考研数学二·零基础讲义 第10讲（下）｜定积分的计算：牛顿-莱布尼茨、换元分部与对称技巧

考研数学二·零基础讲义 · 第 10 讲（下）｜定积分的计算：牛顿-莱布尼茨、换元分部与对称技巧

学完这一篇，你能用牛顿-莱布尼茨公式算定积分，熟练使用"换元必换限"和定积分分部积分，并会用奇偶对称、周期性、华里士公式（点火公式）快速算出一大批积分。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：牛顿-莱布尼茨公式（含绝对值、分段函数的处理）；定积分换元法；定积分分部积分法；奇偶函数在对称区间上的积分；周期函数的积分；华里士公式；两个常用的"区间再现"结论。
• 大纲要求：掌握牛顿-莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
• 考研怎么考：定积分计算几乎每年都在用，常作为大题中的一步出现；对称性和华里士公式是选择、填空题的提速神器。
• 学习策略：先把"求原函数 + 代上下限"练熟，再养成"先看对称、再看点火、最后硬算"的习惯。

前置知识#

• 定积分的概念、性质、变限积分求导：见第 10 讲（上）。
• 不定积分的全部计算方法（凑微分、换元、分部、有理函数）：见第 09 讲（上）（下）。这一篇大量计算直接依赖第 09 讲。
• 函数的奇偶性、周期性：见第 01 讲。

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一、牛顿-莱布尼茨公式#

大白话#

这是整个微积分最重要的公式：求面积（定积分）= 原函数在终点的值 − 原函数在起点的值。

还是开车的比喻：想知道一段时间里走了多远，不用把每一瞬间的速度累加，只要看里程表——终点读数减起点读数。原函数就是那块"里程表"。

正式公式#

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的一个原函数，则

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = F(x)\Big|_a^b .$$

逐行拆解#

• $F(x)\Big|_a^b$ 读作"$F(x)$ 从 $a$ 到 $b$"，意思就是 $F(b) - F(a)$。
• 用任何一个原函数都行，常数 $C$ 一减就消掉了，所以定积分里不写 $C$。

例题#

例 1 计算：

(1) $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x\Big|_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2$。

(2) $\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x = \frac12(\ln x)^2\Big|_1^e = \frac12 - 0 = \frac12$。

(3) $\displaystyle\int_{-1}^{2}|x|\,\mathrm{d}x$：绝对值要拆区间。

$$\int_{-1}^0(-x)\,\mathrm{d}x + \int_0^2x\,\mathrm{d}x = \frac12 + 2 = \frac52 .$$

(4) 分段函数 $f(x) = \begin{cases}x^2, & 0\le x\le1\\ 2x, & 1<x\le2\end{cases}$，求 $\displaystyle\int_0^2f(x)\,\mathrm{d}x$。

$$\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x + \int_1^22x\,\mathrm{d}x = \frac13 + (4-1) = \frac{10}{3} .$$

补充：为什么公式成立？（回顾第 10 讲（上））

$\Phi(x) = \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t$ 是 $f$ 的一个原函数，任意原函数 $F(x) = \Phi(x) + C$。代 $x = a$ 得 $C = F(a)$，代 $x = b$ 得 $\int_a^bf = F(b) - F(a)$。整个公式就是"变限积分求导公式"的直接推论。

规范书写格式（大题要这样写，阅卷老师看得清楚）：

$$\int_1^2\left(x^2 + \frac1x\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3} + \ln x\right]_1^2 = \left(\frac83 + \ln2\right) - \left(\frac13 + 0\right) = \frac73 + \ln2 .$$

先写原函数并加方括号（或竖线）标上下限，再分别代入上限、下限，最后相减。代下限时整个括号都要减掉，符号最容易出错。

易错点 ⚠️#

• 公式要求 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续（至少可积且原函数存在）。像 $\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$，$x = 0$ 处无界，硬套公式会得到 $-2$（面积为负，明显荒谬）。这其实是反常积分，见第 11 讲。
• 带绝对值、分段函数，先按区间拆开再算。

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二、定积分的换元法与分部积分法#

1. 换元法：换元必换限#

公式：设 $x = \varphi(t)$，$\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$，$\varphi'(t)$ 连续，则

