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第 089 篇

考研数学二·零基础讲义 第12讲（三）｜多元函数微分学：复合函数与隐函数求导

约 12 分钟 3752 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 第 12 讲（三）｜多元函数微分学：复合函数与隐函数求导

学完本篇，你能用"树形图"求多元复合函数的一阶、二阶偏导（包括抽象函数），会用公式法求隐函数的一阶、二阶偏导。预计用时：3 小时。

本讲地图

  • 多元复合函数求导（链式法则）：画树形图，"同路相乘、异路相加"——大纲要求"会求多元复合函数一阶、二阶偏导数"，几乎每年都以某种形式出现，是第 12 讲计算的核心。
  • 全导数、"自变量兼中间变量"、一元外层函数：三种常见结构。
  • 隐函数求偏导：公式法 −Fx/Fz-F_x/F_z，以及隐函数的二阶偏导——大纲要求"了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数"。

前置知识

  • 第 12 讲（一）（二）：偏导数、二阶偏导、混合偏导相等的条件。
  • 一元复合函数求导、隐函数求导（见第 06 讲）。

一句话心态：链式法则靠画图不靠背。每道题先把树画出来，再数路径，绝不心算。

一、多元复合函数求导：画树形图

1.1 大白话

一元复合函数求导是"链条"：y=f(u), u=g(x)y=f(u),\ u=g(x)，则 dydx=dydu⋅dudx\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}——一环扣一环乘下去。

多元的时候，从 zz 到 xx 可能有好几条路。就像从家到学校有好几条路线，总"影响"等于每条路线的影响加起来。

规则只有一句：同一条路上的导数相乘，不同路之间相加。

为什么一元的链式法则不够用？ 一元时，y=f(u)y=f(u)、u=g(x)u=g(x)，xx 只能通过 uu 这一条"管道"影响 yy。多元时，z=f(u,v)z=f(u,v) 里的 uu、vv 可能都依赖 xx，于是 xx 一变，uu 跟着变、vv 也跟着变，两股变化一起传到 zz。打个比方：你调高了室温（xx），空调耗电（uu）会变，冰箱耗电（vv）也会变，电费（zz）的变化就是两部分之和——这就是"异路相加"。而每一条路上，"室温影响空调耗电的速度"乘以"空调耗电影响电费的速度"，就是这条路的贡献——这就是"同路相乘"。

1.2 公式

设 z=f(u,v)z=f(u,v)，u=u(x,y)u=u(x,y)，v=v(x,y)v=v(x,y)，则

∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x,\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}, ∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y.\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}.

1.3 逐行拆解：画树形图

先画图：

          z
        /   \
       u     v        ← 中间变量
      / \   / \
     x   y x   y      ← 自变量
树形图：从 z 到 x 有两条路，每条路上导数相乘，两条路相加 z u v x y x y ← 中间变量 ← 自变量 ∂z/∂x = ∂z/∂u·∂u/∂x + ∂z/∂v·∂v/∂x （同路相乘，异路相加）

图 1：树形图：从 z 到 x 的两条路（橙、蓝）依次高亮——同路相乘，异路相加（动画循环播放）

求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}：从 zz 出发找所有能走到 xx 的路——

  • 路 1：z→u→xz\to u\to x，贡献 ∂z∂u⋅∂u∂x\dfrac{\partial z}{\partial u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}；
  • 路 2：z→v→xz\to v\to x，贡献 ∂z∂v⋅∂v∂x\dfrac{\partial z}{\partial v}\cdot\dfrac{\partial v}{\partial x}；
  • 加起来。

抽象函数的记号：f1′f_1'（或 f1f_1）表示 ff 对第 1 个位置的变量求偏导，f2′f_2' 表示对第 2 个位置求偏导，f12′′f_{12}'' 表示先对第 1 个位置、再对第 2 个位置求偏导。用位置编号而不是变量名，是因为中间变量常常是一长串式子。

1.4 例题

例 1（具体函数） 设 z=eusin⁡vz=e^u\sin v，u=xyu=xy，v=x+yv=x+y，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}。

解：树形图同上。

  • ∂z∂u=eusin⁡v\dfrac{\partial z}{\partial u}=e^u\sin v，∂u∂x=y\dfrac{\partial u}{\partial x}=y；
  • ∂z∂v=eucos⁡v\dfrac{\partial z}{\partial v}=e^u\cos v，∂v∂x=1\dfrac{\partial v}{\partial x}=1。
∂z∂x=eusin⁡v⋅y+eucos⁡v⋅1=exy[ysin⁡(x+y)+cos⁡(x+y)].\frac{\partial z}{\partial x}=e^u\sin v\cdot y+e^u\cos v\cdot 1=e^{xy}\big[y\sin(x+y)+\cos(x+y)\big].

