考研数学二·零基础讲义 第15讲（下）｜行列式：展开定理、计算方法与克拉默法则

考研数学二·零基础讲义 · 第 15 讲（下）｜行列式：展开定理、计算方法与克拉默法则

学完本讲，你能用"化三角形""展开降阶""各行和相等""范德蒙德"四招算出考研常见的行列式，会做代数余子式求和题，并会用克拉默法则。预计用时：4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 展开定理：余子式 $M_{ij}$、代数余子式 $A_{ij}$，把 $n$ 阶行列式拆成 $n-1$ 阶；"错位相乘得零"。
• 四类计算方法：化三角形、展开降阶（含爪形行列式）、各行（列）和相等型、范德蒙德行列式。
• 克拉默法则：$D\neq0$ 时方程组有唯一解 $x_j=D_j/D$；齐次方程组有非零解 $\iff D=0$。
• 考研怎么考：计算具体或含参数的行列式、代数余子式（余子式）的线性组合求值，常以小题出现；也常作为大题中的一步（如讨论参数使系数行列式为零）。
• 大纲要求：会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式；会用克拉默法则。

前置知识#

• 二阶、三阶行列式的计算，行列式的六条性质，见第 15 讲（上）。本讲每道题都要用到性质，尤其是"倍加不变""两行成比例为零"。
• 连乘符号会在本讲第一次出现，到时候会说明读法。

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一、按行（列）展开：把大行列式变成小行列式#

1.1 大白话#

三阶比二阶难，四阶比三阶难。能不能把一个四阶行列式"拆"成几个三阶行列式？可以！这就是"展开定理"，相当于"降阶"。就像搬家时把大衣柜拆成几块小木板再搬。

1.2 余子式与代数余子式#

定义：在 $n$ 阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划掉，剩下的元素按原来的位置组成一个 $n-1$ 阶行列式，叫 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。再令

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},$$

$A_{ij}$ 叫 $a_{ij}$ 的代数余子式。

逐行拆解：

• $M_{ij}$：M 是 minor（余子式）。"余"就是划掉一行一列后"剩余"的部分。
• $(-1)^{i+j}$：只决定正负。$i+j$ 为偶数时取 $+$，奇数时取 $-$。画出来就是一个"棋盘格"：

$$\begin{matrix} + & - & + & \cdots\\ - & + & - & \cdots\\ + & - & + & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix}$$

左上角是 $+$，然后正负交替。

• 注意：$M_{ij}$、$A_{ij}$ 和 $a_{ij}$ 本身的值无关，只和它的位置以及其他元素有关。

1.3 展开定理#

定理：行列式等于它任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和：

$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\quad(\text{按第 } i \text{ 行展开}),$$ $$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\quad(\text{按第 } j \text{ 列展开}).$$

图 1：按第 1 行展开例 14 的行列式：依次划掉第 1 行和第 j 列得到余子式，按棋盘符号定正负，最后加起来得 7（动画循环播放）

拿三阶验证一下展开定理：按第 1 行展开

$$D=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}.$$

把三个二阶行列式展开：$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$，整理后正好是对角线法则的 6 项（3 正 3 负）。所以展开定理和对角线法则是一回事，只不过展开定理对任何阶数都适用。

为什么一定要选零多的行？ 展开后每一项是"元素 × 一个小行列式"，元素是 0 的项直接消失，小行列式就不用算了。一行有 $n-1$ 个零，展开后只剩 1 项——这就是"降阶"最省力的情形。所以实战口诀是：先用性质造零，再展开。

推论（"错位"相乘得零）：某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式，再求和，结果为 0：

$$a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0\quad(i\neq k).$$

为什么？这相当于把第 $k$ 行换成第 $i$ 行再展开，新行列式有两行相同，等于 0。

例 1（先练手：求余子式和代数余子式） 设 $D=\begin{vmatrix}2&1&3\\1&0&-1\\4&5&5\end{vmatrix}$，求 $M_{23}$ 和 $A_{23}$。

