考研数学二·零基础讲义 第11讲（下）｜定积分的应用：面积、体积、弧长与物理应用

考研数学二·零基础讲义 · 第 11 讲（下）｜定积分的应用：面积、体积、弧长与物理应用

学完这一篇，你能用"微元法"列出积分式，算出平面图形的面积（直角坐标、参数方程、极坐标）、旋转体体积（绕 $x$ 轴、绕 $y$ 轴）、平面曲线弧长，会处理变力做功、液体压力等简单物理问题，并会求函数的平均值。预计用时：5–6 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：微元法；平面图形面积（直角坐标、参数方程、极坐标三种形式）；旋转体体积（圆盘法、柱壳法）；平面曲线弧长（三种形式）；平行截面面积已知的立体体积与旋转体侧面积（简介）；物理应用（变力做功、抽水做功、液体静压力）；函数的平均值。
• 大纲要求：会用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等。（数二大纲列出的应用较多，本篇讲最基础、最常考的几种，其余思路完全相同。）
• 考研怎么考：面积和旋转体体积是大题、填空题的常客，常和求切线、求极值、反常积分组合；弧长多出现在填空题；物理应用出现频率较低，但"列微元"的思路必须会。
• 学习策略：所有应用题都是同一个套路——画图 → 取微元 → 写出微元表达式 → 定上下限 → 积分。公式可以背，但更重要的是会用微元法自己"推"出公式。

前置知识#

• 定积分的概念（分割—近似—求和—取极限）：见第 10 讲（上）。
• 定积分的计算技巧（换元、分部、对称性、华里士公式）：见第 10 讲（下）。
• 反常积分（无界区域的面积、体积）：见第 11 讲（上）。
• 参数方程、极坐标的基本概念与常见曲线：见第 01、06 讲；极坐标在第 13 讲（下）还会系统使用。

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一、微元法：所有应用题的"总开关"#

大白话#

第 10 讲说定积分是"分割—近似—求和—取极限"。每道应用题都走这四步太麻烦，于是人们把它浓缩成一步：只盯住一小段 $[x, x+\mathrm{d}x]$，写出这一小段上所求量的近似值 $\mathrm{d}U = f(x)\,\mathrm{d}x$，然后从头到尾积分。

就像数一面墙用了多少块砖：不用一块块数，只要知道"每一层（厚度 $\mathrm{d}x$）有多少块"，再把所有层加起来。

正式步骤#

1. 选积分变量（比如 $x$）和变化范围 $[a,b]$；
2. 在 $[a,b]$ 中任取一小段 $[x, x+\mathrm{d}x]$，把这一小段上的所求量近似看成"规则形状"，写出微元 $\mathrm{d}U = f(x)\,\mathrm{d}x$；
3. 积分：$U = \displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$。

逐行拆解#

• $\mathrm{d}U$ 读作"d U"，表示所求量 $U$ 在这一小段上的那一点点。
• "近似看成规则形状"是关键：面积看成小矩形，体积看成薄圆片或薄圆筒，弧长看成小斜线段，做功看成"力 × 小位移"。
• 能这样近似的要求是：误差比 $\mathrm{d}x$ 还小得多（高阶无穷小），考研中不需要证明，会用即可。

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二、平面图形的面积#

1. 直角坐标#

大白话：两条曲线之间的面积 = "上面的曲线减下面的曲线"再积分。竖着切成小长条，每条高是"上 − 下"，宽是 $\mathrm{d}x$。

图 1：以 y = x 与 y = x² 为例：竖着切成小长条，高 = 上 − 下 = x − x²，面积 = 1/6

公式：由 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f\ge g$）、$x = a$、$x = b$ 围成的图形面积

$$A = \int_a^b\big[f(x) - g(x)\big]\,\mathrm{d}x .$$

如果图形更适合"横着切"（左右边界是 $x = \varphi(y)$、$x = \psi(y)$，$\varphi\ge\psi$），就对 $y$ 积分：

$$A = \int_c^d\big[\varphi(y) - \psi(y)\big]\,\mathrm{d}y .$$

逐行拆解：竖切口诀"上减下，对 $x$ 积"；横切口诀"右减左，对 $y$ 积"。上下限是交点的坐标，先联立方程求交点。

例 1 求 $y = x^2$ 与 $y = x$ 围成的图形面积。

• 第 1 步，求交点：$x^2 = x$，得 $x = 0$、$x = 1$。
• 第 2 步，判断上下：在 $(0,1)$ 内取 $x = \frac12$，$x = \frac12>x^2 = \frac14$，所以 $y = x$ 在上。
• 第 3 步，积分：

