考研数学二·零基础讲义 第20讲（下）｜二次型：配方法与正定

考研数学二·零基础讲义 · 第 20 讲（下）｜二次型：配方法与正定二次型

学完这一讲，你能用配方法（含"没有平方项"的情形）把二次型化成标准形并写出可逆线性变换，能用顺序主子式、特征值等方法判断二次型或矩阵是否正定，并会求使二次型正定的参数范围。预计用时：3–4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：配方法的两种情形（有平方项、只有交叉项）；写出配方所用的可逆线性变换；正定二次型与正定矩阵的定义；正定的等价条件与必要条件；顺序主子式判别法；含参数正定问题；正定矩阵的派生性质；负定（了解）。
• 考研怎么考：小题常考正定的判别、求参数范围、正定矩阵派生矩阵是否正定；配方法偶尔单独出题，更多用于快速求惯性指数。
• 大纲要求：会用配方法化二次型为标准形；理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。
• 一句话主线：配方法——逐个变量凑完全平方，检查变换可逆；正定——带参数用顺序主子式，给了特征值看特征值，化出标准形就数正号。

前置知识#

• 第 20 讲（上）：二次型的矩阵、线性变换、标准形、规范形、惯性定理。
• 特征值的性质（见第 19 讲上篇）。
• 行列式与顺序主子式的计算（见第 15 讲）；中学配方 $x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$（见第 01 讲）。

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一、快速回顾#

• 二次型 $f=x^TAx$，$A$ 对称；可逆线性变换 $x=Cy$ 把矩阵变成 $C^TAC$（合同）。
• 合同保秩、保正负惯性指数，但不保特征值；两个实对称矩阵合同 ⇔ 正负惯性指数分别相同。
• 化成标准形后，正系数个数 $p$、负系数个数 $q$ 与化法无关（惯性定理）。
• 上篇的正交变换法：标准形系数就是特征值。本篇的配方法：计算更轻，但系数一般不是特征值。

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二、配方法#

大白话#

就是中学配方的升级版：盯住一个变量，把含它的项全部"打包"成一个完全平方，剩下的项里就没有这个变量了，然后对下一个变量重复。配方法计算量小，但只能保证化成标准形，得到的系数不是特征值，变换也不是正交的。

两种情形#

情形一：有平方项。比如有 $x_1^2$，把所有含 $x_1$ 的项凑成 $(x_1+\cdots)^2$，再处理剩下的。

情形二：没有平方项，只有交叉项（如 $2x_1x_2+\cdots$）。先做代换 $x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2$（其余不变），利用 $x_1x_2=y_1^2-y_2^2$ 造出平方项，再回到情形一。

例题 1（二元热身：最基本的一步配方）#

用配方法化 $f=x_1^2-4x_1x_2+x_2^2$ 为标准形，求 $p,q$。

解：把含 $x_1$ 的项凑平方：$x_1^2-4x_1x_2=(x_1-2x_2)^2-4x_2^2$。所以

$$f=(x_1-2x_2)^2-4x_2^2+x_2^2=(x_1-2x_2)^2-3x_2^2.$$

令 $y_1=x_1-2x_2,\ y_2=x_2$（系数矩阵 $\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$，行列式 1，可逆），得 $f=y_1^2-3y_2^2$，$p=1,\ q=1$。

对照：$f$ 的矩阵 $\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}$ 的行列式 $-3<0$，特征值一正一负 ✓。

配方口诀：$x^2+2bx\cdot(\text{其他})=(x+b\cdot\text{其他})^2-b^2(\text{其他})^2$——加进去的平方，要原样减出来。

例题 2（有平方项）#

用配方法化 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3$ 为标准形。

解：

第 1 步，收集含 $x_1$ 的项：$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3=(x_1+x_2+x_3)^2-x_2^2-x_3^2-2x_2x_3$。所以

$$f=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2x_3.$$

第 2 步，剩下的 $x_2^2+4x_2x_3+4x_3^2=(x_2+2x_3)^2$。于是

$$f=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2.$$

第 3 步，令 $y_1=x_1+x_2+x_3,\ y_2=x_2+2x_3,\ y_3=x_3$（这个变换可逆：系数矩阵是上三角，对角线全为 1），得标准形

$$f=y_1^2+y_2^2.$$

秩 $r=2$，$p=2,\ q=0$。（对照：$A$ 的特征值为 $0,\ 4\pm\sqrt{10}$，两正一零，正负个数一致 ✓，但数值和配方的系数 1, 1 不同。）

