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第 093 篇

考研数学二·零基础讲义 第11讲（上）｜反常积分

约 19 分钟 5812 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 第 11 讲（上）｜反常积分

学完这一篇，你能判断一个积分是不是"反常"的，会用"先算定积分、再取极限"的方法计算无穷区间和无界函数的反常积分，牢记 p 积分的收敛结论，并能用它粗略判断敛散。预计用时：3–4 小时（含练习）。

本讲地图

  • 学什么：无穷区间上的反常积分；无界函数的反常积分（瑕积分）；两类 p 积分的收敛结论；混合型反常积分；比较判别的基本思路（了解）。
  • 大纲要求：了解反常积分的概念，会计算反常积分。
  • 考研怎么考：常见题型有两类：一是直接计算一个反常积分的值；二是判断敛散性或求参数范围（"当 pp 满足什么条件时收敛"），后者几乎都靠 p 积分结论来比。反常积分也常出现在"无界区域的面积、旋转体体积"题里。
  • 学习策略：抓住一句话——反常积分 = 定积分 + 极限。计算上没有新东西，新的只是"极限存在才叫收敛"。

前置知识

  • 定积分的计算（牛顿-莱布尼茨、换元、分部）：见第 10 讲（下）。
  • 极限计算，特别是 x→+∞x\to+\infty 时 e−xe^{-x}、ln⁡x\ln x、幂函数谁跑得快（如 lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} = 0、lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x = 0）：见第 02、03、07 讲。
  • 不定积分的计算：见第 09 讲（上）（下）。

一、为什么会有"反常"积分

大白话

第 10 讲的定积分有两个默认前提：区间有限（从 aa 到 bb），函数有界（不会冲到无穷大）。可现实中常有打破它们的情形：

  • 曲线 y=1x2y = \dfrac{1}{x^2} 从 x=1x = 1 一直延伸到无穷远，它下面那块"无限长"的区域，面积是多少？
  • 曲线 y=1xy = \dfrac{1}{\sqrt x} 在 x→0+x\to0^+ 时冲向无穷高，从 0 到 1 这块"无限高"的区域，面积是多少？

直觉上"无限长/无限高"的东西面积也该无限大，但事实是：有的有限，有的无限。就像一根越来越细的面条，虽然无限长，如果细得足够快，总体积也可以是有限的。

积分上限 b 越推越远：1/x² 下方面积趋于 1，1/x 下方面积无限增大 b = 2：蓝色面积 1 − 1/b = 0.500，蓝+橙面积 ln b = 0.693 b = 3：蓝色面积 1 − 1/b = 0.667，蓝+橙面积 ln b = 1.099 b = 5：蓝色面积 1 − 1/b = 0.800，蓝+橙面积 ln b = 1.609 b = 10：蓝色面积 1 − 1/b = 0.900，蓝+橙面积 ln b = 2.303 x y 1 5 10 1 O y = 1/x y = 1/x² b → +∞：1 − 1/b → 1（收敛）；ln b → +∞（发散）

图 1：上限 b = 2、3、5、10 时：1/x² 下方面积 1 − 1/b 趋于 1（收敛），1/x 下方面积 ln b 无限增大（发散）（动画循环播放）

处理方法很朴素：先在一个"正常"的有限范围里算定积分，再让范围往"反常"的方向延伸，看极限存不存在。极限存在（是有限数），就说反常积分收敛，极限值就是积分值；否则说它发散。

二、无穷区间上的反常积分

正式定义

设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上连续，定义

∫a+∞f(x) dx=lim⁡b→+∞∫abf(x) dx.\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x .

极限存在则称收敛，否则称发散。同理

∫−∞bf(x) dx=lim⁡a→−∞∫abf(x) dx.\int_{-\infty}^bf(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x .