$$A = \int_0^1(x - x^2)\,\mathrm{d}x = \frac12 - \frac13 = \frac16 .$$

例 2（横切更方便）求 $y^2 = 2x$ 与 $y = x - 4$ 围成的图形面积。

• 第 1 步，求交点：把 $x = \frac{y^2}{2}$ 代入 $y = x - 4$，得 $y^2 - 2y - 8 = 0$，$y = -2$ 或 $y = 4$，交点 $(2,-2)$、$(8,4)$。
• 第 2 步，选方向：如果竖着切，左半部分（$0\le x\le2$）上下边界都是抛物线，右半部分下边界是直线，要拆成两块，很麻烦。横着切，左边界始终是抛物线 $x = \frac{y^2}{2}$，右边界始终是直线 $x = y + 4$。
• 第 3 步，积分：

$$A = \int_{-2}^4\left(y + 4 - \frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}y = \left[\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}\right]_{-2}^4 = \frac{40}{3} + \frac{14}{3} = 18 .$$

例 3 求 $y = \sin x$、$y = \cos x$ 在 $\left[0,\frac\pi4\right]$ 上与 $y$ 轴围成的面积。

在 $\left[0,\frac\pi4\right]$ 上 $\cos x\ge\sin x$：

$$A = \int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\,\mathrm{d}x = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \sqrt2 - 1 .$$

例 4 求 $y = x^2 - 2x$ 与 $x$ 轴围成的面积。

• 交点 $x = 0$、$x = 2$；在 $(0,2)$ 内 $x^2 - 2x<0$，曲线在 $x$ 轴下方，"上"是 $x$ 轴 $y = 0$。

$$A = \int_0^2\big[0 - (x^2 - 2x)\big]\,\mathrm{d}x = 4 - \frac83 = \frac43 .$$

2. 参数方程#

公式：曲线由 $x = x(t)$、$y = y(t)$ 给出，$t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时 $x$ 从 $a$ 变到 $b$，则曲线与 $x$ 轴之间的面积

$$A = \int_a^b|y|\,\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta|y(t)|\,x'(t)\,\mathrm{d}t \quad(\text{要求 }x'(t)\ge0\text{，否则注意符号}).$$

大白话：还是 $\int y\,\mathrm{d}x$，只是把 $y$ 和 $\mathrm{d}x$ 都用 $t$ 表示，等于做了一次换元，上下限换成 $t$ 的范围。

例 5 求椭圆 $x = a\cos t$、$y = b\sin t$ 的面积。

• 由对称性，面积 = 4 × 第一象限部分。第一象限 $x$ 从 0 到 $a$，对应 $t$ 从 $\frac\pi2$ 到 0。
• $A = 4\displaystyle\int_0^ay\,\mathrm{d}x = 4\int_{\pi/2}^0b\sin t\cdot(-a\sin t)\,\mathrm{d}t = 4ab\int_0^{\pi/2}\sin^2t\,\mathrm{d}t = 4ab\cdot\frac\pi4 = \pi ab$。
• 当 $a = b = r$ 时就是圆面积 $\pi r^2$。

例 6 求摆线 $x = a(t - \sin t)$、$y = a(1 - \cos t)$ 的一拱（$0\le t\le2\pi$）与 $x$ 轴围成的面积。

$x'(t) = a(1 - \cos t)\ge0$：

$$A = \int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)\,\mathrm{d}t = a^2\int_0^{2\pi}(1 - 2\cos t + \cos^2t)\,\mathrm{d}t = a^2(2\pi - 0 + \pi) = 3\pi a^2 .$$

3. 极坐标#

大白话：极坐标里点的位置用"离原点多远（$r$）"和"转了多少角度（$\theta$）"表示。求面积时不再切成长条，而是像切披萨一样切成很多细扇形。半径为 $r$、圆心角为 $\mathrm{d}\theta$ 的小扇形面积是 $\frac12r^2\,\mathrm{d}\theta$。

图 2：心形线 r = a(1 + cos θ)：切成细扇形，每片面积 ≈ (1/2)r²dθ

公式：由曲线 $r = r(\theta)$ 和射线 $\theta = \alpha$、$\theta = \beta$ 围成的曲边扇形面积

$$A = \frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta .$$

逐行拆解：$r$ 读作"柔"（rho）或直接读"r"，$\theta$ 读作"西塔"。扇形面积公式 $\frac12r^2\theta$ 来自"圆面积 $\pi r^2$ 乘以 $\frac{\theta}{2\pi}$"。

