考研数学二·零基础讲义 第09讲（下）｜不定积分：分部积分、有理函数与三角有理式

考研数学二·零基础讲义 · 第 09 讲（下）｜不定积分：分部积分、有理函数与三角有理式

学完这一篇，你能用分部积分处理"两类函数相乘"，用部分分式拆开"多项式除以多项式"，并会算常见的三角有理式积分。至此不定积分的工具箱就齐了。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：分部积分公式与"反对幂三指"选 $u$ 口诀；循环型分部积分；表格法；有理函数积分（多项式除法、部分分式分解、待定系数与"捂住法"）；三角有理式积分（降幂、积化和差、凑微分、万能代换）。
• 大纲要求：掌握分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
• 考研怎么考：分部积分是定积分、反常积分、微分方程里出镜率最高的计算方法之一，常见的是"多项式 × 指数/三角""对数/反三角 × 多项式"；有理函数积分常在微分方程分离变量、反常积分中出现。
• 学习策略：分部积分先练选 $u$，再练表格法提速；部分分式先背"分母因式 → 分式形式"的对应表；三角有理式先想恒等变形，万能代换留作保底。

前置知识#

• 第 09 讲（上）全部内容：基本积分公式表、凑微分、第二换元法。本篇默认你已经会凑微分。
• 乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$：见第 05 讲。
• 多项式除法、因式分解、三角恒等式（倍角、半角、积化和差）：见第 01 讲。

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一、分部积分#

大白话#

乘积求导：$(uv)' = u'v + uv'$。两边积分、移项，就得到分部积分。它的本质是"交换求导的对象"：原来对 $v$ 求导很难积，就转成对 $u$ 求导。

适用场景：两类不同的函数相乘，比如 $x\cdot e^x$、$x\cdot\sin x$、$x\cdot\ln x$、$e^x\sin x$。

正式公式#

$$\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u .$$

逐行拆解#

• 把被积式写成 $u\cdot v'\,\mathrm{d}x = u\,\mathrm{d}v$ 的样子：$u$ 是"要被求导的"，$\mathrm{d}v$ 是"已经凑进 $\mathrm{d}$ 里去的"。
• 右边 $uv$ 直接写出来；新的积分 $\int v\,\mathrm{d}u = \int v\,u'\,\mathrm{d}x$ 要比原来简单，否则就选错了。

公式是怎么来的（一步一步推）#

• 第 1 步，乘积求导法则：$(uv)' = u'v + uv'$。
• 第 2 步，两边同时求不定积分：$uv = \displaystyle\int u'v\,\mathrm{d}x + \int uv'\,\mathrm{d}x$。（左边"先导后积"回到 $uv$，常数先不管，最后统一加 $C$。）
• 第 3 步，移项：$\displaystyle\int uv'\,\mathrm{d}x = uv - \int u'v\,\mathrm{d}x$。
• 第 4 步，用微分的写法：$v'\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}v$，$u'\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$，就得到 $\displaystyle\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$。

所以分部积分没有任何神秘的地方，它就是乘积求导"倒过来用"，正如凑微分是链式法则"倒过来用"。

图 1：分部积分的几何意义：橙色 ∫u dv 加蓝色 ∫v du，正好等于大矩形减小矩形，即 uv 的变化量

实际操作的三步走：

1. 凑：把被积函数中"容易积分"的那个因子塞进 $\mathrm{d}$ 里，变成 $u\,\mathrm{d}v$ 的样子；
2. 换：写出 $uv - \int v\,\mathrm{d}u$，即"前面照抄相乘，后面交换位置"；
3. 算：把 $\mathrm{d}u$ 展开成 $u'\,\mathrm{d}x$，计算新积分。

怎么选 $u$：口诀"反对幂三指"#

按 反三角函数 → 对数函数 → 幂函数 → 三角函数 → 指数函数 的顺序，排在前面的当 $u$（留在外面被求导），排在后面的凑进 $\mathrm{d}$。

道理：反三角、对数求导后变成简单的代数式（如 $(\ln x)' = \frac1x$），越求越简单；三角、指数积分后"长相不变"，适合放进 $\mathrm{d}$ 里。

例题#

例 1 $\displaystyle\int x e^x\,\mathrm{d}x$（幂 vs 指，幂当 $u$）。

$$\int x\,\mathrm{d}(e^x) = xe^x - \int e^x\,\mathrm{d}x = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C .$$

