考研数学二·零基础讲义 第10讲（上）｜定积分：概念、性质与变限积分

考研数学二·零基础讲义 · 第 10 讲（上）｜定积分：概念、性质与变限积分

学完这一篇，你能说清楚定积分"是什么"（分割—近似—求和—取极限），会把和式极限化成定积分，会用定积分的性质做比较和估值，并熟练地对变限积分求导、和洛必达法则结合求极限。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：定积分的定义与几何意义；和式极限化定积分；定积分的性质（线性、区间可加、保号/比较、估值、积分中值定理）；积分上限的函数（变限积分）及其求导公式，含上下限都是函数、被积函数含 $x$ 的情形。
• 大纲要求：理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理；理解积分上限的函数并会求它的导数。
• 考研怎么考：变限积分求导常和极限（洛必达、等价无穷小）、单调性、极值结合出题，是出镜率很高的考点；和式极限化定积分、比较积分大小也是常见的小题。
• 本讲分两篇：这一篇（上）讲"定积分是什么、有什么性质、变限积分怎么求导"；第 10 讲（下）讲"定积分怎么算"：牛顿-莱布尼茨公式、换元分部、对称性、周期性、华里士公式。
• 学习策略：先理解"面积 = 无数个细长条之和"的图像，再记性质；变限积分求导公式要练到不假思索。

前置知识#

• 极限的概念与计算，等价无穷小替换，洛必达法则：见第 02、03、07 讲。
• 闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理）：见第 04 讲。
• 复合函数求导、利用导数判断单调性和极值：见第 06、08 讲。
• 不定积分的计算：见第 09 讲（上）（下）。

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一、定积分的定义：分割—近似—求和—取极限#

大白话#

问题：曲线 $y = x^2$ 下方、$x$ 轴上方、从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 这块"曲边"图形的面积是多少？

矩形面积好算（长 × 宽），可这个图形有一条边是弯的。办法是：把它切成很多很细的竖条，每一条近似看成矩形，把所有矩形面积加起来。切得越细，误差越小；切到"无限细"，就得到精确值。

这就像用很多根细长的面条铺满一块不规则的盘子：面条越细，铺得越严实。

四个步骤记成口诀：分割、近似、求和、取极限。

图 1：黎曼和逐步加细：n = 4、8、16、32 时右端点矩形面积和依次为 0.4688、0.3984、0.3652、0.3491，逐渐逼近 1/3（动画循环播放）

正式定义#

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

1. 分割：在 $[a,b]$ 中任意插入分点 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，第 $i$ 个小区间长 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。
2. 近似：在每个小区间上任取一点 $\xi_i$，用矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似第 $i$ 个小曲边条的面积。
3. 求和：$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$。
4. 取极限：记 $\lambda = \max\{\Delta x_i\}$（最宽的那条的宽度），若

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$$

存在，且与分法、$\xi_i$ 的取法都无关，就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，这个极限叫做 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$。

逐行拆解#

• $\int_a^b$：读作"从 $a$ 到 $b$ 的积分"。$a$ 叫积分下限，$b$ 叫积分上限。
• $\sum_{i=1}^n$：读作"西格玛，$i$ 从 1 到 $n$ 求和"，就是把 $n$ 项加起来。
• $\xi_i$：读作"克西 $i$"，是第 $i$ 个小区间里随便取的一点。
• $\lambda\to0$：最宽的条也趋于 0，保证"每一条都无限细"。只写 $n\to\infty$ 不够，因为可能有一条一直很宽。
• 积分号 $\int$ 本来就是拉长的 S（Sum），$\mathrm{d}x$ 对应"无限小的宽度 $\Delta x$"。
• 定积分是一个数，不是函数，它和积分变量用什么字母无关：$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$。

可积的充分条件（了解）：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，或只有有限个第一类间断点且有界，则可积。

例题#

例 1 用定义计算 $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$。

• 分割：把 $[0,1]$ 等分成 $n$ 份，每份宽 $\frac1n$，分点 $x_i = \frac in$。
• 近似：取每个小区间的右端点 $\xi_i = \frac in$，高度 $f(\xi_i) = \left(\frac in\right)^2$。
• 求和：

$$\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\cdot\frac1n = \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$$

（用了平方和公式 $1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。）

• 取极限：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{2}{6} = \frac13$。

所以 $\displaystyle\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x = \frac13$。（以后用牛顿-莱布尼茨公式一行就出来，但这道题让你看到定积分的"本来面目"。）

