考研数学二·零基础讲义 第14讲（四）｜常微分方程：二阶常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）

考研数学二·零基础讲义 · 第 14 讲（四）｜常微分方程：二阶常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）

学完本篇，你能用特征方程解二阶（及某些更高阶）常系数齐次线性方程，并能为 $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 正确设出特解、解出通解。预计用时：3 小时。

本讲地图#

• 第 14 讲拆成五篇：（一）基本概念、可分离变量与齐次方程；（二）一阶线性方程与应用；（三）可降阶方程与解的结构；（四）常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）；（五）非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用。
• 二阶常系数齐次线性方程：特征方程的三种根——大纲要求"掌握"，并"会解某些高于二阶的常系数齐次线性方程"。
• 非齐次方程的特解（类型 Ⅰ）：$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$，$y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$——几乎每年必考。
• 类型 Ⅱ（三角函数型）留到第 14 讲（五）。

前置知识#

• 第 14 讲（三）：线性方程解的结构。
• 一元二次方程求根、复数根 $\alpha\pm i\beta$（$i^2=-1$）（见第 01 讲）。
• 会对 $xe^{2x}$、$x^2e^x$ 这类函数求二阶导（见第 05、06 讲）。

一句话心态：这一篇的核心是一个"猜"字——猜 $y=e^{rx}$ 得到特征方程，按规则猜特解的形式再待定系数。规则不多，但要记准、设对。

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一、二阶常系数齐次线性方程#

1.1 大白话#

当 $P,Q$ 都是常数时，方程 $y''+py'+qy=0$ 说的是："$y$、$y'$、$y''$ 按固定比例加起来等于 0"。什么函数求导以后"长相不变"、只差一个倍数？——指数函数 $e^{rx}$！$(e^{rx})'=re^{rx}$，$(e^{rx})''=r^2e^{rx}$。

所以猜 $y=e^{rx}$，代进去：

$$(r^2+pr+q)e^{rx}=0\ \Rightarrow\ r^2+pr+q=0 .$$

求导问题变成了解一元二次方程！这个方程叫特征方程，它的根叫特征根。

1.2 结论（必背）#

方程 $y''+py'+qy=0$，特征方程 $r^2+pr+q=0$：

特征根情况	通解
两个不等实根 $r_1\ne r_2$（$\Delta>0$）	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
两个相等实根 $r_1=r_2=r$（$\Delta=0$）	$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
一对共轭复根 $r=\alpha\pm i\beta$（$\Delta<0$）	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

图 1：三种特征根下解的样子：二重根（例 3 特解，单调衰减）、共轭复根（例 1(3)，振荡衰减，橙线为包络 ±e^(−x)）、纯虚根（例 2(2)，等幅振荡）

1.3 逐行拆解#

• 写特征方程的口诀：$y''\to r^2$，$y'\to r$，$y\to1$。比如 $y''-5y'+6y=0\to r^2-5r+6=0$。
• 重根为什么要乘 $x$：重根时只得到一个解 $e^{rx}$，不够两个。可以验证 $xe^{rx}$ 也是解，而且和 $e^{rx}$ 无关，所以通解是 $(C_1+C_2x)e^{rx}$。
• 复根怎么来的：$\Delta<0$ 时用求根公式，$\sqrt{\Delta}=i\sqrt{-\Delta}$，得 $r=\alpha\pm i\beta$，其中 $\alpha=-\dfrac p2$，$\beta=\dfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$。实部 $\alpha$ 进指数，虚部 $\beta$ 进三角函数。
• 高于二阶：$n$ 阶常系数齐次方程同理，特征方程是 $n$ 次方程。每个单实根 $r$ 贡献 $Ce^{rx}$；$k$ 重实根贡献 $(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}$；每对单复根 $\alpha\pm i\beta$ 贡献 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。通解中常数的总个数 = 阶数。

验证一下重根时 $xe^{rx}$ 确实是解（以 $y''-4y'+4y=0$，$r=2$ 为例）：令 $y=xe^{2x}$，则 $y'=(1+2x)e^{2x}$，$y''=(4+4x)e^{2x}$。代入：

$$(4+4x)-4(1+2x)+4x=0 ,$$

恒成立。所以 $xe^{2x}$ 是解，并且 $\dfrac{xe^{2x}}{e^{2x}}=x$ 不是常数，两者线性无关，通解就是 $(C_1+C_2x)e^{2x}$。

