2026考研数学二真题精讲②：选择题5–7（极值凹凸·反函数导数·二重积分定义）

2026 考研数学二 · 以练串学 ②｜选择题 5–7

这一篇不只讲 3 道题。每道题都会带出一条"知识链"：先用热身题把底子补上，再拆真题，最后用 3 道变式题把同一个思路练熟。

建议用法

1. 先只看题目，自己做 2 分钟。答案是折叠的，做完再点开。
2. 卡住了，先做「热身」，再回来看真题。
3. 真题弄懂后，把「变式训练」从易到难做一遍。每道都有提示和完整解答。

所有答案都用代码（SymPy）重新验算过。

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第 5 题　单调、极值、凹凸：哪句话是真的？#

题目　设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则（　）

(A) 当 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减、在 $(0,1)$ 单调递增时，$f(0)$ 是极小值

(B) 当 $f(0)$ 是极小值时，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，在 $(0,1)$ 单调递增

(C) 当 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增

(D) 当 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 单调递增时，$f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 是凹的

做完再点开：答案

(C)。A、B、D 都能举出反例。

🧭 知识地图#

函数的单调性 → 极值（局部概念）→ 凹凸性的定义与"弦斜率单调"（核心工具） → 拐点 → 函数不等式

同一套概念还会用在：本卷第 19 题（二元极值的判定）、第 20 题（找拐点再求体积）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　$f(x)=x^3$。$f'(0)$ 等于多少？$f(0)$ 是极值吗？

热身 2　$f(x)=x^2$。把 $k(x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 化简，它在 $[-1,1)$ 上单调吗？

热身答案

热身 1： $f'(0)=0$，但 $f(0)$ 不是极值。$x<0$ 时 $f<0$，$x>0$ 时 $f>0$，所以 0 两边一边比它小、一边比它大。

也就是说：导数为 0 只是"可能"有极值，不是"一定"有。

热身 2： $k(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$，单调递增。

$x^2$ 是个"碗"，它的弦斜率就是递增的。这正是选项 (C) 说的事。

两题对应真题的两件工具：极值的定义和凹函数的弦斜率单调。

👀 一眼看穿#

题目只说"有定义"。没说连续，更没说可导。

这种题就是在专门找"条件不够"的漏洞。给每个错误选项找一个反例，剩下的就是答案。

图：左：凹函数的弦斜率随左端点右移而增大；右：选项 D 的反例（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 极值是"局部"的#

$f(0)$ 是极小值，意思是：存在一个小邻域 $(-\delta,\delta)$，在里面 $f(x)\ge f(0)$。

注意两点：

• 只管 0 附近一小段，不管整个区间；
• 只比函数值大小，不要求连续、可导、单调。

所以"极值"和"单调"之间，谁也推不出谁。

② "左减右增 ⇒ 极小值"要补什么条件#

课本上的判别法其实是：$f$ 在 $x_0$ 连续，左边减、右边增，那么 $f(x_0)$ 是极小值。

为什么要连续？左边减，只能说明 $f(x)\ge\lim_{t\to0^-}f(t)$。如果 $f(0)$ 自己"跳高"了，它就比左右都大，反而成了极大。

连续性保证 $f(0)$ 就等于左右两侧的极限，这样才"压得住"。

③ 凹（向上凹）的三种等价说法#

考研里"凹"指图形像碗，开口向上。

条件	凹的等价说法
只要求有定义	任意两点的弦在图像上方
只要求有定义	任取一点 $x_0$，斜率函数 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 都单调递增
可导	$f'(x)$ 单调递增
二阶可导	$f''(x)\ge0$

第二行叫"斜率单调性"，也叫三弦引理。真题 (C) 就是把 $x_0$ 取成 1。

为什么成立： 画一个碗，固定右端点，左端点从左往右滑，弦会越来越陡。

④ 易错点：一个点 ≠ 每个点#

凹要求每一个 $x_0$ 的斜率函数都递增。

选项 (D) 只给了 $x_0=1$ 这一个点，条件弱太多，所以推不出凹。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：(A) 错。 让 $f(0)$ "跳高"。取 $f(x)=\lvert x\rvert$（$x\ne0$），$f(0)=1$。

