考研数学二·零基础讲义 第13讲（一）｜二重积分：概念、性质与直角坐标计算

考研数学二·零基础讲义 · 第 13 讲（一）｜二重积分：概念、性质与直角坐标计算

学完本篇，你能说清二重积分的几何意义，会用性质比较大小、估值、求平均值，并能在直角坐标下把二重积分化成两次定积分来算。预计用时：3 小时。

本讲地图#

• 第 13 讲拆成四篇：（一）概念、性质与直角坐标计算；（二）交换积分次序与定限训练；（三）极坐标计算；（四）对称性与方法选择。数二只考二重积分，三重积分、曲线曲面积分不考。
• 二重积分是什么：曲顶柱体的体积，"分割—近似—求和—取极限"——大纲要求"了解概念"。
• 基本性质：线性、可加、比较、估值、中值定理——大纲要求"了解基本性质"，常以比较大小的选择题出现。
• 直角坐标计算：X 型、Y 型区域化为累次积分，定限口诀——大纲要求"掌握"。

前置知识#

• 定积分的概念、牛顿—莱布尼茨公式、换元与分部积分（见第 10 讲）。
• 定积分求平面图形面积、已知截面面积求体积（见第 11 讲）。
• 直线、抛物线、圆的方程与画图（见第 01 讲）。

一句话心态：二重积分 = 两次定积分。只要你会定积分，难点只剩一个——把区域的范围写对。

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一、二重积分的概念与几何意义#

1.1 大白话#

回忆定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$：把区间切成很多小段，每段上用"矩形面积 = 高 × 宽"近似，全加起来，切得无限细就得到曲边梯形的面积。

二重积分就是把这件事升一维：

• 底面不再是一段区间，而是平面上的一块区域 $D$；
• 顶上不再是一条曲线，而是一张曲面 $z=f(x,y)$；
• 围起来的立体叫曲顶柱体（底是平的 $D$，侧面是竖直的"墙"，顶是弯曲的曲面）。

怎么求它的体积？像切豆腐，分四步：

1. 分割：把底面 $D$ 切成 $n$ 个小块，第 $i$ 块的面积记作 $\Delta\sigma_i$。整个曲顶柱体也随之被切成 $n$ 根细长的"小柱子"。
2. 近似：每根小柱子的顶虽然是弯的，但小块很小，顶的高低变化不大，于是在小块里随便挑一个点 $(\xi_i,\eta_i)$，用那里的高度 $f(\xi_i,\eta_i)$ 当整根柱子的高，把它近似成"平顶柱体"：体积 $\approx f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
3. 求和：全部小柱子的体积加起来，$V\approx\sum f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
4. 取极限：切得越细，近似越准；切到无限细时，"约等于"变成"等于"。

这四步和定积分的"分割、近似、求和、取极限"一字不差，只是"小段"换成了"小块"，"矩形面积"换成了"小柱体体积"。

1.2 正式定义#

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta\sigma_i .$$

1.3 逐行拆解#

• $\iint_D$ 读作"在 D 上的二重积分"，两个积分号表示"在二维区域上积分"。
• $d\sigma$ 读作"d 西格玛"，是面积元素——小块的面积。直角坐标下 $d\sigma=dx\,dy$。
• $\Delta\sigma_i$：第 $i$ 小块的面积；$(\xi_i,\eta_i)$（读作"克西 i、伊塔 i"）：在第 $i$ 小块里任取的一点；$f(\xi_i,\eta_i)$ 是那里的"高"。
• $\lambda$：所有小块中最大的直径，$\lambda\to0$ 表示"切得无限细"。

几何意义：

• 当 $f(x,y)\ge0$ 时，$\iint_D f\,d\sigma$ = 以 $D$ 为底、以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积；
• 特别地，$\iint_D 1\,d\sigma = D$ 的面积（高处处为 1 的柱体，体积数值等于底面积）。

1.4 例题#

例 1 不计算，用几何意义求 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le1}\sqrt{1-x^2-y^2}\,d\sigma$。

