考研数学二·零基础讲义 第08讲（下）｜弧微分、曲率与曲率半径

考研数学二·零基础讲义 · 第 08 讲（下）｜弧微分、曲率与曲率半径

学完这一篇，你能写出弧微分公式，理解曲率"衡量弯曲程度"的含义，熟练用直角坐标、参数方程、隐函数三种形式计算曲率和曲率半径，并了解曲率圆和曲率中心。预计用时：2.5～3.5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 弧微分：曲线上一小段弧长怎么用 $dx$ 表示。大纲要求：了解弧微分。
• 曲率：曲线弯得有多急。大纲要求：了解曲率的概念，会计算曲率。
• 曲率圆与曲率半径：大纲要求：了解曲率圆、曲率半径的概念，会计算曲率半径。
• 三种形式：$y=f(x)$、参数方程、隐函数。
• 考研怎么考：这是数学二的特色考点（数一、数三考得少），多以填空题出现，偶尔与最值问题结合（例如"哪一点曲率最大"）。公式记牢、计算细心即可拿分。

前置知识#

• 一阶、二阶导数，参数方程与隐函数求导（见第 06 讲上、下）。
• 极值、最值（见第 08 讲上），凹凸性（见第 08 讲中）。
• 微分 $dy=f'(x)dx$ 的概念（见第 05 讲）。

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一、弧微分#

1.1 大白话#

把曲线放大看，非常短的一小段弧几乎就是一条直线段。这条小线段水平方向走了 $dx$，竖直方向走了 $dy$，按勾股定理，它的长度

$$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$$

$ds$ 就叫弧微分，"$s$"代表弧长。

图 1：弧微分的直观图：一小段弧近似成直角三角形的斜边，$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

1.2 公式#

直角坐标 $y=f(x)$：$dy=y'dx$，代入得

$$ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$：$dx=x'(t)dt$，$dy=y'(t)dt$，

$$ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,dt$$

1.3 逐行拆解#

• $y'^2$ 表示 $(y')^2$，即导数的平方，不是二阶导。
• $\sqrt{(dx)^2+(y'dx)^2}=\sqrt{1+y'^2}\cdot|dx|$，约定 $s$ 随 $x$ 增大而增大，取 $dx>0$，绝对值可以去掉。
• 弧微分是后面曲率公式和第 11 讲"弧长"计算的基础：把 $ds$ 积分起来就是弧长。

1.4 例题#

例 1 求抛物线 $y=x^2$ 的弧微分。

$y'=2x$，$ds=\sqrt{1+4x^2}\,dx$。

例 2 求圆 $x=a\cos t$，$y=a\sin t$ 的弧微分。

$x'=-a\sin t$，$y'=a\cos t$，

$$ds=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t}\,dt=a\,dt$$

这很合理：圆心角转过 $dt$ 弧度，弧长就是 $a\,dt$（弧长 = 半径 × 圆心角）。

1.5 弧微分与切线倾斜角#

设切线的倾斜角为 $\alpha$，则 $\tan\alpha=y'$，于是

$$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\tan^2\alpha}=|\sec\alpha|,\qquad \cos\alpha=\frac{dx}{ds},\quad\sin\alpha=\frac{dy}{ds}$$

（取 $-\dfrac\pi2<\alpha<\dfrac\pi2$ 时 $\sec\alpha>0$。）

大白话：那一小段弧是一个直角三角形的斜边，$dx$、$dy$ 是两条直角边，$\alpha$ 是斜边与水平方向的夹角。这个小三角形叫"微分三角形"，后面讲弧长、旋转曲面面积时还会反复用到它。曲线越陡（$|y'|$ 越大），同样的 $dx$ 对应的 $ds$ 越长——这正是曲率公式分母里要"按弧长折算"的原因。

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二、曲率#

2.1 大白话#

同样是转弯，有的弯很急（像山路的发夹弯），有的很缓（像高速公路的大弧线）。曲率就是衡量"弯得有多急"的数。

怎么量化？开车时，"弯得急"意味着：走同样一段路，方向盘（切线方向）转过的角度大。所以

$$\text{曲率}=\frac{\text{切线转过的角度}}{\text{走过的弧长}}$$

最直观的参照是圆：半径为 $R$ 的圆，走一圈弧长 $2\pi R$，切线方向转了 $2\pi$，曲率 $=\dfrac{2\pi}{2\pi R}=\dfrac1R$。半径越小越弯。直线不弯，切线方向不变，曲率为 0。

