|=|A|\cdot|A|=4$。

⚠️ 易错点#

1. $|kA|=k^n|A|$，不是 $k|A|$——这是考研中出现频率极高的坑。
2. 乘法前先检查"中间相等"，否则不能乘。
3. 展开 $(A+B)^2$、$(A-B)(A+B)$ 时，不能用中学公式，除非题目说了 $AB=BA$。
4. $AB=O$ 推不出 $A=O$ 或 $B=O$；$A^2=O$ 推不出 $A=O$。

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三、逆矩阵#

3.1 大白话#

数字里，$3\times\frac13=1$，$\frac13$ 叫 3 的倒数。矩阵里的 "1" 是单位矩阵 $E$，"倒数"就叫逆矩阵。有了逆矩阵，就能在矩阵方程里做"除法"。不过矩阵没有除号，只能"乘逆"。

3.2 定义#

对 $n$ 阶方阵 $A$，如果存在 $n$ 阶方阵 $B$，使

$$AB=BA=E,$$

则称 $A$ 可逆，$B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$（读作"A 逆"）。逆矩阵如果存在，是唯一的。

（实际上对方阵只需验证 $AB=E$ 一边即可，另一边自动成立。）

为什么只有方阵才谈"逆"？ $AB=BA=E$ 要求两个乘积都有意义而且都等于同一个 $E$。若 $A$ 是 $m\times n$，$B$ 必须是 $n\times m$，$AB$ 是 $m$ 阶、$BA$ 是 $n$ 阶，要相等只能 $m=n$。

例 13（用定义验证逆矩阵） 验证 $\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}$ 互为逆矩阵。

解：$\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-2&-2+2\\3-3&-2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$。对方阵，验证一边就够了，所以两者互为逆矩阵。

3.3 伴随矩阵 $A^*$#

定义：把 $A$ 的每个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 算出来，按转置的位置排成矩阵：

$$A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}.$$

$A^*$ 读作"A 星"，叫 $A$ 的伴随矩阵。

逐行拆解：

• 第 1 行放的是第 1 列元素的代数余子式 $A_{11},A_{21},\dots,A_{n1}$。也就是"按行算出来，按列摆进去"。
• 核心公式：

$$AA^*=A^*A=|A|E.$$

为什么？$AA^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列 = $a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{in}A_{jn}$。当 $i=j$ 时，这就是按第 $i$ 行展开，等于 $|A|$；当 $i\ne j$ 时是"错位相乘"，等于 0（第 15 讲展开定理的推论）。

二阶伴随矩阵速记：$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，$A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$。口诀："主对角线互换，副对角线变号"。

3.4 可逆的充要条件#

定理：方阵 $A$ 可逆 $\iff |A|\ne0$。且可逆时

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*.$$

逐行拆解：

• $\iff$ 读作"当且仅当"，表示两边互相推出。
• $|A|\neq0$ 的方阵也叫非奇异矩阵；$|A|=0$ 叫奇异矩阵。
• 这个结论后面会不断扩充成一长串等价条件（秩为 $n$、列向量线性无关、$Ax=0$ 只有零解、特征值全不为零……），第 17、18、19 讲会陆续补上。

逆矩阵的性质（$A,B$ 都可逆，$k\ne0$）：

$$(A^{-1})^{-1}=A,\quad (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1},\quad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\quad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,\quad |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}.$$

$(AB)^{-1}$ 也要倒序（同转置）。另外，$(A+B)^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$。

3.5 求逆方法：伴随矩阵法（另一种方法"初等行变换法"见第 16 讲（下））#

例 14（二阶） 求 $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：$|A|=2\times3-1\times5=1\ne0$，可逆。$A^*=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$（主对角互换、副对角变号）。所以

$$A^{-1}=\frac11A^*=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}.$$

验证：$\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-5&-2+2\\15-15&-5+6\end{pmatrix}=E$ ✓。