例 2 $\displaystyle\int x\cos x\,\mathrm{d}x$（幂 vs 三，幂当 $u$）。

$$\int x\,\mathrm{d}(\sin x) = x\sin x - \int\sin x\,\mathrm{d}x = x\sin x + \cos x + C .$$

例 3 $\displaystyle\int\ln x\,\mathrm{d}x$ 和 $\displaystyle\int x\ln x\,\mathrm{d}x$（对数当 $u$）。

• $\displaystyle\int\ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C$。（单独一个 $\ln x$ 时，把 $\mathrm{d}x$ 直接当 $\mathrm{d}v$。）
• $\displaystyle\int x\ln x\,\mathrm{d}x = \int\ln x\,\mathrm{d}\left(\frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$。

例 4 $\displaystyle\int\arctan x\,\mathrm{d}x$（反三角当 $u$）。

$$x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C .$$

后一步用的是凑微分：$x\,\mathrm{d}x = \frac12\mathrm{d}(1+x^2)$，见第 09 讲（上）。

例 5 $\displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$（循环型：分部两次，解方程）。

设 $I = \displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$。

• 第一次：$I = \displaystyle\int\sin x\,\mathrm{d}(e^x) = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,\mathrm{d}x$。
• 第二次：$\displaystyle\int e^x\cos x\,\mathrm{d}x = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,\mathrm{d}x = e^x\cos x + I$。
• 代回：$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$，移项得 $2I = e^x(\sin x - \cos x)$。

$$\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x = \frac12e^x(\sin x - \cos x) + C .$$

注意：两次分部要选同一类当 $u$（都选三角函数，或都选指数），否则会绕回原点得到 $I = I$。

例 6（更多分部积分练习，体会选 $u$）

(1) $\displaystyle\int x\sec^2x\,\mathrm{d}x$（幂 vs 三角，幂当 $u$）：

$$\int x\,\mathrm{d}(\tan x) = x\tan x - \int\tan x\,\mathrm{d}x = x\tan x + \ln|\cos x| + C .$$

最后一步用了 $\int\tan x\,\mathrm{d}x = -\ln|\cos x| + C$。

(2) $\displaystyle\int\ln(1+x^2)\,\mathrm{d}x$（对数当 $u$，$\mathrm{d}x$ 当 $\mathrm{d}v$）：

• 第 1 步：$x\ln(1+x^2) - \displaystyle\int x\cdot\frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$。
• 第 2 步，处理新积分：$\dfrac{2x^2}{1+x^2} = 2 - \dfrac{2}{1+x^2}$（分子"加一减一"：$2x^2 = 2(1+x^2) - 2$）。
• 第 3 步：$\displaystyle\int\left(2 - \frac{2}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x = 2x - 2\arctan x$。

$$\int\ln(1+x^2)\,\mathrm{d}x = x\ln(1+x^2) - 2x + 2\arctan x + C .$$

(3) $\displaystyle\int(\ln x)^2\,\mathrm{d}x$（分部两次）：

• 第一次：$x(\ln x)^2 - \displaystyle\int x\cdot2\ln x\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,\mathrm{d}x$。
• 第二次：$\displaystyle\int\ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x$（例 3）。

$$\int(\ln x)^2\,\mathrm{d}x = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C .$$

(4) $\displaystyle\int x\arctan x\,\mathrm{d}x$（反三角当 $u$，$x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\frac{x^2}{2}$）：

• 第 1 步：$\dfrac{x^2}{2}\arctan x - \displaystyle\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$。
• 第 2 步：$\dfrac{x^2}{1+x^2} = 1 - \dfrac{1}{1+x^2}$，所以新积分 $= \dfrac12(x - \arctan x)$。

$$\int x\arctan x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2+1}{2}\arctan x - \frac x2 + C .$$

例 7（循环型再练一道）$\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,\mathrm{d}x$。

设 $I = \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,\mathrm{d}x$，两次都把指数凑进 $\mathrm{d}$ 里（$e^{2x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\frac{e^{2x}}{2}$）：