解：

• $a_{23}=-1$ 在第 2 行第 3 列。划掉第 2 行和第 3 列，剩下的四个数按原位置排好：第 1 行剩 $2,1$，第 3 行剩 $4,5$。
• $M_{23}=\begin{vmatrix}2&1\\4&5\end{vmatrix}=2\times5-1\times4=6$。
• $2+3=5$ 是奇数，$A_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-6$。

注意：$a_{23}$ 等于 $-1$ 这件事，对 $M_{23}$、$A_{23}$ 没有任何影响。

例 2 按第 1 行展开计算 $D=\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}$。

解：

• $A_{11}=(+1)\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1\times1-0\times2=1$；
• $a_{12}=0$，这一项乘出来是 0，不用算 $A_{12}$；
• $A_{13}=(+1)\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}=3\times2-1\times0=6$；
• $D=1\times1+0+2\times6=13$。

心得：选零最多的那一行或列展开，最省事。

例 3 设 $D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\2&1&0\end{vmatrix}$，求 $A_{11}+A_{12}+A_{13}$。

解（经典技巧）：$A_{11}+A_{12}+A_{13}=1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+1\cdot A_{13}$，这正是"把第 1 行换成 $1,1,1$"后的行列式按第 1 行展开的结果。而第 1 行的代数余子式与第 1 行元素无关，换掉不影响它们。所以

$$A_{11}+A_{12}+A_{13}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&4\\2&1&0\end{vmatrix}.$$

按第 1 行展开：$1\cdot(1\cdot0-4\cdot1)-1\cdot(0\cdot0-4\cdot2)+1\cdot(0\cdot1-1\cdot2)=-4+8-2=2$。

（直接算也可以：$A_{11}=-4$，$A_{12}=8$，$A_{13}=-2$，和为 2，一致。）

例 4 计算 $D=\begin{vmatrix}2&0&0&1\\0&1&0&0\\3&0&1&2\\0&4&0&3\end{vmatrix}$。

解：第 3 列只有 $a_{33}=1$ 不为零，按第 3 列展开，只剩一项：

$$D=a_{33}A_{33}=1\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&0&1\\0&1&0\\0&4&3\end{vmatrix}.$$

这个三阶行列式按第 1 列展开（只有 $2$ 不为零）：$2\cdot\begin{vmatrix}1&0\\4&3\end{vmatrix}=2\times3=6$。所以 $D=6$。

例 5（代数余子式与余子式求和） 设 $D=\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0&-7&0&0\\5&3&-2&2\end{vmatrix}$，求 (1) $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$；(2) $M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}$。

解：(1) 用例 3 的技巧，把第 4 行换成 $1,1,1,1$：

$$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0&-7&0&0\\1&1&1&1\end{vmatrix}.$$

第 2 行 $(2,2,2,2)$ 是第 4 行 $(1,1,1,1)$ 的 2 倍，两行成比例，结果为 $0$。

(2) 余子式要先换成代数余子式。第 4 行的符号是 $(-1)^{4+1}=-1$、$(-1)^{4+2}=+1$、$-1$、$+1$，所以 $M_{41}=-A_{41}$，$M_{42}=A_{42}$，$M_{43}=-A_{43}$，$M_{44}=A_{44}$。于是

$$M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44}=\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0&-7&0&0\\-1&1&-1&1\end{vmatrix}.$$

第 3 行只有 $a_{32}=-7$ 不为零，按第 3 行展开，符号 $(-1)^{3+2}=-1$：

$$=(-7)\cdot(-1)\cdot\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\-1&-1&1\end{vmatrix}=7\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\-1&-1&1\end{vmatrix}.$$

这个三阶行列式（对角线法则）：正项 $3\cdot2\cdot1+4\cdot2\cdot(-1)+0=6-8=-2$；负项 $0+3\cdot2\cdot(-1)+4\cdot2\cdot1=-6+8=2$；值为 $-2-2=-4$。所以结果 $=7\times(-4)=-28$。

