考研数学二·零基础讲义 第14讲（二）｜常微分方程：一阶线性方程与应用

考研数学二·零基础讲义 · 第 14 讲（二）｜常微分方程：一阶线性方程与应用

学完本篇，你能推导并熟练使用一阶线性方程的通解公式，会"把 $x$ 当未知函数"的技巧，了解伯努利方程的换元思路，并能把积分方程、几何与冷却问题化成一阶方程求解。预计用时：3 小时。

本讲地图#

• 第 14 讲拆成五篇：（一）基本概念、可分离变量与齐次方程；（二）一阶线性方程与应用；（三）可降阶方程与解的结构；（四）常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）；（五）非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用。
• 一阶线性方程：$y'+P(x)y=Q(x)$，通解公式及推导——大纲要求"掌握"，是一阶方程中最重要的内容。
• 伯努利方程（选学）：说明：根据近年的数学二考试大纲原文，伯努利方程只写在数学一的要求里，数学二大纲没有单列；它的解法只是"换元 + 一阶线性"，这里作为选学简要介绍。
• 应用：积分方程、几何问题、冷却问题——大纲要求"会用微分方程解决一些简单的应用问题"。
• 一阶方程类型识别表：五种类型怎么认。

前置知识#

• 第 14 讲（一）：基本概念、可分离变量方程、齐次方程。
• 分部积分（见第 09 讲）、变限积分求导 $\left(\int_0^xf(t)\,dt\right)'=f(x)$（见第 10 讲）。

一句话心态：一阶线性方程只有一个公式，但化标准形和符号是两大雷区。每次套公式前先写出 $P(x)$、$Q(x)$ 各是什么。

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一、一阶线性微分方程（本篇重点）#

1.1 大白话#

"线性"的意思是：方程里 $y$ 和 $y'$ 都只以一次方出现，并且没有 $yy'$、$\sin y$ 这种"$y$ 被加工过"的项。一阶线性方程长这样：

$$y'+P(x)\,y=Q(x).$$

$Q(x)\equiv0$ 时叫齐次线性方程（它其实可以分离变量）；$Q(x)\not\equiv0$ 时叫非齐次线性方程。

它有一个现成的通解公式。考研里这个公式必须背熟，而且要知道它是怎么来的（推导过程本身就是一种常考的思路）。

1.2 通解公式#

$$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left[\int Q(x)\,e^{\int P(x)\,dx}\,dx+C\right].$$

1.3 逐行拆解：公式是怎么来的#

方法一：积分因子法（推荐理解）

方程两边同乘 $e^{\int P\,dx}$（叫积分因子）：

$$e^{\int P\,dx}\,y'+P\,e^{\int P\,dx}\,y=Q\,e^{\int P\,dx}.$$

左边恰好是乘积 $\left(y\cdot e^{\int P\,dx}\right)$ 的导数！（验证：$\left(ye^{\int P}\right)'=y'e^{\int P}+y\cdot Pe^{\int P}$。）所以

$$\left(y\,e^{\int P\,dx}\right)'=Q\,e^{\int P\,dx}.$$

两边积分：$y\,e^{\int P\,dx}=\displaystyle\int Qe^{\int P\,dx}dx+C$，再除过去，就得到通解公式。

方法二：常数变易法（了解思路）

先解齐次方程 $y'+Py=0$：分离变量得 $y=Ce^{-\int P\,dx}$。然后把常数 $C$ "变成"函数 $C(x)$，设 $y=C(x)e^{-\int P\,dx}$，代入原方程，可以算出 $C'(x)=Qe^{\int P\,dx}$，积分得 $C(x)$，结果和公式一样。

使用公式的注意事项：

• 先把方程化成标准形 $y'+P(x)y=Q(x)$：$y'$ 的系数必须是 1，$P$ 包括前面的符号。
• 公式里的 $\int P\,dx$ 只取一个原函数，不用加 $C$；而且出现 $\ln|x|$ 时通常可以直接写 $\ln x$（考虑 $x>0$ 的情形，结果形式相同）。
• 整个公式里只有最后那个 $C$ 是任意常数。
• 结构理解：$Ce^{-\int P}$ 是对应齐次方程的通解，剩下那部分是非齐次方程的一个特解——"非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解"，第 14 讲（三）讲解的结构时还会遇到。

