考研数学二·零基础讲义 第14讲（一）｜常微分方程：基本概念、可分离变量与齐次方程

考研数学二·零基础讲义 · 第 14 讲（一）｜常微分方程：基本概念、可分离变量与齐次方程

学完本篇，你能看懂"阶、通解、特解、初始条件"这些概念，会验证一个函数是不是方程的解，并能熟练求解可分离变量方程和齐次方程。预计用时：2.5–3 小时。

本讲地图#

• 第 14 讲拆成五篇：（一）基本概念、可分离变量与齐次方程；（二）一阶线性方程与应用；（三）可降阶方程与解的结构；（四）常系数齐次方程与非齐次特解（类型 Ⅰ）；（五）非齐次特解（类型 Ⅱ）、欧拉方程与应用。
• 基本概念：微分方程、阶、解、通解、特解、初始条件——大纲要求"了解"。
• 可分离变量方程：$y'=f(x)g(y)$，"分家再积分"——大纲要求"掌握"。
• 齐次方程：$y'=\varphi\left(\frac yx\right)$，换元 $u=\frac yx$——大纲要求"会解"。

前置知识#

• 导数的概念与求导公式（见第 05、06 讲）。
• 不定积分的基本公式、换元积分（见第 09 讲）——解微分方程的本质就是积分。
• 对数、指数的运算：$e^{\ln A}=A$，$\ln|AB|=\ln|A|+\ln|B|$（见第 01 讲）。

一句话心态：解一阶方程的第一步永远是认类型。认对了，后面就是套路。

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一、微分方程的基本概念#

1.1 大白话#

以前我们做的是：已知函数，求它的导数。比如已知位置 $s(t)=t^2$，求速度 $s'(t)=2t$。

微分方程反过来：已知导数满足的关系，求函数本身。比如：

• "一个量的增长速度等于它自己"：$y'=y$，求 $y$。答案是 $y=Ce^x$（$C$ 是任意常数）。
• "物体下落的加速度是 $g$"：$s''=g$，求位置 $s(t)$。

只要关系式里出现了未知函数的导数，它就是微分方程。解方程就是"找出所有满足这个关系的函数"。

1.2 正式定义#

• 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程。未知函数是一元函数时叫常微分方程（考研只考这种）。
• 阶：方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。
• 解：代入方程后使方程恒成立的函数。
• 通解：含有任意常数、且独立任意常数的个数等于方程的阶数的解。
• 初始条件：用来确定任意常数的条件，如 $y(x_0)=y_0$、$y'(x_0)=y_1$。
• 特解：通解中的任意常数被确定后得到的解（不含任意常数）。

1.3 逐行拆解#

• "阶"看的是导数的阶数，不是导数的次方。$(y')^3+y=x$ 里 $y'$ 是三次方，但只有一阶导，所以是一阶方程。
• "独立的任意常数"：$y=C_1e^x+C_2e^x$ 看起来有两个常数，但它就等于 $(C_1+C_2)e^x$，实际只有一个，不独立。
• 一阶方程的通解含 1 个任意常数，需要 1 个初始条件定出它；二阶方程的通解含 2 个任意常数，需要 2 个初始条件。
• 通解不一定包含所有解（后面例 4 会看到被"漏掉"的解），但考研中求通解按常规方法做即可。

通解和特解的几何图像：以 $y'=2x$ 为例，通解 $y=x^2+C$ 是一族上下平移的抛物线——$C$ 每取一个值就是一条曲线，这些曲线叫积分曲线。初始条件 $y(0)=1$ 相当于说"要经过点 $(0,1)$ 的那一条"，于是挑出 $C=1$，特解是 $y=x^2+1$。所以：

• 通解 = 一整族曲线；
• 初始条件 = 指定曲线经过的点（以及切线斜率等）；
• 特解 = 族中被挑出来的那一条。

验证一个函数是不是方程的解：把它和它的导数代入方程，看左右两边是否对所有 $x$ 恒等。这是检查自己答案最可靠的办法，考场上时间允许时一定要做。

1.4 例题#

例 1 验证 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$ 是方程 $y''-3y'+2y=0$ 的通解，并求满足 $y(0)=0,\ y'(0)=1$ 的特解。