反过来用：和式极限化定积分（常考）#

上面的例子倒过来读，就是一个非常有用的公式：把 $[0,1]$ 等分 $n$ 份、取右端点，

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n f\left(\frac in\right) = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x .$$

识别信号：和式里有 $\frac1n$（或能提出 $\frac1n$），每一项能写成 $f\left(\frac in\right)$。把 $\frac in$ 换成 $x$，$\frac1n$ 换成 $\mathrm{d}x$，求和号换成 $\int_0^1$。

例 2 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n}\right)$。

• 每项 $\dfrac{1}{n+i} = \dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1+\frac in}$，提出 $\frac1n$，$f(x) = \frac{1}{1+x}$。
• 原式 $= \displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x = \ln2$。

例 3 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{n}{n^2+i^2}$。

• $\dfrac{n}{n^2+i^2} = \dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1+\left(\frac in\right)^2}$，$f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$。
• 原式 $= \displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \arctan1 = \frac\pi4$。

推广：区间不是 $[0,1]$ 怎么办#

上面的公式只是"$[0,1]$ 等分、取右端点"的特例。一般地，把 $[a,b]$ 等分成 $n$ 份，每份宽 $\frac{b-a}{n}$，取右端点 $a + \frac{b-a}{n}i$：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^nf\left(a + \frac{b-a}{n}i\right) = \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x .$$

例 4 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\left(1 + \frac in\right)^2$。

• 看法一：把 $1 + \frac in$ 整体看成 $x$，$x$ 从 $1$ 跑到 $2$，宽度 $\frac1n$，这是 $[1,2]$ 上的积分：$\displaystyle\int_1^2x^2\,\mathrm{d}x = \frac{8-1}{3} = \frac73$。
• 看法二：把 $\frac in$ 看成 $x$，$f(x) = (1+x)^2$，是 $[0,1]$ 上的积分：$\displaystyle\int_0^1(1+x)^2\,\mathrm{d}x = \frac{(1+x)^3}{3}\Big|_0^1 = \frac73$。

两种看法结果一样，选你觉得顺手的那种即可。再如 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^ne^{\frac in} = \int_0^1e^x\,\mathrm{d}x = e - 1$。

取左端点行不行？ 行。$\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac in\right)$ 和取右端点的和式只差首尾两项 $\frac1n[f(0) - f(1)]$，当 $n\to\infty$ 时趋于 0，极限相同。所以和式里 $i$ 从 0 开始还是从 1 开始、到 $n-1$ 还是到 $n$，都不影响结果——这也是定义里"与 $\xi_i$ 取法无关"的一个体现。

易错点 ⚠️#

• 和式化积分时，一定要先提出 $\frac1n$，剩下的部分全部写成 $\frac in$ 的函数。
• $\lambda\to0$ 和 $n\to\infty$ 不等价；但等分时二者一致，所以做题用等分没问题。

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二、几何意义#

大白话#

$f(x)\ge0$ 时，$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 就是曲线下方的面积。如果曲线跑到 $x$ 轴下方，那一块面积算负的。所以定积分是"带符号的面积"：$x$ 轴上方的减去 $x$ 轴下方的。

图 2：sin x 在 [0, 2π] 上：上方面积 2 记正，下方面积 2 记负，定积分为 0

正式表述#

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = (\text{x 轴上方面积}) - (\text{x 轴下方面积}) .$$

例题#

例 5 不用计算，求 $\displaystyle\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$ 和 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$。

• $y = \sqrt{4-x^2}$ 是圆 $x^2+y^2 = 4$ 的上半部分，积分等于半圆面积：$\frac12\pi\cdot2^2 = 2\pi$。
• $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上方、$[\pi,2\pi]$ 下方，两块面积一样大，一正一负抵消，积分 $=0$。

易错点 ⚠️#

• 题目问"面积"时，面积永远非负，要用 $\int_a^b|f(x)|\,\mathrm{d}x$；问"定积分"时才带符号。

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三、定积分的性质#

先补两个约定：$\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$（宽度为 0，面积为 0）；$\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$（上下限交换，变号）。

1. 线性#

$$\int_a^b\big[\alpha f(x) + \beta g(x)\big]\,\mathrm{d}x = \alpha\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x + \beta\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x .$$

2. 区间可加性#

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x .$$

大白话：一块地分成两块分别量，再加起来。这里 $c$ 甚至可以在 $[a,b]$ 外面（只要都可积）。分段函数、带绝对值的积分，都靠它拆开。

3. 保号性（比较性质）#

在 $[a,b]$ 上（$a<b$）若 $f(x)\ge0$，则 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge0$；若 $f(x)\le g(x)$，则 $\int_a^bf\,\mathrm{d}x\le\int_a^bg\,\mathrm{d}x$。

