考研数学二·零基础讲义 第09讲（上）｜不定积分：概念、公式与换元法

考研数学二·零基础讲义 · 第 09 讲（上）｜不定积分：概念、公式与换元法

学完这一篇，你能说清楚"不定积分是什么"，把基本积分公式表背熟，并会用凑微分和第二换元法（三角代换、根式代换）算出常见积分。预计用时：4–5 小时（含练习），建议分两次学完。

本讲地图#

• 学什么：原函数与不定积分的概念；基本积分公式表与扩展公式；线性性质与"先变形再查表"；第一换元法（凑微分，含常用凑微分表）；第二换元法（三角代换、根式代换、配方后代换）。
• 大纲要求：理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式和性质；掌握换元积分法；会求简单无理函数的积分。
• 考研怎么考：不定积分很少单独出大题，但它是定积分、反常积分、微分方程、二重积分的"计算底座"。凑微分和换元几乎出现在每一道积分计算题里。
• 本讲分两篇：这一篇（上）讲概念、公式表和两种换元法；第 09 讲（下）讲分部积分、有理函数积分和三角有理式积分。
• 学习策略：公式表必须背到脱口而出；凑微分要靠大量练习"看出来"；每做完一题都求导验算。

前置知识#

• 基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角）的图像和性质，三角恒等式：见第 01 讲。
• 求导公式与法则、微分 $\mathrm{d}y = f'(x)\,\mathrm{d}x$ 的写法：见第 05 讲。
• 复合函数求导（链式法则）：见第 06 讲。

一句话提醒：不定积分就是"倒着求导"。你求导越熟，积分越快。如果第 05 讲的求导公式表还背不出来，先回去背——这不是客套话，积分里 80% 的卡壳，根源都是求导不熟。

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一、原函数与不定积分：求导的逆运算#

大白话#

求导是"已知路程，求速度"。现在反过来："已知速度，求路程"。

比如你知道某个函数的导数是 $2x$，问原来的函数是谁？你马上想到 $x^2$，因为 $(x^2)' = 2x$。但 $x^2 + 1$、$x^2 - 5$ 的导数也都是 $2x$——常数求导是 0，"倒回去"时就丢了信息，只能写成 $x^2 + C$，$C$ 是任意常数。

这就像你只知道一辆车每时每刻的速度，能算出它"走了多远"，但算不出它"从哪出发"。出发点就是那个 $C$。

正式定义#

如果在区间 $I$ 上 $F'(x) = f(x)$，就称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个原函数。

$f(x)$ 的全体原函数叫做 $f(x)$ 的不定积分，记作

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C .$$

逐行拆解#

• $\int$：积分号，读作"积分"。它是拉长的字母 S（sum，求和），第 10 讲会看到它为什么是"求和"。
• $f(x)$：被积函数，就是"导数是谁"。
• $\mathrm{d}x$：读作"d x"，表示对 $x$ 积分。它不是装饰，换元时它要跟着变，千万别丢。
• $F(x)$：一个原函数；$C$：积分常数，读作"C"。
• 整句读作："$f(x)$ 对 $x$ 的不定积分等于 $F(x)$ 加 $C$"。

两条"互逆"关系（考选择题常见）：

$$\left(\int f(x)\,\mathrm{d}x\right)' = f(x), \qquad \int F'(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C .$$

意思是：先积后导，回到原样；先导后积，多一个 $C$。

原函数存在性（理解即可）：$f(x)$ 在区间上连续，就一定有原函数。

例题#

例 1 已知 $F'(x) = 3x^2$，且 $F(1) = 2$，求 $F(x)$。

• 第 1 步：想谁的导数是 $3x^2$？$(x^3)' = 3x^2$，所以 $F(x) = x^3 + C$。
• 第 2 步：用条件定 $C$：$F(1) = 1 + C = 2$，得 $C = 1$。
• 答案：$F(x) = x^3 + 1$。

怎么检验一个积分算对了没有？ 把答案求导，看是不是等于被积函数。这一招要养成习惯，考场上能救命。

几何意义：积分曲线族#

大白话：$f(x)$ 的每一个原函数 $F(x)+C$ 都是一条曲线，叫积分曲线。所有这些曲线形状完全一样，只是上下平移了 $C$ 个单位——像一摞叠在一起、上下错开的同款纸片。它们有一个共同特点：在同一个横坐标 $x$ 处，每条曲线的切线斜率都等于 $f(x)$，所以切线互相平行。

题目给出"曲线过某一点"，就相当于从这一摞纸片里挑出唯一的一张。

图 1：积分曲线族 y = x² + C：各条曲线上下平移，x = 1 处切线互相平行；过点 (1,2) 的只有 y = x² + 1

例 2 已知曲线上任一点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $2x$，且曲线过点 $(1,2)$，求曲线方程。

• 第 1 步，翻译条件：切线斜率就是导数，所以 $y' = 2x$。
• 第 2 步，积分：$y = \displaystyle\int2x\,\mathrm{d}x = x^2 + C$。这是一族抛物线。
• 第 3 步，过点 $(1,2)$：$2 = 1 + C$，$C = 1$。
• 答案：$y = x^2 + 1$。

