考研数学二·零基础讲义 第14讲（五）｜常微分方程：非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用

考研数学二·零基础讲义 · 第 14 讲（五）｜常微分方程：非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用

学完本篇，你能为三角函数型自由项设出特解并求解，会用叠加原理处理"几项相加"的右边，了解欧拉方程的换元解法，并能解含变限积分的二阶方程应用题。预计用时：3 小时。

本讲地图#

• 第 14 讲拆成五篇：（一）基本概念、可分离变量与齐次方程；（二）一阶线性方程与应用；（三）可降阶方程与解的结构；（四）常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）；（五）非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用。
• 非齐次方程的特解（类型 Ⅱ）：$f(x)=e^{\alpha x}(P_l\cos\beta x+P_n\sin\beta x)$——大纲要求"会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积"的情形。
• 叠加原理：右边是几项之和时分别求特解再相加。
• 欧拉方程（选学）：说明：根据近年的数学二考试大纲原文，"会解欧拉方程"只写在数学一的要求里，数学二大纲没有列出；它只是"换元后变成常系数方程"，这里作为选学简要介绍。
• 简单应用：含变限积分的函数方程、初值问题。

前置知识#

• 第 14 讲（三）（四）：解的结构、特征方程、类型 Ⅰ 特解。
• 会对 $x\cos2x$、$e^x\sin x$ 这类函数求二阶导（见第 05、06 讲）；变限积分求导（见第 10 讲）。

一句话心态：类型 Ⅱ 计算量大，但设法才是得分关键：$\cos$、$\sin$ 都要设，$k$ 只有 0 和 1 两种。

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一、类型 Ⅱ 特解的设法#

1.1 大白话#

上一篇的类型 Ⅰ 处理"多项式 × 指数"。这一篇处理右边带 $\cos$、$\sin$ 的情形，比如 $y''+y=x\cos2x$、$y''+y'-2y=e^x\cos x$。思路完全一样：$y''+py'+qy$ 要等于 $f(x)$，而 $\cos\beta x$、$\sin\beta x$ 求导时会互相转化，所以特解里要同时放上 $\cos\beta x$ 和 $\sin\beta x$；如果 $\alpha\pm i\beta$ 恰好是特征根（即设出的式子本身就是齐次解），就再乘一个 $x$ "躲开"。

1.2 设法（必背）#

类型 Ⅱ：$f(x)=e^{\alpha x}\big[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\big]$

$$y^*=x^k\,e^{\alpha x}\big[R_m(x)\cos\beta x+S_m(x)\sin\beta x\big],$$

• $m=\max\{l,n\}$，$R_m$、$S_m$ 是两个不同的 $m$ 次待定多项式；
• $k$：$\alpha\pm i\beta$ 不是特征根取 $k=0$，是特征根取 $k=1$。

1.3 逐行拆解#

• $k$ 的含义：如果设出的 $y^*$ 本身就是齐次解，代入左边会得到 0，不可能等于 $f$——所以要乘 $x$ "躲开"它。
• 类型 Ⅱ 两个三角函数都要设：即使 $f$ 里只有 $\cos$，$y^*$ 里也要同时有 $\cos$ 和 $\sin$，因为求导时它们会互相转化。
• 类型 Ⅱ 中，$\sin x$ 是 $\alpha=0,\beta=1$；$e^x\cos2x$ 是 $\alpha=1,\beta=2$。
• 设法三问：① $f$ 属于哪一类？读出 $\lambda$（或 $\alpha,\beta$）和多项式次数；② 求特征根，看 $\lambda$（或 $\alpha\pm i\beta$）是不是特征根、几重；③ 写出 $x^k$ 和待定多项式。
• 怎么读出 $\alpha,\beta$：把 $f(x)$ 写成 $e^{\alpha x}[\cdots\cos\beta x+\cdots\sin\beta x]$ 的样子。没有指数因子时 $\alpha=0$。
• 为什么 $k$ 最多是 1：二阶方程的复特征根总是一对单根 $\alpha\pm i\beta$，不会出现二重复根。

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二、类型 Ⅱ 例题与叠加原理#

2.1 例题#

例 1（类型 Ⅱ，不是特征根） 求 $y''+y=x\cos2x$ 的一个特解。

解： ① $\alpha=0,\ \beta=2$，$P_l=x$（$l=1$），$P_n=0$，$m=1$。特征根 $\pm i$，$\alpha\pm i\beta=\pm2i$ 不是特征根，$k=0$。 ② 设 $y^*=(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x$（四个待定系数）。 ③ 分别计算：记 $g=(ax+b)\cos2x$，$h=(cx+d)\sin2x$。

$$g''+g=-3(ax+b)\cos2x-4a\sin2x,\qquad h''+h=4c\cos2x-3(cx+d)\sin2x .$$

（以 $g$ 为例：$g'=a\cos2x-2(ax+b)\sin2x$，$g''=-4a\sin2x-4(ax+b)\cos2x$，再加 $g$。） ④ 相加并与 $x\cos2x$ 比较：