（最后一定要把 u,vu,v 换回 x,yx,y。）

例 2（全导数：终点只有一个变量） 设 z=u2vz=u^2v，u=cos⁡tu=\cos t，v=sin⁡tv=\sin t，求 dzdt\dfrac{dz}{dt}。

解：树形图：

        z
      /   \
     u     v
     |     |
     t     t

zz 最终只是 tt 一个变量的函数，所以写成一元导数 dzdt\dfrac{dz}{dt}（直的 dd），叫全导数。两条路：

dzdt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt=2uv⋅(−sin⁡t)+u2⋅cos⁡t.\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dt}=2uv\cdot(-\sin t)+u^2\cdot\cos t .

换回 tt：

dzdt=−2cos⁡tsin⁡2t+cos⁡3t.\frac{dz}{dt}=-2\cos t\sin^2t+\cos^3t .

（验算：直接代入 z=cos⁡2tsin⁡tz=\cos^2t\sin t 用一元求导，结果相同。）

例 3（自变量同时当中间变量） 设 z=f(x, xy)z=f(x,\ xy)，ff 具有二阶连续偏导数，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}、∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}。

解：第 1 个位置就是 xx 本身，第 2 个位置是 xyxy。树形图：

          z
        /   \
      ①x    ②xy
       |     / \
       x    x   y

求 zxz_x：走到 xx 有两条路——

  • 经过第 1 位置：f1′⋅∂x∂x=f1′⋅1f_1'\cdot\dfrac{\partial x}{\partial x}=f_1'\cdot1；
  • 经过第 2 位置：f2′⋅∂(xy)∂x=f2′⋅yf_2'\cdot\dfrac{\partial(xy)}{\partial x}=f_2'\cdot y。
∂z∂x=f1′+yf2′.\frac{\partial z}{\partial x}=f_1'+yf_2'.

再对 yy 求导：f1′f_1'、f2′f_2' 都还是 (x, xy)(x,\ xy) 的函数；第 1 位置 xx 对 yy 的导数是 00，第 2 位置 xyxy 对 yy 的导数是 xx。

  • (f1′)y=f11′′⋅0+f12′′⋅x=xf12′′(f_1')_y=f_{11}''\cdot0+f_{12}''\cdot x=xf_{12}''；
  • (yf2′)y=f2′+y⋅(f2′)y=f2′+y⋅xf22′′(yf_2')_y=f_2'+y\cdot(f_2')_y=f_2'+y\cdot xf_{22}''。
∂2z∂x∂y=xf12′′+f2′+xyf22′′.\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=xf_{12}''+f_2'+xyf_{22}''.

记号提醒：这里不要写 ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x} 来表示 f1′f_1'。因为 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}（zz 对 xx 的"总"偏导，两条路都算）和"ff 对第 1 个位置的偏导"不是一回事，用 f1′f_1' 才不会混淆。

例 4（抽象函数，二阶） 设 z=f(x+y, xy)z=f(x+y,\ xy)，ff 具有二阶连续偏导数，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 和 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}。

解：记第 1 个位置 u=x+yu=x+y，第 2 个位置 v=xyv=xy。

第一步，求 zxz_x：uu 对 xx 求导得 11，vv 对 xx 求导得 yy。

∂z∂x=f1′⋅1+f2′⋅y=f1′+yf2′.\frac{\partial z}{\partial x}=f_1'\cdot 1+f_2'\cdot y=f_1'+yf_2'.

第二步，对 yy 再求导。关键认识：f1′f_1' 和 f2′f_2' 仍然是 (x+y, xy)(x+y,\ xy) 的函数，它们自己也有一棵同样的树！

  • (f1′)y=f11′′⋅∂u∂y+f12′′⋅∂v∂y=f11′′+xf12′′(f_1')_y = f_{11}''\cdot\dfrac{\partial u}{\partial y}+f_{12}''\cdot\dfrac{\partial v}{\partial y}=f_{11}''+xf_{12}''；
  • (yf2′)y(yf_2')_y 用乘积法则：=1⋅f2′+y⋅(f2′)y=f2′+y(f21′′+xf22′′)=1\cdot f_2' + y\cdot(f_2')_y = f_2'+y\big(f_{21}''+xf_{22}''\big)。

相加，并利用 f12′′=f21′′f_{12}''=f_{21}''（二阶偏导连续）：

∂2z∂x∂y=f11′′+(x+y)f12′′+xyf22′′+f2′.\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{11}''+(x+y)f_{12}''+xyf_{22}''+f_2'.