这其实就是最简单的"微分方程"，第 14 讲会大量遇到这种"由导数关系求函数"的问题。

易错点 ⚠️#

• 不定积分结果一定要加 $C$，漏写在大题里会扣分。
• 同一个积分，不同方法算出的答案"长得不一样"很正常，比如 $\sin^2 x + C$ 和 $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$，它们只差一个常数。求导验证一致就行。

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二、基本积分公式表与线性性质#

大白话#

把求导公式表"倒过来读"，就是积分公式表。这张表是一切计算的根基，必须背熟。

基本积分公式表#

序号	公式	由哪个求导公式倒过来
1	$\int k\,\mathrm{d}x = kx + C$	$(kx)'=k$
2	$\int x^{\mu}\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C\ (\mu\ne -1)$	幂函数
3	$\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert x\rvert + C$	$(\ln\lvert x\rvert)'=\frac1x$
4	$\int a^x\,\mathrm{d}x = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$；$\int e^x\,\mathrm{d}x = e^x + C$	指数函数
5	$\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x + C$	$(\cos x)' = -\sin x$
6	$\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C$	$(\sin x)'=\cos x$
7	$\int \sec^2 x\,\mathrm{d}x = \tan x + C$	$(\tan x)'=\sec^2x$
8	$\int \csc^2 x\,\mathrm{d}x = -\cot x + C$	$(\cot x)'=-\csc^2x$
9	$\int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x = \sec x + C$	$(\sec x)'=\sec x\tan x$
10	$\int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x = -\csc x + C$	$(\csc x)'=-\csc x\cot x$
11	$\int \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C$	反正切
12	$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin x + C$	反正弦

再补几条用得极多的扩展公式（后面会推导，先背下来）：

公式	备注
$\int \tan x\,\mathrm{d}x = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$	凑微分得到
$\int \cot x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\sin x\rvert + C$	同上
$\int \sec x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\sec x+\tan x\rvert + C$	必背
$\int \csc x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\csc x-\cot x\rvert + C$	必背
$\int \dfrac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac1a\arctan\dfrac xa + C$	$a>0$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin\dfrac xa + C$	$a>0$
$\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert + C$	部分分式
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x = \ln\left\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right\rvert + C$	三角代换

符号读法：$\sec x$ 读"正割"，$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$；$\csc x$ 读"余割"，$\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$；$\cot x$ 读"余切"，$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$。

线性性质#

$$\int \big[\alpha f(x) + \beta g(x)\big]\,\mathrm{d}x = \alpha\int f(x)\,\mathrm{d}x + \beta\int g(x)\,\mathrm{d}x .$$

逐行拆解：常数系数可以提出来；加减可以拆开分别积。就像分糖果：一袋混装的，可以分类后各自数。

但注意：乘积和商不能拆！$\int f g\,\mathrm{d}x \ne \int f\,\mathrm{d}x\cdot\int g\,\mathrm{d}x$。乘积要靠后面的换元或分部。

例题#

例 3 求 $\displaystyle\int \left(3x^2 + \frac{2}{x} - e^x + \cos x\right)\mathrm{d}x$。

逐项查表：$3x^2 \to x^3$，$\dfrac2x \to 2\ln\lvert x\rvert$，$e^x \to e^x$，$\cos x \to \sin x$。

$$\text{原式} = x^3 + 2\ln|x| - e^x + \sin x + C .$$

例 4（先变形再查表，这是基础题的核心技巧）

(1) $\displaystyle\int \frac{x^2-3x+2}{x}\,\mathrm{d}x$：分子逐项除以 $x$，得 $\displaystyle\int\left(x - 3 + \frac2x\right)\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} - 3x + 2\ln|x| + C$。

(2) $\displaystyle\int \frac{(1+x)^2}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$：展开 $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$，再除以 $x^{1/2}$：

$$\int\left(x^{-\frac12} + 2x^{\frac12} + x^{\frac32}\right)\mathrm{d}x = 2\sqrt x + \frac43 x^{\frac32} + \frac25 x^{\frac52} + C .$$

(3) $\displaystyle\int \tan^2 x\,\mathrm{d}x$：用恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，得 $\tan x - x + C$。

(4) $\displaystyle\int \frac{1}{x^2(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$：拆项 $\dfrac{1}{x^2(1+x^2)} = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{1+x^2}$（通分验证一下：$\dfrac{(1+x^2)-x^2}{x^2(1+x^2)}$，对），得 $-\dfrac1x - \arctan x + C$。