左减右增都满足，但 $f(0)=1$ 比附近的值都大，不是极小值。原因：没有连续性。

第 2 步：(B) 错。 取 $f(x)=-\cos 10x$。

$f(0)=-1$ 是最小值，当然也是极小值。但它在 $(-1,0)$、$(0,1)$ 上来回振荡，不单调。原因：极值只管 0 附近，不管整段。

第 3 步：(C) 对。 记 $k(x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$，取 $-1\le x_1<x_2<1$，要证 $k(x_1)\le k(x_2)$。

把 $x_2$ 写成 $x_1$ 和 1 的加权平均：$x_2=\lambda\cdot1+(1-\lambda)x_1$，其中 $\lambda=\frac{x_2-x_1}{1-x_1}\in(0,1)$。

由凹的定义（弦在上方）：

$$f(x_2)\le\lambda f(1)+(1-\lambda)f(x_1)$$

两边减去 $f(1)$：

$$f(x_2)-f(1)\le(1-\lambda)\big[f(x_1)-f(1)\big]$$

而 $1-\lambda=\frac{1-x_2}{1-x_1}$。两边同除以负数 $x_2-1$，不等号反向：

$$\frac{f(x_2)-f(1)}{x_2-1}\ \ge\ \frac{f(x_1)-f(1)}{x_1-1}$$

这就是 $k(x_1)\le k(x_2)$，$k$ 单调递增。

第 4 步：(D) 错。 取 $f(x)=x^3+x^2-2x$，则

$$k(x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=x^2+2x$$

它在 $[-1,1)$ 上单调递增。但 $f''(x)=6x+2$ 在 $x=-\frac13$ 两侧变号，所以 $f$ 不是整段凹的。

答案：(C)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿 C）　设 $f(x)=e^x$。不用"凹函数"的结论，直接求导证明 $g(x)=\frac{e^x-e}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增。

变式 2（判断真假）　判断下面两句话：

1. 若 $f(0)$ 是极小值，则一定存在 $\delta>0$，使 $f$ 在 $(-\delta,0)$ 递减、在 $(0,\delta)$ 递增。
2. 若 $f$ 在 $(a,b)$ 可导，且 $f'$ 单调递增，则 $f$ 的图形在 $(a,b)$ 是凹的。

变式 3（经典不等式）　设 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，$f''(x)>0$，$f(0)=0$。证明：对任意 $a,b>0$，有 $f(a)+f(b)<f(a+b)$。

变式 1 提示与解答

提示： 求导后分母是平方，只看分子的正负。分子再求一次导。

解：

$$g'(x)=\frac{e^x(x-1)-(e^x-e)}{(x-1)^2}=\frac{e^x(x-2)+e}{(x-1)^2}$$

记分子 $h(x)=e^x(x-2)+e$。则 $h(1)=0$，$h'(x)=e^x(x-1)<0$（$x<1$）。

所以 $h$ 在 $[-1,1)$ 上递减，$h(x)>h(1)=0$，于是 $g'(x)>0$，$g$ 单调递增。

这正好印证了 (C)：$e^x$ 是凹函数，所以它到右端点的弦斜率递增。

变式 2 提示与解答

提示： 第 1 句比真题 (B) 更"弱"：只要求很小的一段单调。找一个在 0 附近疯狂振荡的函数。

解：

第 1 句：假。 反例：$f(x)=x^2\left(2+\sin\frac1x\right)$（$x\ne0$），$f(0)=0$。

因为 $2+\sin\frac1x\ge1$，所以 $f(x)\ge x^2>0=f(0)$，$f(0)$ 是极小值（还是最小值）。

但 $f'(x)=2x\left(2+\sin\frac1x\right)-\cos\frac1x$。$x\to0^+$ 时前一项趋于 0，后一项在 $\pm1$ 之间来回跳。

