考研数学二·零基础讲义 第12讲（四）｜多元函数微分学：极值、条件极值与最值

考研数学二·零基础讲义 · 第 12 讲（四）｜多元函数微分学：极值、条件极值与最值

学完本篇，你能按标准流程求二元函数的无条件极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求闭区域上的最大值与最小值，并能解决简单的应用题。预计用时：3 小时。

本讲地图#

• 无条件极值：驻点 + $AC-B^2$ 判别——大纲要求"掌握必要条件、了解充分条件、会求二元函数的极值"。
• 条件极值：拉格朗日乘数法——大纲要求"会用"，应用题常客。
• 闭区域最值：内部驻点 + 边界，比大小——大纲要求"会求简单多元函数的最大值和最小值"。
• 题型决策表：拿到题先判断用哪种方法。

前置知识#

• 第 12 讲（一）（二）：偏导数、二阶偏导数。
• 一元函数的极值、最值：驻点、二阶导判别、闭区间最值（见第 08 讲）。
• 会解简单的二元方程组（代入消元）（见第 01 讲）。

一句话心态：极值题靠流程不靠灵感。每道例题都请先盖住答案，自己按流程走一遍。

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一、无条件极值#

1.1 大白话#

把曲面想成一片山地。极大值是"山顶"——周围一小圈都比它低；极小值是"谷底"。 在光滑的山顶上，不管往东西走还是南北走，都是"平的"，所以两个偏导数都等于 0。这样的点叫驻点。

但"四面都平"不一定是山顶：马鞍点（鞍点）——沿一个方向是最高点，沿另一个方向却是最低点，就像马鞍的中心。所以还需要一个判别法。

图 1：等高线：z = x² + y² 一圈圈套住原点（极小值点）；z = x² − y² 在原点处东西向上、南北向下（鞍点，不是极值）

1.2 定理#

必要条件：若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处偏导存在且取极值，则

$$f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0 .$$

充分条件：设 $(x_0,y_0)$ 是驻点，记

$$A=f_{xx}(x_0,y_0),\quad B=f_{xy}(x_0,y_0),\quad C=f_{yy}(x_0,y_0),$$

则

• $AC-B^2>0$：有极值；且 $A>0$ 为极小值，$A<0$ 为极大值；
• $AC-B^2<0$：不是极值（鞍点）；
• $AC-B^2=0$：判别法失效，需另想办法（考研里较少见）。

1.3 逐行拆解#

• 记忆：$AC-B^2$ 像"对角线乘积减去另一条对角线的平方"——其实就是二阶偏导矩阵 $\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}$ 的行列式（第 15 讲会学行列式）。
• "$A>0$ 极小"和一元"$f''>0$ 极小"一样：开口向上，是谷底。
• 完整流程：① 解方程组 $f_x=0,\ f_y=0$ 求出所有驻点；② 求二阶偏导；③ 对每个驻点算 $A,B,C$ 并判别；④ 算出极值。
• 偏导不存在的点也可能是极值点（如 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点取极小值），但考研解答题主要考驻点。

1.4 例题#

例 1 求 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 的极值。

解： ① 解驻点：

$$\begin{cases} f_x=3x^2-3y=0\\ f_y=3y^2-3x=0\end{cases}$$

由第一式 $y=x^2$，代入第二式 $x^4=x$，即 $x(x^3-1)=0$，得 $x=0$ 或 $x=1$。驻点：$(0,0)$、$(1,1)$。

② 二阶偏导：$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=-3$，$f_{yy}=6y$。

③ 判别：

• 在 $(0,0)$：$A=0,B=-3,C=0$，$AC-B^2=-9<0$，不是极值点。
• 在 $(1,1)$：$A=6,B=-3,C=6$，$AC-B^2=36-9=27>0$，且 $A>0$，极小值点。

④ 极小值 $f(1,1)=1+1-3=-1$。

例 2 求 $f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$ 的极值。

解： ① 驻点：$f_x=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)=0\Rightarrow x=1$ 或 $-3$； $f_y=-3y^2+6y=-3y(y-2)=0\Rightarrow y=0$ 或 $2$。 两两组合，共 4 个驻点：$(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)$。