例 7 求心形线 $r = a(1 + \cos\theta)$ 围成的面积。

• 曲线关于极轴对称，$\theta$ 从 0 到 $2\pi$ 绕一圈。
• $A = \dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}a^2(1+\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{2}(2\pi + 0 + \pi) = \frac32\pi a^2$。

例 8 求 $r = 2a\cos\theta$ 围成的面积。

• $r\ge0$ 要求 $\cos\theta\ge0$，即 $\theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$。
• $A = \dfrac12\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4a^2\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta = 2a^2\cdot\frac\pi2 = \pi a^2$。
• 验证：$r = 2a\cos\theta$ 两边乘 $r$ 得 $x^2 + y^2 = 2ax$，是圆心 $(a,0)$、半径 $a$ 的圆，面积确实是 $\pi a^2$。

易错点 ⚠️#

• 面积永远非负：一定是"上减下"或"右减左"，曲线穿过 $x$ 轴时要分段。
• 参数方程要注意 $t$ 的方向与 $x$ 增加的方向是否一致，不一致时上下限要对应好或加绝对值。
• 极坐标面积公式里是 $r^2$，前面有 $\frac12$；$\theta$ 的范围要让 $r\ge0$、并且恰好绕一圈。

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三、旋转体的体积#

1. 绕 $x$ 轴：圆盘法#

大白话：把曲线 $y = f(x)$ 下方的区域绕 $x$ 轴转一圈，得到一个"花瓶"。竖着切成很多薄片，每片是一个半径为 $|f(x)|$、厚度为 $\mathrm{d}x$ 的薄圆盘，体积 $\pi f^2(x)\,\mathrm{d}x$。

图 3：圆盘法（例 9）：y = x² 下方的区域绕 x 轴旋转，橙色切片是半径 x²、厚 dx 的薄圆盘，V = π/5（动画循环播放）

公式：

$$V_x = \pi\int_a^bf^2(x)\,\mathrm{d}x .$$

若是两条曲线之间（$f\ge g\ge0$）的区域绕 $x$ 轴转，每片是"垫圈"（大圆减小圆）：

$$V_x = \pi\int_a^b\big[f^2(x) - g^2(x)\big]\,\mathrm{d}x .$$

例 9 求 $y = x^2$（$0\le x\le1$）与 $x$ 轴、$x = 1$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转的体积。

$$V_x = \pi\int_0^1(x^2)^2\,\mathrm{d}x = \pi\int_0^1x^4\,\mathrm{d}x = \frac\pi5 .$$

例 10 求 $y = \sin x$（$0\le x\le\pi$）与 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转的体积。

$$V_x = \pi\int_0^\pi\sin^2x\,\mathrm{d}x = \pi\cdot2\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{\pi^2}{2} .$$

（$\int_0^\pi\sin^2x\,\mathrm{d}x = 2\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\mathrm{d}x$，用华里士公式。）

例 11（验证球体积公式）半圆 $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ 绕 $x$ 轴转一圈得到半径 $a$ 的球：

$$V = \pi\int_{-a}^a(a^2 - x^2)\,\mathrm{d}x = \pi\left(2a^3 - \frac{2a^3}{3}\right) = \frac43\pi a^3 .$$

同理，直线 $y = \frac rhx$（$0\le x\le h$）绕 $x$ 轴转得到圆锥，$V = \pi\int_0^h\frac{r^2}{h^2}x^2\,\mathrm{d}x = \frac13\pi r^2h$。中学背过的公式，原来都能这样推出来。

例 12（垫圈）求 $y = x$ 与 $y = x^2$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转的体积。

在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，外半径 $x$，内半径 $x^2$：

$$V_x = \pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,\mathrm{d}x = \pi\left(\frac13 - \frac15\right) = \frac{2\pi}{15} .$$

注意是"平方之差"$x^2 - x^4$，不是"差的平方"$(x - x^2)^2$。

2. 绕 $y$ 轴：柱壳法#

大白话：还是竖着切成小长条，但现在绕 $y$ 轴转。一根位于 $x$ 处、高 $f(x)$、宽 $\mathrm{d}x$ 的竖条，绕 $y$ 轴转一圈，形成一个薄壁圆筒（像一卷很薄的纸筒）。把圆筒剪开铺平，近似一块长 $2\pi x$（周长）、高 $f(x)$、厚 $\mathrm{d}x$ 的薄板，体积 $2\pi xf(x)\,\mathrm{d}x$。