所以在 $x=\frac{1}{2k\pi}$ 处 $f'<0$，在 $x=\frac{1}{(2k+1)\pi}$ 处 $f'>0$。不管 $\delta$ 多小，$(0,\delta)$ 里都有这两种点，$f$ 不单调。

第 2 句：真。 这是凹的等价说法之一（上面表格第三行）。拉格朗日中值定理可以证明：$f'$ 递增时，任意弦都在图像上方。

变式 3 提示与解答

提示： 以原点为固定点，看斜率函数 $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}$。

解： $f''>0$，所以 $f$ 是（严格）凹的。取固定点 $x_0=0$，由斜率单调性，$\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增。

因为 $a<a+b$，$b<a+b$：

$$\frac{f(a)}{a}<\frac{f(a+b)}{a+b},\qquad \frac{f(b)}{b}<\frac{f(a+b)}{a+b}$$

所以 $f(a)<\frac{a}{a+b}f(a+b)$，$f(b)<\frac{b}{a+b}f(a+b)$。两式相加：

$$f(a)+f(b)<f(a+b)$$

举例检查：$f=x^2$ 时，$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab>0$；$f=e^x-1$ 时，差为 $(e^a-1)(e^b-1)>0$。

和真题 (C) 是同一个工具，只是把固定点从 1 换成了 0。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 "只说有定义，先怀疑连续性。" "左减右增 ⇒ 极值"必须加上连续。
• 🧠 极值看局部，单调看整段，二者不能互推。
• 🧠 凹 = 弦斜率右移变大。 固定任一点，斜率函数都递增。
• ⚠️ 只有"一个点"的斜率函数递增，推不出凹。这是 (D) 的坑。

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第 6 题　变限积分 + 反函数的导数#

题目　已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_1^{x^3}\frac{e^t}{1+t^2}dt$，$f$ 的反函数为 $g$，则（　）

(A) $g(0)=1,\ g'(0)=\frac32e$　　(B) $g(0)=1,\ g'(0)=\frac{2}{3e}$

(C) $g(1)=0,\ g'(1)=\frac32e$　　(D) $g(1)=0,\ g'(1)=\frac{2}{3e}$

做完再点开：答案

(B)　$g(0)=1$，$g'(0)=\frac{2}{3e}$。

🧭 知识地图#

微积分基本定理 → 变上限积分求导（链式法则） → 反函数求导：换点 + 取倒数 → 反函数二阶导、反函数的凹凸

同一套工具还会用在：本卷第 18 题（含参变限积分）、第 15 题（函数平均值要先写成积分）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　求 $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt$。

热身 2　$f(x)=x^3+x$，反函数为 $g$。求 $g'(2)$。

热身答案

热身 1： $2x\sin(x^2)$。把上限 $x^2$ 代进被积函数，再乘上限的导数 $2x$。

热身 2： $\frac14$。先找"哪个 $x$ 让 $f(x)=2$"：$x=1$。再算 $f'(1)=3+1=4$，取倒数。

这两题正好是真题的两步：变限积分求导和反函数换点取倒数。

👀 一眼看穿#

积分下限是 1。所以 $x=1$ 时，积分区间长度为 0，$f(1)=0$，也就是 $g(0)=1$。

选项 C、D 一下就排除了。剩下的只是"取不取倒数"的问题。

📚 知识点深度回顾#

① 变上限积分为什么能求导#

设 $h$ 连续，$\Phi(u)=\int_a^u h(t)\,dt$。微积分基本定理说 $\Phi'(u)=h(u)$。

上限换成 $\varphi(x)$ 后，就是复合函数 $\Phi(\varphi(x))$，用链式法则：

$$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}h(t)\,dt=h\big(\varphi(x)\big)\cdot\varphi'(x)$$

上下限都是函数时：

$$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}h(t)\,dt=h\big(\varphi(x)\big)\varphi'(x)-h\big(\psi(x)\big)\psi'(x)$$