• 第一次：$I = \dfrac12e^{2x}\cos x + \dfrac12\displaystyle\int e^{2x}\sin x\,\mathrm{d}x$。
• 第二次：$\displaystyle\int e^{2x}\sin x\,\mathrm{d}x = \frac12e^{2x}\sin x - \frac12\int e^{2x}\cos x\,\mathrm{d}x = \frac12e^{2x}\sin x - \frac12I$。
• 代回：$I = \dfrac12e^{2x}\cos x + \dfrac14e^{2x}\sin x - \dfrac14I$，移项 $\dfrac54I = \dfrac14e^{2x}(2\cos x + \sin x)$。

$$\int e^{2x}\cos x\,\mathrm{d}x = \frac15e^{2x}(2\cos x + \sin x) + C .$$

表格法（多次分部的快捷方式）#

当 $u$ 是多项式（求几次导就变 0）、$\mathrm{d}v$ 部分能反复积分时，用表格法最快：

• 左列：$u$ 不断求导，直到 0；
• 右列：$v'$ 不断积分；
• 斜着相乘，符号按 $+,-,+,-,\dots$ 交替，加起来。

例 8 $\displaystyle\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$。

求导列（$u$ 及其各阶导数）	积分列（$v'$ 及其逐次积分）
$x^2$	$e^x$
$2x$	$e^x$
$2$	$e^x$
$0$	$e^x$

斜着乘：第 1 行求导列 × 第 2 行积分列，取 $+$，得 $x^2e^x$；第 2 行 × 第 3 行，取 $-$，得 $-2xe^x$；第 3 行 × 第 4 行，取 $+$，得 $+2e^x$。求导列到 0 就停。

$$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x^2-2x+2)e^x + C .$$

例 9 $\displaystyle\int x^2\cos x\,\mathrm{d}x$。求导列 $x^2, 2x, 2, 0$；积分列 $\cos x\to\sin x\to-\cos x\to-\sin x$。斜乘带符号：

$$x^2\sin x - 2x(-\cos x) + 2(-\sin x) = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C .$$

例 10 $\displaystyle\int x^3e^{-x}\,\mathrm{d}x$。

求导列	积分列
$x^3$	$e^{-x}$
$3x^2$	$-e^{-x}$
$6x$	$e^{-x}$
$6$	$-e^{-x}$
$0$	$e^{-x}$

斜乘带符号：$x^3(-e^{-x}) - 3x^2(e^{-x}) + 6x(-e^{-x}) - 6(e^{-x})$，整理得

$$\int x^3e^{-x}\,\mathrm{d}x = -(x^3 + 3x^2 + 6x + 6)e^{-x} + C .$$

注意积分列里 $e^{-x}$ 每积一次就变一次号（$\int e^{-x}\,\mathrm{d}x = -e^{-x}$），这里最容易出错，要和"表格法自带的 $+,-$ 交替"分开算。

易错点 ⚠️#

• 选错 $u$ 的信号：新积分比原来更复杂（比如 $\int xe^x$ 选 $u = e^x$，会得到 $\int\frac{x^2}{2}e^x$，越积越高次）。
• 表格法的符号从 $+$ 开始交替，最后一项乘的是"求导列最后一个非零项"。
• 循环型最后别忘了加 $C$，以及除以系数（$2I$ 要除以 2）。

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二、有理函数积分（部分分式）#

大白话#

有理函数就是"多项式除以多项式"，比如 $\dfrac{x+3}{x^2-5x+6}$。思路像"把一个大分数拆成几个小分数之和"：$\dfrac56 = \dfrac12 + \dfrac13$。拆成的小分式都是公式表里认识的。

步骤#

1. 假分式先做除法：分子次数 $\ge$ 分母次数，先用多项式除法化成"多项式 + 真分式"。
2. 分母因式分解，成一次因式和不能再分的二次因式（判别式 $<0$）的乘积。
3. 按规则写部分分式，用待定系数法求系数：

分母中的因式	对应的部分分式
$(x-a)$	$\dfrac{A}{x-a}$
$(x-a)^2$	$\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{(x-a)^2}$
$x^2+px+q$（$p^2-4q<0$）	$\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$

4. 逐项积分：$\dfrac{A}{x-a}\to A\ln|x-a|$；$\dfrac{B}{(x-a)^2}\to-\dfrac{B}{x-a}$；二次因式的项"配方 + 拆成凑微分和 arctan 两部分"。

求系数的快捷法（留数法）：对单个一次因式 $(x-a)$，求 $A$ 时把原式乘以 $(x-a)$，再令 $x = a$。俗称"捂住法"：捂住分母里的 $(x-a)$，把 $x = a$ 代入剩下的部分。

