考研数学二·零基础讲义 第12讲（一）｜多元函数微分学：二元函数、极限与偏导数

考研数学二·零基础讲义 · 第 12 讲（一）｜多元函数微分学：二元函数、极限与偏导数

学完本篇，你能求二元函数的定义域、判断二重极限是否存在，并熟练计算偏导数（包括分段点处用定义求）。预计用时：2.5–3 小时。

本讲地图#

• 第 12 讲内容多，拆成四篇：（一）二元函数、极限与偏导数；（二）高阶偏导与全微分；（三）复合函数与隐函数求导；（四）极值与最值。
• 二元函数的概念、定义域、几何意义——大纲要求"了解"。
• 二重极限与连续：会用"两条路径"证明极限不存在、会用夹逼求简单的二重极限——大纲要求"了解"，多以概念辨析的选择题出现。
• 偏导数：会按"其余变量当常数"计算，会"先代后求"，会在分段点处用定义计算——这是后面三篇一切计算的地基。

前置知识#

• 一元函数求导公式与法则、复合函数求导（见第 05、06 讲）。
• 一元函数极限、夹逼准则、"无穷小 × 有界量 = 无穷小"（见第 02、03 讲）。
• 一元函数连续的定义（见第 04 讲）。
• 导数的定义式 $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$（见第 05 讲）。

一句话心态：多元微分学 ≈ 一元微分学 + "把别的变量当常数"。绝大部分计算只要你一元求导熟练，就没有新东西。这一篇专门把"二元"这个新世界的入口讲透。

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一、二元函数：一个输出，两个输入#

1.1 大白话#

一元函数像一台"一个旋钮"的机器：拧 $x$，出来 $y$。 二元函数是一台"两个旋钮"的机器：同时拧 $x$ 和 $y$，出来一个数 $z$。

生活例子：长方形面积 $S = xy$，长和宽都能变，面积由两个量共同决定。再比如一块铁板上各点的温度，取决于这个点的横坐标和纵坐标。

几何上，$z=f(x,y)$ 的图像是空间中的一张曲面：在 $xOy$ 平面上每选一个点 $(x,y)$，就往上（或往下）立一根高度为 $f(x,y)$ 的"柱子"，所有柱子顶端连起来就是一张曲面。比如 $z = x^2+y^2$ 是一口"碗"（旋转抛物面）。

1.2 正式定义#

设 $D$ 是平面上的一个点集，如果对 $D$ 中每个点 $(x,y)$，按某种法则都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，就称 $z$ 是 $x,y$ 的二元函数，记作

$$z = f(x,y),\quad (x,y)\in D.$$

$D$ 叫定义域。三个及以上自变量的叫多元函数，考研数二主要和二元打交道，偶尔出现三元（比如条件极值里的长方体）。

1.3 逐行拆解#

• $f(x,y)$ 读作"f 括号 x 逗号 y"，意思是"把 $x$、$y$ 喂给 $f$ 之后得到的值"。
• 定义域 $D$ 不再是数轴上的区间，而是平面上的一块区域。求定义域就是"让每一部分都有意义"，然后在平面上画出来。

求定义域的老规矩（和一元一样）：

出现了	要求
分母	$\neq 0$
偶次根号 $\sqrt{\ \ }$	根号下 $\ge 0$
对数 $\ln(\ )$	真数 $>0$
$\arcsin(\ )$、$\arccos(\ )$	里面在 $[-1,1]$

1.4 例题#

例 1 求 $z = \ln(x+y) + \sqrt{1-x^2-y^2}$ 的定义域。

解：

• 对数要求：$x + y > 0$，即点在直线 $y = -x$ 的右上方（不含直线本身）。
• 根号要求：$1 - x^2 - y^2 \ge 0$，即 $x^2+y^2\le 1$，是以原点为圆心、半径 1 的圆盘（含圆周）。
• 两者同时成立：

$$D=\{(x,y)\mid x+y>0,\ x^2+y^2\le 1\}.$$

画出来就是单位圆盘被直线 $y=-x$ 切成两半后，右上方那一半（直线上的点不要，圆弧上的点要）。

例 2 求 $z=\ln(y-x^2)+\sqrt{1-y}$ 的定义域。

解：

• 对数：$y-x^2>0$，即 $y>x^2$，是抛物线 $y=x^2$ 上方（不含抛物线）；
• 根号：$1-y\ge0$，即 $y\le1$，是直线 $y=1$ 下方（含直线）。

$$D=\{(x,y)\mid x^2<y\le1\}.$$

画出来是抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=1$ 围成的一块"碗口"区域：上边的线段要，下边的抛物线不要（两者交点 $(\pm1,1)$ 也不要，因为它们在抛物线上）。

