考研数学二·零基础讲义 第14讲（三）｜常微分方程：可降阶方程与线性方程解的结构

考研数学二·零基础讲义 · 第 14 讲（三）｜常微分方程：可降阶方程与线性方程解的结构

学完本篇，你能解 $y^{(n)}=f(x)$、缺 $y$ 型、缺 $x$ 型三类可降阶方程，并理解线性微分方程解的结构定理。预计用时：2.5–3 小时。

本讲地图#

• 第 14 讲拆成五篇：（一）基本概念、可分离变量与齐次方程；（二）一阶线性方程与应用；（三）可降阶方程与解的结构；（四）常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）；（五）非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用。
• 可降阶方程：$y^{(n)}=f(x)$、$y''=f(x,y')$（缺 $y$）、$y''=f(y,y')$（缺 $x$）——大纲要求"会用降阶法解"。
• 线性方程解的结构：叠加、通解结构、非齐次解之差——大纲要求"理解"，选择题常考。

前置知识#

• 第 14 讲（一）（二）：可分离变量方程、一阶线性方程。
• 链式法则（见第 06 讲）。

一句话心态：可降阶的关键是认准缺什么：缺 $y$ 把 $p$ 看成 $x$ 的函数，缺 $x$ 把 $p$ 看成 $y$ 的函数。

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一、可降阶的高阶方程#

1.1 大白话#

二阶方程比一阶难，那能不能"降一阶"变成一阶方程？对三类特殊的方程可以：

• 只含 $y^{(n)}$ 和 $x$：直接积分 $n$ 次；
• 不含 $y$：把 $y'$ 看成新的未知函数 $p$，方程变成关于 $p$ 的一阶方程；
• 不含 $x$：同样设 $y'=p$，但把 $p$ 看成 $y$ 的函数。

1.2 方法#

类型一：$y^{(n)}=f(x)$。 连续积分 $n$ 次，每次加一个常数。

类型二：$y''=f(x,y')$（不显含 $y$）。 令 $y'=p(x)$，则 $y''=p'$，方程变为 $p'=f(x,p)$——一阶方程。解出 $p$ 后，再由 $y'=p$ 积分一次。

类型三：$y''=f(y,y')$（不显含 $x$）。 令 $y'=p(y)$，则

$$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy},$$

方程变为 $p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$——以 $y$ 为自变量的一阶方程。

为什么这样换元能"降阶"？ 二阶方程难，是因为里面同时有 $y$、$y'$、$y''$ 三层。如果方程里缺了 $y$，那么只剩 $y'$ 和 $y''$——而 $y''$ 就是 $y'$ 的导数，把 $y'$ 改名叫 $p$，方程里就只剩 $p$ 和 $p'$，这不就是一个一阶方程吗？如果方程里缺了 $x$，就只剩 $y$、$y'$、$y''$ 之间的关系，与"时间" $x$ 无关；这时干脆把 $y$ 当成新的自变量，把 $p=y'$ 看成"$y$ 的函数"，同样能降成一阶。

怎么判断属于哪一类（按顺序问自己）：

1. 方程左边只有 $y^{(n)}$、右边只有 $x$ 吗？是 → 类型一，直接积分；
2. 方程里找不到单独的 $y$（只有 $y'$、$y''$ 和 $x$）吗？是 → 类型二；
3. 方程里找不到 $x$（只有 $y$、$y'$、$y''$）吗？是 → 类型三。

注意：像 $y''=y'$ 这种既不含 $x$ 也不含 $y$ 的方程，类型二、三都能用，选类型二更简单。

1.3 逐行拆解#

• 类型二和三都令 $y'=p$，区别在于把 $p$ 看成谁的函数：缺 $y$ 时看成 $x$ 的函数，$y''=\dfrac{dp}{dx}$；缺 $x$ 时看成 $y$ 的函数，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$。
• 类型三的 $y''=p\dfrac{dp}{dy}$ 来自链式法则：$p$ 是 $y$ 的函数，$y$ 又是 $x$ 的函数。
• 带初始条件时，尽早代入定常数，可以让后面的积分简单很多（见例 3、例 6）。
• 判断类型：先看方程里有没有单独的 $y$，再看有没有 $x$。