② $f_{xx}=6x+6$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=-6y+6$。

③ 列表判别：

驻点	$A$	$B$	$C$	$AC-B^2$	结论
$(1,0)$	12	0	6	72 > 0	$A>0$，极小值
$(1,2)$	12	0	−6	−72 < 0	非极值
$(-3,0)$	−12	0	6	−72 < 0	非极值
$(-3,2)$	−12	0	−6	72 > 0	$A<0$，极大值

④ 极小值 $f(1,0)=1+3-9=-5$；极大值 $f(-3,2)=-27-8+27+12+27=31$。

例 3 求 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极值。

解： ① 驻点。对 $x$ 求偏导用乘积法则（$e^{2x}$ 求导得 $2e^{2x}$）：

$$f_x=2e^{2x}(x+y^2+2y)+e^{2x}\cdot1=e^{2x}(2x+2y^2+4y+1),$$ $$f_y=e^{2x}(2y+2).$$

因为 $e^{2x}>0$，令 $f_y=0$ 得 $y=-1$；代入 $f_x=0$：$2x+2-4+1=0$，得 $x=\dfrac12$。驻点 $\left(\dfrac12,-1\right)$。

② 二阶偏导：

$$f_{xx}=e^{2x}(4x+4y^2+8y+4),\quad f_{xy}=e^{2x}(4y+4),\quad f_{yy}=2e^{2x}.$$

③ 代入 $\left(\dfrac12,-1\right)$，此时 $e^{2x}=e$：

• $A=e(2+4-8+4)=2e$；
• $B=e(-4+4)=0$；
• $C=2e$。

$AC-B^2=4e^2>0$，$A>0$，极小值。

④ 极小值 $f\left(\dfrac12,-1\right)=e\left(\dfrac12+1-2\right)=-\dfrac e2$。

补充：$AC-B^2=0$ 时怎么办？ 判别法失效，只能回到定义看周围的函数值。比如 $f=x^4+y^4$ 与 $g=x^3+y^4$ 在原点处 $A=B=C=0$：

• $f=x^4+y^4\ge0=f(0,0)$，所以原点是极小值点；
• $g$ 沿 $y=0$ 是 $x^3$，在原点两侧一正一负，所以原点不是极值点。

可见 $AC-B^2=0$ 时什么都可能发生，考研中遇到时通常要用这种"看符号"的办法。

1.5 易错点 ⚠️#

• 驻点要找全：两个方程各有多个根时，要两两组合。
• $AC-B^2>0$ 之后要看 $A$ 的正负，别漏。
• "极值"不等于"最值"，极值是局部概念。

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二、条件极值：拉格朗日乘数法#

2.1 大白话#

无条件极值是"整片山地里找山顶"。条件极值是"只能沿着一条小路走，问路上哪里最高"。比如：周长固定的长方形面积最大是多少？用料固定的盒子容积最大是多少？——自变量之间多了一个约束条件。

拉格朗日的妙招：把约束"揉"进函数里，造一个新函数，然后像无条件极值那样求驻点。

图 2：例 5 的几何意义：等值线 x + y = c 平移扫过单位圆，相切时取最大值 √2、最小值 −√2（动画循环播放）

2.2 方法#

求 $z=f(x,y)$ 在约束 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值：

1. 构造拉格朗日函数

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\,\varphi(x,y);$$

2. 解方程组

$$\begin{cases}L_x=f_x+\lambda\varphi_x=0\\ L_y=f_y+\lambda\varphi_y=0\\ L_\lambda=\varphi(x,y)=0\end{cases}$$

3. 得到的 $(x,y)$ 是可能的极值点；实际应用题中，若可能点唯一而最值一定存在，它就是所求；若有多个，就把函数值都算出来比较大小。

三元函数、一个约束时同理：$L=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)$，解四个方程。

2.3 逐行拆解#

• $\lambda$ 读作"兰姆达"，叫拉格朗日乘数，只是个辅助未知数，最后不用求它的意义，求不求出它都行。
• 第三个方程 $L_\lambda=0$ 其实就是约束条件本身——约束一定要用上。
• 解方程组的常用技巧：前两个方程都解出 $\lambda$，令它们相等，消去 $\lambda$；或者两式相除。