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\,\mathrm{d}t .$$

大白话：和不定积分的换元一样，只是多了一条：上下限跟着变量一起换。换完之后直接用新变量的上下限算，不用再换回 $x$，这是定积分换元比不定积分省事的地方。

口诀："换元必换限，上对上，下对下"。

为什么"换元必换限"？ 打个比方：你用"米"量一段路，从 0 米量到 400 米；现在改用"圈"做单位（一圈 400 米），那终点就该写"1 圈"，不能还写"400"。换元就是换了度量单位，上下限当然要用新单位重新写。

定积分换元的标准四步：

1. 设：写出代换 $x = \varphi(t)$（或 $t = \psi(x)$）；
2. 求：求出 $\mathrm{d}x = \varphi'(t)\,\mathrm{d}t$；
3. 换：把 $x$ 的上下限分别代入，求出 $t$ 的上下限，"上对上、下对下"；
4. 算：在新变量下求原函数，直接代入新上下限。

例 2 $\displaystyle\int_0^4\frac{1}{1+\sqrt x}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $\sqrt x = t$，$x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$。$x = 0$ 时 $t = 0$；$x = 4$ 时 $t = 2$。
• 原式 $= \displaystyle\int_0^2\frac{2t}{1+t}\,\mathrm{d}t = \Big[2t - 2\ln(1+t)\Big]_0^2 = 4 - 2\ln3$。

例 3 $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $x = \sin t$，$x: 0\to1$ 对应 $t: 0\to\frac\pi2$，$\mathrm{d}x = \cos t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,\mathrm{d}t = \frac\pi4$（用降幂，或用后面的华里士公式）。
• 几何验证：四分之一个单位圆的面积，正是 $\frac\pi4$。

例 4 $\displaystyle\int_0^{\ln2}\sqrt{e^x-1}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $\sqrt{e^x-1} = u$，$x = \ln(1+u^2)$，$\mathrm{d}x = \dfrac{2u}{1+u^2}\,\mathrm{d}u$。$x: 0\to\ln2$ 对应 $u: 0\to1$。
• 原式 $= \displaystyle\int_0^1\frac{2u^2}{1+u^2}\,\mathrm{d}u = 2\int_0^1\left(1 - \frac{1}{1+u^2}\right)\mathrm{d}u = 2\left(1 - \frac\pi4\right) = 2 - \frac\pi2$。

例 5（三角代换，换限后不用换回）$\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $x = \tan t$，$\mathrm{d}x = \sec^2t\,\mathrm{d}t$，$\sqrt{1+x^2} = \sec t$。
• 换限：$x = 1$ 时 $t = \frac\pi4$；$x = \sqrt3$ 时 $t = \frac\pi3$。
• 被积式化简（同第 09 讲（上））：$\dfrac{\sec^2t}{\tan^2t\sec t} = \dfrac{\cos t}{\sin^2t}$。
• 积分：

$$\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\cos t}{\sin^2t}\,\mathrm{d}t = \left[-\frac{1}{\sin t}\right]_{\pi/4}^{\pi/3} = -\frac{2}{\sqrt3} + \sqrt2 .$$

对比不定积分：这里我们完全不需要画三角形换回 $x$，直接用 $t$ 的上下限算出数值，省了一大步。

凑微分时不需要换限：如果你只是"心里把 $x^2$ 当整体"而没有写出新变量（比如 $\int_0^1xe^{x^2}\,\mathrm{d}x = \frac12e^{x^2}\Big|_0^1 = \frac{e-1}{2}$），那就直接用原来的上下限；只有明确写出新变量时才换限。一句话："变量换了，限就换；变量没换，限不换"。

2. 分部积分法#

$$\int_a^b u\,\mathrm{d}v = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,\mathrm{d}u .$$

选 $u$ 的方法和第 09 讲一样："反对幂三指"。

例 6

(1) $\displaystyle\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x = (x-1)e^x\Big|_0^1 = 0 - (-1) = 1$。

(2) $\displaystyle\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x = (x\ln x - x)\Big|_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$。

