考研数学二·零基础讲义 第15讲（上）｜行列式：概念、定义与性质

考研数学二·零基础讲义 · 第 15 讲（上）｜行列式：概念、定义与性质

学完本讲，你能看懂行列式记号、熟练算二阶三阶行列式、会判断 n 阶行列式中某一项的符号，并能灵活运用六条性质化简行列式。预计用时：3–4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 从哪来：行列式最早就是为了"一眼写出方程组的解"而发明的，我们从解二元一次方程组讲起。
• 学什么：二阶、三阶行列式的对角线法则 → 排列与逆序数 → n 阶行列式的定义 → 行列式的六条性质（转置不变、换行变号、倍乘、倍加、为零的情形、拆分）。
• 考研怎么考：常以选择、填空小题出现，比如利用性质由已知行列式求另一个行列式的值、判断某一项的符号或多项式的系数；更多时候行列式是求逆矩阵、判断可逆、求特征值的"计算工具"。
• 大纲要求：了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
• 本讲是行列式的上半部分；按行（列）展开、四类计算方法、克拉默法则放在第 15 讲（下）。

前置知识#

• 会解二元、三元一次方程组（消元法），中学内容，见第 01 讲的必备公式部分。
• 会求和符号 $\sum$（读作"西格玛"，意思是"把后面的东西加起来"）。如果不熟，先记住：$\sum_{i=1}^{3} a_i = a_1+a_2+a_3$。
• 本讲是线性代数的第一讲，不依赖微积分内容（第 02–14 讲）。

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一、从解方程组说起：为什么需要行列式#

1.1 大白话#

你解过无数次这样的方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases}$$

用消元法：第一个方程乘 $a_{22}$，第二个乘 $a_{12}$，相减把 $y$ 消掉，得到

$$(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\,x = b_1a_{22}-a_{12}b_2 .$$

同理消掉 $x$，得到

$$(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\,y = a_{11}b_2-b_1a_{21} .$$

你会发现一件有意思的事：$x$ 和 $y$ 的式子里，"分母"都是同一个东西 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$，它只和系数有关。数学家觉得每次写这一长串太麻烦，就发明了一个简写——这就是行列式。

可以把行列式想成一台"计算器"：你把一个方方正正的数表喂进去，它吐出一个数。这个数能告诉你很多事，比如方程组有没有唯一解。

1.2 记号与读法#

下标先说清楚：$a_{ij}$ 读作"a i j"，第一个下标 $i$ 是行号，第二个下标 $j$ 是列号。比如 $a_{21}$ 就是第 2 行第 1 列的那个数。整个线性代数都这么约定，务必记牢："先行后列"。

1.3 一个几何直观（帮助理解，不考）#

二阶行列式还有一个漂亮的几何意义：把两行 $(a_{11},a_{12})$、$(a_{21},a_{22})$ 看成平面上的两个箭头（从原点出发），它们张成一个平行四边形，行列式的绝对值就是这个平行四边形的面积。比如 $\begin{vmatrix}2&0\\0&3\end{vmatrix}=6$，正好是长 2、宽 3 的长方形面积。

图 1：矩阵把单位正方形（面积 1）变成两条边为 (3,1)、(1,2) 的平行四边形，面积变成 5，正好等于行列式 3×2−1×1（动画循环播放）

这个图像能帮你记住后面的性质：

• 两个箭头共线（两行成比例）时，平行四边形被"压扁"，面积为 0，所以行列式为 0；
• 一条边拉长 $k$ 倍（一行乘 $k$），面积也变 $k$ 倍；
• 把一条边沿另一条边的方向"推一推"（倍加），底和高都不变，面积不变。

图 2：左：一行乘 2，平行四边形面积从 3 变成 6；右：两行成比例时两个箭头共线，平行四边形被压扁，面积为 0

图 3：倍加（第 2 行加上第 1 行的 k 倍）：顶边沿虚线滑动，底和高都不变，面积始终是 5（动画循环播放）

三阶行列式的绝对值则是三个箭头张成的平行六面体的体积。这些几何解释考试不要求，只是帮你建立直觉。

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二、二阶与三阶行列式：对角线法则#

2.1 二阶行列式#

大白话：2×2 的数表，"主对角线（左上到右下）相乘"减去"副对角线（右上到左下）相乘"。

正式定义：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

逐行拆解：

• 两条竖线 $|\ \ |$ 把数表包起来，表示"行列式"。注意它不是绝对值，结果可以是负数。
• 横着的叫"行"，竖着的叫"列"。二阶就是 2 行 2 列。
• 结果 = 主对角线乘积 − 副对角线乘积。