② 反函数导数：为什么是倒数#

$y=f(x)$，$x=g(y)$，所以 $g(f(x))=x$。两边对 $x$ 求导：

$$g'(f(x))\cdot f'(x)=1\quad\Rightarrow\quad g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\ \ y_0=f(x_0)$$

几何上看：反函数的图像是原图像关于 $y=x$ 的镜像。镜像后，斜率从 $k$ 变成 $\frac1k$。

条件是 $f'(x_0)\ne0$。

③ 最容易错的地方：在哪一点取倒数#

$g'$ 在 $y_0$ 处的值，等于 $f'$ 在对应的 $x_0$ 处的倒数。

不是"同一个数字"。本题求 $g'(0)$，要用的是 $f'(1)$，不是 $f'(0)$。

所以永远先问一句：$g$ 的这个点，对应 $f$ 的哪个 $x$？

④ 再进一步：反函数的二阶导#

对 $g'(y)=\frac{1}{f'(x)}$ 再对 $y$ 求导，注意 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)}$：

$$g''(y)=-\frac{f''(x)}{f'(x)^2}\cdot\frac{1}{f'(x)}=-\frac{f''(x)}{\big[f'(x)\big]^3}$$

记住：负号，分母三次方。 它能直接看出反函数的凹凸，下面串联练习会用到。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：找零点。 $f(1)=\int_1^1(\cdots)\,dt=0$，所以 $g(0)=1$。

C、D 说 $g(1)=0$，也就是 $f(0)=1$。但 $f(0)=\int_1^0\frac{e^t}{1+t^2}dt<0$（上限比下限小，被积函数为正），矛盾。排除。

第 2 步：求 $f'$。 上限是 $x^3$，别漏 $3x^2$：

$$f'(x)=\frac{e^{x^3}}{1+x^6}\cdot3x^2,\qquad f'(1)=\frac{e}{2}\cdot3=\frac{3e}{2}$$

第 3 步：换点取倒数。 $g$ 的 0 对应 $f$ 的 1：

$$g'(0)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{2}{3e}$$

答案：(B)。 选项 A 的 $\frac32e$ 是给忘了取倒数的人准备的。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（换一个函数）　$f(x)=\displaystyle\int_1^{x^2}\ln(1+t)\,dt$（$x>0$），$g$ 是 $f$ 的反函数。求 $g(0)$ 和 $g'(0)$。

变式 2（逆向：二阶导）　对真题中的 $f$ 和 $g$，求 $g''(0)$。

变式 3（和第 1 题连起来）　$f(x)=\displaystyle\int_0^{x}e^{t^2}dt$，$g$ 是它的反函数。求 $g'(0)$，以及 $\displaystyle\lim_{y\to0}\frac{g(y)-y}{y^3}$。

变式 1 提示与解答

提示： 下限是 1，先找让上限等于 1 的 $x$。

解： $x=1$ 时上限 $x^2=1$，积分为 0，所以 $f(1)=0$，$g(0)=1$。

$$f'(x)=\ln(1+x^2)\cdot2x,\qquad f'(1)=2\ln2$$

所以 $g'(0)=\frac{1}{2\ln2}$。

变式 2 提示与解答

提示： 用 $g''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$，在 $x=1$ 处算。

解： $f'(x)=\frac{3x^2e^{x^3}}{1+x^6}$。用乘积法则对三个因子分别求导，再代入 $x=1$：

• 对 $3x^2$ 求导：$6\cdot e\cdot\frac12=3e$；
• 对 $e^{x^3}$ 求导：$3\cdot3e\cdot\frac12=\frac92e$；
• 对 $\frac{1}{1+x^6}$ 求导：$3\cdot e\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)=-\frac92e$。

所以 $f''(1)=3e$。于是

$$g''(0)=-\frac{f''(1)}{\big[f'(1)\big]^3}=-\frac{3e}{\frac{27e^3}{8}}=-\frac{8}{9e^2}$$