推论：$\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|\le\int_a^b|f(x)|\,\mathrm{d}x$（正负抵消后的绝对值，不超过全部取正后的面积）。

例 6（比较大小，不用算出积分）

(1) 比较 $I_1 = \displaystyle\int_0^1x\,\mathrm{d}x$ 与 $I_2 = \displaystyle\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x$。

• 在 $[0,1]$ 上 $0\le x\le1$，两边乘 $x$（非负）得 $x^2\le x$，且只在端点处相等。
• 由比较性质，$I_2\le I_1$；又因为 $x - x^2$ 连续、非负且不恒为 0，所以严格 $I_2<I_1$。
• （验证：$I_1 = \frac12$，$I_2 = \frac13$，确实 $I_2<I_1$。）

(2) 比较 $J_1 = \displaystyle\int_1^2\ln x\,\mathrm{d}x$ 与 $J_2 = \displaystyle\int_1^2(\ln x)^2\,\mathrm{d}x$。

• 在 $[1,2]$ 上 $0\le\ln x\le\ln2<1$。一个在 $[0,1)$ 里的数，平方后变小：$(\ln x)^2\le\ln x$。
• 所以 $J_2<J_1$。

套路：比较两个同区间的积分，只需比较被积函数的大小。常用的不等式有 $x^2\le x\ (0\le x\le1)$、$\sin x\le x\ (x\ge0)$、$e^x\ge1+x$、$\ln(1+x)\le x\ (x>-1)$。

补充一条（理解即可）：若 $f$ 连续、$f(x)\ge0$ 且不恒为 0，则 $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x>0$（严格大于）。这就是上面"严格小于"的依据。

4. 估值定理#

若在 $[a,b]$ 上 $m\le f(x)\le M$，则

$$m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a) .$$

大白话：曲边图形面积夹在"最矮矩形"和"最高矩形"之间。

例 7 估计 $\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ 的范围。

在 $[0,1]$ 上 $e^{-x^2}$ 单调减，最大值 $f(0) = 1$，最小值 $f(1) = e^{-1}$，区间长 1，所以

$$\frac1e\le\int_0^1e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\le1 .$$

（这个积分算不出原函数，但能估出范围，数值约为 $0.7468$。）

5. 积分中值定理#

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = f(\xi)(b-a) .$$

大白话：把弯弯曲曲的曲边"削峰填谷"摊平，变成一个等面积的矩形，矩形的高 $f(\xi)$ 一定是函数在某点真实取到的值。这个高就是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值：

$$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x .$$

图 3：积分中值定理（例 8）：x² 在 [0,3] 上的曲边面积 9 = 宽 3、高 f(√3) = 3 的矩形面积

逐行拆解：$\xi$ 是"某个点"，定理只保证它存在，不告诉你在哪。证明思路：由估值定理，$\frac{1}{b-a}\int_a^bf\,\mathrm{d}x$ 夹在最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间，再用连续函数的介值定理（第 04 讲），$f$ 必在某点取到它。

例 8 对 $f(x) = x^2$ 在 $[0,3]$ 上，求积分中值定理中的 $\xi$。

$\int_0^3x^2\,\mathrm{d}x = 9$，$f(\xi)\cdot3 = 9$，所以 $\xi^2 = 3$，$\xi = \sqrt3\in[0,3]$。

易错点 ⚠️#

• 积分中值定理要求 $f$ 连续。
• 保号性、估值定理默认 $a<b$；上下限反了不等号要反向。

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四、变限积分及其求导#

大白话#

把定积分的上限换成变量 $x$：$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$。这是"从 $a$ 走到 $x$ 累计了多少面积"，$x$ 往右挪，面积就跟着变——所以它是 $x$ 的函数。

想象你开车，$f(t)$ 是 $t$ 时刻的速度，$\Phi(x)$ 是"从出发到 $x$ 时刻的总路程"。路程对时间求导，当然就是此刻的速度 $f(x)$。这就是下面的核心公式。

图 4：变上限积分 Φ(x)（sin t 从 0 到 x 的积分）：红线（上限 x）右移，上图累计面积、下图 Φ(x) = 1 − cos x 同步变化，f > 0 时 Φ 上升、f < 0 时下降（动画循环播放）

正式公式#

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$\Phi'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = f(x) .$$