写出所用的可逆线性变换 $x=Cy$#

题目常要求"写出所用的可逆线性变换"。例题 2 中我们得到的是 $y$ 用 $x$ 表示：

$$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},$$

而标准答案要写成 $x=Cy$，所以要求逆（上三角矩阵从下往上回代即可）：$x_3=y_3$；$x_2=y_2-2x_3=y_2-2y_3$；$x_1=y_1-x_2-x_3=y_1-y_2+y_3$。即

$$x=Cy,\qquad C=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix},\quad |C|=1\neq0.$$

把 $x_1=y_1-y_2+y_3,\ x_2=y_2-2y_3,\ x_3=y_3$ 代回原式，确实得到 $y_1^2+y_2^2$。

例题 3（出现负号的配方）#

用配方法化 $f=x_1^2+2x_2^2-x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-4x_2x_3$ 为标准形，求 $p,q$。

解：

第 1 步，含 $x_1$ 的项：$x_1^2+4x_1x_2-4x_1x_3=x_1^2+2x_1(2x_2-2x_3)$，凑成 $(x_1+2x_2-2x_3)^2$，要减去 $(2x_2-2x_3)^2=4x_2^2-8x_2x_3+4x_3^2$：

$$f=(x_1+2x_2-2x_3)^2-4x_2^2+8x_2x_3-4x_3^2+2x_2^2-x_3^2-4x_2x_3=(x_1+2x_2-2x_3)^2-2x_2^2+4x_2x_3-5x_3^2.$$

第 2 步，对剩下的 $-2x_2^2+4x_2x_3$ 配方：先提出 $-2$，$-2(x_2^2-2x_2x_3)=-2(x_2-x_3)^2+2x_3^2$。于是

$$f=(x_1+2x_2-2x_3)^2-2(x_2-x_3)^2-3x_3^2.$$

第 3 步，令 $y_1=x_1+2x_2-2x_3,\ y_2=x_2-x_3,\ y_3=x_3$（上三角、对角线全 1，可逆），$f=y_1^2-2y_2^2-3y_3^2$，$p=1,\ q=2$。

提系数时最容易错：$-2(x_2^2-2x_2x_3)$ 里面配方后是 $(x_2-x_3)^2-x_3^2$，乘回 $-2$ 变成 $-2(x_2-x_3)^2+2x_3^2$，那个 $+2x_3^2$ 的符号要格外小心。

例题 4（无平方项）#

用配方法化 $f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3$ 为标准形，并求规范形。

解：

第 1 步，令 $x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2,\ x_3=y_3$，代入：

$$f=2(y_1^2-y_2^2)+2(y_1+y_2)y_3-6(y_1-y_2)y_3=2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3.$$

第 2 步，对 $y_1$ 配方：$2y_1^2-4y_1y_3=2(y_1-y_3)^2-2y_3^2$；对 $y_2$ 配方：$-2y_2^2+8y_2y_3=-2(y_2-2y_3)^2+8y_3^2$。合起来：

$$f=2(y_1-y_3)^2-2(y_2-2y_3)^2+6y_3^2.$$

第 3 步，令 $z_1=y_1-y_3,\ z_2=y_2-2y_3,\ z_3=y_3$，得标准形

$$f=2z_1^2-2z_2^2+6z_3^2.$$

$p=2,\ q=1$。规范形（正的排前面）：$w_1^2+w_2^2-w_3^2$。

（对照：此二次型矩阵的特征值为 $3$ 和 $\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$，两正一负 ✓。）

