2026考研数学二真题精讲④：填空题11–13（反常积分·极限·曲率半径）

2026 考研数学二 · 以练串学 ④｜填空题 11–13

这一篇不只讲 3 道题。每道题都会带出一条"知识链"：先用热身题把底子补上，再拆真题，最后用 3 道变式题把同一个思路练熟。本篇三题：反常积分收敛的 $p$ 范围、$\infty-\infty$ 型极限、隐函数曲线的曲率半径，都是"套路清楚、算错就丢分"的题。

建议用法

1. 先只看题目，自己做 2 分钟。答案是折叠的，做完再点开。
2. 卡住了，先做「热身」，再回来看真题。
3. 真题弄懂后，把「变式训练」从易到难做一遍。每道都有提示和完整解答。

所有答案都用代码（SymPy）重新验算过。

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第 11 题　反常积分收敛：两头分开看#

题目　设 $p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^p(x+1)}dx$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 ______。

做完再点开：答案

$0<p<2$

🧭 知识地图#

等价无穷小 → $p$ 积分 → 比较判别法（极限形式）+ 拆分危险点 → 含参数的反常积分、$\Gamma$ 函数型积分

同一工具还用在：本卷第 1 题（等价无穷小找"主项"），本卷第 12 题（泰勒展开看阶数）。找主项这件事，三道题是同一个动作。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}$ 和 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x}$ 哪个收敛？收敛的话等于多少？

热身 2　判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{1+x}}$ 是否收敛。收敛的话，求出它的值。

热身答案

热身 1： $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}=\left.2\sqrt x\,\right\rvert_0^1=2$，收敛。

$\int_0^1\frac{dx}{x}=\left.\ln x\,\right\rvert_{0^+}^1=+\infty$，发散。

也就是说，在 0 附近，$\frac1{x^{1/2}}$ 还"不够陡"，$\frac1x$ 就刚好陡过头了。

热身 2： 收敛。$x\to+\infty$ 时 $\frac{1}{x\sqrt{1+x}}\sim\frac{1}{x^{3/2}}$，指数 $\frac32>1$。

求值：令 $t=\sqrt{1+x}$，$x=t^2-1$，$dx=2t\,dt$：

$$\int_{\sqrt2}^{+\infty}\frac{2\,dt}{t^2-1}=\left.\ln\frac{t-1}{t+1}\right\rvert_{\sqrt2}^{+\infty}=-\ln\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=2\ln(1+\sqrt2)$$

这两题对应真题的两件工具：$p$ 积分的分界线，和**"像 $x$ 的几次方"的主项判断**。

👀 一眼看穿#

这个积分有两个"危险点"：

• $x\to0^+$：分母有 $x^p$，可能是瑕点；
• $x\to+\infty$：积分区间无限长。

必须拆开，两边都收敛才算收敛。每一边都用"等价替换 + $p$ 积分"判断。

图：对数坐标下看两端斜率：p=0 在右端、p=2 在左端都退化成 1/x（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 反常积分有两种"坑"#

• 无穷区间： $\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$；
• 瑕点： 函数在端点附近无界，比如 $\int_0^1\frac{dx}{x^q}$ 在 $x=0$ 处。

一个积分可能两种坑都有。规则是：在中间随便找个点拆开，每一段只留一个坑，每段都收敛，整体才收敛。 只要有一段发散，整体就发散。

② 两个 $p$ 积分，为什么分界线都是 1#

在无穷远：

$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^q}=\left.\frac{x^{1-q}}{1-q}\right\rvert_1^{+\infty}\quad(q\neq1)$$

$q>1$ 时 $x^{1-q}\to0$，收敛；$q<1$ 时 $x^{1-q}\to+\infty$，发散；$q=1$ 是 $\ln x$，也发散。

在 0 附近正好反过来：$q<1$ 时 $x^{1-q}\to0$，收敛；$q\ge1$ 发散。

位置	收敛条件	直观理解
$\int_0^1\frac{dx}{x^q}$	$q<1$	0 附近不能太陡
$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^q}$	$q>1$	无穷远要衰减够快
两边都是 $q=1$	都发散	$\frac1x$ 是两边共同的"分界线"

③ 比较判别法（极限形式）#

设 $f(x)\ge0$。如果在危险点附近 $f(x)\sim\frac{c}{x^q}$（$c>0$ 是常数），那么 $\int f$ 和 $\int\frac{dx}{x^q}$ 同敛散。