2.2 定义与公式#

设曲线上一段弧长为 $\Delta s$，切线倾斜角改变了 $\Delta\alpha$，曲率定义为

$$K=\lim_{\Delta s\to0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|$$

直角坐标 $y=f(x)$（$f$ 二阶可导）：

$$K=\frac{|y''|}{\left(1+y'^2\right)^{\frac32}}$$

参数方程 $x=x(t),\ y=y(t)$：

$$K=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{\left[x'^2(t)+y'^2(t)\right]^{\frac32}}$$

2.3 公式的推导（看懂即可）#

切线倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan\alpha=y'$，所以 $\alpha=\arctan y'$。对 $x$ 求导（链式法则）：

$$\frac{d\alpha}{dx}=\frac{1}{1+y'^2}\cdot y'' \quad\Rightarrow\quad d\alpha=\frac{y''}{1+y'^2}\,dx$$

再由弧微分 $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$，相除：

$$K=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|=\frac{|y''|}{(1+y'^2)\sqrt{1+y'^2}}=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}$$

参数方程版本：把第 06 讲（下）的 $y'=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$、$y''=\dfrac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}$ 代入上式化简即得。

2.4 逐行拆解#

• $K$ 是曲率的通用记号。
• 分子 $|y''|$：二阶导衡量斜率变化的快慢，变得越快越弯。取绝对值，因为曲率只管"多弯"，不管往哪边弯（往哪边弯是凹凸性的事）。
• 分母 $(1+y'^2)^{\frac32}$：读作"一加 y 撇方的二分之三次方"，$(\cdot)^{\frac32}=\left(\sqrt{\cdot}\right)^3$。它的作用是"按弧长折算"：曲线很陡时，同样的 $dx$ 对应的弧长更长。
• 在 $y'=0$ 的点（如抛物线顶点、极值点）分母为 1，$K=|y''|$，最好算。
• 参数方程公式的分子，可以记成"撇双撇减双撇撇"：$x'y''-x''y'$。分母是 $(x'^2+y'^2)^{\frac32}$，和弧微分里的根号是同一个东西。
• 凡是直线，$y''=0$，$K=0$；凡是圆，$K=\dfrac1R$ 处处相同。

2.5 例题#

例 3 求抛物线 $y=x^2$ 在 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 处的曲率。

$y'=2x$，$y''=2$。

• 在 $(0,0)$：$y'=0$，$K=\dfrac{2}{1}=2$。
• 在 $(1,1)$：$y'=2$，

$$K=\frac{2}{(1+4)^{\frac32}}=\frac{2}{5\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{25}\approx0.179$$

顶点处最弯，往外越来越平，符合直觉。

例 4 求 $y=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率。

$y'=3x^2$，$y''=6x$。在 $x=1$：$y'=3$，$y''=6$。

$$K=\frac{6}{(1+9)^{\frac32}}=\frac{6}{10\sqrt{10}}=\frac{3}{5\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{50}$$

例 5 验证半径为 $a$ 的圆处处曲率为 $\dfrac1a$。

参数方程 $x=a\cos t$，$y=a\sin t$：

$x'=-a\sin t$，$x''=-a\cos t$，$y'=a\cos t$，$y''=-a\sin t$。

$$x'y''-x''y'=(-a\sin t)(-a\sin t)-(-a\cos t)(a\cos t)=a^2\sin^2t+a^2\cos^2t=a^2$$ $$x'^2+y'^2=a^2,\qquad K=\frac{a^2}{(a^2)^{\frac32}}=\frac{a^2}{a^3}=\frac1a$$

例 6 椭圆 $x=a\cos t$，$y=b\sin t$（$a>b>0$），求曲率的一般表达式，以及在 $t=0$（点 $(a,0)$）和 $t=\dfrac\pi2$（点 $(0,b)$）处的曲率。

