考研数学二·零基础讲义 第12讲（二）｜多元函数微分学：高阶偏导数与全微分

考研数学二·零基础讲义 · 第 12 讲（二）｜多元函数微分学：高阶偏导数与全微分

学完本篇，你能求二阶偏导数、知道混合偏导什么时候相等，会求全微分、会用定义判断可微，并能说清"连续、偏导存在、可微、偏导连续"四者的关系。预计用时：2.5–3 小时。

本讲地图#

• 高阶偏导数：四个二阶偏导、混合偏导相等的条件——大纲要求"会求二阶偏导数"。
• 全微分：会求全微分（二元、三元）——大纲要求"了解概念、会求全微分"。
• 可微的判断与四大关系图：偏导连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续、偏导存在——选择题高频考点。
• 三个经典反例函数：记住它们，概念题就能逐个对照。

前置知识#

• 第 12 讲（一）：二重极限、偏导数的计算与定义。
• 一元函数微分 $dy=f'(x)dx$ 的含义（见第 05 讲）。
• 高阶无穷小 $o(\rho)$ 的含义（见第 03 讲）。

一句话心态：这一篇计算不难，难在概念之间的关系。请把关系图画在草稿纸上，每学一个反例就在对应的箭头上打个叉。

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一、高阶偏导数与混合偏导#

1.1 大白话#

偏导数本身还是 $x,y$ 的函数，可以再求一次偏导，这就是二阶偏导。两个变量，求两次，一共 4 种组合。

打个比方：一阶偏导 $z_x$ 是"沿 $x$ 方向走时，高度变化的快慢"。$z_{xx}$ 是"沿 $x$ 方向走时，这个快慢本身又变得多快"（相当于一元里的二阶导，反映弯曲程度）；$z_{xy}$ 则是"往 $y$ 方向挪一点后，沿 $x$ 方向的坡度变了多少"——它描述的是两个方向之间的"交叉影响"。

1.2 定义与记号#

$$z_{xx}=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\quad z_{xy}=\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y},\quad z_{yx}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\,\partial x},\quad z_{yy}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}.$$

1.3 逐行拆解#

• $z_{xy}$：先对 $x$、再对 $y$（下标从左往右读）。
• $z_{xy}$ 和 $z_{yx}$ 叫混合偏导。
• 混合偏导相等定理：如果 $z_{xy}$ 和 $z_{yx}$ 在某区域内都连续，那么它们相等：$z_{xy}=z_{yx}$。考研里遇到的函数几乎都满足，所以求导顺序可以随便选，选好算的那个。

1.4 例题#

例 1 设 $z = x^3y - 3x^2y^3$，求四个二阶偏导数。

解：先求一阶：

$$z_x = 3x^2y-6xy^3,\qquad z_y = x^3-9x^2y^2 .$$

再求二阶：

• $z_{xx}=(z_x)_x = 6xy-6y^3$；
• $z_{xy}=(z_x)_y = 3x^2-18xy^2$；
• $z_{yx}=(z_y)_x = 3x^2-18xy^2$；
• $z_{yy}=(z_y)_y = -18x^2y$。

果然 $z_{xy}=z_{yx}$。

例 2 设 $z=\ln(x+y^2)$，求 $z_{xx}$、$z_{xy}$、$z_{yy}$。

解：一阶：

$$z_x=\frac{1}{x+y^2},\qquad z_y=\frac{2y}{x+y^2}.$$

• $z_{xx}$：把 $z_x=(x+y^2)^{-1}$ 对 $x$ 求导，$=-(x+y^2)^{-2}=-\dfrac{1}{(x+y^2)^2}$；
• $z_{xy}$：把 $z_x=(x+y^2)^{-1}$ 对 $y$ 求导，链式法则内层 $y^2$ 求导得 $2y$，$=-\dfrac{2y}{(x+y^2)^2}$；
• $z_{yy}$：$z_y=\dfrac{2y}{x+y^2}$ 对 $y$ 用商的法则：

$$z_{yy}=\frac{2(x+y^2)-2y\cdot2y}{(x+y^2)^2}=\frac{2x-2y^2}{(x+y^2)^2}.$$

（你可以自己再算 $z_{yx}$，检查它是否等于 $z_{xy}$。）

小练手：设 $z=e^x\cos y$，则 $z_{xx}=e^x\cos y$，$z_{yy}=-e^x\cos y$，所以 $z_{xx}+z_{yy}=0$。满足 $z_{xx}+z_{yy}=0$ 的函数叫"调和函数"，名字了解即可，但"验证某函数满足某个偏导方程"是常见题型。