1.5 易错点 ⚠️#

• 定义域要写成点集形式，最好画图，不要只写两个不等式就完事。
• 边界要不要：不等式带等号就要，严格不等号就不要。

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二、二重极限与连续（概念层面）#

2.1 大白话#

一元函数求 $x\to x_0$ 的极限，$x$ 只能从左、右两个方向靠近 $x_0$。 二元函数求 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 的极限，点可以从四面八方、沿任意弯曲路径靠近 $(x_0,y_0)$。

所以二重极限存在的要求非常苛刻：不管从哪条路走过来，函数值都得趋向同一个数。只要找到两条路走过来结果不一样，极限就不存在。

图 1：f = xy/(x² + y²)：沿 y = 0、y = x、y = −x、y = x/2 走向原点，分别趋于 0、1/2、−1/2、2/5，所以二重极限不存在（例 3）（动画循环播放）

2.2 正式定义#

如果点 $(x,y)$ 以任意方式趋于 $(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 都无限接近同一个常数 $A$，就称

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A .$$

这叫二重极限。

连续：如果 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$，就说 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。和一元一样："极限存在 + 等于函数值"。

2.3 逐行拆解#

• $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 读作"点 $(x,y)$ 趋于点 $(x_0,y_0)$"，意思是两点间距离 $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\to 0$。
• "任意方式"是关键词。它给了我们一个非常好用的否定工具：

判定极限不存在：找两条趋近路径，算出不同的极限值（或者沿某一族路径算出的值依赖于参数），则二重极限不存在。

2.4 例题#

例 3 证明 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在。

解：让点沿直线 $y = kx$（$k$ 是任意常数）走向原点。把 $y=kx$ 代进去：

$$\frac{x\cdot kx}{x^2+k^2x^2} = \frac{kx^2}{(1+k^2)x^2}=\frac{k}{1+k^2}.$$

• 沿 $y = 0$（$k=0$）走：结果是 $0$；
• 沿 $y = x$（$k=1$）走：结果是 $\dfrac{1}{2}$。

两条路结果不同，所以极限不存在。

例 4 求 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$。

解：先试几条路：沿 $y=kx$ 得 $\dfrac{kx^3}{(1+k^2)x^2}=\dfrac{kx}{1+k^2}\to 0$。看起来像是 0，但"几条路都是 0"不能证明极限存在！要用夹逼：

因为 $x^2\le x^2+y^2$，所以 $\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le 1$，于是

$$0\le\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| = \frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot|y|\le |y|\to 0 .$$

由夹逼准则，极限为 $0$。

例 5 求 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$。

解：方法一（夹逼）：$\left|\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}\right|\le1$，所以

$$0\le\left|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\right|\le x^2+y^2\to0 ,$$

极限为 $0$。这就是一元里"无穷小 × 有界量 = 无穷小"的二元版本。

方法二（换元）：令 $\rho^2=x^2+y^2$（$\rho$ 读作"柔"），当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $\rho\to0^+$，原式变成一元极限 $\lim\limits_{\rho\to0^+}\rho^2\sin\dfrac{1}{\rho^2}=0$。

小结：式子只依赖 $x^2+y^2$ 时，换成 $\rho$ 就变成一元极限；能写成"趋于 0 的量 × 有界量"时直接夹逼。

2.5 补充：有界闭区域上连续函数的性质#

和一元的"闭区间上连续函数"完全平行（见第 04 讲）：在有界闭区域上连续的二元函数，一定有界，一定能取到最大值和最小值，也满足介值定理。后面"闭区域最值"就靠它保证最值一定存在。

