考研数学二·零基础讲义 第13讲（四）｜二重积分：对称性与方法选择

考研数学二·零基础讲义 · 第 13 讲（四）｜二重积分：对称性与方法选择

学完本篇，你能用奇偶对称、轮换对称把二重积分的计算量砍掉一大半，并掌握"先对称、再选坐标、再定限"的做题流程。预计用时：2.5 小时。

本讲地图#

• 第 13 讲拆成四篇：（一）概念、性质与直角坐标计算；（二）交换积分次序与定限训练；（三）极坐标计算；（四）对称性与方法选择。数二只考二重积分，三重积分、曲线曲面积分不考。
• 奇偶对称性：区域关于坐标轴对称时，奇函数项直接为 0、偶函数项折半——几乎每道二重积分大题都会用上。
• 轮换对称性：区域关于 $y=x$ 对称时，$x,y$ 可以互换。
• 方法选择决策表：拿到题先看对称、再看区域、再看被积函数。

前置知识#

• 第 13 讲（一）—（三）：直角坐标与极坐标下的计算。
• 定积分的对称性："奇函数在对称区间上积分为 0"（见第 10 讲）。

一句话心态：看见对称，先砍一刀。能消掉的项，绝不去硬算。

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一、对称性简化计算#

1.1 大白话#

如果区域左右对称，被积函数在左右两边"一正一负、正好抵消"，那积分直接是 0，不用算！如果"两边一模一样"，就只算一半再乘 2。这和定积分里"奇函数在对称区间上积分为 0"是同一个道理。

用"曲顶柱体"的图像想：区域关于 $y$ 轴对称，左边的点 $(-x,y)$ 和右边的点 $(x,y)$ 是一对"镜像"。

• 如果 $f(-x,y)=-f(x,y)$，那么右边那根柱子朝上有多高，左边那根就朝下有多深，体积一正一负，成对抵消，总和为 0；
• 如果 $f(-x,y)=f(x,y)$，左右两根柱子一样高，总体积就是右半边的 2 倍。

图 1：单位圆盘关于 y 轴对称，f(x,y) = x 对 x 是奇函数：镜像点 (x, y) 与 (−x, y) 处函数值一正一负，积分为 0

轮换对称更像"照镜子换名字"：区域关于直线 $y=x$ 对称时，把 $x$ 叫作 $y$、把 $y$ 叫作 $x$，区域还是那块区域，积分自然不变。

1.2 奇偶对称性#

区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称（把 $x$ 换成 $-x$，区域不变）：

• 若 $f(-x,y)=-f(x,y)$（$f$ 关于 $x$ 是奇函数），则 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma=0$；
• 若 $f(-x,y)=f(x,y)$（关于 $x$ 是偶函数），则 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma=2\iint_{D_1}f\,d\sigma$，$D_1$ 是 $D$ 在 $x\ge0$ 的那一半。

区域关于 $x$ 轴对称：同理，看 $f$ 关于 $y$ 的奇偶性。

1.3 轮换对称性#

若区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称（把 $x,y$ 互换，区域不变——比如圆心在原点的圆、正方形 $[0,1]\times[0,1]$），则

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\iint_D f(y,x)\,d\sigma .$$

1.4 逐行拆解#

• 奇偶对称看两件事：区域关于谁对称、函数关于那个变量的奇偶性。两者要配套：区域关于 $y$ 轴对称，就看 $f$ 对 $x$ 的奇偶。
• 轮换对称最常见的用法：$\displaystyle\iint_D x^2\,d\sigma=\iint_D y^2\,d\sigma=\frac12\iint_D(x^2+y^2)\,d\sigma$，后者用极坐标一步算出。
• 被积函数可以拆开，每一项分别用对称性。
• 判断奇偶的操作：把 $f(x,y)$ 里所有的 $x$ 换成 $-x$（$y$ 不动），看结果是 $f$ 本身（偶）、$-f$（奇），还是都不是。例如：
  • $x^3y^2$：换后 $-x^3y^2$，关于 $x$ 奇；
  • $x^2\sin y$：换后不变，关于 $x$ 偶；
  • $|x|$、$\cos x$、$x^2$：关于 $x$ 偶；
  • $x+x^2$：既不奇也不偶，要拆开分别看。
• 判断区域对称的操作：把区域不等式里的 $x$ 换成 $-x$，看不等式是否不变。$x^2+y^2\le1$ 不变（关于 $y$ 轴对称）；$x^2+y^2\le2x$ 变成 $x^2+y^2\le-2x$，变了（不关于 $y$ 轴对称）。

1.5 例题#

例 1 计算 $\displaystyle\iint_D(x+y^3+x^2)\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le1$。

解：拆成三项。

• $x$：$D$ 关于 $y$ 轴对称，$x$ 是关于 $x$ 的奇函数，积分为 $0$；
• $y^3$：$D$ 关于 $x$ 轴对称，$y^3$ 是关于 $y$ 的奇函数，积分为 $0$；
• $x^2$：用轮换对称性，

$$\iint_D x^2\,d\sigma=\frac12\iint_D(x^2+y^2)\,d\sigma=\frac12\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^2\cdot r\,dr=\frac12\cdot2\pi\cdot\frac14=\frac{\pi}{4}.$$