1.5 易错点 ⚠️

  • 树形图里每一条从 zz 到目标变量的路都不能漏，尤其是自变量直接连到 zz 的那条短路（例 3）。
  • 最常见错误：对 f1′f_1' 再求导时，忘了它还是复合函数，直接写成 00 或只写一项。
  • 乘积 yf2′yf_2' 求导时，yy 本身的导数那一项 f2′f_2' 很容易漏。
  • 结果别忘了合并 f12′′f_{12}'' 与 f21′′f_{21}''（前提：二阶偏导连续）。

1.6 三种常见结构一览

结构 树形图特点 结果
z=f(u,v)z=f(u,v)，u,vu,v 都是 x,yx,y 的函数 两个中间变量，各自分叉到 x,yx,y zx=fuux+fvvxz_x=f_uu_x+f_vv_x
z=f(u,v)z=f(u,v)，u,vu,v 都只是 tt 的函数 终点只有 tt 全导数 dzdt=fuu′+fvv′\dfrac{dz}{dt}=f_uu'+f_vv'
z=f(x,v)z=f(x,v)，v=v(x,y)v=v(x,y) xx 既是自变量又是中间变量 zx=f1′+f2′vxz_x=f_1'+f_2'v_x
z=f(u)z=f(u)，u=u(x,y)u=u(x,y)（一个中间变量） 只有一条路 zx=f′(u)uxz_x=f'(u)u_x（ff 是一元函数，用 f′f'）

最后一行常被忽略：比如 z=f(x2+y2)z=f(x^2+y^2)，ff 是一元函数，则 zx=2xf′(x2+y2)z_x=2xf'(x^2+y^2)，zy=2yf′(x2+y2)z_y=2yf'(x^2+y^2)，写 f′f' 不写 f1′f_1'。

二、隐函数求偏导（公式法）

2.1 大白话

有时候 zz 没有被写成"z=z= 某某"，而是藏在一个方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 里，比如 x2+y2+z2=4zx^2+y^2+z^2=4z。你很难（或不想）把 zz 解出来，但仍然想知道 zz 对 xx 的偏导——这就是隐函数求偏导。

2.2 公式

一个方程确定一元函数：F(x,y)=0F(x,y)=0 确定 y=y(x)y=y(x)，若 Fy≠0F_y\ne0，则

dydx=−FxFy.\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.

一个方程确定二元函数：F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)z=z(x,y)，若 Fz≠0F_z\ne0，则

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz.\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.

隐函数存在定理（大白话版）：方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 并不总能"解出" zz。比如球面 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1，给定 (x,y)(x,y) 往往对应上下两个 zz。定理说的是：在某一点附近，如果 Fz≠0F_z\ne0，那么在这一点附近，方程就能唯一地确定一个可导的函数 z=z(x,y)z=z(x,y)。直观理解：Fz≠0F_z\ne0 表示"zz 一变，FF 就跟着变"，所以 zz 被方程"拴住"了，不会出现一对多。大纲只要求"了解"这个定理，考试中只需记住公式成立的条件是 Fz≠0F_z\ne0（一元情形是 Fy≠0F_y\ne0）。

两种方法的对比：求隐函数偏导有两条路——

  • 公式法：先求 FxF_x、FzF_z（x,y,zx,y,z 平等，都当独立变量），再代 −FxFz-\dfrac{F_x}{F_z}；
  • 直接求导法：方程两边对 xx 求偏导，把 zz 看成 x,yx,y 的函数（遇到 zz 就乘 zxz_x），再解出 zxz_x。

两种方法结果一样。一阶偏导用公式法最快；求二阶偏导时，往往对一阶结果直接求导更方便（见例 8）。初学时最容易犯的错，就是把两种方法的规则混在一起：用公式法时却把 zz 当成 xx 的函数去求 FxF_x。

2.3 逐行拆解

  • 先把方程移项成 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 的形式，所有项都在左边。
  • 求 FxF_x 时，把 x,y,zx,y,z 看成三个平等的独立变量，yy、zz 都当常数（这点和"直接对方程两边求导"不同，后者要把 zz 当成 xx 的函数）。
  • 公式前面有负号，别丢。
  • 大纲说"了解隐函数存在定理"：条件 Fz≠0F_z\ne 0 就是那个定理的核心，保证 zz 能被"解出来"。