例题 5（只有交叉项，再练一次）#

用配方法化 $f=x_1x_2+x_2x_3$ 为标准形。

解：令 $x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2,\ x_3=y_3$：

$$f=(y_1+y_2)(y_1-y_2)+(y_1-y_2)y_3=y_1^2-y_2^2+y_1y_3-y_2y_3.$$

对 $y_1$ 配方：$y_1^2+y_1y_3=\left(y_1+\frac12y_3\right)^2-\frac14y_3^2$；对 $y_2$ 配方：$-y_2^2-y_2y_3=-\left(y_2+\frac12y_3\right)^2+\frac14y_3^2$。两个 $\frac14y_3^2$ 正好抵消：

$$f=\left(y_1+\tfrac12y_3\right)^2-\left(y_2+\tfrac12y_3\right)^2.$$

令 $z_1=y_1+\frac12y_3,\ z_2=y_2+\frac12y_3,\ z_3=y_3$，$f=z_1^2-z_2^2$，秩 2，$p=1,q=1$。

例题 6（经典陷阱：看起来是平方和，却不正定）#

二次型 $f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1-x_3)^2$ 是正定的吗？

错误做法：令 $y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2+x_3,\ y_3=x_1-x_3$，得 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$，"三个正号，所以正定"。

错在哪：这个变换的系数矩阵

$$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix},\qquad \text{行列式}=1\cdot(-1-0)-1\cdot(0-1)+0=0,$$

不可逆，所以 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$ 不是 $f$ 的标准形，惯性定理用不上。

正确做法：展开得 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3-2x_1x_3$，矩阵

$$A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&1\\-1&1&2\end{pmatrix},\qquad |A|=2(4-1)-1(2+1)+(-1)(1+2)=0.$$

$|A|=0$，不满足正定的必要条件，不正定。事实上取 $x=(1,-1,1)^T$，三个括号全为 0，$f=0$。（$A$ 的特征值为 $3,3,0$，所以 $f$ 半正定，$p=2$。）

教训：配方后一定检查变换是否可逆——这是配方法最隐蔽的坑。

易错点 ⚠️#

• 配方时要把含该变量的所有项一次凑完，否则后面又冒出来，越配越乱。
• 配完要检查变换可逆。常见坑：令 $y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2+x_3,\ y_3=x_1-x_3$，看似合理，但系数矩阵行列式为 0，不可逆，不算化标准形。
• 无平方项时第一步代换别忘了，直接硬配是配不出来的。

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三、正定二次型与正定矩阵#

大白话#

想象一个碗口朝上的碗：碗底在原点，往任何方向走都是上坡，高度都大于 0。正定二次型就是这样一个"碗"：只要 $x\neq0$，$f(x)$ 就一定大于 0。像 $x_1^2+x_2^2$ 是碗；$x_1^2-x_2^2$ 是马鞍（有的方向上坡、有的方向下坡），不是正定；$x_1^2$ 在 $x_2$ 方向上是平的（$f=0$），也不是正定。

图 1：三种二次型的曲面 z = f(x₁, x₂)：正定像碗，不定像马鞍，半正定像槽（沿 x₂ 轴方向是平的）

正式定义#

若对任意 $x\neq0$，都有 $f(x)=x^TAx>0$，则称 $f$ 为正定二次型，其矩阵 $A$ 称为正定矩阵。

判别法（$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，以下互相等价）#

1. $f=x^TAx$ 正定；
2. $A$ 的特征值全大于 0；
3. 正惯性指数 $p=n$（标准形 $n$ 个系数全正）；
4. $A$ 与单位矩阵 $E$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ 使 $A=C^TC$；
5. $A$ 的各阶顺序主子式全大于 0：

$$a_{11}>0,\quad\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\quad\cdots,\quad|A|>0.$$

必要条件（用来快速排除）：$A$ 正定 ⇒ 对角元 $a_{ii}>0$ 全成立，且 $|A|>0$。

为什么正定矩阵的对角元一定大于 0？#

取 $x=e_i$（第 $i$ 个分量为 1、其余为 0 的向量），则 $x^TAx=a_{ii}$。正定要求它大于 0，所以 $a_{ii}>0$。同理，取 $x$ 为特征向量 $\alpha$（$A\alpha=\lambda\alpha$），$\alpha^TA\alpha=\lambda\,\alpha^T\alpha$，而 $\alpha^T\alpha>0$，所以 $\lambda>0$——这就是"正定 ⇒ 特征值全正"的来历。