为什么这样做是对的（直观理解，不要求证明）：想象你沿着约束曲线 $\varphi(x,y)=0$ 散步，同时看着 $f$ 的"等高线"。在最高（或最低）点，你的散步路线恰好和某条等高线相切——如果不相切，你继续往前走就能走到更高（更低）的等高线上去。"相切"意味着两条曲线的法向量平行，即 $(f_x,f_y)$ 与 $(\varphi_x,\varphi_y)$ 成比例，写出来就是 $f_x+\lambda\varphi_x=0,\ f_y+\lambda\varphi_y=0$，这正是拉格朗日方程组的前两个式子。

2.4 例题#

例 4 求 $f(x,y)=xy$ 在圆周 $x^2+y^2=2$ 上的最大值和最小值。

解：令 $L=xy+\lambda(x^2+y^2-2)$。

$$\begin{cases}L_x=y+2\lambda x=0\\ L_y=x+2\lambda y=0\\ x^2+y^2=2\end{cases}$$

由前两式：$y=-2\lambda x$，$x=-2\lambda y$。两式相乘得 $xy=4\lambda^2xy$。

• 若 $xy=0$：由前两式可推出 $x=y=0$，与约束 $x^2+y^2=2$ 矛盾，舍去。
• 所以 $4\lambda^2=1$，$\lambda=\pm\dfrac12$。
  • $\lambda=-\dfrac12$：$y=x$，代入约束得 $x=\pm1$，点 $(1,1)$、$(-1,-1)$，$f=1$；
  • $\lambda=\dfrac12$：$y=-x$，点 $(1,-1)$、$(-1,1)$，$f=-1$。

圆周是有界闭集，$f$ 连续，最值一定存在，比较得：最大值 $1$，最小值 $-1$。

例 5 求 $f(x,y)=x+y$ 在单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的最大值和最小值。

解：$L=x+y+\lambda(x^2+y^2-1)$：

$$\begin{cases}1+2\lambda x=0\\ 1+2\lambda y=0\\ x^2+y^2=1\end{cases}$$

由前两式 $x=y=-\dfrac{1}{2\lambda}$。代入约束：$2x^2=1$，$x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$。

• 点 $\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$：$f=\sqrt2$；
• 点 $\left(-\dfrac{\sqrt2}{2},-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$：$f=-\sqrt2$。

最大值 $\sqrt2$，最小值 $-\sqrt2$。（几何直觉：直线 $x+y=c$ 与单位圆相切时 $c$ 取到最大、最小。）

例 6（应用题） 表面积为 $6$ 的有盖长方体盒子，长、宽、高各为多少时容积最大？

解：设长、宽、高为 $x,y,z>0$，容积 $V=xyz$，约束 $2(xy+yz+zx)=6$，即 $xy+yz+zx=3$。

令 $L=xyz+\lambda(xy+yz+zx-3)$：

$$\begin{cases}yz+\lambda(y+z)=0\\ xz+\lambda(x+z)=0\\ xy+\lambda(x+y)=0\\ xy+yz+zx=3\end{cases}$$

第一式乘 $x$、第二式乘 $y$：$xyz=-\lambda x(y+z)$，$xyz=-\lambda y(x+z)$，相减得 $\lambda z(x-y)=0$。因为 $z>0$，$\lambda\neq0$（若 $\lambda=0$ 则 $yz=0$，矛盾），所以 $x=y$。同理 $y=z$。代入约束 $3x^2=3$，$x=1$。

唯一可能点 $(1,1,1)$，实际问题最大值存在，所以长宽高都为 1（正方体）时容积最大，最大容积为 1。

例 7（三元，一个约束） 求 $u=x^2+y^2+z^2$ 在平面 $x+y+z=3$ 上的最小值。

解：$L=x^2+y^2+z^2+\lambda(x+y+z-3)$：

$$\begin{cases}2x+\lambda=0\\ 2y+\lambda=0\\ 2z+\lambda=0\\ x+y+z=3\end{cases}$$

前三式给出 $x=y=z=-\dfrac{\lambda}{2}$；代入约束 $3x=3$，$x=y=z=1$。最小值 $u=3$。 （几何意义：原点到平面 $x+y+z=3$ 的距离是 $\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$，平方正好是 3。这个问题只有最小值没有最大值，因为平面上的点可以离原点任意远。）