解：$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 两边平方得 $x^2+y^2+z^2=1$（$z\ge0$），是单位球的上半球面。底面 $D$ 是单位圆盘。所以积分就是上半球的体积：

$$\frac12\cdot\frac43\pi\cdot1^3=\frac{2\pi}{3}.$$

（第 13 讲（三）学了极坐标，你可以亲手验证这个结果。）

1.5 易错点 ⚠️#

• 二重积分的值只取决于被积函数和积分区域，与用什么字母表示变量无关：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\iint_Df(u,v)\,d\sigma$。
• 当 $f$ 有正有负时，二重积分是"上方体积减去下方体积"，不再是单纯的体积。

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二、二重积分的性质#

2.1 大白话#

二重积分的性质几乎和定积分一一对应：能拆、能提常数、能比大小、能估值。

2.2 性质清单#

1. 线性：$\displaystyle\iint_D[af+bg]\,d\sigma=a\iint_D f\,d\sigma+b\iint_D g\,d\sigma$。
2. 区域可加：$D=D_1\cup D_2$（不重叠）时，$\displaystyle\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}$。
3. 面积：$\displaystyle\iint_D 1\,d\sigma=S_D$（$D$ 的面积）。
4. 保号/比较：在 $D$ 上 $f\le g$，则 $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma\le\iint_D g\,d\sigma$。
5. 估值：在 $D$ 上 $m\le f\le M$，则

$$m\,S_D\le\iint_D f\,d\sigma\le M\,S_D .$$

6. 中值定理：$f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使

$$\iint_D f\,d\sigma=f(\xi,\eta)\,S_D .$$

2.3 逐行拆解#

• 估值性质的直觉："柱体再高也高不过 $M$，再矮也矮不过 $m$，所以体积夹在 $m\times$底面积 和 $M\times$底面积 之间"。
• 中值定理的直觉：把弯曲的顶"削平"成一个平顶，平顶的高度 $f(\xi,\eta)$ 就是函数的平均值。
• 线性性质的用法：被积函数是好几项相加时，可以拆开分别积分，每一项单独处理（第 13 讲（四）的对称性就大量用到这一点）。
• 区域可加性的用法：区域形状复杂（比如边界"换人"），或被积函数是分段的（比如含 $|y-x|$、$\max\{x,y\}$），就沿着分界线把区域切开，一块一块算再相加。
• 比较性质的用法：选择题里经常让你比较两个积分的大小而不让你算，这时只需在区域上比较两个被积函数。

2.4 例题#

例 2（比较大小） 设 $D$ 是由 $x$ 轴、$y$ 轴和直线 $x+y=1$ 围成的三角形，比较 $I_1=\displaystyle\iint_D\ln(x+y)\,d\sigma$ 与 $I_2=\displaystyle\iint_D[\ln(x+y)]^2\,d\sigma$ 的大小。

解：比较二重积分，就是比较被积函数在区域上的大小。

• 在 $D$ 内 $0<x+y\le1$，所以 $\ln(x+y)\le0$；
• 而 $[\ln(x+y)]^2\ge0$。

于是在 $D$ 上 $\ln(x+y)\le[\ln(x+y)]^2$，且不是处处相等，所以 $I_1<I_2$。

比较题的套路：不算积分，只比被积函数。关键是看清区域上那个"核心量"（这里是 $x+y$）和 0、1 的大小关系。

例 3 估计 $I=\displaystyle\iint_D(x^2+4y^2+9)\,d\sigma$ 的范围，其中 $D:\ x^2+y^2\le4$。

解：在 $D$ 上，$x^2+4y^2+9=(x^2+y^2)+3y^2+9$。

• 最小：$x=y=0$ 时取 $9$；
• 最大：$x^2+y^2\le4$ 且 $y^2\le4$，所以 $\le4+12+9=25$，在 $(0,\pm2)$ 处取到。