逐行拆解#

• 顺序主子式：从左上角开始，取前 1 行 1 列、前 2 行 2 列……前 $n$ 行 $n$ 列组成的行列式，像"从左上角往外一圈圈扩大的正方形"。注意必须是左上角开始的、连续的。
• 带参数求"何时正定"，用顺序主子式最方便；已知特征值或已经化出标准形，就看正负。
• 正定矩阵的派生：若 $A$ 正定，则 $A^{-1}$、$A^*$、$kA\ (k>0)$、$A^k$ 都正定（特征值仍全正）；若 $A,B$ 都正定，则 $A+B$ 正定（因为 $x^T(A+B)x=x^TAx+x^TBx>0$）。

例题 7（判断正定）#

判断 $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$ 是否正定。

解：顺序主子式：

$$2>0,\qquad\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=3>0,\qquad|A|=2\cdot3-(-1)\cdot(-2)+0=4>0.$$

（$|A|$ 按第 1 行展开：$2\cdot(4-1)-(-1)\cdot(-2-0)=6-2=4$。）全部大于 0，$A$ 正定。

例题 8（求参数使正定）#

$t$ 取何值时，$f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$ 正定？

解：矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&t&-1\\t&1&2\\-1&2&5\end{pmatrix}.$$

顺序主子式：

• 一阶：$1>0$，恒成立；
• 二阶：$\begin{vmatrix}1&t\\t&1\end{vmatrix}=1-t^2>0$，得 $-1<t<1$；
• 三阶：按第 1 行展开，

$$|A|=1\cdot(5-4)-t\cdot(5t+2)+(-1)\cdot(2t+1)=-5t^2-4t=-t(5t+4)>0,$$

得 $-\dfrac45<t<0$。

取交集：$-\dfrac45<t<0$ 时 $f$ 正定。

例题 9（二元含参数）#

$t$ 取何值时 $f=x_1^2+2tx_1x_2+4x_2^2$ 正定？

解：$A=\begin{pmatrix}1&t\\t&4\end{pmatrix}$。一阶主子式 $1>0$；二阶 $|A|=4-t^2>0$，得 $-2<t<2$。

另一种看法（配方）：$f=(x_1+tx_2)^2+(4-t^2)x_2^2$，正定 ⇔ 两个系数都正 ⇔ $4-t^2>0$，结论一样。

例题 10（用特征值判断）#

设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$。(1) $A$ 是否正定？(2) $A^2+E$ 是否正定？(3) $k$ 取何值时 $A+kE$ 正定？

解： (1) 有负特征值 $-1$，不正定。 (2) $A^2+E$ 仍对称，特征值 $\lambda^2+1$：$2,2,5$，全正，正定。 (3) $A+kE$ 的特征值 $1+k,\ -1+k,\ 2+k$，全正需要 $k>1$。

易错点 ⚠️#

• 顺序主子式判别法只能用来判定正定；判断"负定"或"半正定"不能照搬（数二以正定为主，负定了解即可：$A$ 负定 ⇔ $-A$ 正定）。
• 各阶条件要取交集，别只算最后一个 $|A|>0$。
• 说正定之前先确认矩阵是对称的；题目给的二次型要先正确写出对称矩阵（交叉项除以 2）。

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例题 11（先用必要条件快速排除）#

不用算特征值，判断下列矩阵是否正定：(1) $\begin{pmatrix}3&1&1\\1&-1&1\\1&1&2\end{pmatrix}$；(2) $\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$；(3) $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$。

解： (1) 对角元 $a_{22}=-1<0$，直接判"不正定"。 (2) 对角元 $a_{11}=0$，不满足 $a_{ii}>0$，不正定。（取 $x=(1,0)^T$，$x^TAx=0$，不是严格大于 0。） (3) 对角元都正，但二阶顺序主子式 $\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=-3<0$，不正定。