1.4 例题#

例 1 求 $y'+\dfrac yx=\dfrac{\sin x}{x}$ 的通解。

解： ① 标准形已经是了：$P=\dfrac1x$，$Q=\dfrac{\sin x}{x}$。 ② $\int P\,dx=\ln x$，$e^{\int P}=x$，$e^{-\int P}=\dfrac1x$。 ③ $\displaystyle\int Qe^{\int P}dx=\int\frac{\sin x}{x}\cdot x\,dx=\int\sin x\,dx=-\cos x$。 ④ 通解：

$$y=\frac1x\left(-\cos x+C\right)=\frac{C-\cos x}{x}.$$

例 2 求 $y'-\dfrac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac52}$ 的通解。

解： ① $P=-\dfrac{2}{x+1}$（注意负号），$Q=(x+1)^{5/2}$。 ② $\int P\,dx=-2\ln(x+1)$，所以 $e^{\int P}=(x+1)^{-2}$，$e^{-\int P}=(x+1)^2$。 ③ $\displaystyle\int(x+1)^{5/2}(x+1)^{-2}dx=\int(x+1)^{1/2}dx=\frac23(x+1)^{3/2}$。 ④ 通解：

$$y=(x+1)^2\left[\frac23(x+1)^{\frac32}+C\right].$$

例 3 求 $y'+y=e^{-x}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解。

解：$P=1$，$Q=e^{-x}$；$e^{\int P}=e^x$。

$$y=e^{-x}\left[\int e^{-x}e^{x}dx+C\right]=e^{-x}(x+C).$$

代入 $y(0)=1$：$C=1$。特解 $y=(x+1)e^{-x}$。

例 4 求 $y'+y\tan x=\cos x$ 的通解（$-\frac\pi2<x<\frac\pi2$）。

解：$P=\tan x$，$\int\tan x\,dx=-\ln\cos x$，所以 $e^{\int P}=\dfrac{1}{\cos x}$，$e^{-\int P}=\cos x$。

$$\int\cos x\cdot\frac{1}{\cos x}dx=x ,\qquad y=\cos x\,(x+C).$$

例 5 求 $y'-y=e^{2x}$ 满足 $y(0)=3$ 的特解。

解：$P=-1$，$e^{\int P}=e^{-x}$，$e^{-\int P}=e^x$。

$$y=e^x\left[\int e^{2x}e^{-x}dx+C\right]=e^x(e^x+C)=e^{2x}+Ce^x .$$

$y(0)=1+C=3$，$C=2$。特解 $y=e^{2x}+2e^x$。

例 6（把 $x$ 看成 $y$ 的函数） 求 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x+y^3}$ 的通解（$y>0$）。

解：关于 $y$ 看，这个方程既不能分离，也不是线性的（$y$ 出现在分母的 $y^3$ 里）。换个角度：把它倒过来，

$$\frac{dx}{dy}=\frac{x+y^3}{y}=\frac xy+y^2 ,\quad\text{即}\quad \frac{dx}{dy}-\frac1y\,x=y^2 .$$

这是以 $y$ 为自变量、$x$ 为未知函数的一阶线性方程！$P=-\dfrac1y$，$Q=y^2$，$e^{\int P\,dy}=\dfrac1y$，$e^{-\int P\,dy}=y$。

$$x=y\left[\int y^2\cdot\frac1y\,dy+C\right]=y\left(\frac{y^2}{2}+C\right).$$

当方程关于 $y$ 很别扭、关于 $x$ 却是一次的时候，试试"把 $x$ 当未知函数"。

1.5 易错点 ⚠️#

• 不化标准形就套公式是头号错误。比如 $xy'+y=\sin x$ 要先除以 $x$。
• $P(x)$ 带符号：$y'-2y=\ldots$ 中 $P=-2$。
• $e^{\int P}$ 和 $e^{-\int P}$ 别放反：括号里面乘的是 $e^{+\int P}$，括号外面是 $e^{-\int P}$。
• $C$ 在括号里面，乘开后是 $Ce^{-\int P}$，不是简单加在最后。

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二、伯努利方程（选学）#

2.1 大白话#

伯努利方程比一阶线性方程多了一个 $y^n$：$y'+P(x)y=Q(x)y^n$。它不是线性的，但用一个巧妙的换元就能变成线性方程。再次说明：数学二大纲没有单列伯努利方程（数学一大纲有），这里只是作为"变量代换"思路的练习，时间紧可以跳过。

2.2 方法#

$$y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^n\qquad(n\ne0,1).$$

1. 两边除以 $y^n$：$y^{-n}y'+P\,y^{1-n}=Q$；
2. 令 $z=y^{1-n}$，则 $z'=(1-n)y^{-n}y'$；
3. 代入得一阶线性方程：

$$z'+(1-n)P(x)\,z=(1-n)Q(x);$$

4. 用通解公式求 $z$，再换回 $y=z^{\frac{1}{1-n}}$。

2.3 逐行拆解#

• $n=0$ 时就是线性方程，$n=1$ 时可以分离变量，所以排除这两种。
• 最常见的是 $n=2$：令 $z=\dfrac1y$。
• $y=0$ 往往也是一个解（除以 $y^n$ 时被丢掉了）。