解： ① 验证是解：$y'=C_1e^x+2C_2e^{2x}$，$y''=C_1e^x+4C_2e^{2x}$。代入：

$$y''-3y'+2y=(C_1-3C_1+2C_1)e^x+(4C_2-6C_2+2C_2)e^{2x}=0 .$$

恒成立，是解。

② 是通解：方程是二阶的，$y$ 含两个任意常数，且 $e^x$ 与 $e^{2x}$ 之比 $e^{x}$ 不是常数，两个常数不能合并，是独立的。所以是通解。

③ 求特解：由 $y(0)=0$ 得 $C_1+C_2=0$；由 $y'(0)=1$ 得 $C_1+2C_2=1$。解得 $C_2=1$，$C_1=-1$。特解

$$y=e^{2x}-e^x .$$

例 2 指出下列方程的阶：(1) $(y')^3+y=x$；(2) $y''+x(y')^5=\sin x$；(3) $x\,dy-y\,dx=0$。

解：(1) 一阶；(2) 二阶（最高是 $y''$，$(y')^5$ 的"5"是次方不是阶）；(3) 一阶（两边除以 $x\,dx$ 即 $y'=\frac yx$）。

1.5 易错点 ⚠️#

• 阶数 ≠ 次数。
• 特解里不能再有任意常数；初始条件要一个一个代进去列方程。

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二、可分离变量的方程#

2.1 大白话#

如果方程能整理成"左边只有 $y$，右边只有 $x$"的样子，就像把一家人分成两边，各过各的——然后两边各自积分就行了。这就是"分离变量"。

2.2 方法#

形如

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)$$

的方程叫可分离变量方程。解法：

1. 分离：$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$（$g(y)\ne0$ 时）；
2. 两边积分：$\displaystyle\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx+C$；
3. 整理出 $y$（整理不出来，写成隐式也可以）。

2.3 逐行拆解#

• $\dfrac{dy}{dx}$ 读作"d y d x"，就是 $y'$。分离变量时把它当成"分数"来移项，这在数学上是合法的（微分的含义保证了这一点）。
• 积分后只写一个常数 $C$，放在一边即可。
• 常见化简技巧：积出 $\ln|y|=\ldots+C$ 时，两边取指数得 $|y|=e^{C}\cdot e^{\cdots}$，再把 $\pm e^{C}$ 合并成一个新的任意常数 $C$，写成 $y=Ce^{\cdots}$。所以习惯上直接写 $\ln y$ 而不加绝对值，最后的 $C$ 可正可负，结果是一样的。
• 分离时如果除以了 $g(y)$，要留意 $g(y)=0$ 对应的常数解（比如 $y=0$）。

2.4 例题#

例 3 求 $y'=2xy$ 满足 $y(0)=1$ 的特解。

解： ① 分离：$\dfrac{dy}{y}=2x\,dx$。 ② 积分：$\ln|y|=x^2+C_0$。 ③ 整理：$y=Ce^{x^2}$（$C=\pm e^{C_0}$，再把 $y=0$ 也并进来，$C$ 可取任意常数）。 ④ 代初始条件：$y(0)=C=1$。特解 $y=e^{x^2}$。

图 1：例 3 的方向场：每点短线段的斜率为 2xy；蓝色是通解 y = Ce^(x²) 中的几条，红色是满足 y(0) = 1 的特解 y = e^(x²)（动画循环播放）

例 4 求 $y'=y^2\cos x$ 的通解。

解： ① 分离（$y\ne0$）：$\dfrac{dy}{y^2}=\cos x\,dx$。 ② 积分：$\displaystyle\int y^{-2}dy=-\frac1y$，$\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x$，所以 $-\dfrac1y=\sin x+C$。 ③ 整理：

$$y=-\frac{1}{\sin x+C}.$$

另外，$y=0$ 显然也满足方程（左边 $0$，右边 $0$），但它不能由上式取某个 $C$ 得到——这就是"通解不一定包含所有解"的例子。考研里写出上面的通解即可，细心一点可以补一句"$y=0$ 也是解"。