例 5（再练两道"拆分子"）

(1) $\displaystyle\int\frac{(x-1)^3}{x^2}\,\mathrm{d}x$。

• 第 1 步，展开分子：$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$。（立方公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$，见第 01 讲。）
• 第 2 步，逐项除以 $x^2$：$x - 3 + \dfrac3x - \dfrac{1}{x^2}$。
• 第 3 步，逐项查表：$\displaystyle\int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}$，$\displaystyle\int 3\,\mathrm{d}x = 3x$，$\displaystyle\int\frac3x\,\mathrm{d}x = 3\ln|x|$，$\displaystyle\int\left(-x^{-2}\right)\mathrm{d}x = x^{-1} = \frac1x$。

$$\int\frac{(x-1)^3}{x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} - 3x + 3\ln|x| + \frac1x + C .$$

(2) $\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x}\,\mathrm{d}x$。

• 倍角公式：$\cos2x = \cos^2x - \sin^2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$。
• 约分后：$\displaystyle\int(\cos x + \sin x)\,\mathrm{d}x = \sin x - \cos x + C$。

这类题的诀窍只有一个：看到分式先想能不能约、能不能拆。

易错点 ⚠️#

• $\int \frac1x\,\mathrm{d}x = \ln|x| + C$，绝对值别丢（$x<0$ 时 $\ln x$ 没定义）。
• $\int x^{\mu}\,\mathrm{d}x$ 的公式在 $\mu = -1$ 时不能用（分母变 0），这时用 $\ln|x|$。
• $\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x$，负号最容易掉。记法："sin 积出来要变负"。
• 根式先化成分数指数再积：$\sqrt x = x^{1/2}$，$\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$。

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三、第一换元法：凑微分#

大白话#

链式法则说：$\big[F(\varphi(x))\big]' = F'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$。倒过来：如果被积函数长成"某个函数套着 $\varphi(x)$，再乘以 $\varphi'(x)$"的样子，就能把 $\varphi(x)$ 整体看成一个新变量 $u$，直接查表。

比如 $\int 2x\cos(x^2)\,\mathrm{d}x$：里面有 $x^2$，旁边恰好有 $2x$，而 $2x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(x^2)$。把 $x^2$ 看成 $u$，就是 $\int\cos u\,\mathrm{d}u = \sin u + C = \sin(x^2) + C$。

"凑微分"就是：把旁边多出来的那一坨，塞进 $\mathrm{d}$ 后面去。

正式公式#

若 $\int f(u)\,\mathrm{d}u = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可导，则

$$\int f\big(\varphi(x)\big)\varphi'(x)\,\mathrm{d}x = \int f\big(\varphi(x)\big)\,\mathrm{d}\varphi(x) = F\big(\varphi(x)\big) + C .$$

逐行拆解#

• $\varphi(x)$ 读作"斐 x"，是你选出来的"内层函数"。
• 关键一步：$\varphi'(x)\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\varphi(x)$。这就是微分的定义（第 05 讲）：$\mathrm{d}y = y'\,\mathrm{d}x$。
• 凑好后，$\mathrm{d}$ 后面是什么，就把它当成一个整体变量，直接套公式。

常用凑微分表（必背）#

被积式中出现	凑成
$\mathrm{d}x$	$\dfrac1a\,\mathrm{d}(ax+b)$
$x\,\mathrm{d}x$	$\dfrac12\,\mathrm{d}(x^2)$，或 $\dfrac12\,\mathrm{d}(x^2\pm a^2)$
$x^{n-1}\,\mathrm{d}x$	$\dfrac1n\,\mathrm{d}(x^n)$
$\dfrac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$	$2\,\mathrm{d}(\sqrt x)$
$\dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$	$-\mathrm{d}\left(\dfrac1x\right)$
$\dfrac1x\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\ln\lvert x\rvert)$
$e^x\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(e^x)$
$\cos x\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sin x)$
$\sin x\,\mathrm{d}x$	$-\mathrm{d}(\cos x)$
$\sec^2 x\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\tan x)$
$\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arctan x)$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arcsin x)$
$\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$（最一般）	$\mathrm{d}\varphi(x)$

怎么"看出来"该凑谁？ 一个实用思路：在被积函数里找"复杂的那一块"（括号里、根号里、指数上、分母里），对它求导，看求出来的东西是不是恰好（或差个常数倍）就在旁边。

例题（由浅入深）#

例 6 $\displaystyle\int e^{3x}\,\mathrm{d}x$。

$\mathrm{d}x = \frac13\mathrm{d}(3x)$，所以原式 $= \dfrac13\displaystyle\int e^{3x}\,\mathrm{d}(3x) = \dfrac13 e^{3x} + C$。

例 7 $\displaystyle\int \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$。

分母 $1+x^2$ 的导数是 $2x$，旁边有 $x$，差个 2：$x\,\mathrm{d}x = \frac12\mathrm{d}(1+x^2)$。

$$\text{原式} = \frac12\int\frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2} = \frac12\ln(1+x^2) + C .$$

（$1+x^2>0$，所以绝对值可以去掉。）

例 8 $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$ 和 $\displaystyle\int \frac{1}{x(1+\ln x)}\,\mathrm{d}x$。