• $\cos2x$ 的系数：$-3ax-3b+4c=x$ ⇒ $-3a=1$，$-3b+4c=0$；
• $\sin2x$ 的系数：$-4a-3cx-3d=0$ ⇒ $-3c=0$，$-4a-3d=0$。

解得 $a=-\dfrac13$，$c=0$，$b=0$，$d=\dfrac49$。

$$y^*=-\frac x3\cos2x+\frac49\sin2x .$$

例 2（类型 Ⅱ，是特征根） 求 $y''+y=\sin x$ 的一个特解。

解：$\alpha=0,\ \beta=1$，$\alpha\pm i\beta=\pm i$ 正是特征根，$k=1$，$m=0$。设 $y^*=x(a\cos x+b\sin x)$。 记 $u=a\cos x+b\sin x$（注意 $u''=-u$），则 $(xu)''=2u'+xu''$，所以

$$(xu)''+xu=2u'=2(-a\sin x+b\cos x)=\sin x .$$

比较：$-2a=1$，$b=0$，$a=-\dfrac12$。特解 $y^*=-\dfrac x2\cos x$。

例 3（类型 Ⅱ，$\alpha\ne0$） 求 $y''+y'-2y=e^x\cos x$ 的一个特解。

解：$\alpha=1,\ \beta=1$。特征根 $r=1,-2$，$1\pm i$ 不是特征根，$k=0$，$m=0$。 设 $y^*=e^x(a\cos x+b\sin x)$。代入比较系数（计算较长，思路同例 1），解得 $a=-\dfrac1{10}$，$b=\dfrac{3}{10}$：

$$y^*=e^x\left(\frac{3}{10}\sin x-\frac{1}{10}\cos x\right).$$

例 4（叠加原理） 求 $y''-y=e^x+x$ 的通解。

解：特征根 $\pm1$，齐次通解 $C_1e^x+C_2e^{-x}$。把右边拆成两部分分别求特解：

• $f_1=e^x$：$\lambda=1$ 是单根，设 $y_1^*=axe^x$。$(axe^x)''=a(x+2)e^x$，代入 $a(x+2)e^x-axe^x=2ae^x=e^x$，$a=\frac12$，$y_1^*=\dfrac x2e^x$。
• $f_2=x$：$\lambda=0$ 不是根，设 $y_2^*=bx+c$，代入 $0-(bx+c)=x$，$b=-1,\ c=0$，$y_2^*=-x$。

$$y=C_1e^x+C_2e^{-x}+\frac x2e^x-x .$$

例 5（只设形式，不求系数） 写出下列方程特解的形式： (1) $y''-3y'+2y=x^2e^{3x}$；(2) $y''-3y'+2y=xe^{x}$；(3) $y''-2y'+5y=e^x\sin2x$；(4) $y''+4y=\cos x$。

解： (1) 特征根 $1,2$；$\lambda=3$ 不是根，$m=2$：$y^*=(ax^2+bx+c)e^{3x}$。 (2) $\lambda=1$ 是单根：$y^*=x(ax+b)e^x$。 (3) 特征根 $1\pm2i$；$\alpha\pm i\beta=1\pm2i$ 是特征根：$y^*=xe^x(a\cos2x+b\sin2x)$。（实际解出 $y^*=-\dfrac x4e^x\cos2x$。） (4) 特征根 $\pm2i$；$\pm i$ 不是特征根：$y^*=a\cos x+b\sin x$。

2.2 易错点 ⚠️#

• $k$ 定错是第一大错误：一定先求特征根，再判断 $\lambda$ 是不是根、几重。
• 待定多项式要设完整：$f=x$ 时设 $ax+b$，不能只设 $ax$。
• 类型 Ⅱ 中 $\cos$、$\sin$ 都要设，且系数多项式各自独立。
• 求的是通解时，别忘了加上齐次通解。

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三、完整解题流程与设法速查表#

3.1 流程与速查#

解一道"求 $y''+py'+qy=f(x)$ 的通解"，按这五步走，一步都不要省：

1. 写特征方程，求出特征根；
2. 写齐次通解 $Y$（三种根对号入座）；
3. 看 $f(x)$ 的类型，读出 $\lambda$（或 $\alpha,\beta$）和多项式的次数，判断 $k$，设出 $y^*$；
4. 代入比较系数，解出待定系数，得到 $y^*$；
5. 写通解 $y=Y+y^*$；有初始条件的，最后再定 $C_1,C_2$（注意：初始条件要代入通解，不能只代入齐次通解）。