多项式除法怎么做（竖式演示）#

很多同学卡在第一步：假分式不会除。其实和小学的竖式除法一模一样，以 $x^3\div(x+1)$ 为例：

• 第 1 轮：被除式最高次项 $x^3$ 除以除式最高次项 $x$，商 $x^2$。$x^2\cdot(x+1) = x^3 + x^2$，从 $x^3$ 中减去，余 $-x^2$。
• 第 2 轮：$-x^2\div x = -x$，商再加上 $-x$。$-x\cdot(x+1) = -x^2 - x$，从 $-x^2$ 中减去，余 $x$。
• 第 3 轮：$x\div x = 1$，商再加上 $1$。$1\cdot(x+1) = x + 1$，从 $x$ 中减去，余 $-1$。
• 余式 $-1$ 的次数已经低于除式，停止。

结果：$x^3 = (x+1)(x^2 - x + 1) + (-1)$，即 $\dfrac{x^3}{x+1} = x^2 - x + 1 - \dfrac{1}{x+1}$。

偷懒技巧：分子分母次数相同或只差一点时，可以直接"加一项减一项"凑出来。比如 $\dfrac{x^2}{x^2+1} = \dfrac{(x^2+1) - 1}{x^2+1} = 1 - \dfrac{1}{x^2+1}$，$\dfrac{x}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$。

为什么部分分式一定拆得开？#

这是代数里的一个定理（了解即可）：任何实系数多项式都能分解成一次因式和"判别式小于 0 的二次因式"的乘积；而任何真分式都能唯一地拆成上表那几种简单分式之和。所以只要分母分解对了、形式设对了，系数一定解得出来、而且是唯一的。解不出来，说明前面设错了形式或算错了。

例题#

例 11 $\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2-5x+6}\,\mathrm{d}x$。

• 分解：$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$。设 $\dfrac{x+3}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x-3}$。
• 捂住 $(x-2)$，代 $x=2$：$A = \dfrac{2+3}{2-3} = -5$。捂住 $(x-3)$，代 $x=3$：$B = \dfrac{3+3}{3-2} = 6$。
• 积分：

$$\int\left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right)\mathrm{d}x = -5\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C .$$

例 12（有重因式）$\displaystyle\int\frac{1}{x(x+1)^2}\,\mathrm{d}x$。

• 设 $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac Ax + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{D}{(x+1)^2}$。
• 捂住 $x$，代 $x=0$：$A = 1$。捂住 $(x+1)^2$，代 $x=-1$：$D = \dfrac{1}{-1} = -1$。
• 求 $B$：两边通分后比较 $x^2$ 的系数：$0 = A + B$，所以 $B = -1$。
• 积分：$\ln|x| - \ln|x+1| + \dfrac{1}{x+1} + C$。（$\int -\frac{1}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{x+1}$。）

例 13（二次因式）$\displaystyle\int\frac{2x+3}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x$。

• 分母判别式 $4-8<0$，不能分解。分母导数是 $2x+2$，把分子拆成"分母导数 + 余下常数"：$2x+3 = (2x+2) + 1$。
• 第一部分：$\displaystyle\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x = \ln(x^2+2x+2)$（凑微分）。
• 第二部分：配方 $x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$，$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)^2+1} = \arctan(x+1)$。
• 答案：$\ln(x^2+2x+2) + \arctan(x+1) + C$。

例 14（假分式）$\displaystyle\int\frac{x^3}{x+1}\,\mathrm{d}x$。

多项式除法：$x^3 = (x+1)(x^2-x+1) - 1$，所以 $\dfrac{x^3}{x+1} = x^2 - x + 1 - \dfrac{1}{x+1}$。

$$\int\frac{x^3}{x+1}\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| + C .$$

例 15（重因式 + 检验）$\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}\,\mathrm{d}x$。

• 设 $\dfrac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \dfrac Ax + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{D}{(x-1)^2}$。
• 捂住 $x$，代 $x = 0$：$A = \dfrac{0+1}{(0-1)^2} = 1$。
• 捂住 $(x-1)^2$，代 $x = 1$：$D = \dfrac{1+1}{1} = 2$。
• 比较 $x^2$ 系数：通分后分子为 $A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Dx$，$x^2$ 的系数是 $A + B$，应等于 1，所以 $B = 0$。
• 检验：取 $x = 2$，原式 $= \dfrac{5}{2\cdot1} = \dfrac52$；拆开后 $= \dfrac12 + 0 + \dfrac21 = \dfrac52$，一致。

$$\int\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}\,\mathrm{d}x = \ln|x| - \frac{2}{x-1} + C .$$