$D$ 的面积 $S_D=4\pi$，所以

$$36\pi\le I\le100\pi .$$

（学完第 13 讲（三）（四）的极坐标和对称性后可以算出 $I=56\pi$，确实落在这个范围内。）

例 4（中值定理与平均值） 求 $f(x,y)=\sin^2x\sin^2y$ 在正方形 $D=[0,\pi]\times[0,\pi]$ 上的平均值。

解：由中值定理，平均值 $=\dfrac{1}{S_D}\displaystyle\iint_Df\,d\sigma$。矩形区域、被积函数可分离（第三节会细讲）：

$$\iint_D\sin^2x\sin^2y\,d\sigma=\int_0^\pi\sin^2x\,dx\cdot\int_0^\pi\sin^2y\,dy=\frac\pi2\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}{4}.$$

（$\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac\pi2$，见第 10 讲。）$S_D=\pi^2$，所以平均值为 $\dfrac{\pi^2/4}{\pi^2}=\dfrac14$。

同时也能顺手做个估值：$0\le f\le1$，所以 $0\le\iint_Df\,d\sigma\le\pi^2$，真实值 $\frac{\pi^2}{4}$ 确实在范围内。

2.5 易错点 ⚠️#

• 估值时要找整个区域上的最大最小值，边界上也要考虑。
• 比较大小时，若两个被积函数在区域里"有的地方你大、有的地方我大"，就不能直接用比较性质，要另想办法（比如算出来，或拆区域）。

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三、直角坐标下计算：化为累次积分#

3.1 大白话#

体积还可以这样算：一片一片地切。

想象一个面包放在桌上，你用刀垂直于 $x$ 轴一片片切下去。每片的截面面积 $A(x)$ 可以用定积分算出来（对 $y$ 积分）；再把所有片的面积"沿 $x$ 方向积起来"（对 $x$ 积分），就是体积。这就是"先对 $y$ 积分、再对 $x$ 积分"——累次积分（也叫二次积分）。

把这句话写成式子更清楚：在位置 $x$ 处切下的那一片，是一个"曲边梯形"，底边从 $y=\varphi_1(x)$ 到 $y=\varphi_2(x)$，顶边是曲线 $z=f(x,y)$（此时 $x$ 固定），所以它的面积是

$$A(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy .$$

而第 11 讲学过"已知截面面积求体积"：$V=\int_a^bA(x)\,dx$。两式合起来，就得到下面的累次积分公式。所以累次积分不是新发明，只是"截面面积 + 体积公式"的组合。

3.2 X 型与 Y 型区域#

X 型区域（竖着穿线）：

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$$

特点：用竖直线从下往上穿过区域，穿入点总在同一条曲线 $y=\varphi_1(x)$ 上，穿出点总在 $y=\varphi_2(x)$ 上。此时

图 1：X 型区域（例 6 的 D）：竖线从左扫到右，下端总在 y = x² 上进入、上端总在 y = x 上穿出（动画循环播放）

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy .$$

Y 型区域（横着穿线）：

$$D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\}$$

用水平线从左往右穿，穿入在 $x=\psi_1(y)$、穿出在 $x=\psi_2(y)$。此时

图 2：Y 型区域（例 8 的 D）：横线从下扫到上，左端总在 x = y² 上进入、右端总在 x = y + 2 上穿出（动画循环播放）

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx .$$

特例：矩形区域。 若 $D=[a,b]\times[c,d]$ 是矩形，内外层限全是常数，先积哪个都行；如果被积函数还能拆成 $g(x)h(y)$ 的乘积，那么

$$\iint_D g(x)h(y)\,d\sigma=\int_a^bg(x)\,dx\cdot\int_c^dh(y)\,dy ,$$

两个定积分各算各的，再相乘。

3.3 逐行拆解#

• $\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f\,dy$ 的读法："先算里面的 $\int f\,dy$（把 $x$ 当常数），得到一个 $x$ 的函数，再对 $x$ 从 $a$ 积到 $b$"。
• 定限口诀："后积先定限，限内画条线，先交下限写，后交上限见"。
  • 后积分的变量（外层）上下限是常数：区域在这个方向上的最小值、最大值；
  • 先积分的变量（内层）上下限一般是外层变量的函数：画一条穿线，先碰到的边界是下限，后碰到的是上限。
• 外层限必须是常数，内层限可以含外层变量——这一点永远不能反。