下面的速查表以 $y''-3y'+2y=f(x)$（特征根 $1,2$）为例，帮你练"设法"：

$f(x)$	读出	是否特征根	$y^*$ 的形式
$5$	$\lambda=0$，$m=0$	否，$k=0$	$a$
$x^2$	$\lambda=0$，$m=2$	否	$ax^2+bx+c$
$e^{-x}$	$\lambda=-1$，$m=0$	否	$ae^{-x}$
$e^{x}$	$\lambda=1$	单根，$k=1$	$axe^{x}$
$(x+1)e^{2x}$	$\lambda=2$，$m=1$	单根，$k=1$	$x(ax+b)e^{2x}$
$\sin x$	$\alpha=0,\beta=1$	$\pm i$ 否	$a\cos x+b\sin x$
$e^x\cos x$	$\alpha=1,\beta=1$	$1\pm i$ 否	$e^x(a\cos x+b\sin x)$
$e^x+x$	拆成两项	分别判断	$axe^x+(bx+c)$

可以看到，同一个方程，右边换一下，$k$ 就可能变。所以每次都要拿 $\lambda$ 去和特征根比一比。

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四、欧拉方程（选学）#

4.1 大白话#

方程形如 $x^2y''+pxy'+qy=f(x)$：系数里 $x$ 的次数恰好等于导数的阶数。它不是常系数的，但换元 $x=e^t$ 后就变成常系数方程。数学二大纲没有列出欧拉方程，这里只简单介绍思路。

4.2 方法#

令 $x=e^t$（$x>0$），记 $D=\dfrac{d}{dt}$，则

$$xy'=Dy,\qquad x^2y''=D(D-1)y .$$

代入后得到关于 $t$ 的常系数线性方程，解出 $y(t)$ 后把 $t=\ln x$ 代回去。

4.3 例题#

例 6 求 $x^2y''-2xy'+2y=0$ 的通解（$x>0$）。

解：代换后 $D(D-1)y-2Dy+2y=0$，即 $(D^2-3D+2)y=0$，特征方程 $r^2-3r+2=0$，$r=1,2$。$y=C_1e^t+C_2e^{2t}$，代回 $e^t=x$：

$$y=C_1x+C_2x^2 .$$

例 7 求 $x^2y''+xy'-y=x^2$ 的通解（$x>0$）。

解：$D(D-1)y+Dy-y=e^{2t}$，即 $\dfrac{d^2y}{dt^2}-y=e^{2t}$。特征根 $\pm1$；$\lambda=2$ 不是根，设 $y^*=ae^{2t}$：$4a-a=1$，$a=\frac13$。 $y=C_1e^t+C_2e^{-t}+\dfrac13e^{2t}$，代回：

$$y=C_1x+\frac{C_2}{x}+\frac{x^2}{3}.$$

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五、简单应用#

5.1 大白话#

二阶方程的应用题，考研里最常见的是"含变限积分的函数方程"：求导两次变成二阶常系数方程，再从原式和一阶导式中代 $x=0$ 找出两个初始条件。

5.2 例题#

例 8 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)=\sin x-\displaystyle\int_0^x(x-t)f(t)\,dt$，求 $f(x)$。

解： ① 先拆开积分（被积函数含 $x$，不能直接求导）：

$$f(x)=\sin x-x\int_0^xf(t)\,dt+\int_0^xtf(t)\,dt .$$

② 求一阶导：$-x\int_0^xf\,dt$ 用乘积法则，导数为 $-\int_0^xf\,dt-xf(x)$；$\int_0^xtf(t)dt$ 的导数为 $xf(x)$。所以

$$f'(x)=\cos x-\int_0^xf(t)\,dt .$$

③ 求二阶导：$f''(x)=-\sin x-f(x)$，即

$$f''+f=-\sin x .$$

④ 初始条件：原式代 $x=0$ 得 $f(0)=0$；②式代 $x=0$ 得 $f'(0)=1$。 ⑤ 解方程：齐次通解 $C_1\cos x+C_2\sin x$。由例 2，$y''+y=\sin x$ 的特解是 $-\frac x2\cos x$，所以 $y''+y=-\sin x$ 的特解是 $\frac x2\cos x$。

$$f=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac x2\cos x .$$

$f(0)=C_1=0$；$f'=C_2\cos x+\frac12\cos x-\frac x2\sin x$（$C_1=0$ 后），$f'(0)=C_2+\frac12=1$，$C_2=\frac12$。