2.5 易错点 ⚠️#

• 解方程组时别随便约分：约掉 $x$ 之前要讨论 $x=0$ 的情况（例 4 就讨论了 $xy=0$）。
• 约束条件是"等式"才用拉格朗日；"不等式区域"那是下一节的闭区域最值。

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三、闭区域上的最值#

3.1 大白话#

在一块有界闭区域（比如一个圆盘，含边界）上找最高点、最低点。最值只可能藏在两类地方：区域内部的驻点，或者边界上。所以把两处的"候选人"都找出来，比一比就行——和一元"闭区间上求最值：比较驻点和端点"一模一样。

3.2 方法（三步）#

1. 内部：求区域内部的驻点（解 $f_x=f_y=0$，只保留在区域内部的），算函数值；
2. 边界：把边界方程代入 $f$，化成一元函数求最值（或用拉格朗日乘数法）；
3. 比较：所有候选值中最大的是最大值，最小的是最小值。

注意：这里不需要用 $AC-B^2$ 判别，直接比较函数值即可。

3.3 例题#

例 8 求 $f(x,y)=x^2+2y^2-2x$ 在闭圆盘 $D:\ x^2+y^2\le4$ 上的最大值和最小值。

解：

① 内部：$f_x=2x-2=0$，$f_y=4y=0$，得 $(1,0)$，在 $D$ 内部（$1<4$）。$f(1,0)=1-2=-1$。

② 边界 $x^2+y^2=4$：用 $y^2=4-x^2$ 代入，且 $x\in[-2,2]$：

$$g(x)=x^2+2(4-x^2)-2x=-x^2-2x+8,\quad x\in[-2,2].$$

$g'(x)=-2x-2=0\Rightarrow x=-1$，此时 $y=\pm\sqrt3$，$g(-1)=-1+2+8=9$。 端点：$g(2)=-4-4+8=0$（点 $(2,0)$）；$g(-2)=-4+4+8=8$（点 $(-2,0)$）。

③ 比较：候选值 $-1,\ 9,\ 0,\ 8$。

最大值 $9$（在 $(-1,\pm\sqrt3)$ 处），最小值 $-1$（在 $(1,0)$ 处）。

例 9（边界由几段组成） 求 $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ 在正方形 $D:\ |x|\le1,\ |y|\le1$ 上的最大值和最小值。

解： ① 内部：$f_x=2x-y=0$，$f_y=-x+2y=0$，解得 $(0,0)$，$f(0,0)=0$。

② 边界有四条边，逐条化为一元函数：

• 右边 $x=1,\ y\in[-1,1]$：$g_1(y)=1-y+y^2$。$g_1'=-1+2y=0\Rightarrow y=\dfrac12$，$g_1\left(\dfrac12\right)=\dfrac34$；端点 $g_1(-1)=3$，$g_1(1)=1$。
• 左边 $x=-1$：$g_2(y)=1+y+y^2$。驻点 $y=-\dfrac12$，值 $\dfrac34$；端点 $g_2(1)=3$，$g_2(-1)=1$。
• 上边 $y=1$、下边 $y=-1$：由于 $f$ 中 $x,y$ 地位对称（交换 $x,y$ 函数不变），结果和左右两边一样：最小 $\dfrac34$，端点值 $1$ 或 $3$。

③ 比较：候选值 $0,\ \dfrac34,\ 1,\ 3$。

最大值 $3$（在 $(1,-1)$、$(-1,1)$ 两个角点），最小值 $0$（在原点）。

区域边界由几段组成时，每一段都要单独处理，各段的端点（也就是角点）也是候选点。

3.4 易错点 ⚠️#

• 边界化成一元函数后，区间端点也要算（例 8 中的 $x=\pm2$）。
• 内部驻点要检查是否真在区域内部，在外面的要扔掉。

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极值、最值题型决策表#

拿到一道"求极值/最值"的题，先问自己三个问题：

先问	如果是	用什么方法
有没有约束条件？	没有，在整个平面（或开区域）上求极值	驻点 + $AC-B^2$（第一节）
约束是等式吗？	是，如 $x^2+y^2=1$、表面积为定值	拉格朗日乘数法（第二节），或把约束代入化成一元
区域是带边界的闭区域吗？	是，如 $x^2+y^2\le4$、正方形、三角形	内部驻点 + 边界最值，比大小（第三节）