1.4 例题#

例 1（类型一） 求 $y''=x+\sin x$ 的通解。

解：积分一次：$y'=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+C_1$。再积分一次：

$$y=\frac{x^3}{6}-\sin x+C_1x+C_2 .$$

例 2（类型一，三阶） 求 $y'''=e^{2x}$ 的通解。

解：$y''=\dfrac12e^{2x}+C_1$，$y'=\dfrac14e^{2x}+C_1x+C_2$，$y=\dfrac18e^{2x}+\dfrac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3$。 （$\frac{C_1}{2}$ 仍是任意常数，也可以直接写成 $C_1x^2+C_2x+C_3+\frac18e^{2x}$。）

例 3（类型二，初值问题） 求 $(1+x^2)y''=2xy'$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=3$ 的特解。

解：方程不含 $y$。令 $y'=p$，$y''=p'$：

$$(1+x^2)p'=2xp\ \Rightarrow\ \frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}dx .$$

积分：$\ln|p|=\ln(1+x^2)+C_0$，$p=C_1(1+x^2)$。 马上代初始条件 $y'(0)=p(0)=3$：$C_1=3$，所以 $y'=3+3x^2$。 再积分：$y=3x+x^3+C_2$；由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$。特解

$$y=x^3+3x+1 .$$

例 4（类型二） 求 $xy''+y'=0$ 的通解（$x>0$）。

解：令 $y'=p$：$xp'+p=0$，即 $\dfrac{dp}{p}=-\dfrac{dx}{x}$，$p=\dfrac{C_1}{x}$。 （也可以看出 $xp'+p=(xp)'$，所以 $xp=C_1$。） 再积分：$y=C_1\ln x+C_2$。

例 5（类型二） 求 $y''=y'+x$ 的通解。

解：令 $y'=p$：$p'-p=x$，一阶线性。$P=-1$：

$$p=e^x\left[\int xe^{-x}dx+C_1\right]=e^x\left(-xe^{-x}-e^{-x}+C_1\right)=C_1e^x-x-1 .$$

再积分：$y=C_1e^x-\dfrac{x^2}{2}-x+C_2$。

例 6（类型三，初值问题） 求 $y''=2yy'$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=1$ 的特解。

解：方程不含 $x$。令 $y'=p(y)$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$：

$$p\frac{dp}{dy}=2yp .$$

$p\ne0$ 时约去 $p$：$\dfrac{dp}{dy}=2y$，$p=y^2+C_1$。 代初始条件：$x=0$ 时 $y=1$、$p=y'=1$，所以 $1=1+C_1$，$C_1=0$，$y'=y^2$。 分离：$\dfrac{dy}{y^2}=dx$，$-\dfrac1y=x+C_2$；由 $y(0)=1$ 得 $C_2=-1$。所以

$$y=\frac{1}{1-x}.$$

例 7（类型三） 求 $yy''-(y')^2=0$ 的通解。

解：令 $y'=p(y)$：$y\,p\dfrac{dp}{dy}-p^2=0$。$p\ne0$ 时：$\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dy}{y}$，$p=C_1y$，即 $y'=C_1y$，所以 $y=C_2e^{C_1x}$。 （更快的看法：$\left(\dfrac{y'}{y}\right)'=\dfrac{yy''-(y')^2}{y^2}=0$，所以 $\dfrac{y'}{y}=C_1$。）