1.5 易错点 ⚠️#

• "混合偏导相等"有前提：二阶混合偏导连续。选择题可能拿这个条件做文章。
• 写抽象函数的二阶偏导时，若题目说"$f$ 具有二阶连续偏导数"，就是在告诉你可以合并 $f_{12}=f_{21}$。

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二、全微分#

2.1 大白话#

一元里，微分 $dy = f'(x)dx$ 的意思是："自变量变一点点，函数大约变多少"——用切线代替曲线。

二元里，两个旋钮同时拧一点点（$x$ 变 $\Delta x$，$y$ 变 $\Delta y$），函数总的变化量 $\Delta z$ 大约是多少？直觉上：

总变化 ≈ （只拧 $x$ 带来的变化）+（只拧 $y$ 带来的变化）$= f_x\Delta x + f_y \Delta y$。

如果这个"约等于"足够精确（误差比移动距离还小得多），就说函数可微，而 $f_x dx + f_y dy$ 就是全微分。几何上就是"曲面在这一点附近可以用切平面近似"。

图 1：矩形面积 S = xy：长、宽各增加 Δx、Δy，ΔS = yΔx + xΔy + ΔxΔy；去掉高阶小量 ΔxΔy 就是全微分 dS = y dx + x dy

为什么要专门定义"可微"？ 一元函数里，可导就够用了：有了导数就有切线，就能做近似。到了二元，两个偏导数只描述了两个方向（东西、南北）上的变化，而点可以朝任意方向移动。只知道两个方向的坡度，并不能保证朝东北方向走时也"平滑"。"可微"要求的正是：无论朝哪个方向走一小步，函数的变化都能被同一个线性式子 $f_x\Delta x+f_y\Delta y$ 很好地近似——也就是曲面在这一点有一个真正的切平面。这比"两个偏导数存在"要求高得多。

2.2 正式定义#

若全增量可以写成

$$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho),\qquad \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},$$

其中 $A,B$ 与 $\Delta x,\Delta y$ 无关，则称 $f$ 在该点可微，$dz = A\Delta x+B\Delta y$ 称为全微分。可以证明此时 $A=f_x,\ B=f_y$，于是

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy .$$

2.3 逐行拆解#

• $\rho$ 读作"rou"，是点移动的距离。
• $o(\rho)$ 读作"小 o 柔"，表示"比 $\rho$ 高阶的无穷小"（见第 03 讲）——误差比距离小得多。
• **判定可微（用定义）**的标准流程：
  1. 先求 $f_x(x_0,y_0)$、$f_y(x_0,y_0)$（不存在则直接不可微）；
  2. 看极限

$$\lim_{\rho\to0}\frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\rho}$$

是否为 $0$；为 $0$ 则可微，否则不可微。

2.4 例题#

例 3 求 $z=e^{xy}$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分。

解：

• $z_x = ye^{xy}$，在 $(1,2)$ 处 $=2e^2$；
• $z_y = xe^{xy}$，在 $(1,2)$ 处 $=e^2$。

所以

$$dz\big|_{(1,2)} = 2e^2\,dx + e^2\,dy .$$

例 4（三元函数） 求 $u=x^2+yz$ 在点 $(1,2,3)$ 处的全微分。

解：三元函数的全微分就是三项相加：$du=u_x\,dx+u_y\,dy+u_z\,dz$。

• $u_x=2x$，在 $(1,2,3)$ 处 $=2$；
• $u_y=z$，在该点 $=3$；
• $u_z=y$，在该点 $=2$。

$$du\big|_{(1,2,3)}=2\,dx+3\,dy+2\,dz .$$

例 5（用定义判断不可微） 讨论 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ 在原点处是否可微。

解： ① 先求偏导：$f(x,0)=0$ 对所有 $x$ 成立，所以 $f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{0-0}{\Delta x}=0$；同理 $f_y(0,0)=0$。