2.6 易错点 ⚠️#

• "沿几条直线极限都相同"推不出"极限存在"。要证存在用夹逼，要证不存在找两条路。
• 证不存在时，直线不够用就试曲线，比如 $x = ky^2$（见练习 2）。

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三、偏导数：只动一个旋钮#

3.1 大白话#

两个旋钮同时拧太复杂，那就一次只拧一个：把 $y$ 固定住不动，只让 $x$ 变，看 $z$ 变化有多快——这就是对 $x$ 的偏导数。反过来固定 $x$、只动 $y$，就是对 $y$ 的偏导数。

几何上：用平面 $y=y_0$ 去切曲面，切出一条曲线，对 $x$ 的偏导数就是这条曲线在该点的切线斜率。

图 2：以 z = x² + y² 为例：平面 y = 0.6 切出曲线 z = x² + 0.36，它在 x = 0.8 处的切线斜率就是 ∂z/∂x = 2x = 1.6

3.2 正式定义#

$$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,\,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},$$ $$f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,\,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.$$

3.3 逐行拆解#

• 符号 $\partial$ 读作"偏"（英文 partial，也有人读"round d"）。$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 读作"z 对 x 的偏导"。
• 同一个东西有多种写法：$f_x$、$z_x$、$\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial f}{\partial x}$，全都一样。
• 定义里注意：分子中只有 $x$ 在变，$y$ 一直是 $y_0$。这就是"把 $y$ 当常数"的来历。
• 所以计算口诀：对 $x$ 求偏导时，把 $y$ 看成常数（就像看成数字 5），然后按一元求导做。

3.4 例题#

例 6 设 $f(x,y) = x^2y + y^3$，求 $f_x(1,2)$ 和 $f_y(1,2)$。

解：

• 对 $x$ 求偏导，$y$ 当常数：$x^2y$ 里 $y$ 是系数，导数是 $2xy$；$y^3$ 是常数，导数是 $0$。所以 $f_x = 2xy$，$f_x(1,2)=2\cdot1\cdot2=4$。
• 对 $y$ 求偏导，$x$ 当常数：$x^2y$ 对 $y$ 求导得 $x^2$；$y^3$ 求导得 $3y^2$。所以 $f_y = x^2+3y^2$，$f_y(1,2)=1+12=13$。

例 7 设 $z = x^3y^2 + \sin(xy)$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

解：

• 对 $x$：$x^3y^2\to 3x^2y^2$；$\sin(xy)$ 是复合函数，外层导数 $\cos(xy)$，内层 $xy$ 对 $x$ 求导得 $y$。所以

$$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2y^2+y\cos(xy).$$

• 对 $y$：同理，

$$\frac{\partial z}{\partial y}=2x^3y+x\cos(xy).$$

例 8（先代后求的小技巧） 设 $f(x,y)=x^2y+(y-2)\ln\left(1+x^2e^{y}\right)$，求 $f_x(x,2)$。

解：老老实实先求 $f_x$ 再代 $y=2$ 也行，但很繁。注意 $f_x(x,2)$ 的意思是"在 $y=2$ 这条线上对 $x$ 求导"，既然 $y$ 本来就被固定成 2，那就先把 $y=2$ 代进去：

$$f(x,2)=2x^2+0\cdot\ln(1+x^2e^2)=2x^2 ,$$

再对 $x$ 求导：$f_x(x,2)=4x$。

原理：对 $x$ 求偏导时 $y$ 本来就是常数，先代入 $y$ 的值不影响结果。但反过来不行：求 $f_x$ 时不能先代 $x$ 的值。

例 9（用定义求偏导） 设

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

求 $f_x(0,0)$、$f_y(0,0)$。

解：分段函数在分段点处，只能用定义。

$$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{0-0}{\Delta x}=0 .$$

（因为 $f(\Delta x,0)=\dfrac{\Delta x\cdot 0}{\Delta x^2}=0$。）同理 $f_y(0,0)=0$。

有意思的是：由例 3，这个函数在原点极限都不存在，当然不连续——但两个偏导数却都存在！这说明在多元函数里，"偏导存在"推不出"连续"。这和一元"可导必连续"完全不同，第 12 讲（二）的关系图会再强调。