例 8（类型三，初值问题） 求 $y''=3\sqrt y$ 满足 $y(0)=1,\ y'(0)=2$ 的特解。

解：令 $y'=p(y)$：$p\dfrac{dp}{dy}=3y^{1/2}$，分离 $p\,dp=3y^{1/2}dy$，积分：

$$\frac{p^2}{2}=2y^{3/2}+C_1 .$$

代 $y=1,\ p=2$：$2=2+C_1$，$C_1=0$。所以 $p^2=4y^{3/2}$，又 $p(0)=2>0$，取 $p=2y^{3/4}$。 分离：$y^{-3/4}dy=2dx$，积分 $4y^{1/4}=2x+C_2$；代 $y(0)=1$：$C_2=4$。所以 $y^{1/4}=\dfrac x2+1$，

$$y=\left(\frac x2+1\right)^4 .$$

1.5 易错点 ⚠️#

• 缺 $x$ 型不能写 $y''=p'$，必须写 $y''=p\dfrac{dp}{dy}$。
• 开平方时要根据初始条件确定正负号（例 8）。
• 例 3 中若不及时代入 $C_1$，最后要同时处理两个常数，容易乱。

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二、线性微分方程解的结构#

2.1 大白话#

二阶线性方程长这样：

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x).$$

$f(x)\equiv0$ 叫齐次，否则叫非齐次。线性方程的解有非常整齐的"结构"，就像线性代数里"齐次方程组的解可以叠加"一样（第 18 讲线性方程组会再见到同样的结构）。

图 1：例 9：红线 y = x 是一个特解，其余曲线是 x + C1·e^x + C2·e^(−x)（取不同的 C1、C2）——非齐次通解 = 齐次通解 + 特解

2.2 结构定理#

1. 叠加：若 $y_1,y_2$ 是齐次方程的解，则 $C_1y_1+C_2y_2$ 也是齐次方程的解。
2. 齐次通解：若 $y_1,y_2$ 是齐次方程的两个线性无关的解，则 $y=C_1y_1+C_2y_2$ 是齐次方程的通解。
3. 非齐次通解：非齐次通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解，即 $y=C_1y_1+C_2y_2+y^*$。
4. 差是齐次解：非齐次方程的两个解之差，是对应齐次方程的解。
5. 叠加原理：若 $y_1^*$ 是 $y''+Py'+Qy=f_1$ 的解，$y_2^*$ 是 $y''+Py'+Qy=f_2$ 的解，则 $y_1^*+y_2^*$ 是 $y''+Py'+Qy=f_1+f_2$ 的解。

一个类比帮你记：把非齐次方程想成"有目标地开车"，齐次方程想成"随意溜达"。非齐次方程的任何一个解（特解）是一条能到达目的地的路线；在它上面叠加任意一种"随意溜达"（齐次通解），仍然到得了目的地——因为溜达本身不改变终点（代入左边得 0）。所以"全部路线 = 一条固定路线 + 所有溜达方式"，这就是"非齐次通解 = 特解 + 齐次通解"。

2.3 逐行拆解#

• 线性无关（对两个函数而言）：$\dfrac{y_1}{y_2}$ 不是常数。比如 $e^x$ 与 $e^{2x}$ 无关，$e^x$ 与 $3e^x$ 相关。
• 定理 3 的直觉：特解 $y^*$ 负责"产生右边的 $f(x)$"，齐次通解负责"凑任意初始条件"，加上去不影响等式（因为它代入左边得 0）。
• 定理 4 的推理：$y_1,y_2$ 都满足 $L[y]=f$（$L[y]$ 表示方程左边），相减得 $L[y_1-y_2]=f-f=0$。
• 选择题常考的变形：若 $y_1,y_2$ 是非齐次方程的解，则 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是非齐次的解 $\iff\lambda+\mu=1$；是齐次的解 $\iff\lambda+\mu=0$。