为什么？因为比值趋于 $c$，所以靠近危险点时 $\frac c2\cdot\frac1{x^q}\le f(x)\le 2c\cdot\frac1{x^q}$。被夹在两个同敛散的东西中间，只能跟着它们走。

所以，判断敛散只做一件事：在每个危险点，找出 $f$"像 $x$ 的几次方"。

④ 易错点#

• 只看一端。比如只看无穷远得出 $p>0$，就忘了 0 附近。
• 把 $x\to0$ 的等价用到 $x\to+\infty$。$\arctan x\sim x$ 只在 0 附近成立；在无穷远，$\arctan x\to\frac\pi2$。
• 比较判别法要求同号（通常非负）。正负来回摆动的函数不能直接用。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：拆开。 写成 $\int_0^1+\int_1^{+\infty}$，每段只有一个危险点。

第 2 步：看 $x\to0^+$。 $\arctan x\sim x$，$x+1\to1$，所以

$$\frac{\arctan x}{x^p(x+1)}\sim\frac{x}{x^p}=\frac{1}{x^{p-1}}$$

0 附近要求指数小于 1：$p-1<1$，即 $p<2$。

第 3 步：看 $x\to+\infty$。 $\arctan x\to\frac\pi2$，$x+1\sim x$，所以

$$\frac{\arctan x}{x^p(x+1)}\sim\frac{\pi/2}{x^{p+1}}$$

无穷远要求指数大于 1：$p+1>1$，即 $p>0$。

第 4 步：取交集。 两段都要收敛，所以 $0<p<2$。

代码数值验证：$p=\frac12,\ 1,\ \frac32$ 时，积分约为 $2.467,\ 1.460,\ 1.975$，都是有限值。

答案：$0<p<2$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（换一个函数）　求使 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+x)}{x^p}dx$ 收敛的 $p$ 的范围。

变式 2（逆向求参数）　若 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^a}{1+x^2}dx$ 收敛，求 $a$ 的范围。再算出 $a=0$ 时的值。

变式 3（经典难题）　讨论 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^p}dx$ 的敛散性。

变式 1 提示与解答

提示： 和真题一样拆两头。无穷远处 $\ln$ 不会趋于常数，要单独想。

解： $x\to0^+$：$\ln(1+x)\sim x$，被积函数 $\sim\frac{1}{x^{p-1}}$，要求 $p-1<1$，即 $p<2$。

$x\to+\infty$：$\ln(1+x)$ 增长得比任何 $x^\varepsilon$（$\varepsilon>0$）都慢。

• 若 $p>1$：取 $\varepsilon$ 很小使 $p-\varepsilon>1$，则 $\frac{\ln(1+x)}{x^p}\le\frac{1}{x^{p-\varepsilon}}$，收敛；
• 若 $p\le1$：$x$ 足够大时 $\ln(1+x)>1$，所以 $\frac{\ln(1+x)}{x^p}>\frac1x$，发散。

所以无穷远要求 $p>1$。取交集：$1<p<2$。

（代码验算：$p=\frac32$ 时积分 $=2\pi$，有限。）

变式 2 提示与解答

提示： 反过来用：先写出两端的主项，再让指数满足条件。

解： $x\to0^+$：$\frac{x^a}{1+x^2}\sim x^a=\frac{1}{x^{-a}}$，要求 $-a<1$，即 $a>-1$。

$x\to+\infty$：$\frac{x^a}{1+x^2}\sim\frac{1}{x^{2-a}}$，要求 $2-a>1$，即 $a<1$。

所以 $-1<a<1$。

$a=0$ 时：

$$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\left.\arctan x\,\right\rvert_0^{+\infty}=\frac\pi2$$

注意端点 $a=1$：$\int_0^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx=\left.\frac12\ln(1+x^2)\right\rvert_0^{+\infty}=+\infty$，确实发散。

变式 3 提示与解答

提示： 0 附近用 $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$。无穷远处 $1-\cos x$ 不趋于 0，也不趋于常数，要用"放大"和"按周期分段"。