偏导数的几何意义回顾：$f_x(x_0,y_0)$ 是曲面被平面 $y=y_0$ 截出的曲线在该点的切线对 $x$ 轴的斜率；$f_y(x_0,y_0)$ 是被平面 $x=x_0$ 截出的曲线的切线斜率。两个偏导数只是两条"十字形"截线的斜率，对其他方向一无所知——这就是偏导数"管得太少"的根源。

3.5 易错点 ⚠️#

• 先代后求只能代"不求导的那个变量"。
• 分段函数在分段点处求偏导，必须回到定义，不能先求出表达式再代点。
• 偏导数只反映"沿坐标轴方向"的情况，管不了其他方向，所以偏导存在 ≠ 连续。

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公式/结论速记卡#

主题	核心结论
定义域	分母 $\ne0$、偶次根号下 $\ge0$、对数真数 $>0$、反正弦余弦里在 $[-1,1]$；结果写成点集并画图
二重极限不存在	找两条路径极限不同（$y=kx$、$x=ky^2$ 等），或沿一族路径结果依赖参数
二重极限存在	夹逼：$\left
连续	$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$
有界闭区域上的连续函数	有界、能取到最大值和最小值、满足介值定理
偏导数计算	对谁求导，其余变量当常数
分段点处偏导	回到定义：$f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
先代后求	$f_x(x,y_0)$：先把 $y=y_0$ 代入，再对 $x$ 求导
重要提醒	偏导存在 推不出 连续

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自测练习#

1. 求 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2-1}}$ 的定义域。

答案与提示

第一个根号：$x^2+y^2\le4$；第二个在分母上的根号：$x^2+y^2-1>0$（不能等于 0）。 定义域 $D=\{(x,y)\mid 1<x^2+y^2\le4\}$，是一个圆环：内圆不要、外圆要。

2. 证明 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ 不存在。

答案与提示

沿直线 $y=kx$ 走，结果都是 $0$，不足以下结论。改沿抛物线 $x=ky^2$：

$$\frac{ky^2\cdot y^2}{k^2y^4+y^4}=\frac{k}{k^2+1},$$

随 $k$ 变化（$k=0$ 得 $0$，$k=1$ 得 $\frac12$），故极限不存在。

3. 求 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{x}$。

答案与提示

$\dfrac{\sin(xy)}{x}=\dfrac{\sin(xy)}{xy}\cdot y$。当 $(x,y)\to(0,2)$ 时 $xy\to0$，所以 $\dfrac{\sin(xy)}{xy}\to1$，$y\to2$。极限 $=2$。

4. 求 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$。

答案与提示

因为 $|xy|\le\dfrac{x^2+y^2}{2}$，所以 $0\le\left|\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\to0$，由夹逼，极限为 $0$。 （对比例题里的 $\dfrac{xy}{x^2+y^2}$：分母次数从 2 降到 1，极限就存在了。分子"跑得比分母快"才有极限。）

5. 设 $z=x^y\ (x>0)$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

答案与提示

对 $x$ 求偏导时 $y$ 是常数，$x^y$ 是幂函数：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}$。 对 $y$ 求偏导时 $x$ 是常数，$x^y$ 是指数函数：$\dfrac{\partial z}{\partial y}=x^y\ln x$。

6. 设 $z=e^{x^2y}$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

答案与提示

外层 $e^u$，内层 $u=x^2y$。对 $x$：内层导数 $2xy$，$z_x=2xye^{x^2y}$；对 $y$：内层导数 $x^2$，$z_y=x^2e^{x^2y}$。

7. 设 $f(x,y)=x^2+(y-1)\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{y}}$，求 $f_x(x,1)$。

答案与提示

先代后求：$f(x,1)=x^2+0=x^2$，所以 $f_x(x,1)=2x$。

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下一讲预告#

第 12 讲（二）学高阶偏导数和全微分，并画出"连续、偏导存在、可微、偏导连续"四者的关系图——选择题的高频考点。