复根时的三角函数从哪来？（了解即可）借助欧拉公式 $e^{i\beta x}=\cos\beta x+i\sin\beta x$，复数解 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x\pm i\sin\beta x)$。把这两个复数解相加、相减再除以常数，就得到两个实数解 $e^{\alpha x}\cos\beta x$、$e^{\alpha x}\sin\beta x$。考试只需记结论。

判别式速判：$\Delta=p^2-4q$。$\Delta>0$ 两个不等实根；$\Delta=0$ 重根 $r=-\frac p2$；$\Delta<0$ 复根，$\alpha=-\frac p2$，$\beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$。

1.4 例题#

例 1 求下列方程的通解：(1) $y''-5y'+6y=0$；(2) $y''-4y'+4y=0$；(3) $y''+2y'+5y=0$。

解： (1) $r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0$，$r=2,3$。$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$。 (2) $r^2-4r+4=(r-2)^2=0$，$r=2$（二重）。$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$。 (3) $r^2+2r+5=0$，$\Delta=4-20=-16$，$r=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$。$\alpha=-1,\ \beta=2$。

$$y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x).$$

例 2 求通解：(1) $y''-4y=0$；(2) $y''+9y=0$。

解： (1) $r^2-4=0$，$r=\pm2$，$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}$。（注意：缺 $y'$ 项时，特征方程缺 $r$ 的一次项，不要写成 $r^2-4r$。） (2) $r^2+9=0$，$r=\pm3i$，$\alpha=0,\ \beta=3$，$y=C_1\cos3x+C_2\sin3x$。

例 3（初值问题） 求 $y''+4y'+4y=0$ 满足 $y(0)=2,\ y'(0)=0$ 的特解。

解：$r^2+4r+4=0$，$r=-2$（二重），$y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$。 $y(0)=C_1=2$。$y'=C_2e^{-2x}-2(C_1+C_2x)e^{-2x}$，$y'(0)=C_2-2C_1=0$，$C_2=4$。 特解 $y=(2+4x)e^{-2x}$。

例 4（高阶） 求通解：(1) $y'''-y'=0$；(2) $y^{(4)}-y=0$；(3) $y'''-3y''+3y'-y=0$。

解： (1) $r^3-r=r(r-1)(r+1)=0$，$r=0,1,-1$。$r=0$ 对应 $e^{0x}=1$。$y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-x}$。 (2) $r^4-1=(r^2-1)(r^2+1)=0$，$r=\pm1,\ \pm i$。$y=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3\cos x+C_4\sin x$。 (3) $r^3-3r^2+3r-1=(r-1)^3=0$，$r=1$（三重）。$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^x$。

例 5（由通解反求方程） 已知某二阶常系数齐次线性方程的通解为 $y=(C_1+C_2x)e^x$，求这个方程。

解：通解形式说明 $r=1$ 是二重特征根，特征方程为 $(r-1)^2=r^2-2r+1=0$，所以方程是 $y''-2y'+y=0$。

1.5 易错点 ⚠️#

• 复根情形，通解里是 $e^{\alpha x}$ 而不是 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$；$\beta$ 取正值即可。
• $r=0$ 是特征根时，对应的解是常数 $1$。
• 重根别忘了乘 $x$。

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二、二阶常系数非齐次线性方程#

2.1 大白话#

方程 $y''+py'+qy=f(x)$。由结构定理，通解 = 齐次通解（上一节已会）+ 一个特解 $y^*$。所以全部任务就是找一个特解。

方法叫待定系数法：根据 $f(x)$ 的样子，"猜"出 $y^*$ 的形式（含几个待定的系数），代入方程，比较两边系数，解出待定系数。

猜的原则很朴素：$y''+py'+qy$ 要等于 $f(x)$，而多项式求导还是多项式、$e^{\lambda x}$ 求导还是 $e^{\lambda x}$、$\cos,\sin$ 求导还在 $\cos,\sin$ 之间转——所以 $y^*$ 应该和 $f(x)$ "同类型"。唯一的麻烦是"撞上齐次解"时要乘 $x$。

2.2 两类特解的设法（必背）#

类型 Ⅰ：$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$（$P_m$ 是 $m$ 次多项式）

$$y^*=x^k\,Q_m(x)\,e^{\lambda x},$$

• $Q_m(x)$ 是与 $P_m$ 同次的待定多项式（$m=0$ 设 $a$，$m=1$ 设 $ax+b$，$m=2$ 设 $ax^2+bx+c$……）；
• $k$ = $\lambda$ 是特征根的重数：$\lambda$ 不是特征根取 $k=0$，是单根取 $k=1$，是二重根取 $k=2$。