例 15（三阶） 求 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

解：

第 1 步，算行列式：按第 1 行展开，$|A|=1\cdot(6-4)-2\cdot(6-3)+3\cdot(8-6)=2-6+6=2\neq0$，可逆。

第 2 步，算 9 个代数余子式（注意棋盘格符号）：

• $A_{11}=+\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=2$，$A_{12}=-\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}=-3$，$A_{13}=+\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=2$；
• $A_{21}=-\begin{vmatrix}2&3\\4&3\end{vmatrix}=6$，$A_{22}=+\begin{vmatrix}1&3\\3&3\end{vmatrix}=-6$，$A_{23}=-\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=2$；
• $A_{31}=+\begin{vmatrix}2&3\\2&1\end{vmatrix}=-4$，$A_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}=5$，$A_{33}=+\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=-2$。

第 3 步，按"转置位置"摆成 $A^*$（第 $i$ 行放第 $i$ 列元素的代数余子式）：

$$A^*=\begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac12A^*=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac32&-3&\frac52\\1&1&-1\end{pmatrix}.$$

3.6 用逆矩阵解矩阵方程#

• $AX=B$（$A$ 可逆）$\Rightarrow X=A^{-1}B$（两边左乘 $A^{-1}$）；
• $XA=B$ $\Rightarrow X=BA^{-1}$（两边右乘 $A^{-1}$）；
• $AXB=C$ $\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}$。

例 16 解 $AX=B$，$A=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}$。

解：$|A|=6-5=1$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$。

$$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}3\cdot4+(-5)\cdot2 & 3\cdot(-6)+(-5)\cdot1\\ (-1)\cdot4+2\cdot2 & (-1)\cdot(-6)+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}.$$

例 17（右乘的情形） 解 $XA=B$，$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$。

解：$X$ 在 $A$ 的左边，所以两边右乘 $A^{-1}$：$X=BA^{-1}$。

• $|A|=4-6=-2$，$A^*=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，$A^{-1}=-\frac12\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}$；
• $X=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-4+\frac32&2-\frac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-\frac52&\frac32\end{pmatrix}$。

例 18（两边夹击） 解 $AXB=C$，$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$。

解：左乘 $A^{-1}$、右乘 $B^{-1}$：$X=A^{-1}CB^{-1}$。

• $|A|=1$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$；$|B|=1$，$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$；
• 先算 $A^{-1}C=\begin{pmatrix}1-3&2-4\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-2\\3&4\end{pmatrix}$；
• 再算 $(A^{-1}C)B^{-1}=\begin{pmatrix}-2+2&2-4\\3-4&-3+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&5\end{pmatrix}$。

验证：$AXB=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-2\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=C$ ✓。

3.7 伴随矩阵的常用结论#

由 $AA^*=|A|E$ 可以推出（$A$ 为 $n$ 阶）：

• $A$ 可逆时，$A^*=|A|A^{-1}$；
• $|A^*|=|A|^{n-1}$；
• $A$ 可逆时，$(A^*)^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A$。

例 19 $A$ 为 3 阶方阵，$|A|=3$，求 $|A^*|$ 和 $(A^*)^{-1}$。

解：$|A^*|=|A|^{3-1}=9$。由 $AA^*=3E$ 得 $A^*\cdot\dfrac{A}{3}=E$，所以 $(A^*)^{-1}=\dfrac13A$。

（$|A^*|=|A|^{n-1}$ 的推导：对 $AA^*=|A|E$ 两边取行列式，$|A||A^*|=|A|^n$，$|A|\neq0$ 时两边除以 $|A|$ 即得。）

例 20（伴随与逆混在一起） $A$ 为 3 阶方阵，$|A|=2$，求 $|(2A)^{-1}-A^*|$。

解：思路是把所有东西都化成 $A^{-1}$ 的倍数。

• $(2A)^{-1}=\frac12A^{-1}$（逆的性质）；
• $A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1}$；
• 所以 $(2A)^{-1}-A^*=\frac12A^{-1}-2A^{-1}=-\frac32A^{-1}$；
• $|-\frac32A^{-1}|=\left(-\frac32\right)^3|A^{-1}|=-\frac{27}{8}\times\frac12=-\frac{27}{16}$。