(3) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x = 0 + 1 = 1$。

(4) $\displaystyle\int_0^1\arctan x\,\mathrm{d}x = \Big[x\arctan x\Big]_0^1 - \int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac\pi4 - \frac12\ln2$。

例 7（更多分部积分）

(5) $\displaystyle\int_1^ex\ln x\,\mathrm{d}x$（对数当 $u$）：

$$\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \frac{e^2+1}{4} .$$

(6) $\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,\mathrm{d}x$（表格法）：原函数是 $(x^2 - 2x + 2)e^x$，

$$\Big[(x^2-2x+2)e^x\Big]_0^1 = (1 - 2 + 2)e - 2 = e - 2 .$$

小技巧：多次分部时，可以先用不定积分把原函数完整求出来，再一次性代上下限，这样不容易在中间步骤里丢掉边界项。

易错点 ⚠️#

• 换元忘了换上下限，或者换了限又把变量换回 $x$ 再代一次原来的限——两种都错。
• 换元时变量要"一一对应"，$x = \varphi(t)$ 在所选的 $t$ 区间上要单调。
• 分部积分的 $uv\Big|_a^b$ 部分要代入上下限，别写成不定积分的样子。

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三、对称性：奇偶函数在对称区间上的积分#

大白话#

奇函数图像关于原点对称，左边一块在 $x$ 轴下方、右边一块在上方（或反过来），面积正负抵消。偶函数关于 $y$ 轴对称，左右两块一样大，算一半乘以 2 就行。

图 1：对称区间 [−a, a] 上：奇函数 x³ 左右面积正负抵消（各 0.25），偶函数 x² 左右各 1/3、合计是右半的 2 倍（图中 a = 1）

正式结论#

设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续：

$$\int_{-a}^af(x)\,\mathrm{d}x = \begin{cases}0, & f\text{ 为奇函数}\\ 2\displaystyle\int_0^af(x)\,\mathrm{d}x, & f\text{ 为偶函数}\end{cases}$$

为什么成立？（用换元证明，顺便练换元） 把积分拆成两半：$\int_{-a}^af = \int_{-a}^0f + \int_0^af$。对前一半令 $x = -t$，$\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$，$x: -a\to0$ 对应 $t: a\to0$：

$$\int_{-a}^0f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^0f(-t)(-\mathrm{d}t) = \int_0^af(-t)\,\mathrm{d}t .$$

所以 $\int_{-a}^af(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^a\big[f(-x) + f(x)\big]\,\mathrm{d}x$。奇函数 $f(-x) + f(x) = 0$，积分为 0；偶函数 $f(-x) + f(x) = 2f(x)$，积分为 $2\int_0^af$。这个式子本身也很有用：不奇不偶时，也可以把 $f(x)$ 和 $f(-x)$ 加起来再积。

判断奇偶的小规则：奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇。常见奇函数：$x, x^3, \sin x, \tan x, \arctan x$；常见偶函数：常数、$x^2, \cos x, |x|$。

例题#

例 8 $\displaystyle\int_{-1}^1(x^3\cos x + x^2)\,\mathrm{d}x$。

$x^3\cos x$ 是奇×偶 = 奇，积分为 0；$x^2$ 是偶函数：

$$\text{原式} = 0 + 2\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x = \frac23 .$$

例 9 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin^5x + \cos^2x)\,\mathrm{d}x$。

$\sin^5x$ 是奇函数，积分 0。$\cos^2x$ 是偶函数：$2\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2x\,\mathrm{d}x = 2\cdot\frac\pi4 = \frac\pi2$。

例 10 $\displaystyle\int_{-1}^1\left(x + \sqrt{1-x^2}\right)^2\,\mathrm{d}x$。

展开：$x^2 + (1-x^2) + 2x\sqrt{1-x^2} = 1 + 2x\sqrt{1-x^2}$。后一项是奇函数（奇×偶），积分为 0：

$$\text{原式} = \int_{-1}^11\,\mathrm{d}x = 2 .$$

例 11（含绝对值的对称区间）$\displaystyle\int_{-1}^1(|x| + x)e^{-|x|}\,\mathrm{d}x$。

• 拆开：$|x|e^{-|x|}$ 是偶函数，$xe^{-|x|}$ 是奇函数（奇 × 偶）。
• 奇函数部分积分为 0；偶函数部分 $= 2\displaystyle\int_0^1xe^{-x}\,\mathrm{d}x$。
• 分部：$\displaystyle\int_0^1xe^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_0^1 = -\frac2e + 1$。
• 原式 $= 2\left(1 - \dfrac2e\right) = 2 - \dfrac4e$。