两头都无穷时，必须拆开：任取一点 cc（常取 0），

∫−∞+∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c+∞f(x) dx,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^cf(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x ,

两部分都收敛，整体才收敛；只要有一个发散，整体就发散。

逐行拆解

  • +∞+\infty 读作"正无穷"，lim⁡b→+∞\lim\limits_{b\to+\infty} 读作"bb 趋于正无穷时的极限"。
  • 实际计算时常把"先算再取极限"简写成 F(x)∣a+∞=lim⁡x→+∞F(x)−F(a)F(x)\Big|_a^{+\infty} = \lim\limits_{x\to+\infty}F(x) - F(a)，这里的 F(+∞)F(+\infty) 指的是极限值，不是"把无穷代进去"。
  • 收敛 = 极限是一个有限的数；极限是 ∞\infty 或者根本不存在（比如来回振荡），都叫发散。

例题

例 1 计算 ∫1+∞1x2 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x。

  • 第 1 步，先算有限区间：∫1b1x2 dx=[−1x]1b=1−1b\displaystyle\int_1^b\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\frac1x\right]_1^b = 1 - \frac1b。
  • 第 2 步，取极限：lim⁡b→+∞(1−1b)=1\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\left(1 - \frac1b\right) = 1。
  • 结论：收敛，值为 1。这块无限长的区域面积竟然只有 1。

例 2 判断 ∫1+∞1x dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1x\,\mathrm{d}x 的敛散性。

∫1b1x dx=ln⁡b→+∞\displaystyle\int_1^b\frac1x\,\mathrm{d}x = \ln b\to+\infty，所以发散。

对比例 1：1x2\frac{1}{x^2} 和 1x\frac1x 看起来差不多，可前者衰减得快，面积有限；后者衰减得慢，面积无限。1x\frac1x 正好是"收敛与发散的分界线"，后面 p 积分会说清楚。

例 3 计算 ∫0+∞e−x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x 和 ∫0+∞xe−x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm{d}x。

  • ∫0+∞e−x dx=[−e−x]0+∞=0−(−1)=1\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-e^{-x}\Big]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1（lim⁡x→+∞e−x=0\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x} = 0）。
  • 第二个用分部积分，原函数是 −(x+1)e−x-(x+1)e^{-x}：
∫0+∞xe−x dx=[−(x+1)e−x]0+∞=0−(−1)=1.\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1 .

这里用到 lim⁡x→+∞(x+1)e−x=lim⁡x→+∞x+1ex=0\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)e^{-x} = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{e^x} = 0（洛必达，或"指数比幂函数跑得快"）。

例 4 计算 ∫−∞+∞11+x2 dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x。

  • 拆成两半：∫−∞0+∫0+∞\displaystyle\int_{-\infty}^0 + \int_0^{+\infty}。
  • ∫0+∞dx1+x2=[arctan⁡x]0+∞=π2−0=π2\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \Big[\arctan x\Big]_0^{+\infty} = \frac\pi2 - 0 = \frac\pi2（lim⁡x→+∞arctan⁡x=π2\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x = \frac\pi2）。
  • 同理 ∫−∞0dx1+x2=0−(−π2)=π2\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = 0 - \left(-\frac\pi2\right) = \frac\pi2。
  • 两部分都收敛，原式 =π= \pi。（被积函数是偶函数，也可以写成 2∫0+∞2\int_0^{+\infty}，但前提是这一半收敛。）

例 5（换元 + 反常）计算 ∫0+∞xe−x2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x 和 ∫2+∞1xln⁡2x dx\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2x}\,\mathrm{d}x。

  • 第一个：凑微分 x dx=−12d(−x2)x\,\mathrm{d}x = -\frac12\mathrm{d}(-x^2)，原函数 −12e−x2-\frac12e^{-x^2}，
[−12e−x2]0+∞=0−(−12)=12.\left[-\frac12e^{-x^2}\right]_0^{+\infty} = 0 - \left(-\frac12\right) = \frac12 .
  • 第二个：1x dx=d(ln⁡x)\frac1x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\ln x)，原函数 −1ln⁡x-\dfrac{1}{\ln x}，
[−1ln⁡x]2+∞=0+1ln⁡2=1ln⁡2.\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^{+\infty} = 0 + \frac{1}{\ln2} = \frac{1}{\ln2} .