有了它，上面方程组的解就能写成：

$$x=\frac{D_1}{D},\quad y=\frac{D_2}{D},\qquad D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\ D_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix},\ D_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}.$$

$D_1$ 就是把 $D$ 的第 1 列换成右端常数 $b_1,b_2$；$D_2$ 是把第 2 列换掉。（这就是后面"克拉默法则"的雏形。）

例 1 用行列式解 $\begin{cases}2x+3y=8\\ x-y=-1\end{cases}$。

解：

• 系数行列式 $D=\begin{vmatrix}2&3\\1&-1\end{vmatrix}=2\times(-1)-3\times1=-5$。
• 把第 1 列换成常数：$D_1=\begin{vmatrix}8&3\\-1&-1\end{vmatrix}=8\times(-1)-3\times(-1)=-8+3=-5$。
• 把第 2 列换成常数：$D_2=\begin{vmatrix}2&8\\1&-1\end{vmatrix}=2\times(-1)-8\times1=-10$。
• 所以 $x=\dfrac{-5}{-5}=1$，$y=\dfrac{-10}{-5}=2$。

代回检验：$2\times1+3\times2=8$ ✓，$1-2=-1$ ✓。

例 2 计算 $\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}$。

解：$3\times4-1\times2=12-2=10$。

例 3（带字母） 计算 $\begin{vmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{vmatrix}$。

解：主对角线乘积 $\cos\theta\cdot\cos\theta=\cos^2\theta$，副对角线乘积 $\sin\theta\cdot(-\sin\theta)=-\sin^2\theta$。

$$\text{原式}=\cos^2\theta-(-\sin^2\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

（这里用到了中学公式 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，见第 01 讲。）

例 4（行列式等于 0 求参数） 求使 $\begin{vmatrix}\lambda-1&2\\3&\lambda-2\end{vmatrix}=0$ 成立的 $\lambda$。

解：

• 展开：$(\lambda-1)(\lambda-2)-2\times3=\lambda^2-3\lambda+2-6=\lambda^2-3\lambda-4$；
• 令它等于 0：$\lambda^2-3\lambda-4=0$，因式分解 $(\lambda-4)(\lambda+1)=0$；
• 所以 $\lambda=4$ 或 $\lambda=-1$。

这种"令行列式等于 0 解参数"的题型，到第 19 讲求特征值时会天天用，现在先混个脸熟。

2.2 三阶行列式（对角线法则 / 沙路法则）#

正式定义：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$$

大白话（怎么记）：把前两列抄一遍放在右边，

• 从左上往右下画 3 条线（主对角线方向），每条线上 3 个数相乘，取正号；
• 从右上往左下画 3 条线（副对角线方向），每条线上 3 个数相乘，取负号。

一共 6 项，3 正 3 负。

例 5 计算 $D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{vmatrix}$。

解：

• 正的三项：$1\cdot5\cdot10=50$，$2\cdot6\cdot7=84$，$3\cdot4\cdot8=96$，和为 $230$。
• 负的三项：$3\cdot5\cdot7=105$，$1\cdot6\cdot8=48$，$2\cdot4\cdot10=80$，和为 $233$。
• $D=230-233=-3$。

例 6（有很多 0 的三阶） 计算 $\begin{vmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{vmatrix}$。

解：按对角线法则写 6 项，含 0 的项直接是 0：

• 正项：$a\cdot c\cdot e$，$0\cdot0\cdot d=0$，$b\cdot0\cdot0=0$，和为 $ace$；
• 负项：$b\cdot c\cdot d$，$a\cdot0\cdot0=0$，$0\cdot0\cdot e=0$，和为 $bcd$；
• 结果 $ace-bcd=c(ae-bd)$。

⚠️ 易错点#

1. 对角线法则只适用于二阶和三阶！四阶行列式用"画线"会出错（四阶有 24 项，画线只能画出 8 项）。四阶及以上必须用后面的性质和展开。
2. 行列式记号 $|\ |$ 不是绝对值，结果可正可负可为零。
3. 三阶的负号项最容易漏，算完数一数：一定是 3 正 3 负。

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三、n 阶行列式的定义：逆序数入门#

这一节是"了解"级别。目的不是让你用定义去算，而是看懂"行列式到底是怎么来的"，以及解决"某一项带正号还是负号"这类小题。

3.1 排列与逆序数#

大白话：把 $1,2,\dots,n$ 排成一行，就是一个"排列"。标准顺序是从小到大 $1\,2\,3\cdots n$。如果某两个数"大的排在小的前面"，就算一个"逆序"——就像排队时高个子站到了矮个子前面。逆序的总个数叫逆序数。