例 16（一次因式 × 二次因式）$\displaystyle\int\frac{x}{(x+1)(x^2+1)}\,\mathrm{d}x$。

• 设 $\dfrac{x}{(x+1)(x^2+1)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{Bx+D}{x^2+1}$。
• 捂住 $(x+1)$，代 $x = -1$：$A = \dfrac{-1}{1+1} = -\dfrac12$。
• 求 $B, D$：通分后分子 $A(x^2+1) + (Bx+D)(x+1) = x$。比较 $x^2$ 系数：$A + B = 0$，$B = \dfrac12$；比较常数项：$A + D = 0$，$D = \dfrac12$。
• 所以被积函数 $= -\dfrac{1}{2(x+1)} + \dfrac12\cdot\dfrac{x+1}{x^2+1} = -\dfrac{1}{2(x+1)} + \dfrac12\cdot\dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac12\cdot\dfrac{1}{x^2+1}$。
• 逐项积分：

$$-\frac12\ln|x+1| + \frac14\ln(x^2+1) + \frac12\arctan x + C .$$

（中间一项 $\int\frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x = \frac12\ln(x^2+1)$，再乘 $\frac12$ 得 $\frac14$。）

易错点 ⚠️#

• 假分式不先做除法直接拆，系数怎么都对不上。
• 重因式 $(x-a)^2$ 要写两项，只写 $\dfrac{B}{(x-a)^2}$ 是错的。
• 二次因式的分子要设成 $Bx+C$（一次式），不能只设常数。

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三、简单三角有理式#

大白话#

"三角有理式"就是由 $\sin x$、$\cos x$ 做加减乘除得到的式子。数二要求会做简单的，常用三招：恒等变形（降幂、积化和差）、凑微分、万能代换。万能代换是"保底方法"，什么都能做但计算量大。

常用恒等式#

$$\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2} \quad(\text{降幂公式})$$ $$1+\cos x = 2\cos^2\frac x2,\qquad 1-\cos x = 2\sin^2\frac x2 .$$

万能代换：令 $t = \tan\dfrac x2$，则

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \mathrm{d}x = \frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t .$$

这样三角有理式就变成 $t$ 的有理函数，交给第六节的方法。

$\sin^mx\cos^nx$ 型的处理规律#

把这一类积分的套路总结成一张表，做题时对号入座：

情形	方法	例子
$m$ 为奇数	拆出一个 $\sin x$，凑 $-\mathrm{d}(\cos x)$，其余 $\sin^2 = 1-\cos^2$	$\int\sin^3x\,\mathrm{d}x$
$n$ 为奇数	拆出一个 $\cos x$，凑 $\mathrm{d}(\sin x)$，其余 $\cos^2 = 1-\sin^2$	$\int\cos^3x\,\mathrm{d}x$
$m, n$ 都是偶数	降幂公式，必要时用 $\sin x\cos x = \frac12\sin2x$	$\int\sin^2x\cos^2x\,\mathrm{d}x$
$\sin ax\cos bx$ 等不同角	积化和差	$\int\sin3x\cos2x\,\mathrm{d}x$

为什么奇数次要"拆一个"？ 因为拆出来的那一个正好用来凑微分，剩下的偶数次可以全部换成另一个三角函数，整个积分就变成了多项式的积分。偶数次拆不出这样的结构，所以只能降幂。

例题#

例 17 $\displaystyle\int\sin^2x\,\mathrm{d}x$（偶次幂：降幂）。

$$\int\frac{1-\cos2x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac x2 - \frac{\sin2x}{4} + C .$$

例 18 $\displaystyle\int\cos^3x\,\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle\int\sin x\cos^2x\,\mathrm{d}x$（奇次幂：拆一个凑微分）。

• $\cos^3x\,\mathrm{d}x = (1-\sin^2x)\,\mathrm{d}(\sin x)$，得 $\sin x - \dfrac{\sin^3x}{3} + C$。
• $\sin x\cos^2x\,\mathrm{d}x = -\cos^2x\,\mathrm{d}(\cos x)$，得 $-\dfrac{\cos^3x}{3} + C$。

例 19 $\displaystyle\int\frac{1}{1+\cos x}\,\mathrm{d}x$（半角公式）。

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{2\cos^2\frac x2} = \int\sec^2\frac x2\,\mathrm{d}\left(\frac x2\right) = \tan\frac x2 + C .$$

例 20 $\displaystyle\int\frac{1}{2+\cos x}\,\mathrm{d}x$（万能代换）。

令 $t = \tan\frac x2$：

$$\int\frac{1}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int\frac{2\,\mathrm{d}t}{3+t^2} = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3} + C = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt3}\tan\frac x2\right) + C .$$