例 6（分部 + 反常）计算 ∫1+∞ln⁡xx2 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x。

  • 对数当 uu，1x2 dx=d(−1x)\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(-\frac1x\right)：
∫1+∞ln⁡xx2 dx=[−ln⁡xx]1+∞+∫1+∞1x2 dx.\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^{+\infty} + \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x .
  • 边界项：lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0，x=1x = 1 时 ln⁡1=0\ln1 = 0，所以边界项为 0。
  • 后一项由例 1 等于 1。原式 =1= 1。

例 7（配方 + 反常）计算 ∫0+∞1x2+2x+2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x。

配方 (x+1)2+1(x+1)^2 + 1，原函数 arctan⁡(x+1)\arctan(x+1)：

[arctan⁡(x+1)]0+∞=π2−π4=π4.\Big[\arctan(x+1)\Big]_0^{+\infty} = \frac\pi2 - \frac\pi4 = \frac\pi4 .

例 8（振荡发散）判断 ∫0+∞sin⁡x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\sin x\,\mathrm{d}x 的敛散性。

∫0bsin⁡x dx=1−cos⁡b\displaystyle\int_0^b\sin x\,\mathrm{d}x = 1 - \cos b，当 b→+∞b\to+\infty 时在 0 和 2 之间来回振荡，没有极限，所以发散。发散不一定是"冲到无穷大"，振荡不停也是发散。

易错点 ⚠️

  • ∫−∞+∞\int_{-\infty}^{+\infty} 必须拆成两个分别判断，不能写成 lim⁡A→+∞∫−AA\lim\limits_{A\to+\infty}\int_{-A}^{A}。比如 ∫−∞+∞x dx\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x，用对称的 ∫−AAx dx=0\int_{-A}^A x\,\mathrm{d}x = 0 会误以为收敛到 0，其实两半都发散，整体发散。
  • 奇函数在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的积分为 0，前提是它收敛。例如 ∫−∞+∞xe−x2 dx\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x：两半分别是 −12-\frac12 和 12\frac12，都收敛，所以等于 0；而 ∫−∞+∞x dx\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x 不能用这个结论。
  • "F(+∞)F(+\infty)"是极限，计算时要真的求极限，常用到洛必达和"指数 > 幂 > 对数"的增长速度比较。

三、无界函数的反常积分（瑕积分）

大白话

区间是有限的，但函数在某一点附近冲向无穷大，这个点叫瑕点（"瑕"就是玉上的斑点，意思是"有毛病的点"）。比如 1x\frac{1}{\sqrt x} 在 x=0x = 0 处、1x−1\frac{1}{x-1} 在 x=1x = 1 处、ln⁡x\ln x 在 x=0x = 0 处。

处理办法一样：先离瑕点远一点算定积分，再让这一点靠过去取极限。

瑕积分：左端点 ε 逼近瑕点 0，面积趋于 2 ε = 0.25：面积 = 2 − 2√ε = 1.00 ε = 0.09：面积 = 2 − 2√ε = 1.40 ε = 0.01：面积 = 2 − 2√ε = 1.80 ε = 0.0004：面积 = 2 − 2√ε = 1.96 x y 1 1 5 O y = 1/√x 在 x = 0 附近冲向无穷高 ε 从右侧趋于 0：面积 → 2（收敛）

图 2：瑕积分（1/√x 从 0 到 1）：左端点 ε = 0.25、0.09、0.01、0.0004 时面积 2 − 2√ε 依次为 1.00、1.40、1.80、1.96，趋于 2（动画循环播放）

正式定义

设 f(x)f(x) 在 (a,b](a,b] 上连续，x=ax = a 是瑕点（lim⁡x→a+f(x)=∞\lim\limits_{x\to a^+}f(x) = \infty），定义

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx.\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x .

瑕点在右端点 bb 时，类似地取 lim⁡t→b−∫at\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^t。瑕点 cc 在区间内部时，必须拆开：

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx,\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^bf(x)\,\mathrm{d}x ,

两部分都收敛，整体才收敛。

逐行拆解

  • t→a+t\to a^+ 读作"tt 从右侧趋于 aa"，因为 tt 要待在区间 (a,b](a,b] 里面。
  • 瑕积分外表和普通定积分一模一样（上下限都是有限数），这是它最危险的地方：你必须自己检查被积函数在区间上有没有"爆掉"的点。