3.4 例题#

例 5（矩形区域） 计算 $\displaystyle\iint_Dxy^2\,d\sigma$，$D=[0,1]\times[0,2]$。

解：矩形区域且被积函数可分离：

$$\iint_Dxy^2\,d\sigma=\int_0^1x\,dx\cdot\int_0^2y^2\,dy=\frac12\cdot\frac83=\frac43 .$$

也可以老老实实算：$\displaystyle\int_0^1dx\int_0^2xy^2dy=\int_0^1x\cdot\frac83dx=\frac43$，结果一样。

例 6（X 型） 计算 $\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成。

解： ① 画图找交点：$x=x^2\Rightarrow x=0$ 或 $1$，交点 $(0,0)$、$(1,1)$。在 $0<x<1$ 时 $x^2<x$，所以抛物线在下、直线在上。

② 定限（X 型）：$0\le x\le1$；竖线从下往上，先碰 $y=x^2$，后碰 $y=x$。

③ 计算：

$$\int_0^1dx\int_{x^2}^{x}xy\,dy=\int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{x}dx=\frac12\int_0^1x(x^2-x^4)\,dx .$$ $$=\frac12\left(\frac14-\frac16\right)=\frac12\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}.$$

例 7（用二重积分求面积） 求抛物线 $y=x^2$ 与 $y=2-x^2$ 围成的区域面积。

解：面积 $=\iint_D1\,d\sigma$。 ① 交点：$x^2=2-x^2\Rightarrow x=\pm1$。在 $-1<x<1$ 时 $x^2<2-x^2$，下边界 $y=x^2$，上边界 $y=2-x^2$。 ② X 型：

$$S=\int_{-1}^1dx\int_{x^2}^{2-x^2}1\,dy=\int_{-1}^1(2-2x^2)\,dx=4-\frac43=\frac83 .$$

你会发现内层积完后正是第 11 讲"上曲线减下曲线"的面积公式——二重积分把它统一起来了。

例 8（Y 型更方便） 计算 $\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由抛物线 $y^2=x$ 和直线 $y=x-2$ 围成。

解： ① 交点：把 $x=y^2$ 代入 $y=x-2$：$y^2-y-2=0$，$y=-1$ 或 $2$，交点 $(1,-1)$、$(4,2)$。

② 选型：如果按 X 型竖着穿线，左半部分（$0\le x\le1$）下边界是 $y=-\sqrt x$，右半部分（$1\le x\le4$）下边界变成直线——下边界"换了人"，要拆成两块，很麻烦。 按 Y 型横着穿线：左边界始终是抛物线 $x=y^2$，右边界始终是直线 $x=y+2$。一块搞定！

③ 定限（Y 型）：$-1\le y\le2$，$y^2\le x\le y+2$。

④ 计算：

$$\int_{-1}^{2}dy\int_{y^2}^{y+2}xy\,dx=\int_{-1}^{2}y\left[\frac{x^2}{2}\right]_{y^2}^{y+2}dy=\frac12\int_{-1}^{2}\left(y^3+4y^2+4y-y^5\right)dy .$$

原函数 $\dfrac{y^4}{4}+\dfrac{4y^3}{3}+2y^2-\dfrac{y^6}{6}$：在 $y=2$ 处为 $4+\dfrac{32}{3}+8-\dfrac{32}{3}=12$；在 $y=-1$ 处为 $\dfrac14-\dfrac43+2-\dfrac16=\dfrac34$。