所以原式 $=\dfrac{\pi}{4}$。

例 2 计算 $\displaystyle\iint_D(2x^2+3y^2)\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le1$。

解：由轮换对称，$\iint x^2=\iint y^2=\dfrac\pi4$（例 1 已算）。

$$\text{原式}=2\cdot\frac\pi4+3\cdot\frac\pi4=\frac{5\pi}{4}.$$

例 3（偶函数：只算一半再乘 2） 计算 $\displaystyle\iint_D|y|\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le1$。

解：$|y|$ 带绝对值，直接积要分区域。但 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$|y|$ 关于 $y$ 是偶函数，所以

$$\iint_D|y|\,d\sigma=2\iint_{D_{\text{上}}}y\,d\sigma ,$$

$D_{\text{上}}$ 是上半圆盘：$0\le\theta\le\pi$，$0\le r\le1$，

$$\iint_{D_{\text{上}}}y\,d\sigma=\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^1r^2\,dr=2\cdot\frac13=\frac23 .$$

所以原式 $=\dfrac43$。偶函数对称性的另一个好处：顺手去掉了绝对值。

例 4（轮换对称的妙用） 计算 $I=\displaystyle\iint_D\frac{2e^x+3e^y}{e^x+e^y}\,d\sigma$，$D=[0,1]\times[0,1]$。

解：这个函数直接积很难。但 $D$ 是正方形，关于 $y=x$ 对称。把 $x,y$ 互换：

$$I=\iint_D\frac{2e^y+3e^x}{e^y+e^x}\,d\sigma .$$

两个表达式相加：

$$2I=\iint_D\frac{(2e^x+3e^y)+(2e^y+3e^x)}{e^x+e^y}\,d\sigma=\iint_D5\,d\sigma=5\cdot1=5 .$$

所以 $I=\dfrac52$。

例 5（偏心圆 + 对称性） 计算 $\displaystyle\iint_D(x+y)\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le2x$。

解： ① 先看对称性：$D$ 是圆心 $(1,0)$ 的圆，关于 $x$ 轴对称；$y$ 是关于 $y$ 的奇函数，所以 $\iint_Dy\,d\sigma=0$。注意 $D$ 不关于 $y$ 轴对称，$x$ 那一项不能消！ ② 剩下 $\iint_Dx\,d\sigma$，用极坐标：$-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$，$0\le r\le2\cos\theta$，$x=r\cos\theta$。

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\int_0^{2\cos\theta}r^2\,dr=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac83\cos^4\theta\,d\theta=\frac{16}{3}\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta .$$

由第 10 讲的公式 $\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta=\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2=\frac{3\pi}{16}$，得 $\dfrac{16}{3}\cdot\dfrac{3\pi}{16}=\pi$。

所以原式 $=\pi$。

（物理直觉：$\iint_Dx\,d\sigma=$ 面积 × 形心横坐标 $=\pi\times1=\pi$，吻合。同理，若 $D:\ x^2+y^2\le2y$，则 $\iint_Dy\,d\sigma=\pi$。）

例 6（不是圆也能用对称性） 计算 $\displaystyle\iint_D(x+x^2y)\,d\sigma$，$D$ 由 $y=|x|$ 和 $y=1$ 围成。

解：$D$ 是顶点为 $(0,0)$、$(-1,1)$、$(1,1)$ 的三角形，关于 $y$ 轴对称（把 $x$ 换成 $-x$，$|x|$ 不变）。

• $x$：关于 $x$ 是奇函数，积分为 0；
• $x^2y$：关于 $x$ 是偶函数，等于右半部分 $D_1$（$0\le x\le1$，$x\le y\le1$）上积分的 2 倍：

$$2\int_0^1dx\int_x^1x^2y\,dy=2\int_0^1x^2\cdot\frac{1-x^2}{2}dx=\frac13-\frac15=\frac{2}{15}.$$

所以原式 $=\dfrac{2}{15}$。

对称性和区域形状无关，只看"把 $x$ 换成 $-x$ 后区域变不变"。三角形、正方形、菱形都可能对称。

1.6 易错点 ⚠️#

• 用奇偶性之前，先确认区域真的对称。比如 $x^2+y^2\le2x$ 关于 $x$ 轴对称，但不关于 $y$ 轴对称。
• 轮换对称要求的是区域关于 $y=x$ 对称，被积函数不需要对称。
• 偶函数"乘 2"时，$D_1$ 必须是 $D$ 被对称轴切开后的一半，不要只取四分之一。若区域同时关于两条坐标轴对称、函数关于 $x$、$y$ 都是偶函数，才能写成"4 倍第一象限部分"。
• 对称性只能用来"消掉"或"折半"，不能凭感觉说"这一项看起来像奇函数"。务必动手把 $x$ 换成 $-x$ 验证一遍。