例题

例 9 计算 ∫011x dx\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x。

  • 瑕点 x=0x = 0。∫t1x−12 dx=[2x]t1=2−2t\displaystyle\int_t^1x^{-\frac12}\,\mathrm{d}x = \Big[2\sqrt x\Big]_t^1 = 2 - 2\sqrt t。
  • 取极限 t→0+t\to0^+：2−0=22 - 0 = 2。收敛，值为 2。

例 10 判断 ∫011x2 dx\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x 的敛散性。

∫t1dxx2=[−1x]t1=−1+1t→+∞\displaystyle\int_t^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \left[-\frac1x\right]_t^1 = -1 + \frac1t\to+\infty（t→0+t\to0^+），发散。

例 11 计算 ∫01ln⁡x dx\displaystyle\int_0^1\ln x\,\mathrm{d}x。

  • 瑕点 x=0x = 0（ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty）。原函数 xln⁡x−xx\ln x - x。
  • [xln⁡x−x]t1=(0−1)−(tln⁡t−t)\Big[x\ln x - x\Big]_t^1 = (0 - 1) - (t\ln t - t)。
  • 关键极限：lim⁡t→0+tln⁡t=0\lim\limits_{t\to0^+}t\ln t = 0（化成 ln⁡t1/t\frac{\ln t}{1/t} 用洛必达）。
  • 所以原式 =−1= -1。

例 12 计算 ∫01xln⁡x dx\displaystyle\int_0^1x\ln x\,\mathrm{d}x。

原函数 x22ln⁡x−x24\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}；x→0+x\to0^+ 时 x2ln⁡x→0x^2\ln x\to0，所以

∫01xln⁡x dx=(0−14)−0=−14.\int_0^1x\ln x\,\mathrm{d}x = \left(0 - \frac14\right) - 0 = -\frac14 .

（严格说 xln⁡xx\ln x 在 x→0+x\to0^+ 时趋于 0，并不无界，这其实是个"看起来像反常、本质是正常"的积分。计算方法相同，不必纠结。）

例 13 计算 ∫121x−1 dx\displaystyle\int_1^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}\,\mathrm{d}x 和 ∫0111−x2 dx\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x。

  • 第一个，瑕点 x=1x = 1，原函数 2x−12\sqrt{x-1}：21−lim⁡t→1+2t−1=22\sqrt1 - \lim\limits_{t\to1^+}2\sqrt{t-1} = 2。
  • 第二个，瑕点 x=1x = 1（右端点），原函数 arcsin⁡x\arcsin x：lim⁡t→1−arcsin⁡t−0=π2\lim\limits_{t\to1^-}\arcsin t - 0 = \dfrac\pi2。

例 14（经典陷阱）计算 ∫−111x2 dx\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x。

  • 错误做法：直接套牛顿-莱布尼茨，[−1x]−11=−1−1=−2\left[-\frac1x\right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2。被积函数恒正，积分却是负数，显然荒谬。
  • 正确做法：x=0x = 0 是区间内部的瑕点，必须拆开：∫−10dxx2+∫01dxx2\displaystyle\int_{-1}^0\frac{\mathrm{d}x}{x^2} + \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2}。由例 10，后一个已经发散，所以原积分发散。

易错点 ⚠️

  • 拿到定积分先检查有没有瑕点：分母为 0 的点、ln⁡\ln 的 0 点、tan⁡\tan 的 π2\frac\pi2 等。
  • 瑕点在内部时，不拆开直接套公式，是考试最经典的坑。
  • 求极限时常用 lim⁡x→0+xαln⁡x=0 (α>0)\lim\limits_{x\to0^+}x^\alpha\ln x = 0\ (\alpha>0)。

四、p 积分：两条必背结论

大白话

1xp\frac{1}{x^p} 是判断敛散性的"标准尺子"。别的反常积分收不收敛，常常拿它来比。记住它在两种场合的结论，相当于手里有了一把刻度清晰的尺子。

正式结论

无穷区间（a>0a>0）：

∫a+∞1xp dx {收敛,p>1发散,p≤1\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\ \begin{cases}\text{收敛}, & p>1\\ \text{发散}, & p\le1\end{cases}