这说明：连续函数一定有原函数，$\Phi(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。

上下限都是函数的一般情形（必背）：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)\,\mathrm{d}t = f\big(\varphi(x)\big)\varphi'(x) - f\big(\psi(x)\big)\psi'(x) .$$

逐行拆解#

• 积分变量写成 $t$，是为了和上限 $x$ 区分。$t$ 在积分里"跑来跑去"，$x$ 是固定的上限。
• 口诀："上限代入乘上限的导数，减去下限代入乘下限的导数"。
• 本质是链式法则：上限是 $\varphi(x)$ 时，先对上限求导得 $f(\varphi(x))$，再乘内层导数 $\varphi'(x)$。

例题#

例 9 求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_x^{x^2}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$。

上限 $x^2$，导数 $2x$；下限 $x$，导数 1：

$$e^{-(x^2)^2}\cdot2x - e^{-x^2}\cdot1 = 2xe^{-x^4} - e^{-x^2} .$$

例 10（和洛必达结合，非常常考）求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t^2\,\mathrm{d}t}{x^3}$。

• $x\to0$ 时分子 $\to\int_0^0 = 0$，分母 $\to0$，是 $\frac00$ 型，用洛必达。
• 分子求导：$\sin x^2$；分母求导：$3x^2$。
• $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{3x^2} = \frac13$（$\sin x^2\sim x^2$）。

例 11 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\ln(1+t)\,\mathrm{d}t}{x^4}$。

洛必达：分子导数 $\ln(1+x^2)\cdot2x$，分母导数 $4x^3$：

$$\lim_{x\to0}\frac{2x\ln(1+x^2)}{4x^3} = \lim_{x\to0}\frac{2x\cdot x^2}{4x^3} = \frac12 .$$

例 12（被积函数里含 $x$：先把 $x$ 提出来）设 $F(x) = \displaystyle\int_0^x(x-t)\cos t\,\mathrm{d}t$，求 $F'(x)$。

• 被积函数里有 $x$，不能直接套公式！先拆：$F(x) = x\displaystyle\int_0^x\cos t\,\mathrm{d}t - \int_0^xt\cos t\,\mathrm{d}t$。（对 $t$ 积分时 $x$ 是常数，可以提到积分号外。）
• 对第一项用乘积求导：$\displaystyle\int_0^x\cos t\,\mathrm{d}t + x\cos x$；第二项求导：$x\cos x$。
• $F'(x) = \displaystyle\int_0^x\cos t\,\mathrm{d}t = \sin x$。

（直接算也行：$F(x) = 1 - \cos x$，$F'(x) = \sin x$，一致。）

例 13（再练几种"变形"）

(1) 积分变量在下限：$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_x^0\cos t^2\,\mathrm{d}t$。

先交换上下限：$\displaystyle\int_x^0 = -\int_0^x$，所以导数是 $-\cos x^2$。

(2) 和洛必达结合：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\arctan t\,\mathrm{d}t}{x^2}$。

• $\frac00$ 型，洛必达：分子导数 $\arctan x$，分母导数 $2x$。
• $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{2x} = \frac12$（$\arctan x\sim x$）。

(3) 被积函数含 $x$，用换元把 $x$ 赶到上下限：$F(x) = \displaystyle\int_0^x\sin(x-t)\,\mathrm{d}t$，求 $F'(x)$。

• 令 $u = x - t$（对 $t$ 积分时 $x$ 是常数），$\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$；$t = 0$ 时 $u = x$，$t = x$ 时 $u = 0$。
• $F(x) = \displaystyle\int_x^0\sin u\cdot(-\mathrm{d}u) = \int_0^x\sin u\,\mathrm{d}u$。
• 所以 $F'(x) = \sin x$。（直接算：$F(x) = 1 - \cos x$，导数也是 $\sin x$。）

(4) 乘积型：$G(x) = x\displaystyle\int_0^xe^t\,\mathrm{d}t$，求 $G'(x)$。

• 这是 $x$ 与一个变限积分的乘积，用乘积求导：$G'(x) = \displaystyle\int_0^xe^t\,\mathrm{d}t + x\cdot e^x = (e^x - 1) + xe^x$。

例 14（变限积分 + 极值）设 $F(x) = \displaystyle\int_0^x(t-1)(t-2)\,\mathrm{d}t$，求 $F(x)$ 的极值点和极值。