解： $x\to0^+$： $\frac{1-\cos x}{x^p}\sim\frac{1}{2x^{p-2}}$，要求 $p-2<1$，即 $p<3$。

$x\to+\infty$： 被积函数非负。

• 若 $p>1$：$0\le\frac{1-\cos x}{x^p}\le\frac{2}{x^p}$，收敛。
• 若 $p\le1$：$x\ge1$ 时 $\frac{1}{x^p}\ge\frac1x$。把 $[2\pi,+\infty)$ 按周期切成 $[2k\pi,\,2(k+1)\pi]$。每一段上 $\int(1-\cos x)dx=2\pi$，而 $\frac1x\ge\frac{1}{2(k+1)\pi}$，所以每段积分至少是 $\frac{1}{k+1}$。全部加起来是调和级数，发散。

所以 $1<p<3$ 时收敛，其余发散。

（代码验算：$p=2$ 时积分 $=\frac\pi2$。）

这题告诉你："像 $x$ 的几次方"在函数会来回摆动时不好直接说，要先放缩成好比较的东西。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 "0 附近要小于 1，无穷远要大于 1。"（指的是主项 $\frac{1}{x^q}$ 的指数 $q$）
• 🧠 "一个积分两个坑，拆开各自判，最后取交集。"
• ⚠️ $\arctan x\sim x$ 只在 0 附近成立；无穷远处它趋于 $\frac\pi2$。
• 🔗 找主项的动作，和第 1 题的等价无穷小、第 12 题的泰勒展开是同一件事。

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第 12 题　$\infty-\infty$ 型极限：通分 + 泰勒#

题目　$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right)=$ ______。

做完再点开：答案

$\frac12$

🧭 知识地图#

极限四则运算 → 等价无穷小 → 泰勒展开 → $\infty-\infty$：通分化成 $\frac00$，再看阶数 → $0\cdot\infty$、$1^\infty$ 等其他未定式

同一工具还用在：本卷第 1 题（泰勒展开定参数），本卷第 11 题（找主项判断敛散）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)$。

热身 2　求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}$。

热身答案

热身 1： $0$。通分：

$$\frac1x-\frac1{\sin x}=\frac{\sin x-x}{x\sin x}$$

分子 $\sim-\frac{x^3}{6}$，分母 $\sim x^2$，相除 $\sim-\frac x6\to0$。

热身 2： $\frac12$。$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，所以分子 $=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。

热身 1 练的是通分，热身 2 练的是展开到分母的阶。真题就是把这两步连起来。

👀 一眼看穿#

两项都趋于无穷，相减是"$\infty-\infty$"。

第一步通分。通分后分母是 $x\sin x\sim x^2$，所以分子只要展开到 $x^2$ 就够了。

📚 知识点深度回顾#

① 为什么 $\infty-\infty$ 不能直接算#

"无穷大减无穷大"可以等于任何东西：$\frac{1}{x^2}-\frac1{x^2}=0$，$\frac1{x^2}-\frac{1}{x^2}+5=5$。

所以它是未定式。办法是变形成 $\frac00$ 或 $\frac\infty\infty$，最常用的变形就是通分。

② 通分之后的标准流程#

1. 分母： 是乘积，可以放心用等价无穷小，先化成 $x^k$ 的样子；
2. 分子： 通常是"加减"，要用泰勒展开；
3. 展开到几阶： 分母是几阶，分子就展到几阶。

③ 乘除能替换，加减为什么不能#

等价替换的本质是"只保留最大项，扔掉更小的项"。

乘除时，扔掉的小项只会让结果差一个"$1+o(1)$"的因子，不影响极限。

加减时，两个最大项可能正好抵消。被扔掉的小项反而成了主角。比如 $\sin x-\ln(1+x)$，两者的最大项都是 $x$，一抵消，真正决定结果的是 $x^2$ 项。

④ 本题要用的展开式#

函数	展开
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
$\ln(1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$

小技巧： $\sin x$ 是奇函数，只有奇次项，所以它没有 $x^2$ 项。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：通分。 把 $\infty-\infty$ 变成 $\frac00$：

$$\frac1x-\frac{\ln(1+x)}{x\sin x}=\frac{\sin x-\ln(1+x)}{x\sin x}$$

第 2 步：化简分母。 分母是乘积，可以替换：$x\sin x\sim x^2$。所以分子展到 $x^2$。

第 3 步：展开分子。

$$\sin x-\ln(1+x)=\left(x+o(x^2)\right)-\left(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$