$x'=-a\sin t$，$x''=-a\cos t$，$y'=b\cos t$，$y''=-b\sin t$。

$$x'y''-x''y'=ab\sin^2t+ab\cos^2t=ab,\qquad x'^2+y'^2=a^2\sin^2t+b^2\cos^2t$$ $$K=\frac{ab}{\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)^{\frac32}}$$

• $t=0$：$K=\dfrac{ab}{b^3}=\dfrac{a}{b^2}$；
• $t=\dfrac\pi2$：$K=\dfrac{ab}{a^3}=\dfrac{b}{a^2}$。

因为 $a>b$，$\dfrac{a}{b^2}>\dfrac{b}{a^2}$，长轴端点处最弯，短轴端点处最平。

例 7（隐函数） 求曲线 $x^2+xy+y^2=3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率。

第一步 隐函数求导（第 06 讲上）：

$$2x+y+xy'+2yy'=0\quad\Rightarrow\quad y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$$

在 $(1,1)$：$y'=-\dfrac{3}{3}=-1$。

第二步 对 $2x+y+xy'+2yy'=0$ 再求导：

$$2+y'+y'+xy''+2y'^2+2yy''=0$$

代入 $x=y=1$，$y'=-1$：$2-1-1+y''+2+2y''=0$，即 $3y''+2=0$，$y''=-\dfrac23$。

第三步

$$K=\frac{\left|-\frac23\right|}{(1+1)^{\frac32}}=\frac{\frac23}{2\sqrt2}=\frac{1}{3\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{6}$$

2.6 计算曲率的标准步骤#

1. 认清曲线的给法：直角坐标 $y=f(x)$、参数方程，还是隐函数、极坐标（见第四节的选择表）。
2. 求导：直角坐标求 $y'$、$y''$；参数方程求 $x',x'',y',y''$（都对参数求导）；隐函数用第 06 讲（上）的方法求出该点的 $y'$、$y''$。
3. 先代值，再代公式：求某一点的曲率时，先把该点的导数值算成具体数字，再代入公式，计算量最小。不要先求出 $K$ 的一般表达式再代值（除非题目要求 $K$ 的表达式或求最值）。
4. 化简与检验：分母的 $\frac32$ 次方化成 $(\sqrt{\cdot})^3$ 计算；最后用"曲率非负""顶点处最大""圆是 $\frac1R$"等常识检查。

2.7 易错点 ⚠️#

• 分母的指数是 $\dfrac32$，不是 $\dfrac12$ 也不是 $2$。
• 分子要取绝对值，曲率非负。
• 参数方程公式里是 $x'y''-x''y'$，别写成 $x'y'-x''y''$。
• 参数方程里的 $y'$、$y''$ 是对 $t$ 的导数，不要先算 $\dfrac{dy}{dx}$ 再混着代入。若想用直角坐标公式，则 $y'$、$y''$ 必须是对 $x$ 的导数（按第 06 讲下的参数方程求导公式算）。

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三、曲率圆与曲率半径#

3.1 大白话#

在曲线上某点，找一个圆，让它和曲线"贴得最紧"：过这一点、切线相同、弯曲程度也相同（曲率相等），而且在曲线凹的那一侧。这个圆叫曲率圆，它的半径叫曲率半径，圆心叫曲率中心。

开车转弯时，那一瞬间你其实就在沿着曲率圆走。修路时，弯道的曲率半径决定了限速。

图 2：曲率圆随点移动：点沿 $y=x^2$ 来回走，曲率圆（橙）始终贴在曲线凹的一侧。顶点处最弯，$R=\dfrac12$；越往外越平，半径越大（与例 8 一致）（动画循环播放）

3.2 公式#

$$R=\frac1K$$

曲率中心坐标（了解即可）：

$$\alpha=x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''},\qquad \beta=y+\frac{1+y'^2}{y''}$$

（这里 $(\alpha,\beta)$ 表示曲率中心坐标，与上一节的倾斜角无关。）

为什么曲率圆是"最贴合"的圆？ 过曲线上一点、与曲线相切的圆有无数个（圆心都在法线上，半径各不相同）。半径太小，圆比曲线弯得急，离开切点后圆会"缩"到曲线里面去；半径太大，圆比曲线平，会"跑"到曲线外面去。只有半径恰好等于 $\dfrac1K$ 时，圆的弯曲程度和曲线完全一样，在切点附近贴合得最紧密——这个圆就是曲率圆。从泰勒公式的角度看，曲率圆和曲线在这一点不仅函数值、一阶导数相同，二阶导数也相同。