两题都看到 $\dfrac1x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\ln x)$。

• 第一题 $=\displaystyle\int \ln x\,\mathrm{d}(\ln x) = \frac12(\ln x)^2 + C$。
• 第二题 $=\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}(1+\ln x)}{1+\ln x} = \ln|1+\ln x| + C$。

例 9 推导 $\displaystyle\int \tan x\,\mathrm{d}x$。

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，而 $\sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}(\cos x)$：

$$\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x = -\int\frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x| + C .$$

例 10 推导 $\displaystyle\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x\ (a>0)$。

提出 $a^2$：$\dfrac{1}{a^2}\cdot\dfrac{1}{1+(x/a)^2}$；再用 $\mathrm{d}x = a\,\mathrm{d}(x/a)$：

$$\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac1a\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{1+(x/a)^2} = \frac1a\arctan\frac xa + C .$$

例 11 $\displaystyle\int \sin^3 x\,\mathrm{d}x$（奇次幂：拆一个出来凑微分）。

$\sin^3 x = \sin^2 x\cdot\sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$，而 $\sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}(\cos x)$：

$$\int(1-\cos^2x)\,\big(-\mathrm{d}\cos x\big) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C .$$

例 12 $\displaystyle\int\sec x\,\mathrm{d}x$（技巧型，记住结论即可）。

分子分母同乘 $\sec x + \tan x$：

$$\int\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\,\mathrm{d}x = \int\frac{\mathrm{d}(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} = \ln|\sec x+\tan x| + C ,$$

因为 $(\sec x+\tan x)' = \sec x\tan x + \sec^2 x$，恰好是分子。

例 13（再来几道，练"眼力"）

(1) $\displaystyle\int\sin x\cos x\,\mathrm{d}x$：$\cos x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\sin x)$，得 $\displaystyle\int\sin x\,\mathrm{d}(\sin x) = \frac12\sin^2x + C$。

(2) $\displaystyle\int\frac{\cos\sqrt x}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$：看到 $\dfrac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x = 2\,\mathrm{d}(\sqrt x)$，

$$\int\cos\sqrt x\cdot2\,\mathrm{d}(\sqrt x) = 2\sin\sqrt x + C .$$

(3) $\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^x}\,\mathrm{d}x$：$e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(e^x) = \mathrm{d}(1+e^x)$，得 $\ln(1+e^x) + C$。

(4) $\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x^2+3x+5)^2}\,\mathrm{d}x$：括号里 $x^2+3x+5$ 的导数正好是 $2x+3$，

$$\int\frac{\mathrm{d}(x^2+3x+5)}{(x^2+3x+5)^2} = -\frac{1}{x^2+3x+5} + C .$$

这里用了 $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2} = -\frac1u + C$。

例 14 推导 $\displaystyle\int\frac{1}{x^2-a^2}\,\mathrm{d}x\ (a>0)$。

• 第 1 步，拆分母：$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$。
• 第 2 步，拆成两项之差：$\dfrac{1}{(x-a)(x+a)} = \dfrac{1}{2a}\left(\dfrac{1}{x-a} - \dfrac{1}{x+a}\right)$。（通分验证：$\dfrac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \dfrac{2a}{x^2-a^2}$，再乘 $\dfrac{1}{2a}$，对。）
• 第 3 步，每一项都是 $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}(x\pm a)}{x\pm a}$：

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\big(\ln|x-a| - \ln|x+a|\big) + C = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C .$$

这个"把一个分式拆成两个简单分式"的思路，就是第 09 讲（下）"部分分式"的雏形。

凑微分的四个常见套路（总结）#

做了这么多例题，回头归纳一下，凑微分其实就这么几种"长相"：

1. 线性内层：$f(ax+b)$ 型。$\mathrm{d}x = \frac1a\,\mathrm{d}(ax+b)$，直接把 $ax+b$ 看成整体。比如 $\int e^{3x}\,\mathrm{d}x$、$\int\cos(2x+1)\,\mathrm{d}x$、$\int(3x-1)^{10}\,\mathrm{d}x$。最后答案前面别忘了乘 $\frac1a$。
2. 分子是分母的导数：$\int\frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm{d}x = \ln|u(x)| + C$。看到分式，先对分母求导，看看和分子是不是只差一个常数倍。$\tan x$、$\frac{x}{1+x^2}$、$\frac{e^x}{1+e^x}$ 都是这一类。
3. 函数与它的导数相乘：$\int u^n(x)\,u'(x)\,\mathrm{d}x = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$。$\int\sin x\cos x\,\mathrm{d}x$、$\int\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$、$\int\frac{2x+3}{(x^2+3x+5)^2}\,\mathrm{d}x$ 都是。
4. 藏起来的复合：指数上、根号里、三角函数里藏着一个函数，旁边恰好有它的导数。比如 $xe^{x^2}$（$x^2$ 的导数 $2x$）、$\frac{\cos\sqrt x}{\sqrt x}$（$\sqrt x$ 的导数 $\frac{1}{2\sqrt x}$）、$\frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}$（$\arctan x$ 的导数 $\frac{1}{1+x^2}$）。