3.8 由矩阵多项式求逆（抽象矩阵）#

大白话：题目不给 $A$ 的具体数字，只给一个关系式，比如 $A^2-A-2E=O$，问 $A$ 可不可逆、逆是什么。办法是凑出"某矩阵 × 某矩阵 = $E$"的样子，由定义直接读出逆矩阵。

例 21 设方阵 $A$ 满足 $A^2-A-2E=O$。证明 $A$ 和 $A+2E$ 都可逆，并求它们的逆。

解：

(1) 移项：$A^2-A=2E$，左边提出 $A$：$A(A-E)=2E$，两边除以 2：

$$A\cdot\frac{A-E}{2}=E.$$

由逆矩阵定义，$A$ 可逆且 $A^{-1}=\dfrac12(A-E)$。

(2) 要凑出 $(A+2E)(\ \cdot\ )$。试着用 $A+2E$ 去"除" $A^2-A-2E$：因为 $(A+2E)(A-3E)=A^2-3A+2A-6E=A^2-A-6E$，所以

$$A^2-A-2E=(A+2E)(A-3E)+4E=O\ \Longrightarrow\ (A+2E)(A-3E)=-4E.$$

两边除以 $-4$：$(A+2E)\cdot\left[-\frac14(A-3E)\right]=E$，所以 $(A+2E)^{-1}=-\dfrac14(A-3E)$。

（这里 $A$ 和 $E$ 可交换，所以像多项式一样展开 $(A+2E)(A-3E)$ 是合法的。可以用满足条件的具体矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}$ 验证：$A^2=\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}$，$A^2-A-2E=O$ ✓，且两个逆的公式都成立。）

⚠️ 易错点#

1. 伴随矩阵要转置摆放，这是最常见的错误。二阶直接用口诀。
2. 解矩阵方程时左乘、右乘不能弄错：$AX=B$ 的解是 $A^{-1}B$，不是 $BA^{-1}$。
3. 伴随矩阵法适合二阶和三阶；三阶以上用第 16 讲（下）的初等行变换法更快。
4. 求完逆矩阵，花 30 秒乘回去验证一行，能救命。

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本讲题型小结#

题型	抓手
具体矩阵相乘	先查"中间相等"，再"行乘列"逐个算
求 $A^n$	对角矩阵直接乘方；秩 1 矩阵 $\alpha\beta^T$ 用 $(\beta^T\alpha)^{n-1}$；其他先算 $A^2,A^3$ 找规律
含 $\lvert kA\rvert$、$\lvert A^{-1}\rvert$、$\lvert A^*\rvert$ 的行列式	全部化成 $\lvert A\rvert$ 的式子；混合的先化成 $A^{-1}$ 的倍数
具体矩阵求逆	二阶口诀；三阶伴随矩阵法（或下篇的行变换法）
矩阵方程	先看未知矩阵在左还是在右，决定左乘还是右乘逆矩阵
已知矩阵多项式求逆	凑成"$(\ \cdot\ )(\ \cdot\ )=E$"