图 4：柱壳法（例 13）：区域绕 y 轴旋转，橙色竖条转成薄壁圆筒，体积 ≈ 2πx · x² · dx（动画循环播放）

公式（$0\le a<b$，$f\ge0$）：

$$V_y = 2\pi\int_a^bx\,f(x)\,\mathrm{d}x .$$

逐行拆解：$2\pi x$ 是半径为 $x$ 的圆周长；$f(x)$ 是筒高；$\mathrm{d}x$ 是筒壁厚度。口诀"周长 × 高 × 厚"。

例 13 求 $y = x^2$（$0\le x\le1$）、$x$ 轴、$x = 1$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转的体积。

$$V_y = 2\pi\int_0^1x\cdot x^2\,\mathrm{d}x = 2\pi\cdot\frac14 = \frac\pi2 .$$

用另一种方法核对：横着切（对 $y$ 积分）。绕 $y$ 轴时，高度 $y$ 处的截面是垫圈：外半径 1（直线 $x = 1$），内半径 $\sqrt y$（抛物线）。$V_y = \pi\displaystyle\int_0^1(1^2 - y)\,\mathrm{d}y = \pi\cdot\frac12 = \frac\pi2$。两种方法结果一致。

例 14 求 $y = \sin x$（$0\le x\le\pi$）与 $x$ 轴围成的区域绕 $y$ 轴旋转的体积。

$$V_y = 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x = 2\pi\cdot\pi = 2\pi^2 .$$

（$\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x = \pi$，第 10 讲（下）算过。）这题如果用圆盘法，要先求 $\sin x$ 的反函数并分两段，非常麻烦；柱壳法一步到位。

3. 参数方程表示的曲线绕 $x$ 轴#

例 15（略提高）摆线一拱 $x = a(t - \sin t)$、$y = a(1 - \cos t)$（$0\le t\le2\pi$）与 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转，求体积。

仍然是 $V = \pi\int y^2\,\mathrm{d}x$，换成 $t$：

$$V = \pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\cdot a(1-\cos t)\,\mathrm{d}t = \pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,\mathrm{d}t = 5\pi^2a^3 .$$

（展开 $(1-\cos t)^3 = 1 - 3\cos t + 3\cos^2t - \cos^3t$，在 $[0,2\pi]$ 上积分分别为 $2\pi$、0、$3\pi$、0，合计 $5\pi$。）

4. 平行截面面积已知的立体体积#

大白话：圆盘法其实是一个更一般方法的特例。只要知道立体在每个位置 $x$ 处被垂直于 $x$ 轴的平面截得的截面面积 $A(x)$，就能像切土豆片一样：每片体积 $A(x)\,\mathrm{d}x$，加起来就是体积。

$$V = \int_a^bA(x)\,\mathrm{d}x .$$

旋转体的截面是圆，$A(x) = \pi f^2(x)$，就回到了圆盘法。

例 16 一个立体的底面是单位圆盘 $x^2 + y^2\le1$，用垂直于 $x$ 轴的平面去截，截面都是正方形（一边落在底面上）。求体积。

• 位置 $x$ 处，底面圆上的弦长是 $2\sqrt{1 - x^2}$，这就是正方形的边长。
• $A(x) = \left(2\sqrt{1 - x^2}\right)^2 = 4(1 - x^2)$。

$$V = \int_{-1}^14(1 - x^2)\,\mathrm{d}x = 4\left(2 - \frac23\right) = \frac{16}{3} .$$

易错点 ⚠️#

• 圆盘法是 $\pi f^2$，别漏平方，别漏 $\pi$。
• 垫圈是"平方之差"，不是"差的平方"。
• 柱壳法里的 $x$ 是"到旋转轴的距离"。若绕直线 $x = c$ 旋转，要换成 $|x - c|$。
• 选方法的经验：绕哪个轴，就优先"垂直于该轴切片"用圆盘法；如果那样需要求反函数，就改用柱壳法。

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四、平面曲线的弧长#

大白话#

把曲线切成很多小段，每段近似看成一条小斜线段。由勾股定理，小斜线段长 $\mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2}$，叫弧微分。把它们全部加起来就是弧长。三种形式只是把 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 用不同变量表示而已。

三种公式#

直角坐标 $y = f(x)$，$a\le x\le b$：

$$s = \int_a^b\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm{d}x .$$

参数方程 $x = x(t)$，$y = y(t)$，$\alpha\le t\le\beta$：

$$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,\mathrm{d}t .$$

极坐标 $r = r(\theta)$，$\alpha\le\theta\le\beta$：

$$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta) + [r'(\theta)]^2}\,\mathrm{d}\theta .$$

