考研数学二·零基础讲义 第13讲（二）｜二重积分：交换积分次序与定限训练

考研数学二·零基础讲义 · 第 13 讲（二）｜二重积分：交换积分次序与定限训练

学完本篇，你能由累次积分还原积分区域，熟练地交换积分次序（包括"两块合一块""一块拆两块"），并能用换序解决内层积不出来的积分。预计用时：2.5 小时。

本讲地图#

• 第 13 讲拆成四篇：（一）概念、性质与直角坐标计算；（二）交换积分次序与定限训练；（三）极坐标计算；（四）对称性与方法选择。数二只考二重积分，三重积分、曲线曲面积分不考。
• 交换积分次序：还原区域 → 画图 → 换穿线方向重新定限——高频考点，也是解决"积不出来"的救命招。
• 定限专项训练：同一区域写出 X 型、Y 型两种表示。
• 直角坐标计算的完整流程：复习时只看这一块也够。

前置知识#

• 第 13 讲（一）：X 型、Y 型区域与定限口诀。
• 常见"积不出来"的函数：$e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$ 等（见第 09 讲）。

一句话心态：交换次序的本质是"同一块区域，换一种方式描述"。图画对了，题就做对了一大半。

---

一、交换积分次序#

1.1 大白话#

有些累次积分按原顺序根本积不出来，比如 $\int e^{-y^2}dy$、$\int\dfrac{\sin x}{x}dx$——它们的原函数不是初等函数。但换个顺序先积另一个变量，问题可能迎刃而解。

交换次序的本质：同一块区域，换一种方式穿线描述它。

图 1：例 1 的区域：先按原次序竖着切（内层 ∫e^(−y²)dy 积不出），再换成横着切 0 ≤ x ≤ y（动画循环播放）

1.2 方法（三步）#

1. 由已知的累次积分还原区域 $D$（写出不等式，画出图）；
2. 按另一种穿线方式重新定限；
3. 写出新的累次积分。

1.3 逐行拆解#

• 第 1 步最关键：$\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\cdots dy$ 就表示区域 $a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)$。
• 交换后积分值不变，只是"描述区域的方式"变了。
• 还原区域时，把四个限拆成两个不等式，再把每个不等式的"等号情形"当成一条边界线画出来。比如 $\int_0^1dy\int_y^1\cdots dx$：$0\le y\le1$ 给出两条水平线 $y=0$、$y=1$；$y\le x\le1$ 给出直线 $x=y$ 和竖线 $x=1$。四条线一画，三角形就出来了。
• 换序后一定回头检查：新写法表示的区域和原来的是否一模一样（顶点对得上吗？边界线对得上吗？）。

换序时最常遇到的四种区域（先在脑子里有个"图库"，考试时一眼认出）：

区域形状	原来的写法特点	换序后
三角形（一条斜边）	内层一端是常数、一端是 $x$ 或 $y$	仍是一块，常数限和变量限"对调角色"
两条曲线围成（如直线与抛物线）	内层上下限是两条曲线	仍是一块，把两条曲线都改写成"$x=$ 关于 $y$"的形式
由两块拼成	原来是两个累次积分相加	换序后往往合成一块（例 3）
边界"换人"	原来是一个累次积分	换序后要拆成两块（例 4）

为什么换序能"救活"积不出来的积分？ 以例 1 为例：原来先对 $y$ 积 $e^{-y^2}$，卡住；换序后先对 $x$ 积，而被积函数 $e^{-y^2}$ 里根本没有 $x$，对 $x$ 积分只是乘上区间长度——恰好乘出来一个 $y$，于是外层变成 $\int ye^{-y^2}dy$，用凑微分就能积出来。这个"多乘出一个因子"的现象，就是换序题的命题套路：内层的区间长度正好是外层需要的那个因子。所以看到换序题时，可以先猜一猜换序后会乘出什么，心里就有底了。

1.4 例题#

例 1 计算 $I=\displaystyle\int_0^1dx\int_x^1e^{-y^2}dy$。

解：$\int e^{-y^2}dy$ 积不出来，必须换序。

① 还原区域：$0\le x\le1$，$x\le y\le1$。画图：直线 $y=x$、$y=1$、$x=0$ 围成的三角形，顶点 $(0,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$。

② 改为 Y 型：$y$ 从 $0$ 到 $1$；横线从左往右，先碰 $x=0$，后碰 $x=y$。

③ 计算：

$$I=\int_0^1dy\int_0^{y}e^{-y^2}dx=\int_0^1 ye^{-y^2}dy=\left[-\frac12e^{-y^2}\right]_0^1=\frac12\left(1-e^{-1}\right).$$