记号：排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数记作 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$，$\tau$ 读作"tao"（希腊字母）。逆序数是偶数叫偶排列，奇数叫奇排列。

怎么数（不重不漏）：从第一个数开始，依次看"它后面有几个比它小的"，加起来。

例 7 求 $\tau(3142)$、$\tau(2413)$、$\tau(4321)$。

解：

• $3142$：3 后面比 3 小的有 1、2，共 2 个；1 后面没有；4 后面比 4 小的有 2，1 个；最后一个不用看。$\tau=2+0+1=3$，奇排列。
• $2413$：2 后面比它小的有 1，1 个；4 后面有 1、3，2 个；1 后面没有。$\tau=1+2+0=3$。
• $4321$：$3+2+1=6$，偶排列。一般地 $\tau(n(n-1)\cdots21)=\dfrac{n(n-1)}{2}$。

3.2 n 阶行列式的定义#

$$D=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}.$$

逐行拆解：

• $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$：从第 1 行取一个数、第 2 行取一个数……第 $n$ 行取一个数，而且它们的列号 $j_1,\dots,j_n$ 互不相同。也就是：每行恰取一个、每列恰取一个，像在棋盘上摆 $n$ 个互不攻击的"车"。
• $\sum_{j_1j_2\cdots j_n}$：对所有可能的列号排列求和，共有 $n!$ 项（$n!$ 读作"n 的阶乘"，$=1\times2\times\cdots\times n$）。二阶 2 项，三阶 6 项，四阶 24 项。
• $(-1)^{\tau}$：符号由列号排列的逆序数决定，偶排列取正，奇排列取负。

你可以拿三阶验证：比如 $a_{13}a_{21}a_{32}$，列号排列 $312$，$\tau=2$，正号，正好对应对角线法则里的正项。

例 8 四阶行列式中，项 $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$ 带什么符号？

解：行号已经按 1、2、3、4 排好，看列号排列 $3142$，由例 7 知 $\tau=3$，奇数，所以这一项带负号。

例 9（三角形与"反三角"行列式） 用定义说明：(1) 下三角行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}$；(2) $\begin{vmatrix}0&0&a\\0&b&0\\c&0&0\end{vmatrix}=-abc$。

解：(1) 第 1 行只有 $a_{11}$ 不为 0，所以第 1 行只能取 $a_{11}$（列 1 被占）；第 2 行剩下列 2、3 可选，但 $a_{23}=0$，只能取 $a_{22}$；第 3 行只剩列 3，取 $a_{33}$。所以 6 项里只有 $a_{11}a_{22}a_{33}$ 这一项可能不为 0，它的列号排列是 $123$，$\tau=0$，带正号。

(2) 每行只有一个非零元：第 1 行取第 3 列的 $a$，第 2 行取第 2 列的 $b$，第 3 行取第 1 列的 $c$。列号排列是 $321$，$\tau(321)=2+1=3$，奇排列，带负号。结果 $-abc$。

⚠️ 注意 (2) 和二阶不同："副对角线行列式"的符号要按 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 算，三阶恰好是负号，不能凭感觉。

例 10（用定义找系数） 设 $f(x)=\begin{vmatrix}2x&x&1&2\\1&x&1&-1\\3&2&x&1\\1&1&1&x\end{vmatrix}$，求 $f(x)$ 中 $x^4$ 与 $x^3$ 的系数。

解：含 $x$ 的位置只有 $a_{11}=2x$、$a_{12}=x$、$a_{22}=x$、$a_{33}=x$、$a_{44}=x$。

• 要凑出 $x^4$，必须从 4 行各取一个含 $x$ 的元素，且列号不同。第 3、4 行只能取 $a_{33}$、$a_{44}$；第 1、2 行要在列 1、2 里取：只有 $a_{11}a_{22}$（取 $a_{12}$ 的话第 2 行就没有含 $x$ 的元素可取了）。这一项是 $2x\cdot x\cdot x\cdot x=2x^4$，列号排列 $1234$，正号。所以 $x^4$ 的系数是 $2$。
• 要凑出 $x^3$：恰有三个因子含 $x$。可能的组合是 $a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}=x\cdot1\cdot x\cdot x=x^3$，列号排列 $2134$，$\tau=1$，负号，得 $-x^3$。（其他取法要么凑出 $x^4$，要么含 $x$ 的因子不足 3 个。）所以 $x^3$ 的系数是 $-1$。