逐行拆解#

• 直角坐标：$\mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\,\mathrm{d}x$。
• 参数方程：$\mathrm{d}x = x'(t)\,\mathrm{d}t$，$\mathrm{d}y = y'(t)\,\mathrm{d}t$，代入即得。
• 极坐标：把 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ 看成以 $\theta$ 为参数的参数方程，算出 $x'^2 + y'^2 = r^2 + r'^2$。
• 弧长公式下限必须小于上限，被积函数是根号，结果一定为正。

例题#

例 17 求 $y = \frac23x^{3/2}$ 在 $[0,3]$ 上的弧长。

• $y' = x^{1/2}$，$1 + y'^2 = 1 + x$。

$$s = \int_0^3\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x = \frac23(1+x)^{\frac32}\Big|_0^3 = \frac23(8 - 1) = \frac{14}{3} .$$

例 18 求 $y = \ln\cos x$ 在 $\left[0,\frac\pi4\right]$ 上的弧长。

• $y' = -\tan x$，$1 + y'^2 = 1 + \tan^2x = \sec^2x$，开根号得 $\sec x$（此区间 $\sec x>0$）。

$$s = \int_0^{\pi/4}\sec x\,\mathrm{d}x = \Big[\ln|\sec x + \tan x|\Big]_0^{\pi/4} = \ln(\sqrt2 + 1) .$$

例 19 求悬链线 $y = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ 在 $[0,1]$ 上的弧长。

• $y' = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$，$1 + y'^2 = \left(\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2$（展开验证：$1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$）。

$$s = \int_0^1\frac{e^x + e^{-x}}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{e - e^{-1}}{2} .$$

体会：弧长题之所以能算，往往是因为 $1 + y'^2$ 恰好是完全平方。出题人会精心设计这一点，看到根号先想办法凑平方。

例 20（参数方程）求摆线一拱 $x = a(t - \sin t)$、$y = a(1 - \cos t)$（$0\le t\le2\pi$）的弧长。

• $x' = a(1 - \cos t)$，$y' = a\sin t$。
• $x'^2 + y'^2 = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2t + \sin^2t) = 2a^2(1 - \cos t) = 4a^2\sin^2\frac t2$。
• 在 $[0,2\pi]$ 上 $\sin\frac t2\ge0$，开根号得 $2a\sin\frac t2$。

$$s = \int_0^{2\pi}2a\sin\frac t2\,\mathrm{d}t = \Big[-4a\cos\frac t2\Big]_0^{2\pi} = 8a .$$

例 21（参数方程）求星形线 $x = a\cos^3t$、$y = a\sin^3t$ 的全长。

• $x' = -3a\cos^2t\sin t$，$y' = 3a\sin^2t\cos t$，$x'^2 + y'^2 = 9a^2\sin^2t\cos^2t$。
• 由对称性，全长 = 4 × 第一象限部分（$0\le t\le\frac\pi2$，此时 $\sin t\cos t\ge0$）：

$$s = 4\int_0^{\pi/2}3a\sin t\cos t\,\mathrm{d}t = 12a\cdot\frac12 = 6a .$$

例 22（极坐标）求心形线 $r = a(1 + \cos\theta)$ 的全长。

• $r' = -a\sin\theta$，$r^2 + r'^2 = a^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta) = 2a^2(1 + \cos\theta) = 4a^2\cos^2\frac\theta2$。
• 由对称性，全长 = 2 × 上半部分（$0\le\theta\le\pi$，此时 $\cos\frac\theta2\ge0$）：

$$s = 2\int_0^\pi2a\cos\frac\theta2\,\mathrm{d}\theta = 4a\Big[2\sin\frac\theta2\Big]_0^\pi = 8a .$$

补充：旋转体的侧面积#

曲线 $y = f(x)\ (f\ge0,\ a\le x\le b)$ 绕 $x$ 轴旋转所得曲面的面积。微元是一条窄带，近似看成"半径 $f(x)$ 的圆周长 × 弧微分"：

$$S = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm{d}x .$$

例 23 用它验证球面积：$f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$，$f'(x) = \dfrac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$，

$$f\sqrt{1 + f'^2} = \sqrt{R^2 - x^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} = R,\qquad S = 2\pi\int_{-R}^RR\,\mathrm{d}x = 4\pi R^2 .$$