例 5 求 $(1+x^2)y'=xy$ 满足 $y(0)=2$ 的特解。

解： ① 分离：$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{x}{1+x^2}dx$。 ② 积分：右边令 $u=1+x^2$，$\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}dx=\frac12\ln(1+x^2)$。所以

$$\ln|y|=\frac12\ln(1+x^2)+C_0\ \Rightarrow\ y=C\sqrt{1+x^2}.$$

③ 代入 $y(0)=2$：$C=2$。特解 $y=2\sqrt{1+x^2}$。

例 6 求 $xy'=y\ln y$ 的通解（$y>0$）。

解： ① 分离：$\dfrac{dy}{y\ln y}=\dfrac{dx}{x}$。 ② 左边：令 $u=\ln y$，$du=\dfrac{dy}{y}$，$\displaystyle\int\frac{du}{u}=\ln|u|=\ln|\ln y|$。右边 $\ln|x|$。 ③ $\ln|\ln y|=\ln|x|+C_0$，即 $\ln y=Cx$，所以

$$y=e^{Cx}.$$

2.5 易错点 ⚠️#

• 分离后两边都要积分，别只积一边。
• 积分常数 $C$ 只写一次；化简时 $C$ 的"身份"会变（$e^{C}$、$\pm e^C$、$2C$……），统一仍记作 $C$ 即可。
• 能否分离要看清：$y'=x+y$ 不能分离（加号把 $x,y$ 粘在一起了），$y'=e^{x+y}=e^xe^y$ 能分离。

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三、齐次方程#

3.1 大白话#

有些方程分不开，但仔细一看，右边全是"$\frac yx$"的组合，比如 $\frac yx+\tan\frac yx$。那就把 $\frac yx$ 打包成一个新变量 $u$，方程就会变成可分离的。这里的"齐次"指的是这种结构，和后面"齐次线性方程"的"齐次"不是一个意思。

3.2 方法#

形如

$$\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$$

的方程叫齐次方程。解法：

1. 令 $u=\dfrac yx$，即 $y=ux$；
2. 两边对 $x$ 求导：$y'=u+x\,u'$（乘积求导，$u$ 也是 $x$ 的函数）；
3. 代入原方程：$u+xu'=\varphi(u)$，即

$$x\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u ,$$

这是可分离变量方程； 4. 解出 $u$，再把 $u=\frac yx$ 代回去。

3.3 逐行拆解#

• 怎么判断是齐次方程：把右边的每一项的分子分母同除以 $x$ 的适当次方，看能否全部写成 $\frac yx$ 的函数。小技巧：把 $x,y$ 同时换成 $tx,ty$，若右边不变，就是齐次方程。比如 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 换成 $\dfrac{t^2x^2+t^2y^2}{t^2xy}$ 不变，是齐次的。
• 第 2 步 $y'=u+xu'$ 是关键，不要写成 $y'=u'$。
• 最后一定要换回 $y$。

3.4 例题#

例 7 求 $y'=\dfrac yx+\tan\dfrac yx$ 的通解。

解： ① 令 $u=\dfrac yx$，$y'=u+xu'$。代入：$u+xu'=u+\tan u$，即 $xu'=\tan u$。 ② 分离：$\dfrac{du}{\tan u}=\dfrac{dx}{x}$，即 $\dfrac{\cos u}{\sin u}du=\dfrac{dx}{x}$。 ③ 积分：$\ln|\sin u|=\ln|x|+C_0$，得 $\sin u=Cx$。 ④ 换回：

$$\sin\frac yx=Cx .$$

例 8 求 $(x^2+y^2)\,dx-xy\,dy=0$ 的通解。

解： ① 整理成 $y'$ 的形式：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac xy+\dfrac yx$。右边是 $\frac yx$ 的函数，齐次方程。 ② 令 $u=\dfrac yx$：$u+xu'=\dfrac1u+u$，即 $xu'=\dfrac1u$。 ③ 分离：$u\,du=\dfrac{dx}{x}$。积分：$\dfrac{u^2}{2}=\ln|x|+C$。 ④ 换回 $u=\frac yx$：$\dfrac{y^2}{2x^2}=\ln|x|+C$，即

$$y^2=2x^2\big(\ln|x|+C\big).$$

例 9 接例 8，求满足 $y(1)=2$ 的特解。

解：代入 $x=1,\ y=2$：$4=2(0+C)$，$C=2$。特解 $y^2=2x^2(\ln x+2)$（在 $x=1$ 附近 $x>0$、$y>0$，也可写成 $y=x\sqrt{2\ln x+4}$）。