一个检验办法：凑完之后，在草稿纸上把"$\mathrm{d}$ 后面的东西"求个导，看看和你"拿走的那部分"是不是一样（包括常数倍）。这一步只要几秒钟，却能避免大量的系数错误。

易错点 ⚠️#

• 凑微分时系数要补齐：$x\,\mathrm{d}x = \frac12\mathrm{d}(x^2)$，那个 $\frac12$ 不能忘。
• 积完要把 $u$ 换回 $x$，答案里不能留着中间变量。
• 偶次幂 $\sin^2 x$、$\cos^2 x$ 不能用上面 $\sin^3x$ 那种"拆一个"的方法，要用降幂公式 $\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$（第 09 讲（下）会系统讲）。

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四、第二换元法：三角代换与根式代换#

大白话#

第一换元是"把一坨看成新变量"（$u=\varphi(x)$）；第二换元是反过来"把 $x$ 换成别的东西"（$x = \psi(t)$），目的是消掉根号。

根号是积分的大敌。三角代换利用 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 这类恒等式，让根号里变成完全平方；根式代换则干脆令整个根号为 $t$。

正式公式#

设 $x = \psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t)\ne0$，则

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int f\big(\psi(t)\big)\psi'(t)\,\mathrm{d}t \Big|_{t=\psi^{-1}(x)} .$$

逐行拆解：$x$ 换成 $\psi(t)$；$\mathrm{d}x$ 换成 $\psi'(t)\,\mathrm{d}t$（这一步最容易忘）；积完后用反函数 $t = \psi^{-1}(x)$ 换回 $x$。竖线 "$\big|_{t=\cdots}$" 读作"在 $t$ 等于……处取值"，意思就是代回去。

三种三角代换（必背）#

根式	代换	用到的恒等式
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x = a\sin t$，$t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$	$1-\sin^2t=\cos^2t$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x = a\tan t$，$t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$	$1+\tan^2t=\sec^2t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a\sec t$	$\sec^2t-1=\tan^2t$

换回 $x$ 的好办法：画直角三角形。 比如 $x = a\sin t$，就画一个斜边 $a$、对边 $x$ 的直角三角形，邻边就是 $\sqrt{a^2-x^2}$，于是 $\cos t = \dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$，一眼读出。

例题#

例 15 $\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $x = \sin t$，$t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$，则 $\sqrt{1-x^2} = \cos t$（这个范围里 $\cos t>0$），$\mathrm{d}x = \cos t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\cos^2 t\,\mathrm{d}t = \int\frac{1+\cos 2t}{2}\,\mathrm{d}t = \frac t2 + \frac{\sin 2t}{4} + C$。
• 换回：$t = \arcsin x$，$\sin 2t = 2\sin t\cos t = 2x\sqrt{1-x^2}$。

$$\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac12\arcsin x + \frac12 x\sqrt{1-x^2} + C .$$

图 2：例 15 结果的几何意义：从 0 到 x 的曲边面积 = 扇形 (1/2)arcsin x + 三角形 (1/2)x√(1−x²)

例 16 $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,\mathrm{d}x\ (a>0)$。

• 令 $x = a\tan t$，则 $\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$，$\mathrm{d}x = a\sec^2 t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\frac{a\sec^2t}{a\sec t}\,\mathrm{d}t = \int\sec t\,\mathrm{d}t = \ln|\sec t + \tan t| + C_1$。
• 画三角形：对边 $x$、邻边 $a$、斜边 $\sqrt{x^2+a^2}$，所以 $\tan t = \dfrac xa$，$\sec t = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$。
• 代回：$\ln\left|\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}\right| + C_1 = \ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right) + C$（$-\ln a$ 并进常数）。

例 17（根式代换）$\displaystyle\int\frac{1}{1+\sqrt x}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $\sqrt x = t$（$t\ge0$），则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\frac{2t}{1+t}\,\mathrm{d}t = 2\int\left(1 - \frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t = 2t - 2\ln(1+t) + C$。
• 换回：$2\sqrt x - 2\ln(1+\sqrt x) + C$。

例 18 $\displaystyle\int\frac{\sqrt{x-1}}{x}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $\sqrt{x-1} = t$，$x = t^2+1$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\frac{t}{t^2+1}\cdot2t\,\mathrm{d}t = 2\int\left(1 - \frac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t = 2t - 2\arctan t + C$。
• 换回：$2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C$。

根式代换口诀：根号里是一次式 $\sqrt[n]{ax+b}$，就令整个根号为 $t$；同时出现 $\sqrt x$ 和 $\sqrt[3]{x}$，令 $x = t^6$（6 是 2 和 3 的最小公倍数）。

例 19（$\sqrt{x^2-a^2}$ 型）推导 $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,\mathrm{d}x\ (x>a>0)$。