注意：侧面积用的是弧微分 $\mathrm{d}s$，不是 $\mathrm{d}x$；写成 $2\pi\int f\,\mathrm{d}x$ 是常见错误。

易错点 ⚠️#

• 开根号要带绝对值：$\sqrt{4a^2\sin^2\frac t2} = 2a\left|\sin\frac t2\right|$，要看区间确定符号，必要时用对称性只算符号确定的一段。
• 弧长公式里是 $1 + y'^2$，不是 $1 + y^2$。

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五、物理应用简介（数二"会用"程度）#

大白话#

物理量的微元思路完全一样：在一小段上，把"变化的量"近似看成"不变的量"，用中学公式算出这一小段，再积分。

物理量	中学公式（常量时）	微元（变量时）
功	$W = F\cdot s$	$\mathrm{d}W = F(x)\,\mathrm{d}x$
抽水做功	功 = 重力 × 提升高度	$\mathrm{d}W = (\rho g\cdot\mathrm{d}V)\cdot(\text{提升高度})$
液体压力	压力 = 压强 × 面积，压强 $= \rho gh$	$\mathrm{d}F = \rho gx\cdot(\text{该深度的宽度})\,\mathrm{d}x$

这里 $\rho$ 读作"柔"，是液体密度（水 $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$）；$g$ 是重力加速度（题目一般给 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ 或直接保留字母）。

1. 变力做功#

例 24 弹簧的劲度系数 $k = 200\ \text{N/m}$，把它从自然长度拉长 $0.1\ \text{m}$，需要做多少功？

• 拉长 $x$ 米时，弹力 $F(x) = kx = 200x$（胡克定律），力随位移变化。
• 微元：$\mathrm{d}W = 200x\,\mathrm{d}x$。

$$W = \int_0^{0.1}200x\,\mathrm{d}x = 100x^2\Big|_0^{0.1} = 1\ \text{J} .$$

2. 抽水做功#

例 25 一个圆柱形水池，底面半径 $1\ \text{m}$，高 $2\ \text{m}$，装满水。把水全部从池口抽出，需要做多少功？（$\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$，$g = 9.8\ \text{m/s}^2$）

• 第 1 步，建坐标：取池口为原点，$x$ 轴竖直向下，$x$ 表示深度，$0\le x\le2$。
• 第 2 步，取微元：深度 $[x, x+\mathrm{d}x]$ 的一薄层水，体积 $\pi\cdot1^2\cdot\mathrm{d}x$，重力 $\rho g\pi\,\mathrm{d}x$，要提升的高度是 $x$。
• 第 3 步，$\mathrm{d}W = \rho g\pi x\,\mathrm{d}x$。

$$W = \rho g\pi\int_0^2x\,\mathrm{d}x = 2\pi\rho g = 2\pi\times1000\times9.8\approx6.16\times10^4\ \text{J} .$$

关键：抽水问题里，不同深度的水"提升的距离不同"，这就是要用积分的原因。

3. 液体静压力#

例 26 一块矩形闸门竖直放在水中，宽 $2\ \text{m}$、高 $3\ \text{m}$，上边与水面平齐。求闸门一侧受到的水压力。

• 第 1 步，建坐标：水面为原点，$x$ 竖直向下表示深度，$0\le x\le3$。
• 第 2 步，深度 $x$ 处压强 $p = \rho gx$；取一条深度 $[x, x+\mathrm{d}x]$、宽 2 的水平窄条，面积 $2\,\mathrm{d}x$，这条上压强近似相同。
• 第 3 步，$\mathrm{d}F = \rho gx\cdot2\,\mathrm{d}x$。

$$F = \rho g\int_0^32x\,\mathrm{d}x = 9\rho g = 9\times1000\times9.8 = 88200\ \text{N} .$$

例 27 一块半圆形薄板竖直放在水中，直径（长 $2R$）在水面上。求一侧受到的压力。

• 深度 $x$ 处窄条的宽度：半圆 $x^2 + y^2 = R^2$，宽 $= 2\sqrt{R^2 - x^2}$。
• $\mathrm{d}F = \rho gx\cdot2\sqrt{R^2 - x^2}\,\mathrm{d}x$。

$$F = \rho g\int_0^R2x\sqrt{R^2 - x^2}\,\mathrm{d}x = \rho g\left[-\frac23(R^2 - x^2)^{\frac32}\right]_0^R = \frac23\rho gR^3 .$$

易错点 ⚠️#

• 压力问题要水平切条（同一深度压强相同），不能竖着切。
• 坐标原点和方向要先说清楚；"深度"和"提升高度"要用同一套坐标表示。
• 单位统一用国际单位（米、千克、秒），结果的单位：功是焦耳 J，力是牛顿 N。