3.3 逐行拆解#

• 曲率越大，曲率半径越小，弯越急。
• $K=0$ 的点（如拐点处 $y''=0$），曲率半径看作无穷大，没有曲率圆。
• 曲率中心公式里，$y''>0$ 时 $\beta>y$，圆心在曲线上方——曲线是凹（$\cup$）的，圆心正好在"碗"里，符合直觉。

3.4 例题#

例 8 求 $y=x^2$ 在 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 处的曲率半径与曲率中心。

由例 3：

• $(0,0)$：$K=2$，$R=\dfrac12$。曲率中心：$y'=0$，$y''=2$，$\alpha=0$，$\beta=0+\dfrac{1}{2}=\dfrac12$，即 $\left(0,\dfrac12\right)$。曲率圆为 $x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=\dfrac14$。
• $(1,1)$：$K=\dfrac{2}{5\sqrt5}$，$R=\dfrac{5\sqrt5}{2}\approx5.59$。曲率中心：$y'=2$，$y''=2$，

$$\alpha=1-\frac{2\times5}{2}=-4,\qquad\beta=1+\frac{5}{2}=\frac72$$

即 $\left(-4,\dfrac72\right)$。

例 8（续）：写出曲率圆方程。 由上面的结果，$y=x^2$ 在 $(1,1)$ 处的曲率圆圆心为 $\left(-4,\dfrac72\right)$，半径 $R=\dfrac{5\sqrt5}{2}$，$R^2=\dfrac{125}{4}$，所以曲率圆方程为

$$(x+4)^2+\left(y-\frac72\right)^2=\frac{125}{4}$$

检验：点 $(1,1)$ 到圆心的距离平方为 $5^2+\left(\dfrac52\right)^2=25+\dfrac{25}{4}=\dfrac{125}{4}$ ✓，点确实在圆上。另外，圆心 $\left(-4,\dfrac72\right)$ 位于曲线在 $(1,1)$ 处的法线上：法线斜率 $-\dfrac12$，从 $(1,1)$ 出发向左上走，$\dfrac{7/2-1}{-4-1}=-\dfrac12$ ✓。曲率中心永远在法线上、在曲线凹的一侧，这是检查答案的好办法。

例 9 抛物线 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）在哪一点曲率半径最小？最小是多少？

$y'=2ax+b$，$y''=2a$，

$$K=\frac{|2a|}{\left[1+(2ax+b)^2\right]^{\frac32}}$$

分子是常数，分母在 $2ax+b=0$ 即 $x=-\dfrac{b}{2a}$（顶点）时最小，此时 $K$ 最大为 $2|a|$，曲率半径最小为

$$R_{\min}=\frac{1}{2|a|}$$

结论：抛物线在顶点处最弯。

例 10（曲率最大值） 曲线 $y=\ln x$ 上哪一点曲率最大？求最大曲率。

$y'=\dfrac1x$，$y''=-\dfrac1{x^2}$，

$$K(x)=\frac{\frac{1}{x^2}}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac32}}$$

化简：分母 $\left(\dfrac{x^2+1}{x^2}\right)^{\frac32}=\dfrac{(1+x^2)^{\frac32}}{x^3}$（$x>0$），所以

$$K(x)=\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^3}{(1+x^2)^{\frac32}}=\frac{x}{(1+x^2)^{\frac32}}\quad(x>0)$$

求导：

$$K'(x)=\frac{(1+x^2)^{\frac32}-x\cdot\frac32(1+x^2)^{\frac12}\cdot2x}{(1+x^2)^3}=\frac{(1+x^2)-3x^2}{(1+x^2)^{\frac52}}=\frac{1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac52}}$$

唯一驻点 $x=\dfrac{\sqrt2}{2}$，左正右负，是最大值点。点 $\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\,-\dfrac{\ln2}{2}\right)$，最大曲率

$$K_{\max}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\left(\frac32\right)^{\frac32}}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3\sqrt3}=\frac{2}{3\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{9}$$

（$\left(\frac32\right)^{\frac32}=\dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt2}$。）