2.4 例题#

例 9 已知 $y_1=x$，$y_2=x+e^x$，$y_3=x+e^{-x}$ 都是某二阶非齐次线性方程的解，求该方程的通解。

解： ① 由定理 4，$y_2-y_1=e^x$、$y_3-y_1=e^{-x}$ 都是对应齐次方程的解； ② $\dfrac{e^x}{e^{-x}}=e^{2x}$ 不是常数，两者线性无关，所以齐次通解为 $C_1e^x+C_2e^{-x}$； ③ $y_1=x$ 是非齐次的一个特解。由定理 3，通解为

$$y=C_1e^x+C_2e^{-x}+x .$$

（实际上这是方程 $y''-y=-x$：代入 $y=x$ 得 $0-x=-x$ ✓。）

例 10 设 $y_1,y_2$ 是 $y''+Py'+Qy=f$（$f\not\equiv0$）的两个解，问 $\dfrac{y_1+y_2}{2}$ 和 $y_1-y_2$ 分别是什么方程的解？

解：$\dfrac12+\dfrac12=1$，所以 $\dfrac{y_1+y_2}{2}$ 是非齐次方程的解；$1+(-1)=0$，所以 $y_1-y_2$ 是齐次方程的解。

2.5 易错点 ⚠️#

• 两个相关的解不能构成齐次通解。
• 非齐次方程的两个解之和不是非齐次方程的解（系数和为 2，左边代入得 $2f$）。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
$y^{(n)}=f(x)$	积分 $n$ 次，每次加一个常数
缺 $y$：$y''=f(x,y')$	$y'=p(x)$，$y''=p'$
缺 $x$：$y''=f(y,y')$	$y'=p(y)$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$
初值问题	尽早代入初始条件定常数；开方时由初始条件定符号
解的结构	非齐通解 = 齐次通解 + 非齐特解；非齐两解之差是齐次解
组合	$\lambda y_1+\mu y_2$（$y_1,y_2$ 为非齐解）：$\lambda+\mu=1$ 是非齐解，$\lambda+\mu=0$ 是齐次解
线性无关	两个函数之比不是常数

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自测练习#

1. 求 $y''=e^{2x}-\cos x$ 的通解。

答案与提示

$y'=\frac12e^{2x}-\sin x+C_1$，$y=\frac14e^{2x}+\cos x+C_1x+C_2$。

2. 求 $y''=\dfrac{1}{1+x^2}$ 的通解。

答案与提示

$y'=\arctan x+C_1$。再积分，$\int\arctan x\,dx$ 用分部积分：$=x\arctan x-\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)$。 通解 $y=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C_1x+C_2$。

3. 求 $xy''=y'$ 的通解（$x>0$）。

答案与提示

缺 $y$，令 $y'=p$：$xp'=p$，$\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dx}{x}$，$p=C_1x$。再积分：$y=\dfrac{C_1}{2}x^2+C_2$，也可写成 $y=C_1x^2+C_2$。

4. 求 $yy''+(y')^2=0$ 的通解。

答案与提示

方法一：注意 $yy''+(y')^2=(yy')'$，所以 $yy'=C$，即 $\left(\frac{y^2}{2}\right)'=C$，积分得 $y^2=C_1x+C_2$。 方法二：缺 $x$ 型，令 $y'=p(y)$：$yp\frac{dp}{dy}+p^2=0$，$\frac{dp}{p}=-\frac{dy}{y}$，$p=\frac{C}{y}$，即 $yy'=C$，同上。

5. 已知 $1$、$1+x$、$1+x^2$ 都是某二阶非齐次线性方程的解，求该方程的通解。

答案与提示

两两相减：$(1+x)-1=x$，$(1+x^2)-1=x^2$ 是对应齐次方程的解，且 $\frac{x^2}{x}=x$ 不是常数，线性无关。 通解 $y=C_1x+C_2x^2+1$。

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下一讲预告#

第 14 讲（四）学考研必考的二阶常系数线性方程：特征方程的三种根，以及非齐次方程第一类特解 $P_m(x)e^{\lambda x}$ 的设法。