例 2 计算 $I=\displaystyle\int_0^1dy\int_y^1\frac{\sin x}{x}dx$。

解：$\int\dfrac{\sin x}{x}dx$ 积不出来，换序。 区域：$0\le y\le1$，$y\le x\le1$，即三角形，顶点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$。 改为 X 型：$0\le x\le1$，$0\le y\le x$。

$$I=\int_0^1dx\int_0^x\frac{\sin x}{x}dy=\int_0^1\frac{\sin x}{x}\cdot x\,dx=\int_0^1\sin x\,dx=1-\cos1 .$$

例 3（两块合一块） 交换积分次序：

$$\int_0^1dx\int_0^{x}f(x,y)\,dy+\int_1^2dx\int_0^{2-x}f(x,y)\,dy .$$

解：

• 第一块：$0\le x\le1$，$0\le y\le x$——直线 $y=x$ 下方；
• 第二块：$1\le x\le2$，$0\le y\le2-x$——直线 $y=2-x$ 下方。

两块拼起来是以 $(0,0)$、$(2,0)$、$(1,1)$ 为顶点的三角形。改成 Y 型：$0\le y\le1$；横线从左往右，先碰 $x=y$，后碰 $x=2-y$。

$$\text{原式}=\int_0^1dy\int_y^{2-y}f(x,y)\,dx .$$

例 4（一块拆两块） 交换积分次序：$\displaystyle\int_0^1dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}f(x,y)\,dx$。

解： ① 还原区域：$0\le y\le1$；左边界 $x=-\sqrt{1-y^2}$，即 $x^2+y^2=1$ 的左半部分（$x\le0$）；右边界 $x=1-y$，即直线 $x+y=1$。区域是：左边四分之一圆盘（第二象限部分）+ 右边一个三角形（顶点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$）。

② 改 X 型：竖线从下往上穿，下边界都是 $y=0$；但上边界在 $x<0$ 时是圆弧 $y=\sqrt{1-x^2}$，在 $x>0$ 时是直线 $y=1-x$——上边界换人了，所以要以 $x=0$ 为界拆成两块：

$$\int_{-1}^{0}dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,dy+\int_0^1dx\int_0^{1-x}f(x,y)\,dy .$$

例 3 是"两块合成一块"，例 4 是"一块拆成两块"——换序时区域被拆还是被合，完全由新的穿线方向下"边界换不换人"决定。

1.5 易错点 ⚠️#

• 换序时不是简单交换上下限的位置！一定要画图重新定限。
• 什么时候该想到换序？信号是内层出现以下"积不出来"的函数：$e^{\pm y^2}$、$e^{y^3}$、$\sin y^2$、$\cos y^2$、$\dfrac{\sin x}{x}$、$\dfrac{\cos x}{x}$、$e^{y/x}$ 之类。它们的原函数不是初等函数，但换序后往往会多乘出一个合适的因子（比如例 1 中的 $y$），刚好凑成能积的形式。
• 新的外层限必须是常数。

---

二、定限专项训练：同一区域，两种写法#

定限是本篇的命门。下面三个区域，请先自己写出 X 型和 Y 型两种表示，再对答案。会了这一节，交换次序就是水到渠成的事。

2.1 大白话#

同一块区域，就像同一块蛋糕：你可以竖着切，也可以横着切，蛋糕本身不变。X 型、Y 型只是两种不同的"切法说明书"。

2.2 三个训练区域#

区域 (a)：由 $y=\sqrt x$、$y=0$、$x=4$ 围成。

• 画图：抛物线 $y=\sqrt x$（即 $x=y^2$ 的上半支）从原点出发，到 $x=4$ 时 $y=2$。
• X 型：$0\le x\le4$，竖线先碰 $y=0$、后碰 $y=\sqrt x$：$\ 0\le y\le\sqrt x$。
• Y 型：$0\le y\le2$，横线先碰抛物线 $x=y^2$、后碰直线 $x=4$：$\ y^2\le x\le4$。

检验一下：用两种写法分别算 $\iint_Dy\,d\sigma$。 X 型：$\displaystyle\int_0^4dx\int_0^{\sqrt x}y\,dy=\int_0^4\frac x2dx=4$； Y 型：$\displaystyle\int_0^2dy\int_{y^2}^4y\,dx=\int_0^2(4y-y^3)dy=8-4=4$。结果相同。

区域 (b)：由 $y=x$、$y=2-x$、$y=0$ 围成。

• 画图：两条直线交于 $(1,1)$，与 $x$ 轴交于 $(0,0)$、$(2,0)$，是一个三角形。
• Y 型（一块）：$0\le y\le1$，横线先碰 $x=y$、后碰 $x=2-y$：$\ y\le x\le2-y$。
• X 型（要拆）：上边界在 $x=1$ 处由 $y=x$ 换成 $y=2-x$，所以

$$D=\{0\le x\le1,\ 0\le y\le x\}\cup\{1\le x\le2,\ 0\le y\le2-x\}.$$

这正是第一节例 3 的区域。

区域 (c)：上半圆盘 $x^2+y^2\le1,\ y\ge0$。

• X 型：$-1\le x\le1$，$0\le y\le\sqrt{1-x^2}$；
• Y 型：$0\le y\le1$，$-\sqrt{1-y^2}\le x\le\sqrt{1-y^2}$。