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二、拿到一道二重积分题，怎么下手？#

2.1 大白话#

工具都有了，难的是"选工具"。下面这张决策表，相当于做题前的三十秒思考。

2.2 决策表#

先看	情况	动作
区域对称吗？	关于坐标轴对称	拆项，把奇函数项直接划掉
	关于 $y=x$ 对称	考虑轮换：$x^2$ 换成 $\frac12(x^2+y^2)$；或"原式 + 轮换式"相加
区域长什么样？	圆、圆环、扇形	极坐标
	三角形、矩形、抛物线围成	直角坐标
被积函数长什么样？	含 $x^2+y^2$、$\frac yx$	倾向极坐标
	含 $e^{-y^2}$、$\frac{\sin x}{x}$ 等积不出的	直角坐标 + 注意积分次序

2.3 例题#

例 7 计算 $\displaystyle\iint_D\big(x\,e^{x^2+y^2}+1\big)\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le1$。

解：

• $xe^{x^2+y^2}$ 关于 $x$ 是奇函数（$x$ 变号它变号，$e^{x^2+y^2}$ 不变），$D$ 关于 $y$ 轴对称 → 积分为 0。这一项如果硬算，反而很麻烦。
• $\iint_D1\,d\sigma=\pi$。

原式 $=\pi$。

2.4 易错点 ⚠️#

• 对称性要先于坐标变换考虑：先砍掉能砍的项，剩下的再决定用什么坐标。
• 区域不对称时，可以尝试把区域补成对称的，或者拆成对称部分 + 剩余部分。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
奇偶对称	区域关于 $y$ 轴对称：$f$ 关于 $x$ 奇 → 0，偶 → 2 倍半区域；关于 $x$ 轴对称则看 $y$
判断奇偶	把 $x$ 换成 $-x$（$y$ 不动），看结果是 $f$ 还是 $-f$
判断区域对称	把不等式里的 $x$ 换成 $-x$，看是否不变
轮换对称	区域关于 $y=x$ 对称：$\iint f(x,y)=\iint f(y,x)$；$\iint x^2=\iint y^2=\frac12\iint(x^2+y^2)$
常用结果	单位圆盘上 $\iint(x^2+y^2)\,d\sigma=\frac\pi2$，$\iint x^2\,d\sigma=\frac\pi4$
做题顺序	先拆项用对称性消掉一部分 → 再选坐标系 → 画图定限 → 计算

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自测练习#

1. 计算 $\displaystyle\iint_D(x+y)^2\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le1$。

答案与提示

$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$。$2xy$ 关于 $x$ 是奇函数，区域关于 $y$ 轴对称，积分为 0。

$\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,d\sigma=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3\,dr=\frac{\pi}{2}$。

2. 计算 $\displaystyle\iint_D(x^3y+x+1)\,d\sigma$，$D:\ |x|+|y|\le1$。

答案与提示

$D$ 是以 $(\pm1,0)$、$(0,\pm1)$ 为顶点的正方形，关于两条坐标轴都对称。 $x^3y$、$x$ 都是关于 $x$ 的奇函数，积分为 0。剩下 $\iint_D1\,d\sigma=$ 面积 $=\frac12\times2\times2=2$。答案 $2$。

3. 计算 $\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,d\sigma$，$D=[-1,1]\times[-1,1]$。（提示：正方形不适合极坐标。）

答案与提示

轮换对称：$\iint_Dy^2=\iint_Dx^2$。而 $\displaystyle\iint_Dx^2\,d\sigma=\int_{-1}^1x^2dx\cdot\int_{-1}^1dy=\frac23\cdot2=\frac43$。 所以原式 $=2\cdot\frac43=\frac83$。

4. 计算 $\displaystyle\iint_Dx^2y\,d\sigma$，$D$ 为上半圆盘 $x^2+y^2\le1,\ y\ge0$。

答案与提示

注意这里区域只关于 $y$ 轴对称，$x^2y$ 关于 $x$ 是偶函数，不能得 0。用极坐标：$0\le\theta\le\pi$，$0\le r\le1$，

$$\int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta\int_0^1r^4\,dr=\left[-\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^\pi\cdot\frac15=\frac23\cdot\frac15=\frac{2}{15}.$$

5. 计算 $\displaystyle\iint_D(x^2-2y^2)\,d\sigma$，$D:\ x^2+y^2\le1$。

答案与提示

轮换对称：$\iint_Dx^2=\iint_Dy^2=\frac\pi4$。原式 $=\frac\pi4-2\cdot\frac\pi4=-\frac\pi4$。

6. 不计算，求 $\displaystyle\iint_D(x^2-y^2)\,d\sigma$，$D=[0,1]\times[0,1]$。

答案与提示

正方形关于 $y=x$ 对称，由轮换对称 $\iint_Dx^2=\iint_Dy^2$，所以原式 $=0$。

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下一讲预告#

第 14 讲进入高数部分的最后一块——常微分方程：从"已知导数满足的关系，反推函数本身"，分篇讲一阶方程、可降阶方程和二阶常系数线性方程。