判断奇偶的标准动作：把 $x$ 换成 $-x$，看函数变成什么。$f(-x) = f(x)$ 是偶，$f(-x) = -f(x)$ 是奇；两者都不是时，可以拆成"奇部分 + 偶部分"分别处理。

易错点 ⚠️#

• 对称性只能用在对称区间 $[-a,a]$ 上。
• 拿到对称区间的积分，第一反应就是拆出奇函数部分直接划掉，往往能省掉大量计算。

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四、周期性#

大白话#

周期函数一圈一圈重复，像操场跑道：从哪里开始跑一整圈，跑过的路程都一样长。

图 2：|sin x| 的周期为 π：长度为一个周期的橙框滑到哪里，框内面积都等于 2（动画循环播放）

正式结论#

设 $f$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任意 $a$：

$$\int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^Tf(x)\,\mathrm{d}x, \qquad \int_0^{nT}f(x)\,\mathrm{d}x = n\int_0^Tf(x)\,\mathrm{d}x .$$

为什么从哪里开始都一样？ 想象操场上画着一圈一模一样的花纹，你从任何一个位置开始走一整圈，看到的花纹总量都相同，只是顺序不同——前面少看的一段，会在最后补回来。用式子说：$\int_a^{a+T} = \int_a^T + \int_T^{a+T}$，对后一段令 $x = t + T$ 并利用 $f(t+T) = f(t)$，它就等于 $\int_0^a$，和前一段拼起来正好是 $\int_0^T$。

例题#

例 12 $\displaystyle\int_0^{3\pi}|\sin x|\,\mathrm{d}x$。

$|\sin x|$ 的周期是 $\pi$，一个周期上 $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = 2$，所以原式 $= 3\times2 = 6$。

易错点 ⚠️#

• $|\sin x|$、$\sin^2x$ 的周期是 $\pi$，不是 $2\pi$。

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五、华里士公式（点火公式）#

大白话#

$\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,\mathrm{d}x$ 这类积分，用分部积分可以推出一个递推关系，最后得到一个"像倒计时点火"一样的乘积：从 $n$ 开始往下数，每次减 2，分子分母交错排列。

正式公式#

$$\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,\mathrm{d}x = \int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,\mathrm{d}x = \begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac12\cdot\dfrac\pi2, & n\text{ 为正偶数}\\ \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac23\cdot1, & n\text{ 为大于 1 的奇数}\end{cases}$$

逐行拆解#

• 分母从 $n$ 开始，分子从 $n-1$ 开始，每次都减 2，一直写到分子为 1。
• 偶数次最后多乘一个 $\frac\pi2$，奇数次最后乘 1。记法："偶数带 $\pi$ 飞，奇数不带"。
• 推导思路（了解）：记 $I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^nx\,\mathrm{d}x$，分部积分得 $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$，再配上 $I_0 = \frac\pi2$，$I_1 = 1$。
• $\sin$ 和 $\cos$ 结果一样，因为令 $x = \frac\pi2 - t$ 就能互换。

递推公式的推导（一步一步，理解即可）#

记 $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,\mathrm{d}x$（$n\ge2$）。

• 第 1 步，拆一个出来分部：$\sin^nx = \sin^{n-1}x\cdot\sin x$，把 $\sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}(\cos x)$ 凑进去，

$$I_n = \Big[-\sin^{n-1}x\cos x\Big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2x\,\mathrm{d}x .$$

• 第 2 步，边界项：$x = \frac\pi2$ 时 $\cos x = 0$，$x = 0$ 时 $\sin x = 0$，所以边界项为 0。
• 第 3 步，把 $\cos^2x$ 换成 $1 - \sin^2x$：$I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n)$。
• 第 4 步，解方程：$nI_n = (n-1)I_{n-2}$，即 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$。
• 第 5 步，"点火"：反复用递推，偶数一路降到 $I_0 = \frac\pi2$，奇数一路降到 $I_1 = \int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x = 1$。