公式的来历（一句话）：对 F(x,y,z(x,y))=0F(x,y,z(x,y))=0 两边对 xx 求导，用链式法则得 Fx+Fz⋅zx=0F_x+F_z\cdot z_x=0，解出 zx=−Fx/Fzz_x=-F_x/F_z。

2.4 例题

例 5 设 x2+y2+z2−4z=0x^2+y^2+z^2-4z=0，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}、∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y}。

解：令 F=x2+y2+z2−4zF=x^2+y^2+z^2-4z。则 Fx=2xF_x=2x，Fy=2yF_y=2y，Fz=2z−4F_z=2z-4。

∂z∂x=−2x2z−4=x2−z,∂z∂y=−2y2z−4=y2−z.\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z-4}=\frac{x}{2-z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y}{2z-4}=\frac{y}{2-z}.

例 6 设 y=y(x)y=y(x) 由 sin⁡y+ex−xy2=0\sin y+e^x-xy^2=0 确定，求 dydx\dfrac{dy}{dx}。

解：F=sin⁡y+ex−xy2F=\sin y+e^x-xy^2，Fx=ex−y2F_x=e^x-y^2，Fy=cos⁡y−2xyF_y=\cos y-2xy。

dydx=−ex−y2cos⁡y−2xy=ex−y22xy−cos⁡y.\frac{dy}{dx}=-\frac{e^x-y^2}{\cos y-2xy}=\frac{e^x-y^2}{2xy-\cos y}.

例 7（求一点处的导数） 设 y=y(x)y=y(x) 由 ey+xy=ee^y+xy=e 确定，求 y′(0)y'(0)。

解： ① 先求 x=0x=0 时的 yy：代入方程 ey+0=ee^y+0=e，得 y(0)=1y(0)=1。 ② 公式法：F=ey+xy−eF=e^y+xy-e，Fx=yF_x=y，Fy=ey+xF_y=e^y+x，

y′=−yey+x.y'=-\frac{y}{e^y+x}.

③ 代入 x=0, y=1x=0,\ y=1：y′(0)=−1ey'(0)=-\dfrac{1}{e}。

求"某一点的导数"时，别忘了先由方程算出该点的 yy 值，这一步常被漏掉。

例 8（隐函数的二阶偏导） 接例 5，设 x2+y2+z2−4z=0x^2+y^2+z^2-4z=0，求 ∂2z∂x2\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}。

解：由例 5，zx=x2−zz_x=\dfrac{x}{2-z}。现在对 xx 再求一次偏导，这时 zz 是 xx 的函数（不能再当常数了），用商的法则：

zxx=1⋅(2−z)−x⋅(−zx)(2−z)2=(2−z)+x zx(2−z)2.z_{xx}=\frac{1\cdot(2-z)-x\cdot(-z_x)}{(2-z)^2}=\frac{(2-z)+x\,z_x}{(2-z)^2}.

把 zx=x2−zz_x=\dfrac{x}{2-z} 代回去：

zxx=(2−z)+x22−z(2−z)2=(2−z)2+x2(2−z)3.z_{xx}=\frac{(2-z)+\dfrac{x^2}{2-z}}{(2-z)^2}=\frac{(2-z)^2+x^2}{(2-z)^3}.

关键一步：对 x2−z\dfrac{x}{2-z} 求导时，分母里的 zz 求导要乘上 zxz_x，然后再把 zxz_x 的表达式代回去。

2.5 易错点 ⚠️

  • 用公式法求 FxF_x 时，zz 当常数；用"两边求导法"时，zz 是 xx 的函数。两种方法别混着用。
  • 求出的结果里可以含 zz，这是正常的。
  • 求二阶偏导时角色变了：对一阶结果再求导，zz 是 x,yx,y 的函数，要乘 zxz_x 或 zyz_y。