例 21 $\displaystyle\int\frac{1}{1+\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x$。

万能代换后分母：$1 + \dfrac{2t}{1+t^2} + \dfrac{1-t^2}{1+t^2} = \dfrac{2+2t}{1+t^2}$。

$$\int\frac{1+t^2}{2(1+t)}\cdot\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int\frac{\mathrm{d}t}{1+t} = \ln\left|1+\tan\frac x2\right| + C .$$

例 22（更多恒等变形的例子）

(1) $\displaystyle\int\sin^2x\cos^2x\,\mathrm{d}x$：用 $\sin x\cos x = \frac12\sin2x$，

$$\sin^2x\cos^2x = \frac14\sin^22x = \frac14\cdot\frac{1-\cos4x}{2} = \frac{1-\cos4x}{8},$$

所以积分 $= \dfrac x8 - \dfrac{\sin4x}{32} + C$。

(2) $\displaystyle\int\sin3x\cos2x\,\mathrm{d}x$：积化和差 $\sin A\cos B = \frac12\big[\sin(A+B) + \sin(A-B)\big]$，

$$\int\frac12(\sin5x + \sin x)\,\mathrm{d}x = -\frac{\cos5x}{10} - \frac{\cos x}{2} + C .$$

(3) $\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}\,\mathrm{d}x$：把分子的 1 写成 $\sin^2x + \cos^2x$，

$$\int\left(\frac{1}{\cos^2x} + \frac{1}{\sin^2x}\right)\mathrm{d}x = \tan x - \cot x + C .$$

(4) $\displaystyle\int\tan^3x\,\mathrm{d}x$：$\tan^3x = \tan x(\sec^2x - 1) = \tan x\sec^2x - \tan x$，

$$\int\tan x\,\mathrm{d}(\tan x) - \int\tan x\,\mathrm{d}x = \frac{\tan^2x}{2} + \ln|\cos x| + C .$$

(5) $\displaystyle\int\frac{1}{1-\cos x}\,\mathrm{d}x$：$1-\cos x = 2\sin^2\frac x2$，

$$\int\frac12\csc^2\frac x2\,\mathrm{d}x = \int\csc^2\frac x2\,\mathrm{d}\left(\frac x2\right) = -\cot\frac x2 + C .$$

"1 的妙用"小结：$1 = \sin^2x + \cos^2x$、$1 = \sec^2x - \tan^2x$，在三角积分里经常靠"把 1 换掉"打开局面。

易错点 ⚠️#

• 能用恒等变形就别急着上万能代换，万能代换容易算错。
• 万能代换里 $\mathrm{d}x = \dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ 的系数 2 常被漏掉。

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四、综合例题：几种方法串起来用#

例 23 $\displaystyle\int\arctan\sqrt x\,\mathrm{d}x$（先换元，再分部，再拆分式）。

• 第 1 步，换元：令 $\sqrt x = t$，$x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$，原式 $= \displaystyle\int\arctan t\cdot2t\,\mathrm{d}t = \int\arctan t\,\mathrm{d}(t^2)$。
• 第 2 步，分部（反三角当 $u$）：$t^2\arctan t - \displaystyle\int\frac{t^2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$。
• 第 3 步，拆分式：$\dfrac{t^2}{1+t^2} = 1 - \dfrac{1}{1+t^2}$，积分得 $t - \arctan t$。
• 第 4 步，合并：$t^2\arctan t - t + \arctan t = (t^2+1)\arctan t - t$。
• 第 5 步，换回：

$$\int\arctan\sqrt x\,\mathrm{d}x = (x+1)\arctan\sqrt x - \sqrt x + C .$$

例 24 $\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+4x+13}\,\mathrm{d}x$（二次因式的标准处理）。

• 第 1 步，分母导数是 $2x+4$。把分子凑成它的倍数加常数：$x + 1 = \dfrac12(2x+4) - 1$。
• 第 2 步，前一部分凑微分：$\dfrac12\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}(x^2+4x+13)}{x^2+4x+13} = \frac12\ln(x^2+4x+13)$。
• 第 3 步，后一部分配方：$x^2+4x+13 = (x+2)^2 + 3^2$，$\displaystyle\int\frac{-1}{(x+2)^2+3^2}\,\mathrm{d}x = -\frac13\arctan\frac{x+2}{3}$。

$$\int\frac{x+1}{x^2+4x+13}\,\mathrm{d}x = \frac12\ln(x^2+4x+13) - \frac13\arctan\frac{x+2}{3} + C .$$