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六、函数的平均值#

大白话#

$n$ 个数的平均值是"总和 ÷ 个数"。连续函数在 $[a,b]$ 上有无穷多个值，"总和"就换成积分，"个数"换成区间长度。几何上，平均值就是那个"把曲边面积摊平成矩形"后矩形的高（第 10 讲（上）的积分中值定理）。

公式#

$$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x .$$

例 28 求 $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上的平均值，以及 $x^2$ 在 $[0,2]$ 上的平均值。

• $\bar f = \dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = \frac2\pi\approx0.637$。
• $\bar f = \dfrac12\displaystyle\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x = \frac12\cdot\frac83 = \frac43$。

应用举例：交流电的电流 $i = I_m\sin\omega t$ 在半个周期内的平均值是 $\frac{2}{\pi}I_m$，正是上面第一个结果的放大版。

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七、常见疑问#

问：这么多公式，背不下来怎么办？

答：只背三个"微元"：面积微元 $[f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x$ 或 $\frac12r^2\,\mathrm{d}\theta$，体积微元 $\pi f^2\,\mathrm{d}x$（圆盘）或 $2\pi xf\,\mathrm{d}x$（柱壳），弧微分 $\sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2}$。其余所有公式都能从这三个微元现场推出来。

问：求体积时，圆盘法和柱壳法到底怎么选？

答：先画图。绕 $x$ 轴转、区域是"竖着的曲边梯形"，用圆盘法；绕 $y$ 轴转、区域仍然是"竖着的曲边梯形"（函数写成 $y = f(x)$），用柱壳法最省事。如果函数容易写成 $x = \varphi(y)$，绕 $y$ 轴也可以对 $y$ 用圆盘法。两种方法都会，算完还能互相核对。

问：区域延伸到无穷远，面积、体积还能算吗？

答：能，这时积分就是反常积分（第 11 讲（上））。例如 $y = \frac1x$（$x\ge1$）与 $x$ 轴之间的面积 $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x}$ 发散，是无穷大；但它绕 $x$ 轴转出的体积 $\pi\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \pi$ 却是有限的。这个"面积无限、体积有限"的例子很有意思，也提醒我们反常积分要老老实实判断。

问：物理应用题会考得很难吗？

答：数二对物理应用的要求是"会用"，题目一般不会太难。难点不在积分，而在建立坐标、写对微元。建议每道题都先画图、标出坐标原点和方向，再写"在 $[x, x+\mathrm{d}x]$ 上……"这一步，不容易出错。

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公式/结论速记卡#

类别	公式
微元法	取 $[x, x+\mathrm{d}x]$，写 $\mathrm{d}U = f(x)\,\mathrm{d}x$，积分
面积（直角）	$A = \int_a^b[f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x$（上减下）；$A = \int_c^d[\varphi(y) - \psi(y)]\,\mathrm{d}y$（右减左）
面积（参数）	$A = \int_\alpha^\beta\lvert y(t)\rvert x'(t)\,\mathrm{d}t$
面积（极坐标）	$A = \frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta$
体积（绕 $x$ 轴）	$V_x = \pi\int_a^bf^2(x)\,\mathrm{d}x$；垫圈 $\pi\int_a^b(f^2 - g^2)\,\mathrm{d}x$
体积（绕 $y$ 轴）	柱壳 $V_y = 2\pi\int_a^bx\,f(x)\,\mathrm{d}x$
已知截面面积	$V = \int_a^bA(x)\,\mathrm{d}x$
旋转侧面积	$S = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1 + f'^2}\,\mathrm{d}x$
弧长（直角）	$s = \int_a^b\sqrt{1 + y'^2}\,\mathrm{d}x$
弧长（参数）	$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2 + y'^2}\,\mathrm{d}t$
弧长（极坐标）	$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{r^2 + r'^2}\,\mathrm{d}\theta$
做功	$W = \int_a^bF(x)\,\mathrm{d}x$；抽水：$\mathrm{d}W = \rho g\cdot(\text{薄层体积})\cdot(\text{提升高度})$
液体压力	$\mathrm{d}F = \rho gx\cdot(\text{深度 }x\text{ 处宽度})\,\mathrm{d}x$，水平切条
平均值	$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$
常用结果	椭圆 $\pi ab$；摆线一拱面积 $3\pi a^2$、弧长 $8a$；心形线面积 $\frac32\pi a^2$、周长 $8a$；星形线周长 $6a$