② 看定义里的极限：

$$\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}=\frac{\sqrt{|\Delta x\,\Delta y|}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} .$$

让 $(\Delta x,\Delta y)$ 沿 $\Delta y=\Delta x$ 趋于 $(0,0)$：

$$\frac{\sqrt{(\Delta x)^2}}{\sqrt{2(\Delta x)^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\ne0 .$$

极限不是 $0$（甚至沿 $\Delta y=0$ 时它是 $0$，说明极限根本不存在），所以不可微。

这个函数在原点连续（因为 $\sqrt{|xy|}\le\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\to0$），偏导数也存在，却不可微——说明"连续 + 偏导存在"也凑不出可微。

例 6（可微但偏导不连续） 设

$$f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

它在原点可微吗？偏导数在原点连续吗？

解： ① 偏导：$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{(\Delta x)^2\sin\frac{1}{(\Delta x)^2}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta x\sin\frac{1}{(\Delta x)^2}=0$（无穷小 × 有界）。同理 $f_y(0,0)=0$。

② 可微性：

$$\frac{\Delta z-0-0}{\rho}=\frac{\rho^2\sin\frac{1}{\rho^2}}{\rho}=\rho\sin\frac{1}{\rho^2}\to0 ,$$

所以可微。

③ 偏导连续性：在原点以外，

$$f_x=2x\sin\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2x}{x^2+y^2}\cos\frac{1}{x^2+y^2}.$$

沿 $y=0$ 让 $x\to0$：第一项趋于 0，第二项 $-\dfrac{2}{x}\cos\dfrac{1}{x^2}$ 来回剧烈振荡且越来越大，没有极限。所以 $f_x$ 在原点不连续。

结论：可微不一定偏导连续——"偏导连续"只是可微的充分条件，不是必要条件。

2.5 四个概念的关系图（必背）#

对二元函数在一点处：

   偏导数连续
       │  (推出)
       ▼
     可  微  ──────────►  连  续
       │
       ▼
   偏导数存在

用文字说：

• 偏导连续 ⇒ 可微（充分条件，常用来"偷懒"判断可微）；
• 可微 ⇒ 连续；
• 可微 ⇒ 偏导存在；
• 所有箭头都不能反过来；
• 连续 和 偏导存在 之间互相推不出（第 12 讲（一）的例 9 就是"偏导存在但不连续"的例子；$f=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点连续但偏导不存在）。

和一元对比：一元里"可导 ⇔ 可微 ⇒ 连续"；二元里"偏导存在"比"可微"弱得多，千万别混。

2.6 易错点 ⚠️#

• 全微分最后要写成 $dz = (\ )dx + (\ )dy$ 的形式，别只写两个偏导数。
• 选择题问"某条件能否推出可微"，第一反应画关系图。
• 用定义判可微时，分母是 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，不是 $\Delta x$；分子要减去 $f_x\Delta x+f_y\Delta y$，别忘了先把两个偏导求出来。
• 记住三个"反例函数"（见速记卡），选择题拿来逐个对照，又快又稳。

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一元 vs 二元：对照着记#

很多同学学多元时最大的困惑是"哪些结论照搬、哪些不能照搬"。下面这张表请对照着看一遍：

问题	一元函数	二元函数
自变量怎么靠近一点	只有左、右两个方向	四面八方、任意曲线
极限存在的判断	左右极限相等即可	任意路径极限都相同（难证存在、易证不存在）
导数	一个 $f'(x)$	两个偏导 $f_x,f_y$（只管两条十字方向）
可导与连续	可导 ⇒ 连续	偏导存在 推不出 连续
可导与可微	可导 ⇔ 可微	可微 ⇒ 偏导存在，反之不成立
微分	$dy=f'(x)dx$（切线近似）	$dz=f_xdx+f_ydy$（切平面近似）
二阶导	一个 $f''$	四个，混合偏导连续时 $f_{xy}=f_{yx}$