（完整展开结果是 $f(x)=2x^4-x^3-7x^2+12x-8$，与上面一致。）

⚠️ 易错点#

• 判断符号时，必须先把行号排成 $1,2,\dots,n$ 的自然顺序，再看列号的逆序数。如果题目给的项行号是乱的（如 $a_{21}a_{13}a_{34}a_{42}$），先按行号调整顺序（乘法可交换），再数。
• 用定义直接算 n 阶行列式几乎不可能（项太多），定义只用来理解和判断符号。

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四、行列式的性质（本讲核心）#

大白话：直接算高阶行列式太累，性质就是"合法的变形规则"——像解方程时"两边同乘一个数"那样，让行列式变简单，但值不变或按已知方式变化。

下面用 $r_i$ 表示第 $i$ 行（row），$c_j$ 表示第 $j$ 列（column）。常用写法：

• $r_i\leftrightarrow r_j$：交换第 $i$ 行与第 $j$ 行；
• $r_i\times k$：第 $i$ 行乘 $k$；
• $r_i+kr_j$：把第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上（被改动的是第 $i$ 行）。

4.1 六条性质#

性质 1（转置不变）：$D^{T}=D$。

转置就是"行变列、列变行"（沿主对角线翻折）。$D^T$ 读作"D 转置"。意义：行和列地位平等，下面凡是对"行"成立的性质，对"列"也成立。

性质 2（换行变号）：交换两行（列），行列式变号。

性质 3（倍乘）：某一行（列）所有元素都乘 $k$，行列式等于原来的 $k$ 倍。反过来说：某一行有公因子，可以提到行列式外面。

$$\begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}.$$

性质 4（为零的情形）：

• 某一行（列）全为 0，行列式为 0；
• 两行（列）相同，行列式为 0；
• 两行（列）成比例，行列式为 0。

性质 5（拆分）：如果某一行每个元素都是两数之和，行列式可以按这一行拆成两个行列式之和（其余行不动）：

$$\begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2\\ c_1 & c_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & a_2\\ c_1 & c_2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_1 & b_2\\ c_1 & c_2\end{vmatrix}.$$

性质 6（倍加不变）：把某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）上，行列式不变。这是计算时用得最多的一条。

（性质 6 其实可以由性质 5 + 性质 4 推出：拆开后多出来的那个行列式有两行成比例，等于 0。）

4.2 逐条拆解：哪些变、哪些不变#

操作	行列式怎么变
转置	不变
交换两行 $r_i\leftrightarrow r_j$	变号（乘 $-1$）
某行乘 $k$：$r_i\times k$	变为 $k$ 倍
倍加 $r_i+kr_j$	不变
某行全零 / 两行成比例	等于 0

例 11 设三阶行列式 $D=|r_1,r_2,r_3|=2$（把三行依次写出来的简记）。求：(1) $|r_1+2r_2,\ r_2,\ 3r_3|$；(2) $|r_2,\ r_1,\ r_3|$。

解：

(1) 第 1 行 $r_1+2r_2$ 是"把第 2 行的 2 倍加到第 1 行"，由性质 6，这步不改变值；第 3 行乘了 3，由性质 3，变为 3 倍。所以结果 $=3\times2=6$。

(2) 交换了第 1、2 行，由性质 2 变号，结果 $=-2$。

例 12 计算 $\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\5&7&9\end{vmatrix}$。

解：第 2 行 $(2,4,6)$ 恰好是第 1 行 $(1,2,3)$ 的 2 倍，两行成比例，由性质 4，行列式 $=0$。一步出结果，不用算。

例 13（列的版本） 设三阶行列式的三列依次为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$， $|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2$。求 $|\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_1|$。

（$\alpha$ 读作"阿尔法"，这里 $\alpha_1$ 表示第 1 列。由性质 1，对列的操作规则和对行完全一样。）

解：记所求为 $D'$。

第 1 步，第 3 列减去第 1 列（倍加，值不变）：第 3 列变成 $(\alpha_3+\alpha_1)-(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_3-\alpha_2$，

$$D'=|\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_2|.$$

第 2 步，第 3 列加上第 2 列：第 3 列变成 $(\alpha_3-\alpha_2)+(\alpha_2+\alpha_3)=2\alpha_3$，提出 2：

$$D'=2|\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3|.$$

第 3 步，第 2 列减去第 3 列：$D'=2|\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2,\ \alpha_3|$。