公式/结论速记卡

主题 核心结论
链式法则 画树形图：同路相乘，异路相加
全导数 z=f(u,v), u=u(t), v=v(t)z=f(u,v),\ u=u(t),\ v=v(t)：dzdt=fududt+fvdvdt\dfrac{dz}{dt}=f_u\dfrac{du}{dt}+f_v\dfrac{dv}{dt}
抽象函数记号 f1′f_1'、f2′f_2' 按位置求偏导；f1′,f2′f_1',f_2' 仍是原来那些中间变量的函数，再求导时还要走一遍树
一元外层 z=f(u)z=f(u)，u=u(x,y)u=u(x,y)：zx=f′(u)uxz_x=f'(u)u_x，写 f′f' 不写 f1′f_1'
二阶抽象 ff 二阶偏导连续 ⇒ f12′′=f21′′f_{12}''=f_{21}''，记得合并
隐函数（一元） F(x,y)=0F(x,y)=0：dydx=−FxFy\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}
隐函数（二元） F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0：∂z∂x=−FxFz\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}，∂z∂y=−FyFz\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z}（求 FxF_x 时 y,zy,z 当常数）
隐函数二阶 对一阶结果再求导，遇到 zz 就乘 zxz_x，再把 zxz_x 代回

自测练习

1. 设 z=u2ln⁡vz=u^2\ln v，u=xyu=\dfrac{x}{y}，v=3x−2yv=3x-2y，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}、∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y}。

答案与提示

zu=2uln⁡vz_u=2u\ln v，zv=u2vz_v=\dfrac{u^2}{v}；ux=1yu_x=\dfrac1y，uy=−xy2u_y=-\dfrac{x}{y^2}；vx=3v_x=3，vy=−2v_y=-2。

∂z∂x=2xy2ln⁡(3x−2y)+3x2y2(3x−2y),∂z∂y=−2x2y3ln⁡(3x−2y)−2x2y2(3x−2y).\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x}{y^2}\ln(3x-2y)+\frac{3x^2}{y^2(3x-2y)},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x^2}{y^3}\ln(3x-2y)-\frac{2x^2}{y^2(3x-2y)}.

2. 设 z=f(x2−y2, exy)z=f(x^2-y^2,\ e^{xy})，ff 有连续偏导数，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}、∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y}。

答案与提示 ∂z∂x=2xf1′+yexyf2′,∂z∂y=−2yf1′+xexyf2′.\frac{\partial z}{\partial x}=2xf_1'+ye^{xy}f_2',\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2yf_1'+xe^{xy}f_2'.

3. 设 z=f(xy, y)z=f(xy,\ y)，ff 具有二阶连续偏导数，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 和 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}。

答案与提示

zx=yf1′z_x=yf_1'。再对 yy 求导（乘积法则）：zxy=f1′+y (f1′)yz_{xy}=f_1'+y\,(f_1')_y，而 (f1′)y=xf11′′+f12′′(f_1')_y=xf_{11}''+f_{12}''。

∂2z∂x∂y=f1′+xyf11′′+yf12′′.\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_1'+xyf_{11}''+yf_{12}''.

4. 设 z=f(x2+y2)z=f(x^2+y^2)，ff 二阶可导，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 与 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}。

答案与提示

ff 是一元函数：zx=2xf′(x2+y2)z_x=2xf'(x^2+y^2)。再对 yy 求导：2x⋅f′′(x2+y2)⋅2y=4xyf′′(x2+y2)2x\cdot f''(x^2+y^2)\cdot2y=4xyf''(x^2+y^2)。

5. 设 z=z(x,y)z=z(x,y) 由 ez−xyz=0e^z-xyz=0 确定，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}。

答案与提示

F=ez−xyzF=e^z-xyz，Fx=−yzF_x=-yz，Fz=ez−xyF_z=e^z-xy，∂z∂x=yzez−xy\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{yz}{e^z-xy}。

6. 设 z=z(x,y)z=z(x,y) 由 x+y+z=ezx+y+z=e^z 确定，求 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 与 ∂2z∂x2\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}。

答案与提示

F=x+y+z−ezF=x+y+z-e^z，Fx=1F_x=1，Fz=1−ezF_z=1-e^z，所以 zx=1ez−1z_x=\dfrac{1}{e^z-1}。 再对 xx 求导：zxx=−ez⋅zx(ez−1)2=−ez(ez−1)3z_{xx}=-\dfrac{e^z\cdot z_x}{(e^z-1)^2}=-\dfrac{e^z}{(e^z-1)^3}。

7. 设 y=y(x)y=y(x) 由 x2+xy+y2=3x^2+xy+y^2=3 确定，求曲线在点 (1,1)(1,1) 处的切线斜率。

答案与提示

Fx=2x+yF_x=2x+y，Fy=x+2yF_y=x+2y，y′=−2x+yx+2yy'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}，在 (1,1)(1,1) 处 =−1=-1。

下一讲预告

第 12 讲（四）学多元函数的极值与最值：无条件极值、拉格朗日乘数法、闭区域最值，一套流程走到底。

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