第 4 步：相除。

$$\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=\frac12$$

答案：$\frac12$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{\ln(1+x)}-\frac1x\right)$。

变式 2（逆向定参数）　若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac ax-\frac{\ln(1+x)}{x^2}\right)=b$（$b$ 为有限数），求 $a,b$。

变式 3（经典难题）　求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{\sin^2x}-\frac{\cos^2x}{x^2}\right)$。

变式 1 提示与解答

提示： 通分，分母是乘积，可以替换。

解：

$$\frac1{\ln(1+x)}-\frac1x=\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)}$$

分母 $\sim x^2$；分子 $=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$（就是热身 2）。

所以极限 $=\frac12$。和真题答案一样，可以顺便记住。

变式 2 提示与解答

提示： 和第 1 题同一个思路：低阶全消，首项对齐。

解： 通分：

$$\frac ax-\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\frac{ax-\ln(1+x)}{x^2}=\frac{(a-1)x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}$$

如果 $a\neq1$，分子是一阶，分母是二阶，极限是无穷，不可能等于有限数 $b$。

所以 $a=1$。这时极限 $=\frac12$，即 $b=\frac12$。

答案：$a=1,\ b=\frac12$。

变式 3 提示与解答

提示： 通分后分子里有 $\sin x\cos x$，用二倍角合成 $\frac12\sin2x$ 会省很多事。

解： 通分：

$$\frac1{\sin^2x}-\frac{\cos^2x}{x^2}=\frac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^2\sin^2x}$$

分母 $\sim x^4$，所以分子要展到 $x^4$。

$\sin x\cos x=\frac12\sin2x=x-\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$，平方得

$$\sin^2x\cos^2x=x^2-\frac43x^4+o(x^4)$$

所以分子 $=\frac43x^4+o(x^4)$，极限 $=\frac43$。

常见错误： 把 $\cos^2x$ 直接换成 1，得到 $\lim\left(\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}\right)=\frac13$。这是错的，因为 $\cos^2x$ 在加减里，它的 $x^2$ 项会贡献 1。正确答案 $\frac43=\frac13+1$。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 $\infty-\infty$：先通分；分母几阶，分子展几阶。
• 🧠 $\sin x$ 没有 $x^2$ 项；$\ln(1+x)$ 的 $x^2$ 项是 $-\frac{x^2}{2}$。
• ⚠️ 不能把分子里的 $\sin x$ 和 $\ln(1+x)$ 都换成 $x$，那样得 0。加减不能等价替换。
• 🔗 变式 2 就是第 1 题"定参数"的极限版。

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第 13 题　隐函数曲线的曲率半径#

题目　设曲线 $x^2+2\sqrt3xy+y^2=1$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径为 ______。

做完再点开：答案

$4$

🧭 知识地图#

一元求导 → 隐函数求导（一阶、二阶）→ 曲率公式 $K=\frac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}}$ → 曲率圆与曲率中心、参数方程的曲率

同一工具还用在：本卷第 3 题（隐函数偏导），本卷第 14 题（链式法则）。曲率公式里的 $\frac32$ 次方，和第 4 题引力的 $\frac32$ 次方可以一起记。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　求抛物线 $y=x^2$ 在原点处的曲率半径。

热身 2　圆 $x^2+y^2=4$ 确定了上半圆 $y=y(x)$。用隐函数求导求 $(0,2)$ 处的 $y'$、$y''$，再求曲率半径。

热身答案

热身 1： $y'=2x$，$y''=2$。在原点 $y'=0$，所以 $K=\frac{2}{1^{3/2}}=2$，$R=\frac12$。

热身 2： 求导：$2x+2yy'=0$。代入 $(0,2)$：$y'=0$。

再求导：$2+2y'^2+2yy''=0$。代入 $y=2$，$y'=0$：$y''=-\frac12$。

$K=\frac{1/2}{1}=\frac12$，$R=2$。正好是圆的半径，说明公式和求导都对。

热身 2 就是真题的完整流程：隐函数求两次导 → 代数 → 套曲率公式。

👀 一眼看穿#

曲率公式要 $y'$ 和 $y''$。

对方程两边求导两次，代入点 $(0,1)$ 就行。$x=0$ 会让很多项直接消失，计算量很小。

图：曲率圆半径 4，圆心在 (2√3, 3)（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 曲率在量什么#