• 令 $x = a\sec t$，$t\in\left(0,\frac\pi2\right)$，则 $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2(\sec^2t-1)} = a\tan t$（此范围内 $\tan t>0$），$\mathrm{d}x = a\sec t\tan t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\frac{a\sec t\tan t}{a\tan t}\,\mathrm{d}t = \int\sec t\,\mathrm{d}t = \ln|\sec t+\tan t| + C_1$。
• 画三角形：斜边 $x$、邻边 $a$（因为 $\sec t = \frac xa$，即 $\cos t = \frac ax$），对边 $\sqrt{x^2-a^2}$，所以 $\tan t = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$。
• 代回：$\ln\left|\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right| + C_1 = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| + C$。

和例 16 合起来，就是公式表里那条 $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right| + C$。

例 20（先配方再代换）$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}\,\mathrm{d}x$。

• 配方：$x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4 = (x+1)^2 + 2^2$。
• 把 $x+1$ 看成整体 $u$（$\mathrm{d}x = \mathrm{d}(x+1)$），直接套上面的公式（$a = 2$）：

$$\int\frac{\mathrm{d}(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2+2^2}} = \ln\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right) + C .$$

例 21（三角代换）$\displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x\ (x>0)$。

• 令 $x = \tan t$，$\mathrm{d}x = \sec^2t\,\mathrm{d}t$，$\sqrt{1+x^2} = \sec t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\frac{\sec^2t}{\tan^2t\sec t}\,\mathrm{d}t = \int\frac{\sec t}{\tan^2t}\,\mathrm{d}t = \int\frac{\cos t}{\sin^2t}\,\mathrm{d}t$。（$\sec t = \frac{1}{\cos t}$，$\tan^2t = \frac{\sin^2t}{\cos^2t}$，化简得 $\frac{\cos t}{\sin^2t}$。）
• 凑微分：$\cos t\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}(\sin t)$，得 $-\dfrac{1}{\sin t} + C$。
• 画三角形：对边 $x$、邻边 1、斜边 $\sqrt{1+x^2}$，$\sin t = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1+x^2}} = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + C .$$

例 22（两种根号同时出现）$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt x+\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x$。

• 2 和 3 的最小公倍数是 6，令 $x = t^6$（$t>0$），则 $\sqrt x = t^3$，$\sqrt[3]{x} = t^2$，$\mathrm{d}x = 6t^5\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\frac{6t^5}{t^3+t^2}\,\mathrm{d}t = 6\int\frac{t^3}{t+1}\,\mathrm{d}t$。
• 多项式除法：$t^3 = (t+1)(t^2-t+1) - 1$，所以 $\dfrac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \dfrac{1}{t+1}$。
• 积分：$6\left(\dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} + t - \ln(1+t)\right) + C$。
• 换回 $t = x^{1/6}$：

$$2\sqrt x - 3\sqrt[3]{x} + 6\sqrt[6]{x} - 6\ln\left(1+\sqrt[6]{x}\right) + C .$$

例 23 $\displaystyle\int x\sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x$。

• 令 $\sqrt{x-1} = t$，$x = t^2+1$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int(t^2+1)\cdot t\cdot2t\,\mathrm{d}t = \int(2t^4+2t^2)\,\mathrm{d}t = \frac25t^5 + \frac23t^3 + C$。
• 换回：$\dfrac25(x-1)^{\frac52} + \dfrac23(x-1)^{\frac32} + C$。

易错点 ⚠️#

• $\mathrm{d}x$ 必须跟着换，这是第二换元最常见的失分点。
• 三角代换要限定 $t$ 的范围，保证开根号时取正，例如 $\sqrt{\cos^2 t} = \cos t$ 需要 $\cos t\ge0$。
• 根号里是二次式但不是标准形，先配方：$\sqrt{x^2+2x+5} = \sqrt{(x+1)^2+4}$，再令 $x+1 = 2\tan t$。

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综合例题：一题两解#

例 24 求 $\displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x$。

解法一（凑微分 + 换元，推荐）

• 第 1 步，观察：根号里是 $1+x^2$，它的导数是 $2x$；分子 $x^3 = x^2\cdot x$，可以拆出一个 $x$ 去凑微分。
• 第 2 步，令 $u = 1+x^2$，则 $x^2 = u-1$，$x\,\mathrm{d}x = \frac12\,\mathrm{d}u$。
• 第 3 步，代入：

$$\int\frac{x^2\cdot x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac12\int\frac{u-1}{\sqrt u}\,\mathrm{d}u = \frac12\int\left(u^{\frac12} - u^{-\frac12}\right)\mathrm{d}u = \frac13u^{\frac32} - u^{\frac12} + C .$$

• 第 4 步，换回：$\dfrac13(1+x^2)^{\frac32} - \sqrt{1+x^2} + C$。

解法二（三角代换）

• 令 $x = \tan t$，$\sqrt{1+x^2} = \sec t$，$\mathrm{d}x = \sec^2t\,\mathrm{d}t$。
• 原式 $= \displaystyle\int\tan^3t\sec t\,\mathrm{d}t = \int(\sec^2t - 1)\,\mathrm{d}(\sec t)$（因为 $\tan t\sec t\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}(\sec t)$，$\tan^2t = \sec^2t-1$）。
• $= \dfrac13\sec^3t - \sec t + C$，再用 $\sec t = \sqrt{1+x^2}$ 换回，结果与解法一相同。