这就是公式的来历。你看，它其实是分部积分 + "循环型解方程"的组合，用到的全是第 09 讲的技巧。

例题#

例 13

(1) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^5x\,\mathrm{d}x = \frac45\cdot\frac23 = \frac{8}{15}$。

(2) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^6x\,\mathrm{d}x = \frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{32}$。

(3) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4x\,\mathrm{d}x = \frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{3\pi}{16}$。

(4) 区间不是 $[0,\frac\pi2]$ 时，先用对称性/周期性"搬"过来：$\displaystyle\int_0^\pi\sin^4x\,\mathrm{d}x = 2\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,\mathrm{d}x = 2\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$（$\sin^4x$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $x = \frac\pi2$ 对称）；$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^4x\,\mathrm{d}x = 4\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{4}$。

一个附带的常用结论：$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\,\mathrm{d}x = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,\mathrm{d}x$（令 $x = \pi - t$ 可证）。例如 $\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x = \frac\pi2\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = \frac\pi2\cdot2 = \pi$。

例 14（区间再现的两个经典用法，略提高）

结论一：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}f(\cos x)\,\mathrm{d}x$（令 $x = \frac\pi2 - t$ 即可证明）。

用它算 $I = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x$：

• 令 $x = \frac\pi2 - t$，$\sin x$ 变 $\cos t$，$\cos x$ 变 $\sin t$，上下限 $0\leftrightarrow\frac\pi2$ 互换、再用 $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$ 换回来：$I = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos t}{\cos t + \sin t}\,\mathrm{d}t$。
• 两式相加：$2I = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}\,\mathrm{d}x = \frac\pi2$，所以 $I = \dfrac\pi4$。

这个"换元后两式相加"的手法叫区间再现，专门对付"直接积很难，但对称后能凑成简单式子"的积分。

结论二：$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\,\mathrm{d}x = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,\mathrm{d}x$。

用它算 $\displaystyle\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,\mathrm{d}x$：

• 被积函数 $= x\cdot\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}$，而 $\dfrac{\sin x}{1+\cos^2x} = \dfrac{\sin x}{2-\sin^2x}$ 是 $\sin x$ 的函数，满足结论二的条件。
• 原式 $= \dfrac\pi2\displaystyle\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,\mathrm{d}x = \frac\pi2\Big[-\arctan(\cos x)\Big]_0^\pi = \frac\pi2\left(\frac\pi4 + \frac\pi4\right) = \frac{\pi^2}{4}$。

（$\sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}(\cos x)$，凑微分得 $-\arctan(\cos x)$。）

例 15（华里士 + 恒等变形）

(1) $\displaystyle\int_0^\pi\sin^3x\,\mathrm{d}x = 2\int_0^{\pi/2}\sin^3x\,\mathrm{d}x = 2\cdot\frac23 = \frac43$。

(2) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos^2x\,\mathrm{d}x$：$\sin^2x\cos^2x = \sin^2x(1-\sin^2x) = \sin^2x - \sin^4x$，

$$\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\mathrm{d}x - \int_0^{\pi/2}\sin^4x\,\mathrm{d}x = \frac12\cdot\frac\pi2 - \frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac\pi4 - \frac{3\pi}{16} = \frac{\pi}{16} .$$

易错点 ⚠️#

• 华里士公式只对 $[0,\frac\pi2]$ 直接成立，其他区间要先转化。
• 奇数次的结尾是 $\frac23$，不是 $\frac12$。

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六、一点学习心得#

很多同学学到这里会觉得公式多。其实主线只有一条：定积分 = 求原函数 + 代上下限（牛顿-莱布尼茨），其余的都是"让这件事更快、更稳"的工具：

• 对称性、周期性、华里士公式，是为了少算；
• 定义和中值定理，是为了理解和证明，以及处理和式极限。

做题顺序建议：拿到一个定积分，先看区间是否对称（能不能划掉奇函数部分）→ 再看是否是 $\sin^n$、$\cos^n$ 型（能不能点火）→ 最后才老老实实求原函数。