曲率 $K$ 量的是"转弯有多急"：沿曲线走一小段弧长 $\Delta s$，切线方向转过的角度 $\Delta\alpha$，比值就是曲率：

$$K=\left\lvert\frac{d\alpha}{ds}\right\rvert$$

直线不转弯，$K=0$。半径为 $R$ 的圆，走过弧长 $R\theta$ 正好转了 $\theta$，所以 $K=\frac1R$。

曲率半径 $R=\frac1K$，就是"最贴合这一点的那个圆"的半径。

② 公式是怎么来的#

切线倾角满足 $\tan\alpha=y'$。两边对 $x$ 求导：$\sec^2\alpha\cdot\frac{d\alpha}{dx}=y''$，所以

$$\frac{d\alpha}{dx}=\frac{y''}{1+y'^2}$$

弧长微分 $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$。两者相除：

$$K=\frac{\lvert y''\rvert}{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}$$

$\frac32$ 就是这样来的：分母里一个 $1$ 次来自 $\sec^2\alpha$，一个 $\frac12$ 次来自弧长。

③ 常用结论#

情形	曲率公式
$y=f(x)$	$K=\frac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}}$
参数方程 $x(t),y(t)$	$K=\frac{\lvert x'y''-x''y'\rvert}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$
某点 $y'=0$	$K=\lvert y''\rvert$
曲率中心	$\left(x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''},\ y+\frac{1+y'^2}{y''}\right)$

④ 隐函数求二阶导：数值题怎么最快#

两种做法：

• 先解出 $y'$ 的表达式，再对表达式求导。要做分式求导，容易错；
• 对"一阶导后的等式"整体再求一次导，然后代入已知的 $x,y,y'$ 数值。

数值题用第二种。每求一次导，就立刻代数，不要先化简。

易错点：再次求导时，$y'$ 也是 $x$ 的函数。比如 $yy'$ 求导得 $y'^2+yy''$，不能漏掉 $y'^2$。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：求一阶导。 两边对 $x$ 求导（$y$ 是 $x$ 的函数）：

$$2x+2\sqrt3\,y+2\sqrt3\,xy'+2yy'=0$$

代入 $(0,1)$：$2\sqrt3+2y'=0$，所以 $y'=-\sqrt3$。

第 2 步：求二阶导。 上式先除以 2，再对 $x$ 求导：

$$1+2\sqrt3\,y'+\sqrt3\,xy''+y'^2+yy''=0$$

代入 $x=0,\ y=1,\ y'=-\sqrt3$：$1-6+0+3+y''=0$，所以 $y''=2$。

第 3 步：套曲率公式。

$$K=\frac{2}{(1+3)^{3/2}}=\frac28=\frac14,\qquad R=\frac1K=4$$

顺带：曲率中心在 $\left(0+\frac{\sqrt3\cdot4}{2},\ 1+\frac42\right)=(2\sqrt3,\ 3)$，和上图一致。

答案：$4$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　求曲线 $x^2+xy+y^2=3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率半径。

变式 2（逆向：曲率最大的点）　曲线 $y=\ln x$ 上哪一点曲率最大？求出最大曲率和对应的曲率半径。

变式 3（参数方程，经典）　求摆线 $x=t-\sin t,\ y=1-\cos t$ 在 $t=\pi$ 处的曲率半径。并写出一般的 $R(t)$。

变式 1 提示与解答

提示： 和真题一模一样：求一次导就代一次数。

解： 一阶导：$2x+y+xy'+2yy'=0$。代入 $(1,1)$：$3+3y'=0$，$y'=-1$。

二阶导：$2+2y'+xy''+2y'^2+2yy''=0$。代入：$2-2+y''+2+2y''=0$，所以 $y''=-\frac23$。

$$K=\frac{2/3}{(1+1)^{3/2}}=\frac{2/3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{6},\qquad R=3\sqrt2$$

变式 2 提示与解答

提示： 先把 $K$ 写成 $x$ 的函数，再当成普通的求最大值题。

解： $y'=\frac1x$，$y''=-\frac1{x^2}$，所以

$$K(x)=\frac{1/x^2}{\left(1+1/x^2\right)^{3/2}}=\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}\quad(x>0)$$