• 第 1 步，求导：$F'(x) = (x-1)(x-2)$。
• 第 2 步，驻点：$F'(x) = 0$ 得 $x = 1$，$x = 2$。
• 第 3 步，判断：$x<1$ 时 $F'>0$；$1<x<2$ 时 $F'<0$；$x>2$ 时 $F'>0$。所以 $x = 1$ 是极大值点，$x = 2$ 是极小值点。（也可以用二阶导：$F''(x) = 2x - 3$，$F''(1) = -1<0$，$F''(2) = 1>0$。）
• 第 4 步，求极值：

$$F(1) = \int_0^1(t^2 - 3t + 2)\,\mathrm{d}t = \frac13 - \frac32 + 2 = \frac56,\qquad F(2) = \frac83 - 6 + 4 = \frac23 .$$

所以极大值 $\frac56$，极小值 $\frac23$。

体会：变限积分 $F(x)$ 本身可能很难写出来，但它的导数就是被积函数，单调性、极值都只看被积函数的符号。这是考研非常喜欢的出题角度。

易错点 ⚠️#

• 被积函数含 $x$ 时不能直接套公式，要先把 $x$ 提出去，或者换元把 $x$ 移到上下限上。
• 上限是复合函数，别漏乘上限的导数。
• 下限是函数时，别漏了"减去下限那一项"。

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五、本篇小结：定积分的"三张面孔"#

学到这里，定积分在你面前有三张面孔：

1. 一个极限：分割—近似—求和—取极限。它让我们能把"和式极限"翻译成定积分。
2. 一块带符号的面积：几何意义。它让我们能不计算就说出一些积分的值（半圆、对称抵消），也让各条性质变得一看就懂。
3. 一个关于上限的函数：$\Phi(x) = \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t$。它的导数就是被积函数，这座"桥"把积分和导数连在了一起，下一篇的牛顿-莱布尼茨公式就是从这里推出来的：

既然 $\Phi(x)$ 是 $f$ 的一个原函数，那么 $f$ 的任意原函数 $F(x) = \Phi(x) + C$。令 $x = a$：$F(a) = \Phi(a) + C = 0 + C$，所以 $C = F(a)$；再令 $x = b$：$\Phi(b) = F(b) - F(a)$，即

$$\int_a^bf(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a) .$$

你看，最重要的公式，用这一篇的知识三行就推出来了。

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六、常见疑问#

问：变限积分 $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 里，为什么非要把积分变量写成 $t$？

答：为了不混淆。上限 $x$ 是"终点"，积分变量是"一路走过来的每个位置"。如果都写成 $x$，就像说"从家走到家"，意思说不清。考试中如果看到被积函数里同时有 $x$ 和 $t$，记住：对 $t$ 积分时 $x$ 是常数，可以提到积分号外面去。

问：什么时候该想到积分中值定理？

答：题目里出现"存在一点 $\xi$，使得……"且条件里有定积分时，很可能就是它。它的作用是把一个积分"压缩"成一个函数值 $f(\xi)$，从而把积分问题变成函数问题。这在证明题中很常见，第 07 讲的微分中值定理经常和它配合使用。

问：和式极限题怎么判断该化成定积分，而不是用夹逼准则？

答：看每一项的"分母结构"。如果每一项都能写成 $\frac1n f\left(\frac in\right)$，也就是"$n$ 和 $i$ 的次数搭配均匀"，就化定积分；如果各项分母几乎一样（比如 $\frac{1}{n^2+1},\dots,\frac{1}{n^2+n}$，变化的部分相对很小），往往用夹逼准则更方便。两种方法都要会，遇到题先试着提出 $\frac1n$ 看看。

问：变限积分求导，为什么要求被积函数连续？

答：因为只有连续，"$\Phi(x)$ 在 $x$ 附近增加的面积 ≈ 宽度 × 高度 $f(x)$"才成立。如果 $f$ 在某点跳了一下（第一类间断点），$\Phi(x)$ 在那里仍然连续，但可能不可导，左右导数分别等于左右极限。考研偶尔考这个细节，记住"$f$ 连续 $\Rightarrow\Phi$ 可导；$f$ 可积 $\Rightarrow\Phi$ 连续"。