定积分计算"检查清单"#

1. 被积函数在区间上连续吗？有没有无界点（有的话是反常积分，见第 11 讲（上））？
2. 有绝对值、分段吗？先拆区间。
3. 区间对称吗？先划掉奇函数部分。
4. 是 $\sin^n$、$\cos^n$ 型吗？搬到 $[0,\frac\pi2]$ 上点火。
5. 换元了吗？换元必换限，且不用换回。
6. 分部了吗？$uv\big|_a^b$ 要代上下限。
7. 结果合理吗？粗略画图估一估正负和大小。

常见题型归纳（拿到题先对号入座）#

题目特征	首选方法	本篇例子
被积函数含 $\lvert\cdot\rvert$、$\max$、$\min$ 或分段	找分界点，拆区间	$\int_{-1}^2\lvert x\rvert\,\mathrm{d}x$
区间关于原点对称	拆奇偶，划掉奇函数部分	$\int_{-1}^1(x^3\cos x + x^2)\,\mathrm{d}x$
$\sin^nx$、$\cos^nx$，区间是 $\frac\pi2$ 的倍数	搬到 $[0,\frac\pi2]$，点火	$\int_0^\pi\sin^4x\,\mathrm{d}x$
周期函数积分区间是周期的整数倍	化成一个周期	$\int_0^{3\pi}\lvert\sin x\rvert\,\mathrm{d}x$
有根式 $\sqrt{ax+b}$、$\sqrt{a^2-x^2}$ 等	换元（换限）	$\int_0^4\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt x}$
多项式 × 指数/三角/对数	分部（表格法）	$\int_0^1x^2e^x\,\mathrm{d}x$
$\int_0^{\pi/2}$ 上 $\sin$、$\cos$ 地位对称的分式	区间再现，两式相加	$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x$
$\int_0^\pi x\cdot f(\sin x)\,\mathrm{d}x$	用结论把 $x$ 换成 $\frac\pi2$	$\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,\mathrm{d}x$

学长的建议：定积分计算题真正的难点往往不是"不会积"，而是"想不到用哪个技巧"。把上面这张表抄在笔记本第一页，做题前先花五秒钟对照一下，你会发现很多题一下子就简单了。另外，计算量大的题，最好在草稿纸上分块写：先单独求出原函数，验算无误后再代上下限，这样出了错也容易找。

关于"几何秒算"：遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$ 型的积分，先想想它是不是圆的一部分。$\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x$ 是四分之一圆，面积 $\frac{\pi a^2}{4}$；$\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x$ 是半圆，面积 $\frac{\pi a^2}{2}$。考试中这样做能省下好几分钟。

常见疑问#

问：不定积分和定积分到底什么关系？

答：名字很像，本质完全不同。不定积分是"一族函数"（原函数 $+C$），回答"谁的导数是它"；定积分是"一个数"，回答"这块面积有多大"。把两者连起来的正是牛顿-莱布尼茨公式：要算这个数，先找一个原函数，再代上下限相减。所以第 09 讲练的是"找原函数"的手艺，这一讲把手艺用来算面积。

问：算出来的定积分是负数，是不是算错了？

答：不一定。定积分是带符号的面积，曲线在 $x$ 轴下方就会贡献负值，比如本篇自测练习第 4 题。只有题目明确问"面积"时，结果才必须是正数。检查时可以粗略画个图，看看正负和大小是否合理，这是一个很好的习惯。

问：换元后上限比下限小，要不要把它们交换过来？

答：不需要，也不应该随便交换。换元时"上对上、下对下"，原来的下限对应的新值就写在下面，哪怕它更大。例如令 $u = x - t$ 时经常出现 $\int_x^0$，直接保留，或者用 $\int_x^0 = -\int_0^x$ 主动变号，两种写法结果一样。