⚠️ 易错点#

1. 代数余子式的符号 $(-1)^{i+j}$ 最容易漏，尤其是 $A_{12}$、$A_{21}$ 这种带负号的。
2. "代数余子式之和"类题目（如例 3、例 5），不要老老实实一个个算再加，用"换行"技巧更快更不容易错。
3. 展开时是 $a_{ij}A_{ij}$（元素乘它自己的代数余子式），不要乘错位置。

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二、行列式的计算方法#

考研里绝大多数行列式，都能用下面四招之一解决。

2.1 方法一：化为三角形行列式#

大白话：三角形行列式（主对角线下方全为 0 的"上三角"，或上方全为 0 的"下三角"）的值，就是主对角线元素的乘积。所以思路是：用性质 6（倍加）把对角线下方"消"成 0。这和中学解方程的消元法一模一样。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$

例 6 计算 $D=\begin{vmatrix}1&-1&2&1\\2&-1&5&3\\-1&3&1&2\\3&-2&7&6\end{vmatrix}$。

解：用第 1 行把第 1 列下面消成 0：$r_2-2r_1$，$r_3+r_1$，$r_4-3r_1$（倍加，值不变）：

$$D=\begin{vmatrix}1&-1&2&1\\0&1&1&1\\0&2&3&3\\0&1&1&3\end{vmatrix}.$$

再用第 2 行把第 2 列下面消成 0：$r_3-2r_2$，$r_4-r_2$：

$$D=\begin{vmatrix}1&-1&2&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{vmatrix}=1\times1\times1\times2=2.$$

例 7（左上角是 0 怎么办） 计算 $D=\begin{vmatrix}0&1&2\\1&3&1\\2&1&0\end{vmatrix}$。

解：左上角是 0，没法用它去消下面的元素。先交换第 1、2 行（记得变号）：

$$D=-\begin{vmatrix}1&3&1\\0&1&2\\2&1&0\end{vmatrix}.$$

$r_3-2r_1$：第 3 行变为 $(0,\ 1-6,\ 0-2)=(0,-5,-2)$。再 $r_3+5r_2$：第 3 行变为 $(0,\ 0,\ -2+10)=(0,0,8)$。

$$D=-\begin{vmatrix}1&3&1\\0&1&2\\0&0&8\end{vmatrix}=-(1\times1\times8)=-8.$$

技巧：左上角最好是 1（或 $-1$），这样消元不出分数。如果不是 1，可以先交换行（记得变号）或提公因子。

例 8（"爪形"/箭头形行列式） 计算 $D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&0&0\\1&0&3&0\\1&0&0&4\end{vmatrix}$。

解：特征是第 1 行、第 1 列和主对角线以外全是 0，像一只爪子。套路是用后面的列把第 1 列"消干净"。

• 第 2 列乘 $\frac12$ 加到……反过来说：做 $c_1-\frac12c_2$，第 2 行第 1 列变为 $1-\frac12\times2=0$，第 1 行第 1 列变为 $1-\frac12$；
• 同理做 $c_1-\frac13c_3$、$c_1-\frac14c_4$，第 3、4 行的第 1 列也变成 0，第 1 行第 1 列变成 $1-\frac12-\frac13-\frac14$。

$$D=\begin{vmatrix}1-\frac12-\frac13-\frac14&1&1&1\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{vmatrix}.$$

这是上三角行列式：$1-\frac12-\frac13-\frac14=\frac{12-6-4-3}{12}=-\frac1{12}$，所以

$$D=-\frac1{12}\times2\times3\times4=-2.$$

2.2 方法二：展开降阶#

先用性质把某一行（列）尽量变出很多 0，再按这一行（列）展开。例 4 就是这种思路（那里零是现成的）。更常见的情况是零不够多，需要先用倍加"造零"再展开，见下面的例子。

例 9（先造零再展开） 计算 $D=\begin{vmatrix}1&0&2&1\\2&1&0&3\\0&1&1&2\\1&0&0&1\end{vmatrix}$。