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公式/结论速记卡#

类别	要点
定义	分割—近似—求和—取极限；$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$；定积分是数，与积分变量字母无关
可积条件	连续必可积；有界且只有有限个间断点也可积
和式极限	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^nf\left(\frac in\right) = \int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x$：先提 $\frac1n$，再把 $\frac in$ 换成 $x$
几何意义	带符号面积：上方为正、下方为负
约定	$\int_a^a = 0$；$\int_b^a = -\int_a^b$
线性、可加	系数可提、加减可拆；$\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$
比较	同区间比积分，只比被积函数；$f\ge0$ 连续不恒为 0 $\Rightarrow\int_a^bf>0$
估值	$m(b-a)\le\int_a^bf\,\mathrm{d}x\le M(b-a)$
积分中值定理	$f$ 连续 $\Rightarrow\int_a^bf\,\mathrm{d}x = f(\xi)(b-a)$；平均值 $\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^bf\,\mathrm{d}x$
变限积分求导	$\left(\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t\right)' = f(x)$；$\left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t\right)' = f(\varphi(x))\varphi'(x) - f(\psi(x))\psi'(x)$
被积函数含 $x$	先把 $x$ 提到积分号外，或换元 $u = x - t$ 把 $x$ 移到上下限
常见组合	变限积分 + 洛必达；变限积分 + 单调性/极值（只看被积函数的符号）

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自测练习#

1. 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\sin\frac\pi n + \sin\frac{2\pi}{n} + \cdots + \sin\frac{n\pi}{n}\right)$。

答案与提示

每项是 $\frac1n\sin\left(\pi\cdot\frac in\right)$，$f(x) = \sin\pi x$：

$$\int_0^1\sin\pi x\,\mathrm{d}x = -\frac{\cos\pi x}{\pi}\Big|_0^1 = \frac2\pi$$

2. 比较 $\displaystyle\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle\int_0^1(1+x)\,\mathrm{d}x$ 的大小。

答案与提示

$e^x\ge1+x$，只在 $x = 0$ 处取等号，所以前者大。（验证：前者 $= e - 1\approx1.718$，后者 $= \frac32$。）

3. 估计 $\displaystyle\int_0^2e^{x^2-x}\,\mathrm{d}x$ 的范围。

答案与提示

令 $g(x) = x^2 - x$，$g'(x) = 2x - 1$，在 $x = \frac12$ 取最小值 $-\frac14$；端点 $g(0) = 0$，$g(2) = 2$，最大值 2。所以 $e^{-1/4}\le e^{x^2-x}\le e^2$，区间长 2：

$$2e^{-\frac14}\le\int_0^2e^{x^2-x}\,\mathrm{d}x\le2e^2$$

4. 求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}\,\mathrm{d}t$。

答案与提示

上限 $x^2$ 代入，再乘上限导数 $2x$：$\sqrt{1+(x^2)^3}\cdot2x = 2x\sqrt{1+x^6}$。

5. 求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x}e^t\,\mathrm{d}t$。

答案与提示

上限 $\cos x$，导数 $-\sin x$；下限 $\sin x$，导数 $\cos x$：

$$e^{\cos x}\cdot(-\sin x) - e^{\sin x}\cdot\cos x = -\sin x\,e^{\cos x} - \cos x\,e^{\sin x}$$

6. 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\left(e^{t^2}-1\right)\mathrm{d}t}{x^3}$。

答案与提示

$\frac00$ 型，洛必达：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-1}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{x^2}{3x^2} = \frac13$（$e^{x^2}-1\sim x^2$）。

7. 对 $f(x) = x^3$ 在 $[0,2]$ 上，求平均值，以及积分中值定理中的 $\xi$。

答案与提示

$\int_0^2x^3\,\mathrm{d}x = 4$，平均值 $= \frac42 = 2$。$\xi^3 = 2$，$\xi = \sqrt[3]{2}\approx1.26\in[0,2]$。

8. 设 $F(x) = \displaystyle\int_0^xte^{-t}\,\mathrm{d}t\ (x\ge0)$，求 $F'(x)$，并说明 $F$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性。

答案与提示

$F'(x) = xe^{-x}$。当 $x>0$ 时 $F'(x)>0$，所以 $F$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加。

9.（略提高）求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)\sin t\,\mathrm{d}t}{x^3}$。

答案与提示

被积函数含 $x$，先拆：分子 $= x\int_0^x\sin t\,\mathrm{d}t - \int_0^xt\sin t\,\mathrm{d}t$。分子求导 $= \int_0^x\sin t\,\mathrm{d}t + x\sin x - x\sin x = 1 - \cos x$。

洛必达：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\frac12x^2}{3x^2} = \frac16$。

（也可以直接算出分子 $= x - \sin x\sim\frac{x^3}{6}$。）

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下一讲预告#

第 10 讲（下）「定积分的计算」：牛顿-莱布尼茨公式、换元必换限、分部积分，再加上对称性、周期性和华里士公式三件"提速神器"。