启示：必要条件能"秒杀"一大半选项；对角元全正时，再去算顺序主子式。

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四、五个等价条件，逐条读懂#

正定的五个等价条件看起来像五句咒语，其实每一句都有很直白的意思。把它们串起来理解，比死记牢固得多：

1. 定义：$x\neq0$ 时 $x^TAx>0$。 碗口朝上，原点是唯一的最低点。
2. 特征值全正。 用正交变换把碗"摆正"后，$f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$；要让任何非零 $y$ 都得正数，每个 $\lambda_i$ 都必须大于 0。只要有一个 $\lambda_i\le0$，取 $y$ 只在那个分量非零，$f$ 就 $\le0$ 了。
3. 正惯性指数 $p=n$。 不管用哪种方法化成标准形，$n$ 个系数全是正的。这和第 2 条是一回事，只是换成了惯性定理的语言。
4. $A$ 与 $E$ 合同，即 $A=C^TC$（$C$ 可逆）。 规范形全是 $+1$：$f=z_1^2+\cdots+z_n^2$，对应矩阵 $E$。由 $C^TAC=E$ 反解即得 $A=(C^{-1})^TC^{-1}$，记 $C^{-1}$ 为新的 $C$ 就是 $A=C^TC$。直观上：正定矩阵都是"某个可逆矩阵的转置乘它自己"，就像正数都是某个非零数的平方。
5. 顺序主子式全正。 这是唯一一个"不用求特征值、不用配方，直接算行列式"的条件，所以带参数时最好用。

例题 12（用配方法求参数范围）#

$t$ 取何值时 $f=x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2tx_2x_3$ 正定？用配方法和顺序主子式各做一次。

解：

方法一（配方）：$x_1^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-x_2^2$，所以

$$f=(x_1+x_2)^2+x_2^2+2tx_2x_3+x_3^2=(x_1+x_2)^2+(x_2+tx_3)^2+(1-t^2)x_3^2.$$

令 $y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2+tx_3,\ y_3=x_3$（可逆），$f=y_1^2+y_2^2+(1-t^2)y_3^2$。正定 ⇔ 三个系数全正 ⇔ $1-t^2>0$ ⇔ $-1<t<1$。

方法二（顺序主子式）：$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&t\\0&t&1\end{pmatrix}$，主子式 $1>0$；$2-1=1>0$；$|A|=1\cdot(2-t^2)-1\cdot(1-0)=1-t^2>0$。同样得 $-1<t<1$ ✓。

易错点 ⚠️（主子式）#

• 必须是顺序主子式（左上角开始、连续的前 $k$ 行 $k$ 列）。随便挑几行几列算出来的"主子式"不能拿来套这个判别法。
• 只验证 $|A|>0$ 不够：例如 $\operatorname{diag}(-1,-1,1)$ 的行列式为 $1>0$，但它显然不正定。

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五、负定与半正定（了解即可）#

数二重点是正定，这里只给出概念，防止看到题目时完全陌生：

• 负定：$x\neq0$ 时 $f(x)<0$。$A$ 负定 ⇔ $-A$ 正定 ⇔ 特征值全负 ⇔ 顺序主子式负正交替（奇数阶 $<0$，偶数阶 $>0$）。
• 半正定：$x\neq0$ 时 $f(x)\ge0$，特征值全 $\ge0$。注意：半正定不能用"顺序主子式 $\ge0$"来判断。
• 不定：有正有负，如 $x_1^2-x_2^2$。

例题 13（判断负定）#

$A=\begin{pmatrix}-2&1&0\\1&-2&1\\0&1&-2\end{pmatrix}$ 是否负定？

解：顺序主子式：$-2<0$；$\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}=3>0$；$|A|=-4<0$。负正负交替，负定。（等价地，$-A$ 就是例题 7 的矩阵，它正定。）

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六、方法选择：拿到"判断正定"题先看什么#

1. 矩阵里有参数 → 顺序主子式，各阶取交集。
2. 给了特征值，或矩阵是 $f(A)$、$A^{-1}$、$A^*$ 之类 → 看特征值是否全正。
3. 已经化出标准形，或式子很容易配方 → 数正系数是否等于 $n$。
4. 先快速排除 → 有对角元 $\le0$、或 $|A|\le0$，立刻判"不正定"。
5. 抽象证明题 → 用定义 $x^TAx>0$，如证 $A+B$ 正定、$A^TA$（$A$ 列满秩）正定。

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七、抽象证明题：用定义说话#

大白话#

有些题不给具体矩阵，只让你证明"某某矩阵正定"。这时顺序主子式用不上，最好用的武器是定义：任取 $x\neq0$，证明 $x^T(\cdots)x>0$；或者用特征值：证明特征值全正（别忘了先说明矩阵对称）。

例题 14（$A^TA$ 正定）#

设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，且 $r(A)=n$（列满秩）。证明 $A^TA$ 是正定矩阵。