解：观察第 2 列：$0,1,1,0$，已经有两个 0。只要再把一个 1 消掉，第 2 列就只剩一个非零元。

第 1 步，$r_3-r_2$（倍加，值不变），第 3 行变为 $(0-2,\ 1-1,\ 1-0,\ 2-3)=(-2,0,1,-1)$：

$$D=\begin{vmatrix}1&0&2&1\\2&1&0&3\\-2&0&1&-1\\1&0&0&1\end{vmatrix}.$$

第 2 步，按第 2 列展开，只有 $a_{22}=1$，符号 $(-1)^{2+2}=+1$，划掉第 2 行第 2 列：

$$D=1\cdot\begin{vmatrix}1&2&1\\-2&1&-1\\1&0&1\end{vmatrix}.$$

第 3 步，对角线法则：正项 $1\cdot1\cdot1+2\cdot(-1)\cdot1+1\cdot(-2)\cdot0=1-2+0=-1$；负项 $1\cdot1\cdot1+1\cdot(-1)\cdot0+2\cdot(-2)\cdot1=1+0-4=-3$。所以 $D=-1-(-3)=2$。

2.3 方法三：各行（列）元素之和相等#

特征：每一行加起来都一样（常见的是"对角线是 $a$，其余都是 $b$"）。

套路：把第 2、3、…、n 列都加到第 1 列，第 1 列每个元素都变成同一个数（行和），提出来；然后用第 1 行去减其余各行，化成三角形。

例 10 计算 $D=\begin{vmatrix}x&1&1&1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1&1&x\end{vmatrix}$。

解：每行之和都是 $x+3$。把第 2、3、4 列加到第 1 列：

$$D=\begin{vmatrix}x+3&1&1&1\\x+3&x&1&1\\x+3&1&x&1\\x+3&1&1&x\end{vmatrix}=(x+3)\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1&1&x\end{vmatrix}.$$

再 $r_2-r_1$，$r_3-r_1$，$r_4-r_1$：

$$D=(x+3)\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&x-1&0&0\\0&0&x-1&0\\0&0&0&x-1\end{vmatrix}=(x+3)(x-1)^3.$$

一般结论（记住它可以秒填空题）：$n$ 阶行列式主对角线全是 $a$、其余全是 $b$，则

$$D=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}.$$

检验：$n=4,a=x,b=1$，得 $(x+3)(x-1)^3$ ✓。

例 11（字母版，同样的套路） 计算 $D=\begin{vmatrix}a+x&a&a\\a&a+x&a\\a&a&a+x\end{vmatrix}$。

解：每行之和都是 $3a+x$。

• 把第 2、3 列加到第 1 列，第 1 列全变成 $3a+x$，提出来：$D=(3a+x)\begin{vmatrix}1&a&a\\1&a+x&a\\1&a&a+x\end{vmatrix}$；
• $r_2-r_1$，$r_3-r_1$：$D=(3a+x)\begin{vmatrix}1&a&a\\0&x&0\\0&0&x\end{vmatrix}$；
• 上三角：$D=(3a+x)x^2$。

和公式对照：这是"对角线 $a+x$、其余 $a$"，$[(a+x)+2a]\,[(a+x)-a]^2=(3a+x)x^2$ ✓。

2.4 方法四：范德蒙德行列式#

特征：第 1 行全是 1，第 2 行是 $x_1,\dots,x_n$，第 3 行是它们的平方，……，一直到 $n-1$ 次方。"范德蒙德"是数学家的名字。

$$V_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j).$$

逐行拆解：

• $\prod$ 读作"派"（大写的 $\pi$），意思是"连乘"，和 $\sum$（连加）是一对。
• $\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$：把所有"后面的减前面的"差值都乘起来。共有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 个因子。
• 三阶具体写出来：$V_3=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$。

推论：$x_1,\dots,x_n$ 两两不同 $\iff$ $V_n\neq0$。

例 12 计算 $D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}$。

解：这是 $x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$ 的范德蒙德行列式。

$$D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot1=12.$$

例 13（范德蒙德 + 方程） 解方程 $f(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&x\\1&4&x^2\end{vmatrix}=0$。