无界函数（瑕点在 0）：

∫011xp dx {收敛,p<1发散,p≥1\int_0^1\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\ \begin{cases}\text{收敛}, & p<1\\ \text{发散}, & p\ge1\end{cases}

逐行拆解与推导

  • 以无穷区间、a=1a = 1 为例：p≠1p\ne1 时 ∫1bx−p dx=b1−p−11−p\displaystyle\int_1^b x^{-p}\,\mathrm{d}x = \frac{b^{1-p} - 1}{1-p}。
    • p>1p>1：1−p<01-p<0，b1−p→0b^{1-p}\to0，极限 =1p−1= \dfrac{1}{p-1}，收敛；
    • p<1p<1：b1−p→+∞b^{1-p}\to+\infty，发散；
    • p=1p = 1：积分是 ln⁡b→+∞\ln b\to+\infty，发散。
  • 瑕积分的情形正好反过来：p<1p<1 时 ∫t1x−p dx=1−t1−p1−p→11−p\displaystyle\int_t^1x^{-p}\,\mathrm{d}x = \frac{1 - t^{1-p}}{1-p}\to\frac{1}{1-p}，收敛。
  • 记忆口诀："无穷远处要衰减得快（p>1p>1），零点附近要爆得慢（p<1p<1）"。p=1p = 1 两边都发散。
  • 更一般地，瑕点在 aa 时，∫abdx(x−a)p\int_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^p} 也是 p<1p<1 收敛、p≥1p\ge1 发散。

例题

例 15 直接判断：

积分 pp 类型 结论
∫1+∞dxx3/2\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}} 32\frac32 无穷区间，p>1p>1 收敛，值 1p−1=2\frac{1}{p-1} = 2
∫1+∞dxx\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x} 12\frac12 无穷区间，p≤1p\le1 发散
∫01dxx3\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x}} 13\frac13 瑕点 0，p<1p<1 收敛，值 11−p=32\frac{1}{1-p} = \frac32
∫01dxx3/2\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}} 32\frac32 瑕点 0，p≥1p\ge1 发散

易错点 ⚠️

  • 两种情形的条件方向相反，最容易记混。记住两个代表：∫1+∞1x2\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2} 收敛，∫011x\int_0^1\frac{1}{\sqrt x} 收敛。
  • p=1p = 1 时都发散。

五、混合型反常积分

大白话

有的积分"两种毛病都有"：既延伸到无穷远，又在某个端点爆掉。处理原则只有一条：把每一处毛病分开，一段只留一个毛病，每段都收敛整体才收敛。

例 16 计算 ∫0+∞1x(1+x) dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt x(1+x)}\,\mathrm{d}x。

  • 毛病：x=0x = 0 是瑕点，上限是 +∞+\infty。理论上要拆成 ∫01+∫1+∞\int_0^1 + \int_1^{+\infty} 分别讨论。
  • 先求原函数：令 x=t\sqrt x = t，dx=2t dt\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t，∫2t dtt(1+t2)=2arctan⁡t=2arctan⁡x\displaystyle\int\frac{2t\,\mathrm{d}t}{t(1+t^2)} = 2\arctan t = 2\arctan\sqrt x。
  • 两端取极限：x→+∞x\to+\infty 时 2arctan⁡x→π2\arctan\sqrt x\to\pi；x→0+x\to0^+ 时 →0\to0。两端极限都存在，说明两段都收敛。
  • 原式 =π−0=π= \pi - 0 = \pi。

例 17 计算 ∫1+∞1xx−1 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\,\mathrm{d}x。

  • 毛病：x=1x = 1 是瑕点，上限 +∞+\infty。
  • 令 x−1=t\sqrt{x-1} = t，x=t2+1x = t^2+1，dx=2t dt\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t；x:1→+∞x: 1\to+\infty 对应 t:0→+∞t: 0\to+\infty：
∫0+∞2t dt(t2+1)t=∫0+∞2 dt1+t2=2⋅π2=π.\int_0^{+\infty}\frac{2t\,\mathrm{d}t}{(t^2+1)t} = \int_0^{+\infty}\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2} = 2\cdot\frac\pi2 = \pi .