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自测练习#

1. 求 $y = x^2$ 与 $y = 2 - x^2$ 围成的面积。

答案与提示

交点 $x^2 = 2 - x^2$，$x = \pm1$。上面是 $2 - x^2$：

$$A = \int_{-1}^1(2 - 2x^2)\,\mathrm{d}x = 4 - \frac43 = \frac83$$

2. 求 $r = 2\sin\theta$ 围成的面积。

答案与提示

$r\ge0$ 要求 $\theta\in[0,\pi]$：

$$A = \frac12\int_0^\pi4\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta = 2\cdot\frac\pi2 = \pi$$

（它是圆心 $(0,1)$、半径 1 的圆。）

3.（略提高）求双纽线 $r^2 = a^2\cos2\theta$ 围成的面积。

答案与提示

$\cos2\theta\ge0$。由对称性，面积 = 4 × 第一象限部分（$0\le\theta\le\frac\pi4$）：

$$A = 4\cdot\frac12\int_0^{\pi/4}a^2\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta = 2a^2\cdot\frac12 = a^2$$

4. 区域由 $y = \sqrt x$、$x = 4$、$x$ 轴围成。(a) 求绕 $x$ 轴旋转的体积；(b) 求绕 $y$ 轴旋转的体积。

答案与提示

(a) 圆盘法：$V_x = \pi\int_0^4x\,\mathrm{d}x = 8\pi$。

(b) 柱壳法：$V_y = 2\pi\int_0^4x\sqrt x\,\mathrm{d}x = 2\pi\cdot\frac25\cdot4^{5/2} = 2\pi\cdot\frac25\cdot32 = \frac{128\pi}{5}$。

核对（对 $y$ 用垫圈）：$y\in[0,2]$，外半径 4，内半径 $y^2$，$\pi\int_0^2(16 - y^4)\,\mathrm{d}y = \pi\left(32 - \frac{32}{5}\right) = \frac{128\pi}{5}$。

5. 求 $y = x^{3/2}$ 在 $[0,4]$ 上的弧长。

答案与提示

$y' = \frac32x^{1/2}$，$1 + y'^2 = 1 + \frac94x$：

$$s = \int_0^4\sqrt{1 + \frac94x}\,\mathrm{d}x = \frac49\cdot\frac23\left(1 + \frac94x\right)^{\frac32}\Big|_0^4 = \frac{8}{27}\left(10\sqrt{10} - 1\right)$$

6. 一根弹簧受 $10\ \text{N}$ 的力伸长 $0.02\ \text{m}$。把它从自然长度拉长 $0.1\ \text{m}$，需做多少功？

答案与提示

$k = \frac{10}{0.02} = 500\ \text{N/m}$。$W = \int_0^{0.1}500x\,\mathrm{d}x = 250\times0.01 = 2.5\ \text{J}$。

7. 一个圆柱形水池底面半径 $2\ \text{m}$、高 $3\ \text{m}$，装满水，把水全部从池口抽出需做多少功？（$\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$，$g = 9.8\ \text{m/s}^2$，结果保留 $\pi$）

答案与提示

深度 $x$ 处薄层体积 $\pi\cdot2^2\,\mathrm{d}x = 4\pi\,\mathrm{d}x$，提升高度 $x$：

$$W = \rho g\cdot4\pi\int_0^3x\,\mathrm{d}x = 1000\times9.8\times4\pi\times4.5 = 176400\pi\ \text{J}\ (\approx5.54\times10^5\ \text{J})$$

8. 一块等腰三角形薄板竖直放在水中，底边长 $2\ \text{m}$ 与水面平齐，顶点朝下，高 $3\ \text{m}$。求一侧受到的水压力（$\rho = 1000$，$g = 9.8$）。

答案与提示

深度 $x$ 处宽度按比例缩小：$w(x) = 2\cdot\frac{3 - x}{3}$。

$$F = \rho g\int_0^3x\cdot\frac{2(3-x)}{3}\,\mathrm{d}x = \rho g\cdot\frac23\left(\frac{27}{2} - 9\right) = 3\rho g = 29400\ \text{N}$$

9. 求 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 在 $[0,1]$ 上的平均值，以及 $\sqrt x$ 在 $[0,4]$ 上的平均值。

答案与提示

$\frac11\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac\pi4$；$\frac14\int_0^4\sqrt x\,\mathrm{d}x = \frac14\cdot\frac{16}{3} = \frac43$。

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下一讲预告#

第 12 讲（上）「多元函数微分学」：从一个自变量走向两个自变量，认识偏导数和全微分。