解：这是 $x_1=1,x_2=2,x_3=x$ 的三阶范德蒙德行列式：

$$f(x)=(2-1)(x-1)(x-2)=(x-1)(x-2).$$

令 $f(x)=0$，得 $x=1$ 或 $x=2$。（直观理解：$x$ 等于 1 或 2 时，第 3 列和第 1 列或第 2 列相同，行列式当然为 0。）

2.5 拿到一个行列式，按什么顺序想？#

很多同学学完四种方法，一到做题还是不知道从哪下手。给你一个"三问流程"：

1. 有没有特殊结构？ 先花 10 秒看形状：每行和是否相等？是不是范德蒙德？是不是爪形？是不是三角形或者零特别多？有特殊结构就直接套对应方法，往往两三步就出结果。
2. 数字普通，阶数不高（三阶）？ 直接对角线法则，或者按零多的一行展开。
3. 数字普通，阶数较高（四阶及以上）？ 化三角形，或者"先造零、再展开"。选一个元素是 $\pm1$ 的行或列作为"工具行"，用它把同列（同行）其他元素消成 0。

算完以后，如果时间允许，用另一种方法（比如换一行展开）再算一遍。行列式计算量大，最容易错在符号上，复核比多做一题更值钱。

⚠️ 易错点#

1. 化三角形时只能用倍加（值不变）；如果用了交换、倍乘，要记得补上 $-1$ 或 $\dfrac1k$。
2. 范德蒙德一定是"后减前"（$x_i-x_j$，$i>j$），写反了每个因子差一个负号，总共可能差一个符号。
3. 范德蒙德的标准形是"第 1 行全为 1，往下次数递增"。如果题目给的是转置形式（第 1 列全是 1），由性质 1，值一样。

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三、克拉默法则#

3.1 大白话#

二元方程组的公式 $x=D_1/D$ 能推广到 $n$ 个方程 $n$ 个未知数——只要系数行列式不为零，就能"一口气写出所有解"。

图 2：克拉默法则的几何直观（帮助理解，不考）：把 b、a₂ 张成的平行四边形沿 a₂ 方向滑动（倍加不改面积），正好拼成 2 个 a₁、a₂ 张成的平行四边形，所以 x = D₁/D = 2（动画循环播放）

3.2 定理#

对 $n$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$$

如果系数行列式 $D\neq0$，则方程组有唯一解：

$$x_1=\frac{D_1}{D},\ x_2=\frac{D_2}{D},\ \dots,\ x_n=\frac{D_n}{D},$$

其中 $D_j$ 是把 $D$ 的第 $j$ 列换成右端常数列 $b_1,\dots,b_n$ 得到的行列式。

关于齐次方程组（右端全为 0 的方程组叫"齐次"）：

• 齐次方程组一定有零解 $x_1=\cdots=x_n=0$；
• 若 $D\neq0$，则只有零解；
• 所以：齐次方程组有非零解 $\iff D=0$（"$\Leftarrow$"方向在第 18 讲会证明）。

3.3 例题#

例 14 用克拉默法则解 $\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$。

解：

$$D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=7\neq0,$$

所以有唯一解。（对角线法则：正项 $1+1+4=6$，负项 $(-1)+2+(-2)=-1$，$D=6-(-1)=7$。）

$$D_1=\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}=7,\quad D_2=\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=14,\quad D_3=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=21.$$

所以 $x=1,\ y=2,\ z=3$。代回三个方程均成立。

例 15 $\lambda$ 取何值时，齐次方程组 $\begin{cases}\lambda x+y+z=0\\x+\lambda y+z=0\\x+y+\lambda z=0\end{cases}$ 有非零解？