类型 Ⅱ：$f(x)=e^{\alpha x}\big[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\big]$

$$y^*=x^k\,e^{\alpha x}\big[R_m(x)\cos\beta x+S_m(x)\sin\beta x\big],$$

• $m=\max\{l,n\}$，$R_m$、$S_m$ 是两个不同的 $m$ 次待定多项式；
• $k$：$\alpha\pm i\beta$ 不是特征根取 $k=0$，是特征根取 $k=1$。

用一个小实验体会"为什么要乘 $x$"：对 $y''-3y'+2y=e^x$（特征根 $1,2$），如果不乘 $x$、直接设 $y^*=ae^x$，代入得 $a-3a+2a=0$，左边恒为 0，永远等不到 $e^x$——因为 $ae^x$ 本身就是齐次解，它被方程"吃掉"了。乘上 $x$ 设 $y^*=axe^x$ 才能解出 $a=-1$。这就是规则里 $k$ 的来历：$\lambda$ 撞上一次特征根就乘一次 $x$，撞上二重根就乘 $x^2$。

2.3 逐行拆解#

• 类型 Ⅰ 涵盖很多情况：$f=3x+1$ 是 $\lambda=0$ 的情形（$e^{0x}=1$）；$f=e^{2x}$ 是 $P_m=1$（$m=0$）的情形。
• $k$ 的含义：如果设出的 $y^*$ 本身就是齐次解，代入左边会得到 0，不可能等于 $f$——所以要乘 $x$ "躲开"它。
• 类型 Ⅱ 两个三角函数都要设：即使 $f$ 里只有 $\cos$，$y^*$ 里也要同时有 $\cos$ 和 $\sin$，因为求导时它们会互相转化。
• 类型 Ⅱ 中，$\sin x$ 是 $\alpha=0,\beta=1$；$e^x\cos2x$ 是 $\alpha=1,\beta=2$。
• 设法三问：① $f$ 属于哪一类？读出 $\lambda$（或 $\alpha,\beta$）和多项式次数；② 求特征根，看 $\lambda$（或 $\alpha\pm i\beta$）是不是特征根、几重；③ 写出 $x^k$ 和待定多项式。

2.4 例题#

例 6（$\lambda=0$，不是特征根） 求 $y''-2y'-3y=3x+1$ 的一个特解。

解： ① $f=(3x+1)e^{0x}$，$\lambda=0$，$m=1$。 ② 特征方程 $r^2-2r-3=0$，$r=3,-1$。$\lambda=0$ 不是根，$k=0$。 ③ 设 $y^*=ax+b$。$y^{*\prime}=a$，$y^{*\prime\prime}=0$。代入：$0-2a-3(ax+b)=3x+1$，即 $-3ax+(-2a-3b)=3x+1$。 比较系数：$-3a=3\Rightarrow a=-1$；$-2a-3b=1\Rightarrow 2-3b=1\Rightarrow b=\dfrac13$。

$$y^*=-x+\frac13 .$$

例 7（$\lambda=0$） 求 $y''-3y'+2y=2x$ 的通解。

解：特征根 $r=1,2$，齐次通解 $C_1e^x+C_2e^{2x}$。$\lambda=0$ 不是根，设 $y^*=ax+b$：$-3a+2(ax+b)=2x$，所以 $2a=2$，$a=1$；$-3a+2b=0$，$b=\dfrac32$。

$$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+x+\frac32 .$$

例 8（$\lambda$ 是单根） 求 $y''-5y'+6y=xe^{2x}$ 的通解。

解： ① $\lambda=2$，$m=1$。特征根 $r=2,3$，$\lambda=2$ 是单根，$k=1$。 ② 设 $y^*=x(ax+b)e^{2x}=(ax^2+bx)e^{2x}$。 ③ 求导（乘积法则，$e^{2x}$ 求导乘 2）：

$$y^{*\prime}=\big[2ax^2+(2a+2b)x+b\big]e^{2x},$$ $$y^{*\prime\prime}=\big[4ax^2+(8a+4b)x+(2a+4b)\big]e^{2x}.$$

④ 代入 $y''-5y'+6y$，约去 $e^{2x}$，按 $x$ 的次数整理：

• $x^2$ 项：$4a-10a+6a=0$（重根/单根时最高次项总会消掉，这是检验计算的好信号）；
• $x$ 项：$(8a+4b)-5(2a+2b)+6b=-2a$；
• 常数项：$(2a+4b)-5b=2a-b$。

所以 $-2ax+(2a-b)=x$：$a=-\dfrac12$，$b=2a=-1$。

$$y^*=\left(-\frac{x^2}{2}-x\right)e^{2x},\qquad y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^{2x}.$$