例 10 求 $y'=\dfrac yx+e^{-y/x}$ 的通解。

解： ① 令 $u=\dfrac yx$：$u+xu'=u+e^{-u}$，即 $xu'=e^{-u}$。 ② 分离：$e^{u}du=\dfrac{dx}{x}$。积分：$e^u=\ln|x|+C$。 ③ 取对数：$u=\ln(\ln|x|+C)$，换回：

$$y=x\ln\big(\ln|x|+C\big).$$

3.5 易错点 ⚠️#

• $y=ux$ 求导是乘积求导：$y'=u'x+u$。
• 方程给成 $P\,dx+Q\,dy=0$ 的形式时，先化成 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac PQ$ 再判断。

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公式/结论速记卡#

类型	标准形	解法要点
基本概念	—	阶 = 最高导数阶数；通解中独立常数个数 = 阶数；特解无任意常数
验证解	—	代入方程，看是否对所有 $x$ 恒成立
可分离变量	$y'=f(x)g(y)$	$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C$；留意 $g(y)=0$ 的常数解
齐次方程	$y'=\varphi\left(\frac yx\right)$	$u=\frac yx$，$y'=u+xu'$，化为 $x\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u$，最后换回 $y$
判断齐次	—	把 $x,y$ 换成 $tx,ty$，右边不变

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自测练习#

1. 验证 $y=C_1\cos x+C_2\sin x$ 是 $y''+y=0$ 的通解，并求满足 $y(0)=1,\ y'(0)=2$ 的特解。

答案与提示

$y''=-C_1\cos x-C_2\sin x=-y$，所以 $y''+y=0$ 恒成立；两个常数独立（$\frac{\cos x}{\sin x}$ 不是常数），方程二阶，是通解。 $y(0)=C_1=1$；$y'=-C_1\sin x+C_2\cos x$，$y'(0)=C_2=2$。特解 $y=\cos x+2\sin x$。

2. 求 $y'=e^{x-y}$ 满足 $y(0)=0$ 的特解。

答案与提示

$e^{x-y}=e^xe^{-y}$，可分离：$e^ydy=e^xdx$，积分 $e^y=e^x+C$。$y(0)=0$ 代入 $1=1+C$，$C=0$。所以 $e^y=e^x$，$y=x$。

3. 求 $y'=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$ 的通解。

答案与提示

分离：$\dfrac{dy}{1+y^2}=\dfrac{dx}{1+x^2}$，积分：$\arctan y=\arctan x+C$，即 $y=\tan(\arctan x+C)$。

4. 求 $y'=\dfrac yx+\left(\dfrac yx\right)^2$ 的通解。

答案与提示

令 $u=\frac yx$：$u+xu'=u+u^2$，$xu'=u^2$。分离 $\dfrac{du}{u^2}=\dfrac{dx}{x}$，积分 $-\dfrac1u=\ln|x|+C$。 所以 $u=-\dfrac{1}{\ln|x|+C}$，$y=-\dfrac{x}{\ln|x|+C}$。

5. 求 $xy'=y(\ln y-\ln x)$ 的通解（$x>0,y>0$）。

答案与提示

$y'=\dfrac yx\ln\dfrac yx$，齐次方程。令 $u=\frac yx$：$u+xu'=u\ln u$，$xu'=u(\ln u-1)$。 分离：$\dfrac{du}{u(\ln u-1)}=\dfrac{dx}{x}$，左边令 $w=\ln u-1$ 得 $\ln|\ln u-1|=\ln x+C_0$，即 $\ln u-1=Cx$。 所以 $u=e^{1+Cx}$，$y=xe^{1+Cx}$。

6. 判断下列方程的类型（不用解）：(1) $y'=\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $y'=\dfrac{y}{x}\ln x$；(3) $y'+\dfrac{y}{x}=x^2$；(4) $y'=\sin(xy)$。

答案与提示

(1) 分子分母同除以 $x$：$\dfrac{1-y/x}{1+y/x}$，齐次方程。 (2) $y'=\dfrac{\ln x}{x}\cdot y$，可分离变量（也是齐次线性方程）。 (3) 一阶线性，$P=\frac1x$，$Q=x^2$。 (4) 都不是。考研不会考这种方程的求解。

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下一讲预告#

第 14 讲（二）学本章最重要的一阶方程——一阶线性方程：通解公式怎么来、怎么用，再加上积分方程与冷却问题等应用。