点评：两种方法都对，但解法一更短。这再次说明：能凑微分就先凑微分，三角代换是"消根号的最后手段"。

两种换元法的本质对比#

很多同学把两种换元搞混，这里用一张表说清楚：

	第一换元（凑微分）	第二换元
方向	把 $x$ 的一坨合并成新变量：$u = \varphi(x)$	把 $x$ 拆开写成新变量的函数：$x = \psi(t)$
典型目的	认出"复合 + 内层导数"，直接查表	消掉根号
$\mathrm{d}x$ 怎么处理	被"吸收"进 $\mathrm{d}u$	写成 $\psi'(t)\,\mathrm{d}t$
是否要换回	通常心里换元，不写 $u$，自然就是 $x$	必须用反函数换回 $x$
难点	"看出来"凑谁	选对代换、换回时画三角形

一句话：凑微分是"往里收"，第二换元是"往外拆"。两者用的是同一个公式（链式法则倒过来），只是读的方向相反。

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五、换元法怎么选：一张决策表#

看到什么	先试什么	例子
能拆、能约、能用恒等式化简	变形后直接查表	$\frac{(x-1)^3}{x^2}$、$\tan^2x$
复合函数 + 旁边有内层导数	凑微分	$2x\cos x^2$、$\frac{\ln x}{x}$
分子是分母的导数（或差常数倍）	凑成 $\int\frac{\mathrm{d}u}{u}$	$\frac{x}{1+x^2}$、$\tan x$
$\frac{1}{x^2+px+q}$（判别式 $<0$）	配方 + arctan	$\frac{1}{x^2+4x+8}$
$\sqrt{a^2-x^2}$ / $\sqrt{a^2+x^2}$ / $\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a\sin t$ / $a\tan t$ / $a\sec t$	$\sqrt{1-x^2}$
$\sqrt[n]{ax+b}$	令整个根式为 $t$	$\frac{1}{1+\sqrt x}$
根号里是二次式但不标准	先配方，再三角代换或套公式	$\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}$

一个经验：凑微分能做的题，就不要用第二换元。凑微分最快、最不容易出错；第二换元要换回变量，步骤多，留给"必须消根号"的场合。

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六、常见疑问答疑#

问：为什么求导那么"机械"，积分却要靠"看"？

答：求导像"拆积木"，每个零件都有固定拆法，按规则拆就完事了。积分像"拼积木"，给你一堆零件，要你猜原来拼成了什么样子。拼法不唯一，有时候还根本拼不出来——比如 $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x$、$\int\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x$，它们的原函数存在，但写不成初等函数。考研不会让你硬算这种积分；如果在题里见到，通常是要你用变限积分（第 10 讲）去处理，而不是求原函数。

问：我算的答案和书上不一样，是不是错了？

答：先别慌，先求导。比如 $\int\sin x\cos x\,\mathrm{d}x$：凑 $\mathrm{d}(\sin x)$ 得 $\frac12\sin^2x$；凑 $\mathrm{d}(\cos x)$ 得 $-\frac12\cos^2x$；用倍角公式得 $-\frac14\cos2x$。三个答案两两只差常数，全都对。只要你的答案求导后等于被积函数，就是对的。

问：凑微分总是"看不出来"怎么办？

答：这是正常的，没人天生看得出来。办法只有两个：第一，把凑微分表背熟，背到看见 $\frac1x\,\mathrm{d}x$ 就自动想到 $\mathrm{d}(\ln x)$；第二，多做题，每做完一道，回头想一想"是哪个信号让我想到这样凑的"。把这些信号记在笔记本上，慢慢就会形成条件反射。

问：三角代换后，怎么确定开根号取正还是取负？

答：看 $t$ 的范围。我们规定 $x = a\sin t$ 时 $t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$，这个范围里 $\cos t>0$，所以 $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$，直接取正。只要按速记卡里规定的范围来，就不用担心符号。