记忆要点：二元里"偏导存在"是一个很弱的条件，"可微"才相当于一元的"可导"。所以凡是一元里由"可导"推出的好性质（连续、有切线），到了二元都要换成"可微"才成立。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
二阶偏导记号	$z_{xy}$：先对 $x$、再对 $y$
混合偏导相等	$z_{xy},z_{yx}$ 连续 ⇒ $z_{xy}=z_{yx}$
全微分	$dz=z_x\,dx+z_y\,dy$；三元 $du=u_x\,dx+u_y\,dy+u_z\,dz$
可微的定义判别	先求 $f_x,f_y$，再看 $\lim\limits_{\rho\to0}\dfrac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}$ 是否为 0
关系图	偏导连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续；可微 ⇒ 偏导存在；均不可逆；连续与偏导存在互不蕴含
三个反例	$\dfrac{xy}{x^2+y^2}$（偏导存在但不连续）；$\sqrt{x^2+y^2}$（连续但偏导不存在）；$\sqrt{
可微但偏导不连续	$(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}$（补充定义原点为 0）

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自测练习#

1. 设 $z=\arctan\dfrac{y}{x}$，验证 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$。

答案与提示

$z_x=\dfrac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\dfrac{y}{x^2}\right)=-\dfrac{y}{x^2+y^2}$，$z_y=\dfrac{x}{x^2+y^2}$。

$z_{xx}=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，$z_{yy}=-\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，相加为 $0$。

2. 设 $z=x\ln(xy)$（$x>0,y>0$），求 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$。

答案与提示

先化简：$z=x\ln x+x\ln y$。$z_x=\ln x+1+\ln y$，再对 $y$ 求导：$z_{xy}=\dfrac1y$。 （化简一步能省很多事。）

3. 求 $z=\ln(x^2+y^2)$ 在点 $(1,1)$ 处的全微分。

答案与提示

$z_x=\dfrac{2x}{x^2+y^2}$，$z_y=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$，在 $(1,1)$ 处都等于 $1$，所以 $dz=dx+dy$。

4. 求 $z=\dfrac xy$ 在点 $(2,1)$ 处的全微分；再求 $u=e^{xyz}$ 的全微分。

答案与提示

$z_x=\dfrac1y=1$，$z_y=-\dfrac{x}{y^2}=-2$，所以 $dz=dx-2\,dy$。

$u_x=yze^{xyz}$，$u_y=xze^{xyz}$，$u_z=xye^{xyz}$，所以 $du=e^{xyz}(yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz)$。

5. 判断：函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点处 (1) 是否连续；(2) 偏导数是否存在；(3) 是否可微。

答案与提示

(1) $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^2+y^2}=0=f(0,0)$，连续。 (2) $f(\Delta x,0)=|\Delta x|$，$\dfrac{|\Delta x|}{\Delta x}$ 在 $\Delta x\to0^+$ 时为 $1$、$\Delta x\to0^-$ 时为 $-1$，$f_x(0,0)$ 不存在；同理 $f_y(0,0)$ 不存在。 (3) 偏导都不存在，当然不可微。几何上，这是一个倒立的圆锥面，锥尖处没有切平面。

6. 已知 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处两个偏导数都连续，下列结论哪些一定成立：(A) $f$ 在该点可微；(B) $f$ 在该点连续；(C) $f$ 在该点偏导存在。

答案与提示

三个都成立。偏导连续 ⇒ 可微（A）；可微 ⇒ 连续（B）；可微 ⇒ 偏导存在（C）。顺着关系图的箭头走即可。

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下一讲预告#

第 12 讲（三）学多元微分的计算主力：用"树形图"做多元复合函数求导，用公式法求隐函数的偏导。