$$\text{原式}=\frac12\left(12-\frac34\right)=\frac{45}{8}.$$

3.5 易错点 ⚠️#

• 一定先画图。不画图定限，十有八九出错。
• 典型错误示范（以例 6 为例）：有同学写成 $\int_0^1dx\int_x^{x^2}xy\,dy$——上下限颠倒了。在 $0<x<1$ 时 $x^2<x$，抛物线在直线下方，竖线先碰到的是 $y=x^2$，它才是下限。上下限颠倒会让结果差一个负号，判断方法很简单：在区间里随便取一个 $x$（比如 $x=\frac12$），算一下两个边界谁大。
• 另一个常见错误：外层写成含变量的限，比如 $\int_{x^2}^{x}dy\int_0^1\cdots dx$——外层必须是常数，这样写是没有意义的。
• 选型原则：哪种穿线方式下"进出边界不换人"，就选哪种；同时看被积函数对哪个变量好积。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
定义	$\iint_Df\,d\sigma=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$
几何意义	$f\ge0$ 时为曲顶柱体体积；$\iint_D1\,d\sigma=S_D$
比较	$D$ 上 $f\le g$ ⇒ $\iint_Df\le\iint_Dg$（看核心量与 0、1 的大小）
估值	$mS_D\le\iint_Df\,d\sigma\le MS_D$
中值定理	$\iint_Df\,d\sigma=f(\xi,\eta)S_D$，平均值 $=\frac{1}{S_D}\iint_Df\,d\sigma$
X 型	$\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f\,dy$（竖线穿：先下后上）
Y 型	$\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f\,dx$（横线穿：先左后右）
矩形 + 可分离	$\iint_{[a,b]\times[c,d]}g(x)h(y)\,d\sigma=\int_a^bg\,dx\cdot\int_c^dh\,dy$
定限口诀	后积先定限（常数），限内画条线，先交下限、后交上限

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自测练习#

1. 计算 $\displaystyle\iint_D(x+y)\,d\sigma$，$D:\ 0\le x\le1,\ 0\le y\le2$。

答案与提示

$\displaystyle\int_0^1dx\int_0^2(x+y)\,dy=\int_0^1\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_0^2dx=\int_0^1(2x+2)\,dx=1+2=3$。

2. 计算 $\displaystyle\iint_Dx^2y\,d\sigma$，$D$ 由 $y=x^2$ 与 $y=1$ 围成。

答案与提示

交点 $x=\pm1$，X 型：$-1\le x\le1$，$x^2\le y\le1$。

$\displaystyle\int_{-1}^1x^2\cdot\frac{1-x^4}{2}dx=\frac12\left(\frac23-\frac27\right)=\frac12\cdot\frac{8}{21}=\frac{4}{21}$。

3. 计算 $\displaystyle\iint_Dxy\,d\sigma$，$D$ 由 $x$ 轴、$y$ 轴和直线 $x+y=1$ 围成。

答案与提示

X 型：$0\le x\le1$，$0\le y\le1-x$。

$\displaystyle\int_0^1x\cdot\frac{(1-x)^2}{2}dx=\frac12\int_0^1(x-2x^2+x^3)dx=\frac12\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)=\frac12\cdot\frac1{12}=\frac{1}{24}$。

4. 计算 $\displaystyle\iint_Dx\,d\sigma$，$D$ 由直线 $y=x$、$y=2x$ 和 $x=1$ 围成。

答案与提示

在 $0<x<1$ 时 $x<2x$。X 型：$0\le x\le1$，$x\le y\le2x$。

$\displaystyle\int_0^1x\cdot(2x-x)\,dx=\int_0^1x^2dx=\frac13$。

5. 设 $D$ 由 $x$ 轴、$y$ 轴与直线 $x+y=1$ 围成，$I_1=\displaystyle\iint_D(x+y)^2d\sigma$，$I_2=\displaystyle\iint_D(x+y)^3d\sigma$，比较 $I_1,I_2$ 的大小。

答案与提示

在 $D$ 上 $0\le x+y\le1$，所以 $(x+y)^3\le(x+y)^2$（且只在边界上相等），故 $I_2<I_1$。 （若把区域换成 $x+y\ge1$ 的部分，结论就反过来。关键是看 $x+y$ 与 1 的大小。）

6. 估计 $I=\displaystyle\iint_D(x+y+1)\,d\sigma$ 的范围，$D=[0,1]\times[0,2]$，再算出它的准确值。

答案与提示

在 $D$ 上 $1\le x+y+1\le4$，面积 $S_D=2$，所以 $2\le I\le8$。 准确值：$\displaystyle\int_0^1dx\int_0^2(x+y+1)\,dy=\int_0^1(2x+2+2)\,dx=1+4=5$，确实在范围内。

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下一讲预告#

第 13 讲（二）专攻"交换积分次序"：遇到积不出来的累次积分怎么办，以及同一块区域 X 型、Y 型两种写法的专项训练。