观察：换元后瑕点消失了，变成了一个普通的无穷区间积分。换元可以改变反常积分的类型，这是计算时的常用技巧。

六、敛散性的比较判别（了解，会用 p 积分比即可）

大白话

很多反常积分算不出原函数，但可以和 p 积分"比个子"：比一个收敛的还小，它也收敛；比一个发散的还大，它也发散（都针对非负函数）。更好用的是"看主要部分"：x→+∞x\to+\infty 时，xx3+1\frac{x}{x^3+1} 的表现和 1x2\frac{1}{x^2} 差不多，那它们的敛散性就一样。

结论（非负函数）

  • 比较判别：0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x)，若 ∫g\int g 收敛则 ∫f\int f 收敛；若 ∫f\int f 发散则 ∫g\int g 发散。
  • 极限形式：若 lim⁡f(x)g(x)=l\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = l，0<l<+∞0<l<+\infty，则 ∫f\int f 与 ∫g\int g 同敛散。实际做题就是：找出被积函数在"毛病处"的等价无穷小（或主要部分），化成 1xp\frac{1}{x^p} 再用 p 积分结论。

例题

例 18 判断敛散性：

(1) ∫1+∞xx3+1 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x}{x^3+1}\,\mathrm{d}x：x→+∞x\to+\infty 时 xx3+1∼1x2\dfrac{x}{x^3+1}\sim\dfrac{1}{x^2}，p=2>1p = 2>1，收敛。

(2) ∫1+∞1x+1 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x：1x+1∼1x1/2\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\sim\dfrac{1}{x^{1/2}}，p=12≤1p = \frac12\le1，发散。

(3) ∫1+∞1x2+x dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt x}\,\mathrm{d}x：0<1x2+x<1x20<\dfrac{1}{x^2+\sqrt x}<\dfrac{1}{x^2}，而 ∫1+∞dxx2\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} 收敛，所以收敛。

(4) ∫01sin⁡xx3/2 dx\displaystyle\int_0^1\frac{\sin x}{x^{3/2}}\,\mathrm{d}x：x→0+x\to0^+ 时 sin⁡x∼x\sin x\sim x，sin⁡xx3/2∼1x1/2\dfrac{\sin x}{x^{3/2}}\sim\dfrac{1}{x^{1/2}}，瑕点处 p=12<1p = \frac12<1，收敛。

易错点 ⚠️

  • 比较判别只对非负（或最终非负）的函数直接使用。
  • 先确认"毛病"在哪：无穷远处看 x→+∞x\to+\infty 的主要部分，瑕点处看 x→x\to 瑕点的主要部分，两者用的 p 积分条件不同。

七、解题模板：一道反常积分题的完整书写

考试大题里，反常积分的书写要体现"极限"，下面是一个规范模板，以 ∫1+∞ln⁡xx2 dx\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x 为例：

  1. 指出类型："积分区间为无穷区间，被积函数在 [1,+∞)[1,+\infty) 上连续，这是无穷区间上的反常积分。"
  2. 求原函数："由分部积分，∫ln⁡xx2 dx=−ln⁡xx−1x+C\int\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{\ln x}{x} - \frac1x + C。"
  3. 写成极限："∫1+∞ln⁡xx2 dx=lim⁡b→+∞[−ln⁡xx−1x]1b=lim⁡b→+∞(−ln⁡bb−1b+1)\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to+\infty}\left[-\frac{\ln x}{x} - \frac1x\right]_1^b = \lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{\ln b}{b} - \frac1b + 1\right)。"
  4. 算极限："由洛必达法则 lim⁡b→+∞ln⁡bb=0\lim\limits_{b\to+\infty}\frac{\ln b}{b} = 0，故原式 =1= 1，反常积分收敛。"

熟练以后可以简写成 [⋯]1+∞\Big[\cdots\Big]_1^{+\infty}，但心里一定要清楚：上限 +∞+\infty 处是在求极限。

判断敛散性题的模板：

  1. 找出所有"毛病"（无穷限、瑕点），必要时拆开；
  2. 对每一段，找被积函数在毛病处的主要部分 1xp\frac{1}{x^p}（或 1(x−a)p\frac{1}{(x-a)^p}）；
  3. 按 p 积分结论判断每一段；
  4. 下结论：所有段都收敛才收敛。