例 9（$\lambda$ 是二重根） 求 $y''-2y'+y=e^x$ 的一个特解。

解：特征根 $r=1$（二重），$\lambda=1$ 是二重根，$k=2$，$m=0$。设 $y^*=ax^2e^x$。 $y^{*\prime}=a(x^2+2x)e^x$，$y^{*\prime\prime}=a(x^2+4x+2)e^x$。代入：

$$a\big[(x^2+4x+2)-2(x^2+2x)+x^2\big]e^x=2ae^x=e^x ,$$

$a=\dfrac12$。特解 $y^*=\dfrac{x^2}{2}e^x$。

2.5 易错点 ⚠️#

• $k$ 定错是第一大错误：一定先求特征根，再判断 $\lambda$ 是不是根、几重。
• 待定多项式要设完整：$f=x$ 时设 $ax+b$，不能只设 $ax$。
• 类型 Ⅱ 中 $\cos$、$\sin$ 都要设，且系数多项式各自独立。
• 求的是通解时，别忘了加上齐次通解。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
特征方程	$y''+py'+qy=0\to r^2+pr+q=0$（$y''\to r^2$，$y'\to r$，$y\to1$）
三种根	$r_1\ne r_2$：$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；二重根 $r$：$(C_1+C_2x)e^{rx}$；$\alpha\pm i\beta$：$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
高阶	$k$ 重实根贡献 $(C_1+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}$；$r=0$ 对应常数
特解 Ⅰ	$f=P_m(x)e^{\lambda x}$：$y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$，$k$ = $\lambda$ 作为特征根的重数（0/1/2）
特解 Ⅱ	$f=e^{\alpha x}(P_l\cos\beta x+P_n\sin\beta x)$：见第 14 讲（五）
通解	$y=Y+y^*$；初始条件代入通解

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自测练习#

1. 求 $y''+2y'-3y=0$ 满足 $y(0)=0,\ y'(0)=4$ 的特解。

答案与提示

$r^2+2r-3=0$，$r=1,-3$，$y=C_1e^x+C_2e^{-3x}$。 $C_1+C_2=0$，$C_1-3C_2=4$，得 $C_1=1,\ C_2=-1$。特解 $y=e^x-e^{-3x}$。

2. 求 $y''-6y'+9y=0$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=2$ 的特解。

答案与提示

$r=3$（二重），$y=(C_1+C_2x)e^{3x}$。$y(0)=C_1=1$；$y'(0)=C_2+3C_1=2$，$C_2=-1$。特解 $y=(1-x)e^{3x}$。

3. 求 $y'''-y''=0$ 的通解。

答案与提示

$r^3-r^2=r^2(r-1)=0$，$r=0$（二重）、$r=1$。$y=C_1+C_2x+C_3e^x$。

4. 求 $y''-3y'+2y=e^x$ 的通解。

答案与提示

特征根 $1,2$；$\lambda=1$ 是单根，设 $y^*=axe^x$。$y^{*\prime}=a(x+1)e^x$，$y^{*\prime\prime}=a(x+2)e^x$。 代入：$a[(x+2)-3(x+1)+2x]e^x=-ae^x=e^x$，$a=-1$。 通解 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x$。

5. 求 $y''-4y=e^{2x}$ 的通解。

答案与提示

特征根 $\pm2$；$\lambda=2$ 是单根，设 $y^*=axe^{2x}$。$y^{*\prime\prime}=a(4x+4)e^{2x}$。 代入：$a(4x+4)e^{2x}-4axe^{2x}=4ae^{2x}=e^{2x}$，$a=\frac14$。 通解 $y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}+\frac x4e^{2x}$。

6. 求 $y''+y'=x+1$ 的通解。

答案与提示

特征方程 $r^2+r=0$，$r=0,-1$，齐次通解 $C_1+C_2e^{-x}$。$\lambda=0$ 是单根，所以 $k=1$：设 $y^*=x(ax+b)=ax^2+bx$。 $y^{*\prime}=2ax+b$，$y^{*\prime\prime}=2a$。代入：$2a+2ax+b=x+1$，$a=\frac12$，$b=0$。 通解 $y=C_1+C_2e^{-x}+\frac{x^2}{2}$。（这题容易错设成 $ax+b$。）

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下一讲预告#

第 14 讲（五）学非齐次方程的第二类特解——三角函数型 $e^{\alpha x}(P\cos\beta x+Q\sin\beta x)$，以及叠加原理、欧拉方程（选学）和应用题。