证：

第 1 步，对称：$(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA$ ✓。

第 2 步，任取 $x\neq0$，

$$x^T(A^TA)x=(Ax)^T(Ax)=\|Ax\|^2\ge0.$$

第 3 步，等号何时成立？$\|Ax\|^2=0\iff Ax=0$。而 $r(A)=n$ 时 $Ax=0$ 只有零解（第 18 讲上篇），$x\neq0$ 推出 $Ax\neq0$，所以 $x^T(A^TA)x>0$。

由定义，$A^TA$ 正定。∎

逐行拆解：$(Ax)^T(Ax)$ 是向量 $Ax$ 和自己的内积，就是长度的平方，一定 $\ge0$；"列满秩"的作用正是排除等号。

例题 15（正定矩阵的逆和伴随）#

设 $A$ 正定，证明 $A^{-1}$ 与 $A^*$ 都正定。

证：$A$ 正定 ⇒ $A$ 对称且特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 全正，$|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n>0$。

• 对称性：$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}$；$A^*=|A|A^{-1}$ 也对称。
• 特征值：$A^{-1}$ 的特征值 $\frac1{\lambda_i}>0$；$A^*$ 的特征值 $\frac{|A|}{\lambda_i}>0$。

所以二者都正定。∎

易错点 ⚠️#

• 用特征值证正定时，先证对称，这一步常被忘掉。
• 只证到 $x^TAx\ge0$ 是半正定，必须说明等号只在 $x=0$ 时成立。

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八、两种化标准形方法的对比#

	正交变换法（上篇）	配方法（本篇）
变换	$x=Qy$，$Q$ 正交	$x=Cy$，$C$ 可逆即可
标准形系数	恰好是特征值	一般不是特征值
计算量	大（特征值、特征向量、正交化、单位化）	小（几步配方）
几何意义	旋转坐标轴，形状大小不变	会拉伸变形，只保留正负个数
适用题目	题目明确要求"正交变换"；需要特征值	只问标准形、规范形、惯性指数、正定性

选择建议：题目写"用正交变换"就只能用正交变换法；只问"惯性指数/规范形/是否正定"时，配方或者直接看特征值正负，最省时间。两种方法得到的 $p,q$ 一定相同，可以互相检验。

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公式/结论速记卡#

内容	结论
配方法（有平方项）	逐个变量把含它的项一次凑完；加进去的平方要减出来
配方法（无平方项）	先令 $x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2$，再配方
变换要可逆	上三角且对角线非零即可逆；写 $x=Cy$ 时要求逆
配方的系数	一般不是特征值，但正负个数与特征值一致
正定定义	$x\neq0\Rightarrow x^TAx>0$
正定等价条件	特征值全正 ⇔ $p=n$ ⇔ $A\simeq E$ ⇔ $A=C^TC$（$C$ 可逆）⇔ 顺序主子式全正
正定必要条件	$a_{ii}>0$，$
正定的派生	$A^{-1},A^*,kA\,(k>0),A^k$ 正定；$A,B$ 正定 ⇒ $A+B$ 正定
负定（了解）	$-A$ 正定；顺序主子式负正交替
方法选择	有参数 → 主子式；有特征值 → 特征值；好配方 → 数正号

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自测练习#

1. 判断 $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}$ 是否正定。

答案与提示

顺序主子式：$1>0$；$\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1>0$；$|A|=1\cdot(6-1)-1\cdot(3-0)=2>0$。正定。

2. 用配方法化 $f=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2$ 为标准形，写出所用的可逆线性变换，并判断是否正定。

答案与提示

$f=(x_1+x_2)^2+x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2=(x_1+x_2)^2+(x_2+2x_3)^2+x_3^2$。令 $y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2+2x_3,\ y_3=x_3$，回代得 $x_3=y_3,\ x_2=y_2-2y_3,\ x_1=y_1-y_2+2y_3$，即 $x=Cy$，$C=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$。$f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$，$p=3=n$，正定。

3. $t$ 取何值时，$f=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3$ 正定？

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&\frac t2\\0&\frac t2&1\end{pmatrix}$（$tx_2x_3$ 的系数除以 2）。顺序主子式：$2>0$；$1>0$；$|A|=2\left(1-\frac{t^2}{4}\right)-1=1-\frac{t^2}{2}>0$，得 $-\sqrt2<t<\sqrt2$。