变式 3 提示与解答

提示： 把 $f$ 泰勒展开，再设 $g(y)=y+cy^3+\cdots$ 代回去对系数。

解： $f(0)=0$，$f'(0)=e^0=1$，所以 $g(0)=0$，$g'(0)=1$。

再展开：$e^{t^2}=1+t^2+\cdots$，积分得

$$f(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

$f$ 是奇函数，所以 $g$ 也是奇函数，设 $g(y)=y+cy^3+o(y^3)$。代入 $f(g(y))=y$：

$$\big(y+cy^3\big)+\frac{y^3}{3}+o(y^3)=y\quad\Rightarrow\quad c+\frac13=0$$

所以 $c=-\frac13$，

$$\lim_{y\to0}\frac{g(y)-y}{y^3}=-\frac13$$

这里同时用上了第 1 题的"展开后对系数"和本题的"反函数"。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 "下限是几，就在几处函数值为 0。" 变限积分题先找这个零点。
• 🔑 反函数导数：换点 + 取倒数。 先问"$g$ 的这个点对应 $f$ 的哪个 $x$"。
• 🧠 $g''=-\frac{f''}{(f')^3}$：负号、三次方。
• ⚠️ 链式法则别漏上限的导数 $3x^2$。

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第 7 题　二重积分的定义：和式极限#

题目　设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid0\le x\le1,0\le y\le1\}$ 上连续，且 $f(x,y)=f(y,x)$，则 $\iint_D f(x,y)\,dxdy=$（　）

(A) $\displaystyle2\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=n+1-i}^{n}f\Big(\frac in,\frac jn\Big)\frac1{n^2}$

(B) $\displaystyle\frac12\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f\Big(\frac in,\frac jn\Big)\frac1{n^2}$

(C) $\displaystyle2\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i}f\Big(\frac i{2n},\frac j{2n}\Big)\frac1{n^2}$

(D) $\displaystyle\frac12\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{i}f\Big(\frac i{2n},\frac j{2n}\Big)\frac1{n^2}$

做完再点开：答案

(D)。

🧭 知识地图#

定积分的定义（一维和式极限）→ 二重积分的定义：分割、取点、求和、取极限 → 对称性化简 → 直角坐标 / 极坐标计算

同一套工具还会用在：本卷第 17 题（极坐标二重积分）；以及每年常考的"和式极限化积分"。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac in\Big)^2$。

热身 2　求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(i+j)$。

热身答案

热身 1： $\frac13$。点是 $\frac in$，步长 $\frac1n$，就是 $\int_0^1x^2\,dx$。

热身 2： $1$。把 $\frac{i+j}{n^3}$ 拆成 $\left(\frac in+\frac jn\right)\cdot\frac{1}{n^2}$，就是 $\iint_{[0,1]^2}(x+y)\,d\sigma=\frac12+\frac12=1$。

关键动作：把和式凑成"$f(\text{点})\times$小块面积"。 真题四个选项全靠这一步。

👀 一眼看穿#

把每个和式"翻译"成一个积分。只看三件事：

• 步长是多少（点的分母是 $n$ 还是 $2n$）；
• $j$ 的范围画出什么区域；
• 前面系数补没补对。

图：把和式"画"出来：D 取的是下三角，A 取的是错的那条对角线（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 二重积分的定义，说人话#

把正方形 $[0,1]^2$ 切成 $N\times N$ 个小格。每格边长 $\frac1N$，面积 $\frac1{N^2}$。

在第 $(i,j)$ 格取点 $\left(\frac iN,\frac jN\right)$（右上角）。$f$ 连续时：

$$\lim_{N\to\infty}\sum_{i,j}f\Big(\frac iN,\frac jN\Big)\frac{1}{N^2}=\iint_{\text{这些格子拼成的区域}}f\,d\sigma$$

意思就是：函数值 × 小块面积，加起来，取极限。

② 系数要和步长配套#

点的分母是 $N$，面积就必须是 $\frac{1}{N^2}$。

如果点是 $\frac{i}{2n}$，那 $N=2n$，小格面积应是 $\frac{1}{4n^2}$。题目写成 $\frac1{n^2}$，就多了 4 倍，要靠前面的系数补回来。