例 25（略提高，"抵消型"）$\displaystyle\int\frac{xe^x}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x$。

• 第 1 步，拆分子：$x = (1+x) - 1$，所以被积函数 $= \dfrac{e^x}{1+x} - \dfrac{e^x}{(1+x)^2}$。
• 第 2 步，对第二项分部：$\dfrac{1}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)$，

$$\int\frac{e^x}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{e^x}{1+x} + \int\frac{e^x}{1+x}\,\mathrm{d}x .$$

• 第 3 步，代回：$\displaystyle\int\frac{e^x}{1+x}\,\mathrm{d}x$ 一加一减正好抵消（它本身积不出初等函数，但不需要积出来）。

$$\int\frac{xe^x}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x = \frac{e^x}{1+x} + C .$$

点评：遇到"积不出来"的部分，先别慌，看看它会不会在别处被抵消掉。这种思路在考研题里出现过不少次。

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五、不定积分方法选择总流程（上下两篇合起来）#

1. 能直接查表吗？ 或者变形（拆项、展开、三角恒等式）后能查表吗？
2. 有"复合 + 内层导数"吗？ → 凑微分。
3. 有根号？ 根号里一次式 → 根式代换；二次式 → 配方 + 三角代换。
4. 两类函数相乘？ → 分部积分，按"反对幂三指"选 $u$；多项式 × 指数/三角 → 表格法。
5. 多项式之比？ → 假分式先除，再部分分式。
6. 三角有理式？ → 降幂/积化和差/凑微分；不行再万能代换。
7. 方法可以叠加：先换元再分部（如 $\int e^{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$）、换元后变成有理函数（如根式代换后再部分分式），都很常见。

做完一定求导验算。

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六、常见疑问答疑#

问：分部积分里 $u$ 选错了怎么办？

答：选错了不丢人，关键是能发现。分部一次之后，看新积分是不是变简单了：多项式次数降了、对数或反三角消失了，就是选对了；反而变复杂了，马上换另一种选法。"反对幂三指"是经验口诀，绝大多数题都适用，少数题（比如 $\int x^3e^{x^2}\,\mathrm{d}x$）要先凑微分再分部，灵活一点就好。

问：循环型分部积分为什么会"绕回来"？

答：因为 $e^x$ 和 $\sin x$、$\cos x$ 求导、积分都"长相不变"，分部两次后原来的积分又出现了。这时把它当成未知数 $I$，列一个方程解出来即可。关键是两次分部选同一类函数当 $u$。

问：部分分式的系数算得很慢，有没有检查办法？

答：有。拆完之后，随便取一个不让分母为 0 的数，比如 $x = 0$ 或 $x = 4$，分别代入原分式和拆开后的式子，两边相等基本就对了。例如 $\frac{x+3}{x^2-5x+6}$ 那道题取 $x = 0$：原式 $=\frac{3}{6} = \frac12$；拆开后 $= \frac{-5}{-2} + \frac{6}{-3} = \frac52 - 2 = \frac12$，一致。

问：万能代换什么时候必须用？

答：当恒等变形、凑微分都不灵时。比如分母是 $a + b\cos x$、$a + b\sin x$ 这类"常数加三角函数"的式子，通常就要用万能代换。用之前先想想分子能不能凑成分母的导数，有时候能省很多事。

问：考试真的会考这么多方法吗？

答：不定积分本身单独出题的机会不多，但每一道积分计算题都需要它：定积分、反常积分、旋转体体积、微分方程求通解，最后一步都是"求一个原函数"。基本功扎实，后面做题才不会卡在计算上，能把注意力放在解题思路上。

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公式/结论速记卡#

类别	要点
分部积分	$\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$
选 $u$ 口诀	"反对幂三指"：反三角 → 对数 → 幂 → 三角 → 指数，靠前的当 $u$
常用结果	$\int xe^x\,\mathrm{d}x = (x-1)e^x$；$\int\ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x$；$\int\arctan x\,\mathrm{d}x = x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2)$；$\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x = \frac12e^x(\sin x - \cos x)$
循环型	$e^{ax}$ 乘 $\sin bx$ 或 $\cos bx$：分部两次（同类当 $u$），解关于 $I$ 的方程
表格法	左列 $u$ 逐次求导到 0，右列逐次积分，斜乘，符号 $+,-,+,\dots$
有理函数	假分式先除；分母分解；$(x-a)\to\frac{A}{x-a}$；$(x-a)^2\to\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$；$x^2+px+q\to\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$
求系数	单一次因式用捂住法；其余比较系数；代一个值检验
二次因式项	分子拆成"分母导数的倍数 + 常数"：前者凑成 $\ln$，后者配方成 $\arctan$
降幂	$\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$，$\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$
半角	$1+\cos x = 2\cos^2\frac x2$，$1-\cos x = 2\sin^2\frac x2$
积化和差	$\sin A\cos B = \frac12[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
万能代换	$t = \tan\frac x2$：$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$，$\mathrm{d}x = \frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}$