两种写法都能用，但都带根号，算起来往往不轻松——这正是第 13 讲（三）要用极坐标的原因。

练习方法建议：拿一张纸，把上面三个区域各画一遍，遮住答案自己写两种表示，再对照。然后自己随便画两条曲线（比如 $y=x^2$ 和 $y=x+2$）围一块区域，同样写出两种表示——能独立完成，交换次序这一关就过了。

2.3 易错点 ⚠️#

• 由圆的方程解出 $y$ 时，要分清是上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}$ 还是下半圆 $y=-\sqrt{1-x^2}$。
• 写 Y 型时，边界曲线要改写成"$x=$ 关于 $y$ 的式子"，比如 $y=\sqrt x$ 要改成 $x=y^2$。

---

直角坐标计算的完整流程（复习时看这一块）#

1. 画图：把边界曲线都画出来，求出交点坐标。
2. 选型：竖线穿（X 型）还是横线穿（Y 型）？标准是"进出边界不换人"；同时看被积函数对哪个变量好积。
3. 定限：外层看投影（常数），内层画穿线（先碰下限、后碰上限）。
4. 计算：先算内层（另一个变量当常数），再算外层。
5. 卡住了？ 内层积不出来（$e^{-y^2}$、$\frac{\sin x}{x}$、$\sin y^2$、$e^{y^3}$ 等），就交换积分次序再试。

---

公式/结论速记卡#

主题	核心结论
交换次序三步	还原区域（四个限拆成两个不等式）→ 画图 → 换穿线方向重新定限
何时想到换序	内层出现 $e^{\pm y^2}$、$e^{y^3}$、$\sin y^2$、$\frac{\sin x}{x}$ 等积不出的函数
拆与合	新穿线方向下边界"换人"就要拆块；原来分块的，换序后可能合成一块
新外层限	必须是常数
自查	换序后检查顶点、边界线是否与原区域一致

---

自测练习#

1. 交换积分次序：$\displaystyle\int_0^1dy\int_y^{\sqrt y}f(x,y)\,dx$。

答案与提示

区域：$0\le y\le1$，$y\le x\le\sqrt y$，即直线 $y=x$ 与抛物线 $y=x^2$ 之间，交点 $(0,0)$、$(1,1)$。改 X 型：$0\le x\le1$，竖线先碰 $y=x^2$ 后碰 $y=x$。

$$\int_0^1dx\int_{x^2}^{x}f(x,y)\,dy .$$

2. 计算 $\displaystyle\int_0^1dx\int_x^1\sin(y^2)\,dy$。

答案与提示

$\int\sin(y^2)dy$ 积不出，换序：区域为 $0\le y\le1,\ 0\le x\le y$。

$\displaystyle\int_0^1dy\int_0^y\sin(y^2)\,dx=\int_0^1y\sin(y^2)\,dy=\left[-\frac12\cos(y^2)\right]_0^1=\frac{1-\cos1}{2}$。

3. 计算 $\displaystyle\int_0^1dx\int_{\sqrt x}^1e^{y^3}\,dy$。

答案与提示

$\int e^{y^3}dy$ 积不出，换序。区域：$0\le x\le1$，$\sqrt x\le y\le1$，即 $0\le y\le1$，$0\le x\le y^2$。

$\displaystyle\int_0^1dy\int_0^{y^2}e^{y^3}dx=\int_0^1y^2e^{y^3}dy=\left[\frac13e^{y^3}\right]_0^1=\frac{e-1}{3}$。

4. 计算 $\displaystyle\int_0^2dx\int_x^2e^{-y^2}\,dy$。

答案与提示

区域：$0\le x\le2$，$x\le y\le2$，即 $0\le y\le2$，$0\le x\le y$。

$\displaystyle\int_0^2dy\int_0^ye^{-y^2}dx=\int_0^2ye^{-y^2}dy=\left[-\frac12e^{-y^2}\right]_0^2=\frac{1-e^{-4}}{2}$。

5. 计算 $\displaystyle\int_0^1dy\int_y^1e^{x^2}\,dx$。

答案与提示

$\int e^{x^2}dx$ 积不出。区域：$0\le y\le1$，$y\le x\le1$，即 $0\le x\le1$，$0\le y\le x$。

$\displaystyle\int_0^1dx\int_0^xe^{x^2}dy=\int_0^1xe^{x^2}dx=\left[\frac12e^{x^2}\right]_0^1=\frac{e-1}{2}$。

---

下一讲预告#

第 13 讲（三）学极坐标：从零认识极坐标，讲清 $r\,dr\,d\theta$ 的来历和常见区域的定限，专治圆形区域和 $x^2+y^2$。