3.5 易错点 ⚠️#

• 题目问"曲率半径"时别答成曲率，二者互为倒数。
• 求曲率最值时，先把 $K(x)$ 化简再求导，能省大量计算。

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四、三种形式怎么选#

曲线给法	推荐做法
$y=f(x)$	直接用 $K=\dfrac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}}$
参数方程	用 $K=\dfrac{\lvert x'y''-x''y'\rvert}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$（对 $t$ 求导）
隐函数 $F(x,y)=0$	先求某点的 $y'$、$y''$，再代直角坐标公式
极坐标 $r=r(\theta)$	化成参数方程 $x=r(\theta)\cos\theta$，$y=r(\theta)\sin\theta$

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五、更多例题#

例 11（摆线上任一点的曲率） 求摆线 $x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$（$0<t<2\pi$）上任一点的曲率。

第一步：求导。

$x'=a(1-\cos t)$，$x''=a\sin t$，$y'=a\sin t$，$y''=a\cos t$。

第二步：分子。

$$x'y''-x''y'=a^2(1-\cos t)\cos t-a^2\sin^2t=a^2(\cos t-\cos^2t-\sin^2t)=a^2(\cos t-1)$$

取绝对值：$a^2(1-\cos t)$。

第三步：分母。

$$x'^2+y'^2=a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t=a^2(1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t)=2a^2(1-\cos t)$$

第四步：化简。

$$K=\frac{a^2(1-\cos t)}{\big[2a^2(1-\cos t)\big]^{\frac32}}=\frac{1}{2\sqrt2\,a\sqrt{1-\cos t}}$$

再用半角公式 $1-\cos t=2\sin^2\dfrac t2$，$\sqrt{1-\cos t}=\sqrt2\sin\dfrac t2$（$0<t<2\pi$ 时 $\sin\dfrac t2>0$）：

$$K=\frac{1}{4a\sin\frac t2}$$

检验：$t=\pi$（摆线最高点）时 $K=\dfrac{1}{4a}$，$a=1$ 时就是自测第 4 题的 $\dfrac14$ ✓。最高点曲率最小、最平；越靠近落地点（$t\to0$ 或 $2\pi$）曲率越大，在落地点形成尖点。

例 12（极坐标曲线） 求心形线 $r=a(1+\cos\theta)$（$a>0$）在 $\theta=0$ 对应点处的曲率。

第一步：化成参数方程（以 $\theta$ 为参数）：

$$x=r\cos\theta=a(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta=a(1+\cos\theta)\sin\theta$$

第二步：在 $\theta=0$ 处求导。

$x'(\theta)=a[-\sin\theta\cos\theta-(1+\cos\theta)\sin\theta]$，在 $\theta=0$ 为 $0$；

$y'(\theta)=a[-\sin^2\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta]$，在 $\theta=0$ 为 $2a$；

继续求二阶导并代入 $\theta=0$，得 $x''(0)=-3a$，$y''(0)=0$。

第三步：代公式。

$$K=\frac{|0\cdot0-(-3a)\cdot2a|}{(0+4a^2)^{\frac32}}=\frac{6a^2}{8a^3}=\frac{3}{4a}$$

极坐标曲线的曲率不必另记公式，化成参数方程即可，这样只需要记一套公式。

例 13 求双曲线 $y=\dfrac1x$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率半径。

$y'=-\dfrac{1}{x^2}$，$y''=\dfrac{2}{x^3}$；在 $x=1$：$y'=-1$，$y''=2$。

$$K=\frac{2}{(1+1)^{\frac32}}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad R=\sqrt2$$

例 14（曲率最大的点） 曲线 $y=e^x$ 上哪一点曲率最大？

第一步：写出 $K(x)$。$y'=y''=e^x$，

$$K(x)=\frac{e^x}{(1+e^{2x})^{\frac32}}$$

第二步：求导找驻点。

$$K'(x)=\frac{e^x(1+e^{2x})^{\frac32}-e^x\cdot\frac32(1+e^{2x})^{\frac12}\cdot2e^{2x}}{(1+e^{2x})^3}=\frac{e^x\left(1-2e^{2x}\right)}{(1+e^{2x})^{\frac52}}$$