第 4 步，第 1 列减去第 2 列：$D'=2|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=2\times2=4$。

例 14（用性质简化数字计算） 计算 $\begin{vmatrix}101&201\\99&199\end{vmatrix}$。

解：直接乘也行，但数字大容易错。注意 $201=2\times101-1$，$199=2\times99+1$。做 $c_2-2c_1$（第 2 列减去第 1 列的 2 倍，值不变）：

$$\begin{vmatrix}101&201-202\\99&199-198\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}101&-1\\99&1\end{vmatrix}=101\times1-(-1)\times99=200.$$

例 15（先变形再看出成比例） 计算 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。

解：$r_3-r_2$ 得第 3 行 $(3,3,3)$；$r_2-r_1$ 得第 2 行 $(3,3,3)$。两行相同，行列式为 0。（注意先做 $r_3-r_2$，此时用的是原来的第 2 行；顺序反过来也可以，但要想清楚每一步用的是哪一行的"当前值"。）

4.3 用二阶行列式亲手验证每条性质#

零基础的同学不要只背结论，拿最简单的二阶 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ 自己验证一遍，印象会深得多：

• 转置：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-cb$，和原来一样。✓
• 换行：$\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}=cb-da=-(ad-bc)$，变号。✓
• 倍乘：$\begin{vmatrix}ka&kb\\c&d\end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)$，变为 $k$ 倍。✓
• 两行成比例：$\begin{vmatrix}a&b\\ka&kb\end{vmatrix}=akb-bka=0$。✓
• 拆分：$\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=(a+a')d-(b+b')c=(ad-bc)+(a'd-b'c)$，正好是两个行列式之和。✓
• 倍加：$\begin{vmatrix}a&b\\c+ka&d+kb\end{vmatrix}=a(d+kb)-b(c+ka)=ad-bc+kab-kab=ad-bc$，不变。✓

为什么"换行变号"这么重要？ 由它能直接推出"两行相同则为 0"：把相同的两行交换，行列式应该变号，可交换后行列式长得一模一样，所以 $D=-D$，只能 $D=0$。

拆分性质的一个例子：

$$\begin{vmatrix}1+2&3+4\\5&6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3\\5&6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&4\\5&6\end{vmatrix}=(6-15)+(12-20)=-9+(-8)=-17.$$

直接算：$\begin{vmatrix}3&7\\5&6\end{vmatrix}=18-35=-17$，一致。

⚠️ 易错点#

1. $|kA|$ 不是 $k|A|$：性质 3 说的是"一行乘 $k$，值乘 $k$"。如果 $n$ 阶行列式每个元素都乘 $k$，那是每一行都乘了 $k$，结果是 $k^n$ 倍（下一讲 $|kA|=k^n|A|$ 会再强调）。
2. 倍加时被改的是谁：$r_i+kr_j$ 改的是第 $i$ 行，第 $j$ 行保持不动。如果你写成 "$kr_i+r_j$ 放到第 $i$ 行"，那等于第 $i$ 行先乘了 $k$，值会变成 $k$ 倍。
3. 拆分只能按一行拆。两行都是"和"的时候，要拆两次，得到 4 个行列式，不是 2 个。
4. 行列式不能像分数那样"整体加一个数"，$\begin{vmatrix}a+1&b+1\\c+1&d+1\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+1$。

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本讲题型小结#

学到这里，你已经能应付行列式部分的这几类基础小题：

1. 直接计算二阶、三阶行列式：二阶"主减副"，三阶对角线法则，算完数一数是不是 3 正 3 负。
2. 令行列式为 0 解参数：展开成多项式，再因式分解（例 4）。
3. 判断某一项的符号：行号排好，数列号排列的逆序数（例 8）。
4. 用定义找多项式的系数：只盯着含 $x$ 的位置，看哪些"每行每列各取一个"的组合能凑出指定次数（例 10）。
5. 已知一个行列式，求变形后的行列式：把变形拆解成"换行、倍乘、倍加"三种基本动作，一步一步记录值的变化（例 11、例 13、练习 5、6）。
6. 一眼看出等于 0：找全零行、相同行、成比例行；看不出来就先做一两次倍加再看（例 12、例 15、练习 7）。