2.4 例题#

例 7 求 $y'+y=xy^2$ 的通解。

解：$n=2$，令 $z=y^{-1}$，则 $z'=-y^{-2}y'$。原方程两边除以 $y^2$：$y^{-2}y'+y^{-1}=x$，即 $-z'+z=x$，整理成标准形：

$$z'-z=-x .$$

$P=-1$，$e^{\int P}=e^{-x}$：

$$z=e^{x}\left[\int(-x)e^{-x}dx+C\right].$$

分部积分：$\displaystyle\int(-x)e^{-x}dx=xe^{-x}+e^{-x}$（验证：对它求导得 $e^{-x}-xe^{-x}-e^{-x}=-xe^{-x}$ ✓）。所以

$$z=x+1+Ce^x,\qquad y=\frac{1}{x+1+Ce^x}.$$

例 8 求 $y'-\dfrac yx=-y^2$ 的通解。

解：$n=2$，令 $z=\dfrac1y$。除以 $y^2$ 得 $y^{-2}y'-\dfrac1x y^{-1}=-1$，即 $-z'-\dfrac zx=-1$，标准形 $z'+\dfrac zx=1$。

$e^{\int\frac1x dx}=x$：$z=\dfrac1x\left[\displaystyle\int x\,dx+C\right]=\dfrac x2+\dfrac Cx$。所以

$$y=\frac{1}{\frac x2+\frac Cx}=\frac{2x}{x^2+2C}.$$

2.5 易错点 ⚠️#

• 换元后得到的是关于 $z$ 的方程，系数要乘 $(1-n)$，符号别丢。
• 最后要换回 $y$。

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三、一阶方程的简单应用#

3.1 大白话#

应用题的核心是把文字翻译成方程：

• "变化率""速度""斜率" → 导数；
• "与……成正比" → 乘一个比例系数 $k$；
• 题目里含 $\int_0^xf(t)\,dt$ 的等式（积分方程）→ 两边求导变成微分方程，同时代入特殊点得到初始条件。

3.2 例题#

例 9（积分方程） 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt+x$，求 $f(x)$。

解： ① 求导：两边对 $x$ 求导（变限积分求导）：$f'(x)=f(x)+1$。 ② 初始条件：令 $x=0$，积分为 0，得 $f(0)=0$。（这一步最容易漏。） ③ 解方程：$f'-f=1$，一阶线性，$P=-1$：$f=e^{x}\left[\displaystyle\int e^{-x}dx+C\right]=e^x(-e^{-x}+C)=Ce^x-1$。 ④ 代 $f(0)=0$：$C=1$。所以 $f(x)=e^x-1$。

验算：$\int_0^x(e^t-1)dt+x=(e^x-1-x)+x=e^x-1$ ✓。

例 10（积分方程） 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)=x^2+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$，求 $f(x)$。

解：求导得 $f'=2x+f$；令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。 $f'-f=2x$：$f=e^x\left[\displaystyle\int2xe^{-x}dx+C\right]$。分部积分 $\int2xe^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}$，所以

$$f=e^x\left(-2xe^{-x}-2e^{-x}+C\right)=Ce^x-2x-2 .$$

$f(0)=C-2=0$，$C=2$。$f(x)=2e^x-2x-2$。

例 11（几何问题） 一条曲线过点 $(1,2)$，且曲线上任一点 $(x,y)$ 处切线的斜率等于 $\dfrac{2y}{x}$，求这条曲线。

解：切线斜率就是 $y'$，所以 $y'=\dfrac{2y}{x}$，$y(1)=2$。 分离：$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{2dx}{x}$，$\ln|y|=2\ln|x|+C_0$，$y=Cx^2$。由 $y(1)=2$ 得 $C=2$。曲线 $y=2x^2$。

例 12（冷却问题） 牛顿冷却定律：物体温度的变化率与"物体温度和环境温度之差"成正比。一杯 $100^\circ\mathrm{C}$ 的水放在 $20^\circ\mathrm{C}$ 的房间里，10 分钟后降到 $60^\circ\mathrm{C}$。问再过多久降到 $30^\circ\mathrm{C}$？

解： ① 建方程：设 $t$ 分钟时温度为 $T(t)$。"变化率"是 $\dfrac{dT}{dt}$；温度在下降，所以

$$\frac{dT}{dt}=-k(T-20),\quad k>0,\quad T(0)=100 .$$

② 解：分离 $\dfrac{dT}{T-20}=-k\,dt$，积分 $\ln(T-20)=-kt+C_0$，$T=20+Ce^{-kt}$。由 $T(0)=100$ 得 $C=80$：$T=20+80e^{-kt}$。 ③ 定 $k$：$T(10)=60$：$80e^{-10k}=40$，$e^{-10k}=\frac12$，$k=\dfrac{\ln2}{10}$。于是 $T=20+80\cdot2^{-t/10}$。 ④ 求时间：$T=30$：$80\cdot2^{-t/10}=10$，$2^{-t/10}=\frac18=2^{-3}$，$t=30$。