4. $t$ 取何值时，$f=x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2tx_1x_2+2x_1x_3$ 正定？

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix}$。一阶 $1>0$；二阶 $4-t^2>0$，即 $-2<t<2$；三阶按第 1 行展开 $|A|=1\cdot8-t\cdot2t+1\cdot(0-4)=4-2t^2>0$，即 $-\sqrt2<t<\sqrt2$。交集 $-\sqrt2<t<\sqrt2$。

5. 用配方法化 $f=2x_1x_2-2x_2x_3$ 为标准形，求 $p,q$。

答案与提示

令 $x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2,\ x_3=y_3$：$f=2y_1^2-2y_2^2-2y_1y_3+2y_2y_3$。配方：$2y_1^2-2y_1y_3=2\left(y_1-\frac12y_3\right)^2-\frac12y_3^2$；$-2y_2^2+2y_2y_3=-2\left(y_2-\frac12y_3\right)^2+\frac12y_3^2$。合起来 $f=2z_1^2-2z_2^2$（$z_1=y_1-\frac12y_3,\ z_2=y_2-\frac12y_3,\ z_3=y_3$），$p=1,q=1$。

6. 判断 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_2x_3$ 是否正定。

答案与提示

$A=\begin{pmatrix}1&\frac12&0\\ \frac12&1&\frac12\\0&\frac12&1\end{pmatrix}$。顺序主子式 $1$，$1-\frac14=\frac34$，$|A|=1\cdot\left(1-\frac14\right)-\frac12\cdot\frac12=\frac12$，全正，正定。

7. 设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $2,-1,-3$，$k$ 取何值时 $A+kE$ 正定？$A^2$ 是否正定？

答案与提示

$A+kE$ 特征值 $2+k,\ -1+k,\ -3+k$，全正需 $k>3$。$A^2$ 特征值 $4,1,9$，全正，正定（且 $A^2$ 对称）。

8. 判断对错：(1) 若 $A$ 正定，则 $|A|>0$；(2) 若 $|A|>0$，则 $A$ 正定；(3) 若 $A,B$ 都正定，则 $A+B$ 正定；(4) 若 $A$ 正定，则 $A^{-1}$ 正定；(5) 对角元全正的实对称矩阵一定正定。

答案与提示

(1) 对。(2) 错，反例 $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$。(3) 对，$x^T(A+B)x=x^TAx+x^TBx>0$。(4) 对，特征值 $\frac1{\lambda_i}>0$ 且对称。(5) 错，反例 $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$，二阶主子式 $-3<0$（特征值 $3,-1$）。

9. 设 $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}$，计算 $A^TA$，并判断它是否正定。

答案与提示

$A^TA=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$，顺序主子式 $2>0$、$3>0$，正定。这与例题 14 的一般结论一致：$A$ 的两列线性无关（列满秩），所以 $A^TA$ 正定。

10. 判断 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$ 是否正定，并用两种方法验证。

答案与提示

方法一（顺序主子式）：$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$，主子式 $2,\ 3,\ 4$，全正。 方法二（特征值）：$A=E+J$（$J$ 为全 1 矩阵），$J$ 的特征值 $3,0,0$，所以 $A$ 的特征值 $4,1,1$，全正。正定。

11. 用配方法求 $f=x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2-2x_3^2$ 的规范形，并判断 $f$ 是否正定。

答案与提示

$x_1^2-2x_1x_2=(x_1-x_2)^2-x_2^2$，所以 $f=(x_1-x_2)^2+2x_2^2-2x_3^2$。令 $z_1=x_1-x_2,\ z_2=\sqrt2x_2,\ z_3=\sqrt2x_3$，规范形 $z_1^2+z_2^2-z_3^2$。$p=2<3$，不正定（$x_3^2$ 前面是负号，取 $x=(0,0,1)^T$ 得 $f=-2<0$）。

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下一讲预告#

到这里，「考研数学二·零基础讲义」的基础内容就全部讲完了：建议回到第 00 讲，按"速记卡 → 自测练习 → 错题回炉"把各讲过一遍，再进入真题训练。