解：有非零解 $\iff D=0$。系数行列式是"对角线 $\lambda$、其余为 1"的三阶行列式，由 2.3 节的结论（$n=3,a=\lambda,b=1$）：

$$D=(\lambda+2)(\lambda-1)^2.$$

令 $D=0$，得 $\lambda=1$ 或 $\lambda=-2$。

例 16（含参数的唯一解） $a$ 取何值时，方程组 $\begin{cases}ax+y=1\\x+ay=1\end{cases}$ 有唯一解？并求出解。

解：

• 系数行列式 $D=\begin{vmatrix}a&1\\1&a\end{vmatrix}=a^2-1=(a-1)(a+1)$；
• 唯一解 $\iff D\neq0\iff a\neq1$ 且 $a\ne-1$；
• 此时 $D_1=\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}=a-1$，$D_2=\begin{vmatrix}a&1\\1&1\end{vmatrix}=a-1$；
• $x=\dfrac{a-1}{(a-1)(a+1)}=\dfrac1{a+1}$，$y=\dfrac1{a+1}$。

（$a=1$ 时两个方程都是 $x+y=1$，有无穷多解；$a=-1$ 时变成 $-x+y=1$ 与 $x-y=1$，互相矛盾，无解。这两种情况克拉默法则管不了，第 18 讲会系统处理。）

⚠️ 易错点#

1. 克拉默法则只适用于"方程个数 = 未知数个数"且 $D\neq0$ 的情形。$D=0$ 时它什么也说不了（可能无解，也可能无穷多解），要用第 18 讲的方法。
2. $D_j$ 是换掉第 $j$ 列，不是第 $j$ 行。
3. 实际计算中，未知数多于 3 个时克拉默法则计算量很大，考研主要考它的理论意义（$D\ne0$ 则唯一解；齐次有非零解 $\iff D=0$）。

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四、综合例题#

例 17（性质 + 三角化 + 解方程） 解方程 $\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&2-x&1\\1&1&1&3-x\end{vmatrix}=0$。

解：

第 1 步，用第 1 行去减其余各行：$r_2-r_1$，$r_3-r_1$，$r_4-r_1$。第 2 行变为 $(0,-x,0,0)$，第 3 行变为 $(0,0,1-x,0)$，第 4 行变为 $(0,0,0,2-x)$。

第 2 步，得到上三角行列式，值为对角线乘积：

$$1\cdot(-x)(1-x)(2-x)=-x(x-1)(x-2).$$

第 3 步，令其为 0：$x=0$、$x=1$ 或 $x=2$。

检验思路：$x=0$ 时第 2 行和第 1 行相同；$x=1$ 时第 3 行和第 1 行相同；$x=2$ 时第 4 行和第 1 行相同——行列式确实为 0。这种"代回去看哪两行相同"的检验方法很实用。

例 18（展开定理的"反向使用"） 已知三阶行列式 $D$ 的第 1 行元素为 $1,2,3$，第 2 行元素的代数余子式依次为 $A_{21},A_{22},A_{23}$。问 $1\cdot A_{21}+2\cdot A_{22}+3\cdot A_{23}$ 等于多少？

解：这是"第 1 行的元素 × 第 2 行的代数余子式"，属于错位相乘，由推论，结果为 $0$。不需要知道 $D$ 的其他元素。

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本讲题型小结#

看到什么	先想什么
某行（列）零很多	按这一行（列）展开
左上角是 1，元素是普通数字	化三角形
每行加起来一样	各列加到第 1 列，提公因子，再化三角
只有第 1 行、第 1 列、对角线不为 0	爪形：用后面的列消第 1 列
第 1 行全 1，往下是 1 次方、2 次方……	范德蒙德，后减前连乘
$k_1A_{i1}+\cdots+k_nA_{in}$	把第 $i$ 行换成 $k_1,\dots,k_n$ 再算
$M_{ij}$ 的组合	先按 $M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}$ 换成 $A_{ij}$
方程组未知数个数 = 方程个数，问唯一解 / 非零解	系数行列式 $D$ 是否为 0