从开始算是 30 分钟，所以再过 20 分钟降到 $30^\circ\mathrm{C}$。

图 1：例 12 冷却曲线 T = 20 + 80·2^(−t/10)：每 10 分钟温差减半，t = 30 时 T = 30 ℃

3.3 易错点 ⚠️#

• 积分方程题：求导与代特殊点找初始条件两步缺一不可。
• "再过多久"要减去已经过去的时间。
• 方程里的符号要和实际一致：温度下降，导数为负。

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四、一阶方程类型识别表#

拿到一个一阶方程，按这个顺序检查：

顺序	检查	是的话	解法
1	能写成 $y'=f(x)g(y)$？	可分离变量	分离后两边积分
2	$y$、$y'$ 都是一次，能写成 $y'+P(x)y=Q(x)$？	一阶线性	通解公式
3	右边能写成 $\varphi\left(\frac yx\right)$？	齐次方程	令 $u=\frac yx$
4	形如 $y'+Py=Qy^n$？	伯努利（选学）	令 $z=y^{1-n}$
5	关于 $y$ 都不行，但关于 $x$ 是一次的？	以 $x$ 为未知函数的线性方程	倒过来写 $\frac{dx}{dy}$

一个方程可能同时属于几种类型（比如 $y'=2xy$ 既可分离又是线性），选你觉得最快的那种。

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公式/结论速记卡#

类型	标准形	解法要点
一阶线性	$y'+P(x)y=Q(x)$	$y=e^{-\int Pdx}\left[\int Qe^{\int Pdx}dx+C\right]$
积分因子	—	两边乘 $e^{\int P}$，左边变成 $\left(ye^{\int P}\right)'$
换未知函数	关于 $x$ 一次	写成 $\frac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$
伯努利（选学）	$y'+Py=Qy^n$	$z=y^{1-n}$，$z'+(1-n)Pz=(1-n)Q$
积分方程	含 $\int_0^xf(t)dt$	求导得方程 + 代 $x=0$ 得初始条件

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自测练习#

1. 求 $xy'=y+x$ 的通解。

答案与提示

化标准形：$y'-\dfrac1xy=1$。$P=-\frac1x$，$e^{\int P}=\frac1x$，$e^{-\int P}=x$。 $y=x\left[\displaystyle\int1\cdot\frac1xdx+C\right]=x(\ln|x|+C)$。 （也可看成齐次方程 $y'=\frac yx+1$ 来解，结果相同。）

2. 求 $y'+2xy=2xe^{-x^2}$ 的通解。

答案与提示

$P=2x$，$e^{\int P}=e^{x^2}$。$y=e^{-x^2}\left[\displaystyle\int2xe^{-x^2}e^{x^2}dx+C\right]=e^{-x^2}(x^2+C)$。

3. 求 $y'-2y=e^x$ 满足 $y(0)=0$ 的特解。

答案与提示

$P=-2$，$e^{\int P}=e^{-2x}$。$y=e^{2x}\left[\displaystyle\int e^xe^{-2x}dx+C\right]=e^{2x}(-e^{-x}+C)=Ce^{2x}-e^x$。 $y(0)=C-1=0$，$C=1$。特解 $y=e^{2x}-e^x$。

4. 求 $y'-\dfrac yx=x^2$ 的通解（$x>0$）。

答案与提示

$P=-\frac1x$，$e^{\int P}=\frac1x$，$e^{-\int P}=x$。$y=x\left[\displaystyle\int x^2\cdot\frac1x\,dx+C\right]=x\left(\frac{x^2}{2}+C\right)$。

5.（选学）求伯努利方程 $y'+\dfrac yx=y^2$ 的通解（$x>0$）。

答案与提示

令 $z=\frac1y$：除以 $y^2$ 得 $y^{-2}y'+\frac1xy^{-1}=1$，即 $-z'+\frac zx=1$，标准形 $z'-\frac1xz=-1$。 $e^{\int P}=\frac1x$：$z=x\left[\displaystyle\int\left(-\frac1x\right)dx+C\right]=x(C-\ln x)$。 所以 $y=\dfrac{1}{x(C-\ln x)}$。

6. 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)=e^x+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt$，求 $f(x)$。

答案与提示

求导：$f'=e^x+f$；令 $x=0$：$f(0)=1$。 $f'-f=e^x$：$f=e^x\left[\displaystyle\int e^xe^{-x}dx+C\right]=e^x(x+C)$。$f(0)=C=1$。所以 $f(x)=(x+1)e^x$。

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下一讲预告#

第 14 讲（三）进入高阶方程：三类可降阶方程，以及线性微分方程解的结构——为后面的二阶常系数方程打基础。