问：第二换元后一定要换回 $x$ 吗？

答：不定积分一定要换回 $x$，答案里不能出现 $t$。下一讲的定积分换元则不用换回，只要把上下限一起换掉就行，这是两者最大的区别之一。

学习建议：把公式表和凑微分表抄在一张纸上，每天早上看一遍；然后每天做 10 道积分题，坚持两周。做题时不看答案先写完，再求导自查，最后才对答案。

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公式/结论速记卡#

类别	要点
定义	$F'=f \iff \int f\,\mathrm{d}x = F + C$；先积后导回原样，先导后积多个 $C$；连续函数必有原函数
必背公式	$\int x^\mu\,\mathrm{d}x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}\ (\mu\ne-1)$；$\int\frac1x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert x\rvert$；$\int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a}$；$\int\sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x$；$\int\cos x\,\mathrm{d}x = \sin x$；$\int\sec^2x\,\mathrm{d}x = \tan x$；$\int\csc^2x\,\mathrm{d}x = -\cot x$；$\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \arctan x$；$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$
扩展公式	$\int\tan x\,\mathrm{d}x = -\ln\lvert\cos x\rvert$；$\int\cot x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\sin x\rvert$；$\int\sec x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\sec x+\tan x\rvert$；$\int\csc x\,\mathrm{d}x = \ln\lvert\csc x-\cot x\rvert$
含 $a$ 的公式	$\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2} = \frac1a\arctan\frac xa$；$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac xa$；$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\lvert\frac{x-a}{x+a}\rvert$；$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\rvert$
线性	系数可提、加减可拆；乘除不能拆
凑微分	$\mathrm{d}x = \frac1a\mathrm{d}(ax+b)$；$x\,\mathrm{d}x = \frac12\mathrm{d}(x^2)$；$\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x = -\mathrm{d}\frac1x$；$\frac{1}{\sqrt x}\mathrm{d}x = 2\mathrm{d}\sqrt x$；$\frac1x\mathrm{d}x = \mathrm{d}\ln\lvert x\rvert$；$e^x\mathrm{d}x = \mathrm{d}e^x$；$\cos x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\sin x$；$\sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}\cos x$；$\sec^2x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\tan x$
奇次幂	$\sin^{2k+1}x$：拆一个 $\sin x$ 凑 $-\mathrm{d}\cos x$，其余用 $\sin^2 = 1-\cos^2$
三角代换	$\sqrt{a^2-x^2}$：$x = a\sin t$；$\sqrt{a^2+x^2}$：$x = a\tan t$；$\sqrt{x^2-a^2}$：$x = a\sec t$；画直角三角形换回
根式代换	$\sqrt[n]{ax+b} = t$；$\sqrt x$ 与 $\sqrt[3]x$ 同时出现令 $x = t^6$
必做检查	加 $C$；换回 $x$；求导验算

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自测练习#

1. 求 $\displaystyle\int\left(x^2 + \sqrt x - \frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$。

答案与提示

逐项用幂函数公式：$\sqrt x = x^{1/2}$，$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$。

$$\frac{x^3}{3} + \frac23x^{\frac32} + \frac1x + C$$

注意 $\int(-x^{-2})\,\mathrm{d}x = -\frac{x^{-1}}{-1} = \frac1x$。

2. 求 $\displaystyle\int\frac{(x^2-1)^2}{x^2}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

展开：$(x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$，除以 $x^2$ 得 $x^2 - 2 + x^{-2}$。

$$\frac{x^3}{3} - 2x - \frac1x + C$$

3. 求 $\displaystyle\int xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

$x\,\mathrm{d}x = \frac12\mathrm{d}(x^2)$：

$$\frac12\int e^{x^2}\,\mathrm{d}(x^2) = \frac12e^{x^2} + C$$

4. 求 $\displaystyle\int\sin x\cos^3x\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

$\sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}(\cos x)$：

$$-\int\cos^3x\,\mathrm{d}(\cos x) = -\frac{\cos^4x}{4} + C$$

5. 求 $\displaystyle\int\frac{1}{x^2+4x+8}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

配方：$x^2+4x+8 = (x+2)^2 + 4$，用 $\int\frac{\mathrm{d}u}{a^2+u^2} = \frac1a\arctan\frac ua$，$a = 2$：

$$\frac12\arctan\frac{x+2}{2} + C$$

6. 求 $\displaystyle\int\frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

$\frac1x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\ln x)$：

$$\int\frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C$$

7. 求 $\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

$e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}(e^x)$，$e^{2x} = (e^x)^2$：

$$\int\frac{\mathrm{d}(e^x)}{1+(e^x)^2} = \arctan e^x + C$$

8. 求 $\displaystyle\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

套公式 $\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$，$a = 2$：

$$\frac14\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$$

9.（略提高）求 $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

令 $x = \sin t$，$t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$，$\mathrm{d}x = \cos t\,\mathrm{d}t$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$：

$$\int\frac{\sin^2t}{\cos t}\cos t\,\mathrm{d}t = \int\sin^2t\,\mathrm{d}t = \frac t2 - \frac{\sin2t}{4} + C$$

换回：$\sin2t = 2x\sqrt{1-x^2}$，

$$\frac12\arcsin x - \frac12x\sqrt{1-x^2} + C$$

10.（略提高）求 $\displaystyle\int\frac{\sqrt x}{1+x}\,\mathrm{d}x$。

答案与提示

令 $\sqrt x = t$，$x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$：

$$\int\frac{t}{1+t^2}\cdot2t\,\mathrm{d}t = 2\int\left(1 - \frac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t = 2t - 2\arctan t + C$$

换回：$2\sqrt x - 2\arctan\sqrt x + C$。

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下一讲预告#

第 09 讲（下）「分部积分、有理函数与三角有理式」：两类函数相乘、多项式相除、一堆 sin cos 混在一起时怎么积——学完它，不定积分的工具箱就齐了。