$$f(x)=\frac12\sin x+\frac x2\cos x .$$

例 9（初值问题） 求 $y''+y=\sin x$ 满足 $y(0)=0,\ y'(0)=0$ 的特解。

解：通解 $y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac x2\cos x$。$y(0)=C_1=0$。$y'=C_2\cos x-\frac12\cos x+\frac x2\sin x$，$y'(0)=C_2-\frac12=0$，$C_2=\frac12$。

$$y=\frac12\sin x-\frac x2\cos x .$$

（物理上这叫"共振"：外力的频率和系统固有频率相同，振幅 $\frac x2$ 随时间越来越大。）

图 1：例 9 的解 y = (1/2)sin x − (x/2)cos x：振幅沿 ±x/2 越来越大（动画循环播放）

5.3 易错点 ⚠️#

• 被积函数里含 $x$ 时，先把 $x$ 提到积分号外再求导。
• 两个初始条件分别来自原式和一阶导式，别只找一个。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
特解 Ⅱ	$f=e^{\alpha x}(P_l\cos\beta x+P_n\sin\beta x)$：$y^*=x^ke^{\alpha x}(R_m\cos\beta x+S_m\sin\beta x)$，$m=\max\{l,n\}$
$k$ 的取法	$\alpha\pm i\beta$ 不是特征根 $k=0$，是特征根 $k=1$
共振小结论	$y''+\omega^2y=\sin\omega x$ 的特解 $-\frac{x}{2\omega}\cos\omega x$；$\cos\omega x$ 对应 $\frac{x}{2\omega}\sin\omega x$
叠加原理	右边是几项之和，就分别求特解再相加
欧拉（选学）	$x=e^t$：$xy'=Dy$，$x^2y''=D(D-1)y$
变限积分方程	先把 $x$ 提出积分号，求导两次，原式和一阶导式各代 $x=0$

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自测练习#

1. 写出 $y''+4y=x\sin2x$ 的特解形式，并（选做）求出特解。

答案与提示

$\alpha=0,\beta=2$，$m=1$；特征根 $\pm2i$，$\pm2i$ 是特征根，$k=1$：

$$y^*=x\big[(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x\big].$$

代入比较系数可得 $a=-\frac18$，$b=0$，$c=0$，$d=\frac1{16}$，即 $y^*=-\dfrac{x^2}{8}\cos2x+\dfrac{x}{16}\sin2x$。

2. 求 $y''+y=\cos x$ 的一个特解。

答案与提示

$\pm i$ 是特征根，$k=1$：设 $y^*=x(a\cos x+b\sin x)$，记 $u=a\cos x+b\sin x$，则 $(xu)''+xu=2u'=2(-a\sin x+b\cos x)=\cos x$，得 $a=0$，$b=\frac12$。 $y^*=\dfrac x2\sin x$。

3. 求 $y''-y=\sin x$ 的一个特解。

答案与提示

特征根 $\pm1$，$\pm i$ 不是特征根，$k=0$：设 $y^*=a\cos x+b\sin x$，则 $y^{*\prime\prime}-y^*=-2a\cos x-2b\sin x=\sin x$，$a=0$，$b=-\frac12$。 $y^*=-\dfrac12\sin x$。

4. 求 $y''+y=e^x+1$ 的一个特解。

答案与提示

叠加：$f_1=e^x$，$\lambda=1$ 不是根，设 $ae^x$：$2a=1$，$y_1^*=\frac12e^x$；$f_2=1$，$\lambda=0$ 不是根，设 $b$：$b=1$。 $y^*=\dfrac12e^x+1$。

5. 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)=x+\displaystyle\int_0^x(t-x)f(t)\,dt$，求 $f(x)$。

答案与提示

拆开：$f(x)=x+\int_0^xtf(t)dt-x\int_0^xf(t)dt$。求导：$f'(x)=1+xf(x)-\int_0^xf\,dt-xf(x)=1-\int_0^xf(t)dt$。再求导：$f''=-f$，即 $f''+f=0$。 初始条件：$f(0)=0$，$f'(0)=1$。通解 $C_1\cos x+C_2\sin x$，得 $C_1=0,\ C_2=1$，$f(x)=\sin x$。

6.（选学）求欧拉方程 $x^2y''+3xy'+y=0$ 的通解（$x>0$）。

答案与提示

$D(D-1)y+3Dy+y=0$，即 $(D^2+2D+1)y=0$，$r=-1$（二重）。$y=(C_1+C_2t)e^{-t}=\dfrac{C_1+C_2\ln x}{x}$。

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下一讲预告#

高等数学部分到此结束。第 15 讲开始线性代数，从行列式讲起：它是什么、怎么算、有哪些让计算变简单的性质。