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公式/结论速记卡#

内容	结论
乘法条件	$(m\times s)(s\times n)=m\times n$，中间相等
乘法元素	$c_{ij}$ = $A$ 第 $i$ 行 · $B$ 第 $j$ 列
三个"不成立"	$AB\ne BA$；$AB=O\not\Rightarrow A=O$ 或 $B=O$；$AC=AD\not\Rightarrow C=D$
行乘列 / 列乘行	$\alpha^T\beta$ 是数；$\alpha\beta^T$ 是矩阵
方程组	$Ax=b$
转置	$(AB)^T=B^TA^T$
对角矩阵的幂	对角元各自乘方
秩 1 矩阵	$A=\alpha\beta^T\Rightarrow A^n=(\beta^T\alpha)^{n-1}A$
方阵行列式	$\lvert kA\rvert=k^n\lvert A\rvert$，$\lvert AB\rvert=\lvert A\rvert\lvert B\rvert$，$\lvert A^T\rvert=\lvert A\rvert$
可逆	$A$ 可逆 $\iff\lvert A\rvert\ne0$，$A^{-1}=\frac{1}{\lvert A\rvert}A^*$
伴随	$AA^*=A^*A=\lvert A\rvert E$；$A^*=\lvert A\rvert A^{-1}$；$\lvert A^*\rvert=\lvert A\rvert^{n-1}$；二阶：主对角互换，副对角变号
逆的性质	$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，$(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}$，$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$，$\lvert A^{-1}\rvert=\frac1{\lvert A\rvert}$
矩阵方程	$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$；$XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}$；$AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}$

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自测练习#

1. $A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$，求 $AB$ 和 $BA$。

答案与提示

$AB=\begin{pmatrix}1\cdot3+(-1)\cdot1&1\cdot1+(-1)\cdot2\\2\cdot3+0\cdot1&2\cdot1+0\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\6&2\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}5&-3\\5&-1\end{pmatrix}$。再次看到 $AB\ne BA$。

2. 设 $K=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$，求 $K^n$。

答案与提示

$K^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$，$K^3=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$，规律为 $K^n=\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}$。

3. 设 $\alpha=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$，$A=\alpha\beta^T$。求 $A$ 和 $A^n$。

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\-2&-1&-1\\4&2&2\end{pmatrix}$；$\beta^T\alpha=2-1+2=3$，所以 $A^n=3^{n-1}A$。

4. $A$ 为 3 阶方阵，$|A|=-2$。求 (1) $|2A^{-1}|$；(2) $|A^*|$；(3) $|3A^T|$。

答案与提示

(1) $|2A^{-1}|=2^3\cdot\dfrac{1}{-2}=-4$；(2) $|A^*|=|A|^{2}=4$；(3) $|3A^T|=3^3\cdot(-2)=-54$。关键：数乘提出来是 $k^3$。

5. $A$ 为 3 阶方阵，$|A|=\frac12$，求 $|(3A)^{-1}-2A^*|$。

答案与提示

$(3A)^{-1}=\frac13A^{-1}$，$A^*=|A|A^{-1}=\frac12A^{-1}$，所以 $(3A)^{-1}-2A^*=\frac13A^{-1}-A^{-1}=-\frac23A^{-1}$。$|-\frac23A^{-1}|=\left(-\frac23\right)^3\cdot2=-\frac{16}{27}$。

6. 求逆矩阵：(1) $\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}$；(2) $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$（用伴随矩阵法）。

答案与提示

(1) 行列式 $=9-8=1$，主对角互换、副对角变号：$\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}$。

(2) $|A|=1$。代数余子式：$A_{11}=1,A_{12}=0,A_{13}=0$；$A_{21}=-1,A_{22}=1,A_{23}=0$；$A_{31}=1,A_{32}=-1,A_{33}=1$。按转置位置摆放：$A^{-1}=A^*=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$。

7. 解矩阵方程：(1) $AX=B$；(2) $XA=B$。其中 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$。

答案与提示

$|A|=1$，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$。

(1) $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-2&-2\\5&6\end{pmatrix}$；(2) $X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&5\end{pmatrix}$。两个答案不同，再次说明左乘右乘不能混。

8. 设方阵 $A$ 满足 $A^2-2A-4E=O$，证明 $A+E$ 可逆并求 $(A+E)^{-1}$。

答案与提示

$(A+E)(A-3E)=A^2-2A-3E$。由条件 $A^2-2A=4E$，所以 $(A+E)(A-3E)=4E-3E=E$。故 $A+E$ 可逆，$(A+E)^{-1}=A-3E$。

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下一讲预告#

第 16 讲（下）学习分块矩阵、初等变换与初等矩阵、用行变换求逆，以及衡量矩阵"有效信息量"的秩。