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公式/结论速记卡#

内容	结论
余子式	划掉第 $i$ 行第 $j$ 列剩下的 $n-1$ 阶行列式 $M_{ij}$
代数余子式	$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，与 $a_{ij}$ 本身的值无关；符号呈棋盘格，左上为 $+$
展开定理	$D=\sum_k a_{ik}A_{ik}$（按行），$D=\sum_k a_{kj}A_{kj}$（按列）
错位相乘	$\sum_k a_{ik}A_{jk}=0\ (i\ne j)$
代数余子式求和	$k_1A_{i1}+\cdots+k_nA_{in}$ = 把第 $i$ 行换成 $k_1,\dots,k_n$ 后的行列式
三角形行列式	= 主对角线乘积
对角 $a$ 其余 $b$	$[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$
范德蒙德	$\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$（后减前）
克拉默	$D\ne0\Rightarrow x_j=D_j/D$ 唯一解（$D_j$：第 $j$ 列换成常数列）
齐次方程组	方程数 = 未知数个数时，有非零解 $\iff D=0$

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自测练习#

1. 按第 1 行展开计算 $\begin{vmatrix}2&0&1\\1&3&-1\\0&2&4\end{vmatrix}$。

答案与提示

$2\cdot\begin{vmatrix}3&-1\\2&4\end{vmatrix}-0+1\cdot\begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}=2\times14+1\times2=30$。

2. 设 $D=\begin{vmatrix}1&2&0\\3&-1&4\\0&5&2\end{vmatrix}$，求 $M_{12}$ 与 $A_{12}$；再求 $D$。

答案与提示

划掉第 1 行第 2 列：$M_{12}=\begin{vmatrix}3&4\\0&2\end{vmatrix}=6$；$1+2=3$ 为奇数，$A_{12}=-6$。

按第 1 行展开：$A_{11}=\begin{vmatrix}-1&4\\5&2\end{vmatrix}=-22$，$A_{13}=\begin{vmatrix}3&-1\\0&5\end{vmatrix}=15$，$D=1\times(-22)+2\times(-6)+0=-34$。

3. 设 $D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\2&1&0\end{vmatrix}$，求 $A_{31}+A_{32}+A_{33}$。

答案与提示

把第 3 行换成 $1,1,1$：$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(1-4)-2\cdot(0-4)+3\cdot(0-1)=-3+8-3=2$。

4. 计算 $\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&2&3&3\\1&2&3&4\end{vmatrix}$。

答案与提示

$r_4-r_3$，$r_3-r_2$，$r_2-r_1$（从下往上依次减，每次用的都是还没改过的行），得上三角 $\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}=1$。

5. 计算四阶行列式 $\begin{vmatrix}2&1&1&1\\1&2&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&2\end{vmatrix}$。

答案与提示

各行和相等型，$a=2,b=1,n=4$：$[2+3\times1](2-1)^3=5$。

6. 计算爪形行列式 $\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&0&0&1\end{vmatrix}$。

答案与提示

$c_1-c_2-c_3-c_4$，第 1 列变为 $(1-3,0,0,0)^T$，得上三角，值为 $(-2)\times1\times1\times1=-2$。

7. 计算 $\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&5\\4&9&25\end{vmatrix}$。

答案与提示

范德蒙德行列式，$x_1=2,x_2=3,x_3=5$：$(3-2)(5-2)(5-3)=1\times3\times2=6$。

8. (1) 用克拉默法则解 $\begin{cases}x+y+z=2\\x-y+2z=5\\2x+y-z=2\end{cases}$；(2) $\lambda$ 取何值时，齐次方程组 $\begin{cases}x+y+z=0\\x+\lambda y+z=0\\x+y+\lambda z=0\end{cases}$ 有非零解？

答案与提示

(1) $D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&2\\2&1&-1\end{vmatrix}=7$，$D_1=14$，$D_2=-7$，$D_3=7$，所以 $x=2,\ y=-1,\ z=1$。代回检验：$2-1+1=2$，$2+1+2=5$，$4-1-1=2$ ✓。

(2) 系数行列式：$r_2-r_1$、$r_3-r_1$ 得 $\begin{vmatrix}1&1&1\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2$。有非零解 $\iff(\lambda-1)^2=0\iff\lambda=1$。

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下一讲预告#

第 16 讲（上）我们把"数表"本身当成研究对象——矩阵：学会矩阵的加法、乘法和逆矩阵，行列式会在那里频繁登场。