求导：

$$K'(x)=\frac{1-2x^2}{(1+x^2)^{5/2}}$$

$x=\frac{\sqrt2}{2}$ 左边 $K'>0$，右边 $K'<0$，所以这里取最大。

最大曲率 $K=\frac{2\sqrt3}{9}$，曲率半径 $R=\frac{3\sqrt3}{2}$，点是 $\left(\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac12\ln2\right)$。

变式 3 提示与解答

提示： 用参数方程的曲率公式。分子是"交叉相乘"$x'y''-x''y'$。

解： $x'=1-\cos t$，$y'=\sin t$，$x''=\sin t$，$y''=\cos t$。

分子：$x'y''-x''y'=(1-\cos t)\cos t-\sin^2t=\cos t-1$，绝对值是 $1-\cos t$。

分母：$\left((1-\cos t)^2+\sin^2t\right)^{3/2}=\left(2(1-\cos t)\right)^{3/2}$。

用 $1-\cos t=2\sin^2\frac t2$ 化简：

$$K=\frac{1-\cos t}{\left(2(1-\cos t)\right)^{3/2}}=\frac{1}{4\sin\frac t2},\qquad R(t)=4\sin\frac t2\quad(0<t<2\pi)$$

$t=\pi$ 时 $R=4$。巧的是，和真题答案一样。

也可以直接代数：$t=\pi$ 时 $x'=2,\ y'=0,\ x''=0,\ y''=-1$，$K=\frac{2}{8}=\frac14$。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 曲率公式："上二阶，下 $(1+$一阶方$)^{3/2}$"。
• 🧠 隐函数数值题：每求一次导就立刻代数，不要先化简。
• ⚠️ 对 $yy'$ 再求导是 $y'^2+yy''$，别漏 $y'^2$。
• 🔗 拿圆检查公式：圆的曲率半径就是它的半径。隐函数求导的手法和第 3 题同源。

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🔗 串联练习：把第 11 题和第 12 题连起来#

题目　设 $p$ 为常数。讨论 $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x^p}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)dx$ 的敛散性。

（提示：只有 $x=0$ 一个危险点。先用第 12 题的方法求出括号的主项，再用第 11 题的方法判断。）

提示与解答

第 1 步：找括号的主项（第 12 题的工具）。 这就是热身 1：

$$\frac1x-\frac1{\sin x}=\frac{\sin x-x}{x\sin x}\sim\frac{-x^3/6}{x^2}=-\frac x6$$

第 2 步：确定被积函数的主项。

$$\frac{1}{x^p}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)\sim-\frac16\cdot\frac{1}{x^{p-1}}$$

在 $(0,1]$ 上 $\sin x<x$，括号恒为负，被积函数不变号。所以可以对它的相反数用比较判别法。

第 3 步：判断（第 11 题的工具）。 0 附近要求指数 $p-1<1$，即 $p<2$ 时收敛，$p\ge2$ 时发散。

补充一点：$p\le1$ 时被积函数在 0 附近有界，这根本不是反常积分，只是"看起来像"。

（代码验算：括号除以 $x$ 的极限是 $-\frac16$；$p=\frac32$ 时数值积分约为 $-0.342$，有限。）

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📋 本篇速记总表#

题	考点	一句话钥匙	连到
11	反常积分敛散	0 附近 $q<1$，无穷远 $q>1$，两头取交集	第 1、12 题
12	$\infty-\infty$ 极限	先通分；分母几阶，分子展几阶	第 1、11 题
13	曲率半径	求一次导代一次数；$K=\lvert y''\rvert/(1+y'^2)^{3/2}$	第 3、4、14 题

✅ 自测清单#

• 我能说出两个 $p$ 积分的收敛条件，并解释为什么分界线都是 1。
• 我遇到反常积分会先找出所有危险点，再拆开分别判断。
• 我知道 $\infty-\infty$ 要先通分，并且能判断分子展开到几阶。
• 我能解释为什么加减里不能直接用等价替换。
• 我能推导曲率公式里的 $\frac32$ 次方。
• 我能用"求一次导代一次数"快速算隐函数的 $y''$。

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说明： 真题依据 2026 年全国硕士研究生招生考试数学（二）（2025 年 12 月考试），原题与参考答案见 ^[1]、^[2]。热身题和变式题为本文改编或选自经典题型。所有答案都已用 SymPy 验算。口诀只是记忆方法，不是官方结论。