再提醒两件事：

• 极值是局部的，最值是全局的。一个函数可以有极小值却没有最小值（比如在整个平面上的 $x^3+y^3-3xy$，极小值 $-1$，但它可以任意小）。
• 应用题里，若根据实际意义最值一定存在，而拉格朗日法只求出唯一的可能点，那这个点就是最值点，不必再验证。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
极值必要条件	$f_x=0,\ f_y=0$（驻点）
极值充分条件	$A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$；$AC-B^2>0$ 有极值（$A>0$ 小、$A<0$ 大），$<0$ 无，$=0$ 待定
条件极值	$L=f+\lambda\varphi$，解 $L_x=L_y=L_\lambda=0$；三元同理多一个方程
闭区域最值	内部驻点 + 边界最值（含边界端点、角点），比大小，不用判别式
应用题	实际最值存在 + 可能点唯一 ⇒ 就是最值点

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自测练习#

1. 求 $f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-6y$ 的极值。

答案与提示

$f_x=2x+y-3=0$，$f_y=x+2y-6=0$，解得驻点 $(0,3)$。 $A=2,B=1,C=2$，$AC-B^2=3>0$ 且 $A>0$，为极小值点。极小值 $f(0,3)=9-18=-9$。

2. 求 $f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$ 的极值（$y>0$）。

答案与提示

$f_x=2x(2+y^2)=0\Rightarrow x=0$；$f_y=2x^2y+\ln y+1=0$，代入 $x=0$ 得 $\ln y=-1$，$y=\dfrac1e$。驻点 $\left(0,\dfrac1e\right)$。 $f_{xx}=2(2+y^2)$，$f_{xy}=4xy$，$f_{yy}=2x^2+\dfrac1y$。在驻点处 $A=2\left(2+\dfrac{1}{e^2}\right)>0$，$B=0$，$C=e$，$AC-B^2>0$，极小值 $f\left(0,\dfrac1e\right)=-\dfrac1e$。

3. 用拉格朗日乘数法求 $x^2+y^2$ 在直线 $x+2y=5$ 上的最小值。

答案与提示

$L=x^2+y^2+\lambda(x+2y-5)$：$2x+\lambda=0$，$2y+2\lambda=0$，得 $y=2x$；代入约束 $5x=5$，$x=1,y=2$。最小值 $5$。 （检验：原点到直线距离 $\sqrt5$，平方为 5。）

4. 已知 $x+y=3$，$x>0,y>0$，求 $xy^2$ 的最大值。

答案与提示

$L=xy^2+\lambda(x+y-3)$：$y^2+\lambda=0$，$2xy+\lambda=0$，得 $y^2=2xy$，$y=2x$（$y>0$）。代入约束 $3x=3$，$x=1,y=2$。最大值 $1\cdot4=4$。 （也可以把 $x=3-y$ 代入化成一元函数 $g(y)=(3-y)y^2$ 求最大值，结果相同。）

5. 求 $f(x,y)=x^2+y^2-2x$ 在闭圆盘 $x^2+y^2\le4$ 上的最大值和最小值。

答案与提示

内部驻点 $(1,0)$，$f=-1$。边界上 $g(x)=4-2x$，$x\in[-2,2]$，最大 $g(-2)=8$，最小 $g(2)=0$。 最大值 $8$（在 $(-2,0)$），最小值 $-1$（在 $(1,0)$）。

6. 判断：若 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 的驻点且 $AC-B^2=0$，能否断定它不是极值点？

答案与提示

不能。$AC-B^2=0$ 时判别法失效。例如 $x^4+y^4$ 在原点是极小值点，而 $x^3+y^4$ 在原点不是极值点，两者在原点都有 $A=B=C=0$。

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下一讲预告#

第 13 讲进入二重积分：把定积分"求面积"的思想升级成"求曲顶柱体体积"，分四篇讲概念与直角坐标、交换积分次序、极坐标、对称性。