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公式/结论速记卡#

类别	要点
牛-莱公式	$\int_a^bf\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，要求 $f$ 连续；绝对值、分段先拆区间
换元	$x = \varphi(t)$：换元必换限，上对上、下对下，不用换回；只凑微分不写新变量则不换限
分部	$\int_a^bu\,\mathrm{d}v = uv\big\vert_a^b - \int_a^bv\,\mathrm{d}u$
常用值	$\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x = 1$；$\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x = 1$；$\int_0^{\pi/2}x\sin x\,\mathrm{d}x = 1$
对称性	奇函数在 $[-a,a]$ 上积分为 0；偶函数 $= 2\int_0^a$
周期性	$\int_a^{a+T}f = \int_0^Tf$；$\int_0^{nT}f = n\int_0^Tf$；$\lvert\sin x\rvert$、$\sin^2x$ 周期 $\pi$
华里士	$\int_0^{\pi/2}\sin^nx = \int_0^{\pi/2}\cos^nx = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots$；偶数尾 $\frac12\cdot\frac\pi2$，奇数尾 $\frac23$
区间再现	$\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}f(\cos x)\,\mathrm{d}x$；$\int_0^\pi xf(\sin x)\,\mathrm{d}x = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,\mathrm{d}x$
几何秒算	$\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi a^2}{2}$；$\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi a^2}{4}$

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自测练习#

1. 计算 $\displaystyle\int_0^2|x-1|\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

拆区间：$\int_0^1(1-x)\,\mathrm{d}x + \int_1^2(x-1)\,\mathrm{d}x = \frac12 + \frac12 = 1$。几何上是两个小三角形面积之和。答案：$1$。

2. 计算 $\displaystyle\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

凑微分：$\frac12\ln(1+x^2)\Big|_0^1 = \frac12\ln2$。

3. 计算 $\displaystyle\int_0^3\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

令 $\sqrt{1+x} = u$，$x = u^2-1$，$\mathrm{d}x = 2u\,\mathrm{d}u$，$x: 0\to3$ 对应 $u: 1\to2$：

$$\int_1^2\frac{u^2-1}{u}\cdot2u\,\mathrm{d}u = 2\left[\frac{u^3}{3} - u\right]_1^2 = 2\left(\frac23 + \frac23\right) = \frac83$$

4. 计算 $\displaystyle\int_0^\pi x\cos x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

分部：$\Big[x\sin x\Big]_0^\pi - \int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = 0 - 2 = -2$。（结果为负是正常的：定积分是带符号的面积。）

5. 计算 $\displaystyle\int_{-2}^2\left(x^5\cos x + \sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$。

答案与提示

$x^5\cos x$ 是奇函数，积分为 0；$\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$ 是半径 2 的半圆面积 $2\pi$。答案：$2\pi$。

6. 计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^7x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

奇数次点火：$\frac67\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}$。

7. 计算 $\displaystyle\int_0^1x\arctan x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

不定积分已在第 09 讲（下）求过：$\int x\arctan x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2+1}{2}\arctan x - \frac x2$。代上下限：

$$\left(1\cdot\frac\pi4 - \frac12\right) - 0 = \frac\pi4 - \frac12$$

8. 计算 $\displaystyle\int_0^\pi\cos^6x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

$\cos^6x$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $x = \frac\pi2$ 对称（$\cos^6(\pi - x) = \cos^6x$），所以 $= 2\int_0^{\pi/2}\cos^6x\,\mathrm{d}x = 2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16}$。

9. 计算 $\displaystyle\int_0^2x\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

凑微分：$x\,\mathrm{d}x = -\frac12\mathrm{d}(4-x^2)$，

$$-\frac12\cdot\frac23(4-x^2)^{\frac32}\Big|_0^2 = -\frac13(0 - 8) = \frac83$$

10.（略提高）计算 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(x^2\sin x + \cos^3x\right)\mathrm{d}x$。

答案与提示

$x^2\sin x$ 是奇函数（偶 × 奇），积分为 0；$\cos^3x$ 是偶函数：$2\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,\mathrm{d}x = 2\cdot\frac23 = \frac43$。

11.（略提高）计算 $\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

原函数（第 09 讲（下））：$x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x$。代上下限：$(e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$。

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下一讲预告#

第 11 讲（上）「反常积分」：积分区间伸到无穷远、被积函数冲到无穷大时，"面积"还能是有限的吗？