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自测练习#

1. 求 $\displaystyle\int x^2\ln x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

"反对幂三指"：对数当 $u$，$x^2\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(\frac{x^3}{3}\right)$。

$$\frac{x^3}{3}\ln x - \int\frac{x^3}{3}\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$$

2. 求 $\displaystyle\int x\sin2x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

幂当 $u$，$\sin2x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(-\frac{\cos2x}{2}\right)$：

$$-\frac{x\cos2x}{2} + \int\frac{\cos2x}{2}\,\mathrm{d}x = -\frac{x\cos2x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C$$

3. 求 $\displaystyle\int x^2e^{2x}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

表格法：求导列 $x^2, 2x, 2, 0$；积分列 $e^{2x}, \frac12e^{2x}, \frac14e^{2x}, \frac18e^{2x}$。斜乘带符号：

$$\frac12x^2e^{2x} - \frac12xe^{2x} + \frac14e^{2x} + C = e^{2x}\left(\frac{x^2}{2} - \frac x2 + \frac14\right) + C$$

4. 求 $\displaystyle\int e^{-x}\cos x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

循环型，设为 $I$，两次都把 $e^{-x}$ 凑进 $\mathrm{d}$（$e^{-x}\mathrm{d}x = -\mathrm{d}e^{-x}$）：

$I = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x\,\mathrm{d}x$，而 $\int e^{-x}\sin x\,\mathrm{d}x = -e^{-x}\sin x + I$。

代回：$I = -e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x - I$，

$$I = \frac12e^{-x}(\sin x - \cos x) + C$$

5. 求 $\displaystyle\int\frac{3x+1}{x^2-1}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$。捂住法：$A = \frac{3\cdot1+1}{1+1} = 2$（对应 $\frac{1}{x-1}$），$B = \frac{3\cdot(-1)+1}{-1-1} = 1$（对应 $\frac{1}{x+1}$）。

$$2\ln|x-1| + \ln|x+1| + C$$

6. 求 $\displaystyle\int\frac{1}{x^2(x+1)}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

设 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{D}{x+1}$。捂住 $x^2$ 代 $x = 0$：$B = 1$；捂住 $x+1$ 代 $x = -1$：$D = 1$；比较 $x^2$ 系数 $A + D = 0$，$A = -1$。

$$-\ln|x| - \frac1x + \ln|x+1| + C$$

7. 求 $\displaystyle\int\cos^2\frac x2\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

降幂：$\cos^2\frac x2 = \frac{1+\cos x}{2}$。

$$\frac x2 + \frac{\sin x}{2} + C$$

8. 求 $\displaystyle\int\frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

万能代换 $t = \tan\frac x2$：$1 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2}$，

$$\int\frac{1+t^2}{(1+t)^2}\cdot\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int\frac{2\,\mathrm{d}t}{(1+t)^2} = -\frac{2}{1+\tan\frac x2} + C$$

另一种做法：分子分母同乘 $1-\sin x$，得 $\int\frac{1-\sin x}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x = \tan x - \sec x + C$。两个答案只差常数，都对。

9.（略提高：先换元再分部）求 $\displaystyle\int e^{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

令 $\sqrt x = t$，$x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$：$\int 2te^t\,\mathrm{d}t = 2(t-1)e^t + C$（就是 $\int xe^x\,\mathrm{d}x$ 的结果乘 2）。换回：

$$2(\sqrt x - 1)e^{\sqrt x} + C$$

10.（略提高）求 $\displaystyle\int\arcsin x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

反三角当 $u$，$\mathrm{d}x$ 当 $\mathrm{d}v$：

$$x\arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$$

后一项凑微分：$x\,\mathrm{d}x = -\frac12\mathrm{d}(1-x^2)$，$\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\sqrt{1-x^2}$。

$$x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

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下一讲预告#

第 10 讲（上）「定积分：概念、性质与变限积分」：把"求原函数"和"求面积"连起来——先弄清定积分到底是什么，再认识连接积分与导数的那座桥：变限积分。