一维也一样：$\sum_{i=1}^{2n}f\left(\frac{i}{2n}\right)\frac1n\to2\int_0^1f(x)\,dx$。

③ $j$ 的范围决定区域#

$j$ 的范围	翻译成	区域
$1\le j\le N$	$0\le y\le1$	整个正方形
$1\le j\le i$	$y\le x$	主对角线下方的三角形
$j\ge N+1-i$	$x+y\ge1$	副对角线右上方的三角形
$j\le N+1-i$	$x+y\le1$	副对角线左下方的三角形

对角线上的格子算一次还是两次，极限里都不影响（它们的总面积 $\to0$）。

④ 对称性：只能沿 $y=x$ 对折#

$f(x,y)=f(y,x)$ 的意思是：图像关于主对角线 $y=x$ 对称。

所以 $\iint_D f=2\iint_{y\le x}f$。

但关于副对角线 $x+y=1$ 对折，需要的是另一个条件 $f(x,y)=f(1-y,1-x)$。题目没给，就不能用。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：看 (D) 的步长。 点是 $\left(\frac i{2n},\frac j{2n}\right)$，所以 $N=2n$，小格面积应是 $\frac{1}{4n^2}$。

第 2 步：看区域。 $1\le j\le i$ 对应 $y\le x$，是下三角。

第 3 步：补系数。

$$\frac12\sum\sum f\cdot\frac1{n^2}=\frac12\cdot4\sum\sum f\cdot\frac{1}{(2n)^2}\ \to\ 2\iint_{y\le x}f\,d\sigma$$

第 4 步：用对称性。 $2\iint_{y\le x}f\,d\sigma=\iint_D f\,d\sigma$。

答案：(D)。

其他选项快速排除：

• (A)： $N=n$，区域是 $x+y\ge1$ 的上三角。看起来"2 × 半块 = 整块"也对？但这两块关于副对角线对称，题目条件管不到。反例：$f=x+y$ 满足 $f(x,y)=f(y,x)$，上三角积分 $=\frac23$，$2\times\frac23=\frac43\ne1$。
• (B)： $\frac12\times$ 整个正方形 $=\frac12\iint_D f$，少了一半。
• (C)： 区域是 $x+y\le1$，同样用错了对角线；系数 $2\times4=8$ 倍也不对。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（一维热身升级）　求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}$。

变式 2（判断）　$f(x,y)$ 在 $D=[0,1]^2$ 上连续，且 $f(x,y)=f(y,x)$。判断下面两个式子是否等于 $\iint_D f\,d\sigma$：

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}f\Big(\frac in,\frac jn\Big)$
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}f\Big(\frac i{2n},\frac j{2n}\Big)$

变式 3（经典难题）　求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}$。

变式 1 提示与解答

提示： 分子分母同除以 $n^2$，凑出 $\frac in$ 和 $\frac1n$。

解：

$$\frac{n}{n^2+i^2}=\frac{1}{1+\left(\frac in\right)^2}\cdot\frac1n$$

所以极限是

$$\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1=\frac{\pi}{4}$$

变式 2 提示与解答

提示： 逐个查"步长、区域、系数"。

解：

第 1 个：等于。 步长 $\frac1n$，面积 $\frac{1}{n^2}$ 配套；$j\le i$ 是下三角；系数 2 用对称性补成整块。

它和 (D) 是同一个意思，只是没绕 $2n$ 的弯。用 $f=x+y$、$xy$、$x^2+y^2$ 代码检验，都分别得到 $1,\ \frac14,\ \frac23$，与 $\iint_D f$ 一致。

第 2 个：不等于，是 $4\iint_D f\,d\sigma$。 区域是整个正方形，但点的分母是 $2n$，面积应是 $\frac{1}{4n^2}$，写成 $\frac{1}{n^2}$ 多了 4 倍。

变式 3 提示与解答

提示： 凑成 $\frac{1}{n^2}\cdot F\left(\frac in,\frac jn\right)$，你会发现 $F$ 能拆成"只含 $x$"乘"只含 $y$"。