做题时的总原则：能用性质就别硬算。性质用得越熟，下一讲的计算就越轻松。

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公式/结论速记卡#

内容	结论
下标	$a_{ij}$：第 $i$ 行第 $j$ 列，先行后列
二阶	$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$（主对角乘积 − 副对角乘积）
三阶	对角线法则：3 正 3 负；只限二、三阶
逆序数	每个数"后面比它小的个数"之和；$\tau(n\cdots21)=\frac{n(n-1)}2$
n 阶定义	$D=\sum(-1)^{\tau(j_1\cdots j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}$，每行每列各取一个，共 $n!$ 项
判断符号	先把行号排成 $12\cdots n$，再看列号排列的奇偶
三角形行列式	= 主对角线乘积
转置	$D^T=D$，行的性质对列同样成立
换两行	变号
一行乘 $k$	值乘 $k$（公因子可提出）；每个元素都乘 $k$ 则乘 $k^n$
倍加 $r_i+kr_j$	值不变（改的是第 $i$ 行）
一行全零 / 两行相同 / 两行成比例	$D=0$
拆分	某行为两数和，可按该行拆成两个行列式之和；一次只拆一行

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自测练习#

1. 计算 $\begin{vmatrix}2&-3\\4&1\end{vmatrix}$。

答案与提示

$2\times1-(-3)\times4=2+12=14$。减去一个负数等于加上它。

2. 解方程 $\begin{vmatrix}x&2\\3&x+1\end{vmatrix}=0$。

答案与提示

展开：$x(x+1)-6=x^2+x-6=(x+3)(x-2)$。令其为 0，得 $x=2$ 或 $x=-3$。

3. 用对角线法则计算 $\begin{vmatrix}1&-1&2\\3&0&1\\2&1&4\end{vmatrix}$。

答案与提示

正项：$1\cdot0\cdot4=0$，$(-1)\cdot1\cdot2=-2$，$2\cdot3\cdot1=6$，和为 $4$；负项：$2\cdot0\cdot2=0$，$1\cdot1\cdot1=1$，$(-1)\cdot3\cdot4=-12$，和为 $-11$。结果 $4-(-11)=15$。

4. (1) 求 $\tau(4321)$、$\tau(3412)$、$\tau(25314)$；(2) 四阶行列式中，项 $a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}$ 带什么符号？

答案与提示

(1) $\tau(4321)=3+2+1=6$；$\tau(3412)$：3 后面有 1、2，4 后面有 1、2，共 4；$\tau(25314)$：2 后面 1 个（1），5 后面 3 个（3、1、4），3 后面 1 个（1），1 后面 0 个，共 5。

(2) 行号已是 1234，看列号排列 $4312$：4 后面比它小的 3 个，3 后面 2 个（1、2），1 后面 0 个，$\tau=5$，奇排列，带负号。

5. 设三阶行列式 $|r_1,r_2,r_3|=5$，求 $|3r_1,\ r_1+r_2,\ r_3-2r_2|$。

答案与提示

先从第 1 行提出 3：$3\,|r_1,\ r_1+r_2,\ r_3-2r_2|$。第 2 行减去第 1 行（倍加不变）得 $3\,|r_1,\ r_2,\ r_3-2r_2|$；第 3 行加上第 2 行的 2 倍（倍加不变）得 $3\,|r_1,r_2,r_3|=15$。

6. 设 $|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=3$（$\alpha_i$ 为列）。求 (1) $|\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1|$；(2) $|2\alpha_1,\ \alpha_2+\alpha_3,\ 3\alpha_3|$。

答案与提示

(1) 交换第 1、3 列，变号一次：$-3$。

(2) 第 1 列提出 2、第 3 列提出 3：$6|\alpha_1,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3|$；第 2 列减去第 3 列：$6|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=18$。

7. 不展开，证明 $\begin{vmatrix}1&a&b+c\\1&b&c+a\\1&c&a+b\end{vmatrix}=0$。

答案与提示

把第 2 列加到第 3 列（倍加不变），第 3 列每个元素都变成 $a+b+c$，提出公因子 $a+b+c$ 后，第 3 列与第 1 列都是 $(1,1,1)$，两列相同，行列式为 0。

8. 计算 $\begin{vmatrix}1001&1002\\1003&1004\end{vmatrix}$（提示：先用性质化简）。

答案与提示

$r_2-r_1$ 得第 2 行 $(2,2)$；$c_2-c_1$ 得 $\begin{vmatrix}1001&1\\2&0\end{vmatrix}=1001\times0-1\times2=-2$。

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下一讲预告#

第 15 讲（下）教你"把大行列式拆成小行列式"的展开定理，以及考研最常用的四种计算方法和克拉默法则。