带参数的题（"pp 取何值时收敛"）也是同样的思路：两端各给出一个条件，取交集。例如 ∫0+∞dxxp(1+x)\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p(1+x)}：在 0 附近 ∼1xp\sim\frac{1}{x^p}，需要 p<1p<1；在 +∞+\infty 附近 ∼1xp+1\sim\frac{1}{x^{p+1}}，需要 p+1>1p+1>1 即 p>0p>0。合起来 0<p<10<p<1 时收敛。例 16 中 p=12p = \frac12 正落在这个范围内。

八、常见疑问

问：反常积分和定积分计算上有什么区别？

答：几乎没有。原函数照样求，换元、分部照样用，唯一的区别是：在"有毛病"的那一端，不是直接代数，而是求极限。把这一点做规范，反常积分就和定积分一样简单。

问：反常积分能用对称性吗？

答：能，但前提是先确认收敛。偶函数在对称区间上可以写成 2∫0+∞2\int_0^{+\infty}，奇函数收敛时积分为 0。千万不要对一个发散的积分用"奇函数积分为零"。

问：怎么快速判断一个积分是不是反常积分？

答：看两处。一看上下限：有没有 ±∞\pm\infty；二看被积函数：在积分区间上（包括端点）有没有让它趋于无穷的点。第二种最容易漏，养成习惯：拿到积分先扫一眼分母和对数。

问：为什么 ∫1+∞1x dx\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x 发散，∫1+∞1x2 dx\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x 却收敛？

答：关键在于"衰减速度"。1x\frac1x 衰减太慢，每往后走一段，增加的面积虽然越来越少，但加起来总能越过任何数（就像 1+12+13+⋯1 + \frac12 + \frac13 + \cdots 会无限增大）；1x2\frac{1}{x^2} 衰减得足够快，后面的面积加起来有上限。p=1p = 1 就是这个"快"与"慢"的分界线。

公式/结论速记卡

类别 要点
核心思想 反常积分 = 定积分 + 极限；极限有限则收敛
无穷区间 ∫a+∞f=lim⁡b→+∞∫abf\int_a^{+\infty}f = \lim\limits_{b\to+\infty}\int_a^bf；∫−∞+∞\int_{-\infty}^{+\infty} 必须拆成两个，都收敛才收敛
瑕积分 瑕点 = 函数趋于无穷的点；端点瑕点取单侧极限；内部瑕点必须拆开
p 积分（无穷） ∫a+∞dxxp (a>0)\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\ (a>0)：p>1p>1 收敛，p≤1p\le1 发散；∫1+∞dxxp=1p−1 (p>1)\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p} = \frac{1}{p-1}\ (p>1)
p 积分（瑕点） ∫01dxxp\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}：p<1p<1 收敛，p≥1p\ge1 发散；值 11−p\frac{1}{1-p}
常用值 ∫0+∞e−x dx=1\int_0^{+\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x = 1；∫0+∞xe−x dx=1\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm{d}x = 1；∫−∞+∞dx1+x2=π\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \pi；∫01ln⁡x dx=−1\int_0^1\ln x\,\mathrm{d}x = -1；∫01dxx=2\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x} = 2
常用极限 lim⁡x→+∞xkex=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^k}{e^x} = 0；lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha} = 0；lim⁡x→0+xαln⁡x=0 (α>0)\lim\limits_{x\to0^+}x^\alpha\ln x = 0\ (\alpha>0)；arctan⁡(+∞)=π2\arctan(+\infty) = \frac\pi2
混合型 一段只留一个毛病，各段都收敛才收敛；换元可能改变类型
比较判别 非负函数：找主要部分 ∼1xp\sim\frac{1}{x^p}，按 p 积分结论判断
经典陷阱 ∫−11dxx2\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2} 发散，不是 −2-2

自测练习

1. 计算 ∫0+∞1(1+x)2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x。

答案与提示

原函数 −11+x-\frac{1}{1+x}：[−11+x]0+∞=0−(−1)=1\left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1。收敛，值为 11。