解：

$$\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=\frac{1}{1+\frac in}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac jn\right)^2}\cdot\frac{1}{n^2}$$

所以极限是 $[0,1]^2$ 上的二重积分。被积函数可以分离变量，二重积分就拆成两个定积分相乘：

$$\int_0^1\frac{dx}{1+x}\cdot\int_0^1\frac{dy}{1+y^2}=\ln2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi\ln2}{4}$$

🗂 记忆卡片#

• 🔑 和式翻译三查：步长、区域、系数。
• 🧠 点的分母是 $N$，面积就是 $\frac1{N^2}$。不配套，就用系数补。
• ⚠️ $f(x,y)=f(y,x)$ 只能沿 $y=x$ 对折；沿 $x+y=1$ 对折需要 $f(x,y)=f(1-y,1-x)$。
• 🔗 双重和式能分离成"$i$ 的部分 × $j$ 的部分"时，就是两个定积分相乘。

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🔗 串联练习：把第 5 题和第 6 题连起来#

题目　设 $f(x)=\displaystyle\int_0^{x}e^{t^2}dt$（$x\ge0$），$g$ 是 $f$ 的反函数，定义在 $[0,f(1)]$ 上。

1. 判断 $f$ 的图形在 $[0,1]$ 上的凹凸；
2. 判断 $g$ 的图形在 $[0,f(1)]$ 上的凹凸；
3. 证明 $\frac{g(y)}{y}$ 在 $(0,f(1)]$ 上单调递减。

提示与解答

1. 用第 6 题的变限积分求导：$f'(x)=e^{x^2}>0$，$f''(x)=2xe^{x^2}\ge0$。所以 $f$ 单调递增，图形是凹的。

2. 用第 6 题的反函数二阶导公式：

$$g''(y)=-\frac{f''(x)}{\big[f'(x)\big]^3}=-\frac{2xe^{x^2}}{e^{3x^2}}=-2xe^{-2x^2}\le0$$

所以 $g$ 的图形是凸的（向上凸）。

一句话：递增的凹函数，它的反函数是凸的。 想一想 $e^x$ 和 $\ln x$。

3. 用第 5 题的弦斜率单调性，固定点取原点。$g(0)=0$，所以 $\frac{g(y)}{y}=\frac{g(y)-g(0)}{y-0}$ 正是从原点出发的弦斜率。

凸函数和凹函数相反：弦斜率随端点右移而变小。所以 $\frac{g(y)}{y}$ 单调递减。

代码数值检验：在 $(0,f(1)]$ 上取 10 个点，$\frac{g(y)}{y}$ 严格递减（$f(1)\approx1.4627$）。

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📋 本篇速记总表#

题	考点	一句话钥匙	连到
5	极值与凹凸概念	只说有定义就怀疑连续性；凹 = 弦斜率右移变大	第 19、20 题
6	变限积分 + 反函数导数	下限处值为 0；换点再取倒数	第 18、15 题
7	二重积分定义（和式极限）	三查：步长、区域、系数；对称只能沿 $y=x$ 折	第 17 题

✅ 自测清单#

• 我能举出"左减右增但不是极值"和"是极值但不单调"的反例。
• 我能说出凹的四种等价说法，并解释为什么"一个点的斜率单调"不够。
• 我会对上限是 $\varphi(x)$ 的变限积分求导，不漏 $\varphi'(x)$。
• 求反函数导数时，我会先换点，再取倒数；还记得 $g''=-\frac{f''}{(f')^3}$。
• 看到和式极限，我会查步长、区域、系数，把它翻译成积分。
• 我知道 $f(x,y)=f(y,x)$ 只能沿 $y=x$ 对折。

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说明： 真题依据 2026 年全国硕士研究生招生考试数学（二）（2025 年 12 月考试），原题与参考答案见 ^[1]、^[2]。热身题和变式题为本文改编或选自经典题型。所有答案都已用 SymPy 验算。口诀只是记忆方法，不是官方结论。