2. 计算 ∫0+∞e−2x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,\mathrm{d}x。

答案与提示

[−12e−2x]0+∞=0+12=12\left[-\frac12e^{-2x}\right]_0^{+\infty} = 0 + \frac12 = \frac12。

3. 计算 ∫e+∞1x(ln⁡x)2 dx\displaystyle\int_e^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^2}\,\mathrm{d}x。

答案与提示

1xdx=d(ln⁡x)\frac1x\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\ln x)，原函数 −1ln⁡x-\frac{1}{\ln x}：0−(−1ln⁡e)=10 - \left(-\frac{1}{\ln e}\right) = 1。

4. 计算 ∫01x1−x2 dx\displaystyle\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x。

答案与提示

瑕点 x=1x = 1。原函数 −1−x2-\sqrt{1-x^2}：lim⁡t→1−(−1−t2)−(−1)=0+1=1\lim\limits_{t\to1^-}\left(-\sqrt{1-t^2}\right) - (-1) = 0 + 1 = 1。

5. 判断下列积分的敛散性，收敛的求值：(a) ∫1+∞dxx3/2\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}}；(b) ∫01dxx3/2\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}}；(c) ∫01dxx3\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x}}。

答案与提示

(a) 无穷区间 p=32>1p = \frac32>1，收敛，值 1p−1=2\frac{1}{p-1} = 2。 (b) 瑕点 0，p=32≥1p = \frac32\ge1，发散。 (c) 瑕点 0，p=13<1p = \frac13<1，收敛，值 11−p=32\frac{1}{1-p} = \frac32。

6. 计算 ∫2+∞1x2−1 dx\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{1}{x^2-1}\,\mathrm{d}x。

答案与提示

1x2−1=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{x^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)，原函数 12ln⁡x−1x+1\frac12\ln\frac{x-1}{x+1}。x→+∞x\to+\infty 时 x−1x+1→1\frac{x-1}{x+1}\to1，ln⁡→0\ln\to0：

0−12ln⁡13=12ln⁡30 - \frac12\ln\frac13 = \frac12\ln3

7. 判断 ∫021(x−1)2 dx\displaystyle\int_0^2\frac{1}{(x-1)^2}\,\mathrm{d}x 的敛散性。

答案与提示

x=1x = 1 是区间内部的瑕点，拆成 ∫01+∫12\int_0^1 + \int_1^2。∫12dx(x−1)2=lim⁡t→1+(−1+1t−1)=+∞\int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{(x-1)^2} = \lim\limits_{t\to1^+}\left(-1 + \frac{1}{t-1}\right) = +\infty，发散，所以原积分发散。（直接套公式会得到 −2-2，是错的。）

8. 判断 ∫1+∞xx3+1 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x}{x^3+1}\,\mathrm{d}x 的敛散性。

答案与提示

x→+∞x\to+\infty 时 xx3+1∼1x2\frac{x}{x^3+1}\sim\frac{1}{x^2}，p=2>1p = 2>1，收敛。

9.（略提高）计算 ∫01ln⁡xx dx\displaystyle\int_0^1\frac{\ln x}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x。

答案与提示

分部：1xdx=d(2x)\frac{1}{\sqrt x}\mathrm{d}x = \mathrm{d}(2\sqrt x)，

[2xln⁡x]0+1−∫012x⋅1x dx=0−[4x]01=−4\Big[2\sqrt x\ln x\Big]_{0^+}^1 - \int_0^1 2\sqrt x\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x = 0 - \Big[4\sqrt x\Big]_0^1 = -4

其中 lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim\limits_{x\to0^+}\sqrt x\ln x = 0。

10.（略提高）计算 ∫−∞+∞xe−x2 dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x，并说明为什么可以用奇函数的性质。

答案与提示

先确认收敛：∫0+∞xe−x2 dx=12\int_0^{+\infty}xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac12（例 5），同理 ∫−∞0xe−x2 dx=−12\int_{-\infty}^0xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac12，两半都收敛。所以整体收敛，值为 00。正因为两半都收敛，才能说"奇函数积分为零"。

下一讲预告

第 11 讲（下）「定积分的应用」：用"微元法"把面积、体积、弧长、做功、液体压力统统变成定积分。

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