令 $K'=0$：$e^{2x}=\dfrac12$，$x=-\dfrac{\ln2}{2}$。左侧 $K'>0$，右侧 $K'<0$，是最大值点。

第三步：求最大曲率。此时 $e^x=\dfrac{1}{\sqrt2}$，$1+e^{2x}=\dfrac32$，

$$K_{\max}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\left(\frac32\right)^{\frac32}}=\frac{2\sqrt3}{9}$$

最大曲率点为 $\left(-\dfrac{\ln2}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$。

有趣的是，这个最大曲率和例 10 中 $y=\ln x$ 的最大曲率一样，都是 $\dfrac{2\sqrt3}{9}$。原因是 $y=e^x$ 和 $y=\ln x$ 互为反函数，图像关于直线 $y=x$ 对称，而对称不改变曲线的弯曲程度。用这种"对称性"思考，可以检验答案、加深理解。

求曲率最值的标准步骤：① 写出 $K$ 关于自变量的表达式并尽量化简（去掉绝对值、约分）；② 按第 08 讲（上）求最值的方法求导、找驻点、判断；③ 代回求出最值和对应的点。有时候对 $K^2$ 或 $\dfrac1K$ 求最值更好算，因为它们和 $K$ 的单调性一致或相反，可以避开根号。

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六、曲率的实际意义#

开车过弯：汽车以速度 $v$ 沿曲线行驶，所需的向心加速度为

$$a_n=\frac{v^2}{R}=Kv^2$$

曲率越大（弯越急），同样速度下需要的向心力越大，越容易侧滑。这就是为什么急弯处要限速，高速公路的弯道要设计成很大的曲率半径。

铁路与公路设计：直道和圆弧弯道之间如果直接连接，曲率会从 0 突然跳到 $\dfrac1R$，乘客会感到猛地一甩。所以工程上会在中间加一段"缓和曲线"，让曲率从 0 逐渐增加到 $\dfrac1R$。这也说明了曲率是衡量"弯曲感受"的合适指标。

工件打磨：用砂轮打磨一个内表面时，砂轮的半径不能超过工件表面各处曲率半径的最小值，否则有些地方会磨掉太多。这类问题本质上就是"求曲率的最大值"（即曲率半径的最小值），正是例 9、例 10 的题型。

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七、常见疑问答疑#

问 1：曲率公式的分母为什么是 $\frac32$ 次方，有没有好记的办法？

答：从推导看，分母里一个 $(1+y'^2)$ 来自 $\alpha=\arctan y'$ 求导，另一个 $\sqrt{1+y'^2}$ 来自弧微分，合起来就是 $(1+y'^2)^{1}\cdot(1+y'^2)^{\frac12}=(1+y'^2)^{\frac32}$。还可以用圆来检验：对半径为 $R$ 的圆，结果必须是 $\dfrac1R$；如果你记成别的指数，代入圆算一下就会发现不对。

问 2：参数方程求曲率时，能不能先算出 $\dfrac{dy}{dx}$、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$，再代直角坐标公式？

答：可以，结果一样。但这样要先算参数方程的二阶导（第 06 讲下），步骤更多，容易出错。直接用参数方程的曲率公式，只需要求 $x',x'',y',y''$ 四个对 $t$ 的导数，更稳妥。关键是不要混用：要么全用对 $t$ 的导数代参数公式，要么全用对 $x$ 的导数代直角坐标公式。

问 3：曲率为 0 的点有什么特点？

答：曲率为 0 意味着 $y''=0$（直角坐标）。如果两侧 $y''$ 变号，这一点就是拐点——曲线由凹变凸，在这一瞬间"不弯"，曲率半径为无穷大。所以拐点处没有曲率圆。

问 4：数学二对曲率要求到什么程度？

答：大纲要求"了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径"。考试中最常见的是：给出直角坐标或参数方程，求某点的曲率或曲率半径；偶尔结合最值求"曲率最大的点"。曲率中心公式考得较少，了解即可。把本篇的公式记牢、例题做熟，就足以应对。

学习建议：本篇公式不多，但计算容易出错，尤其是参数方程的二阶导和分母的 $\frac32$ 次方。建议做完每道题都用"圆的曲率是 $\frac1R$"或"抛物线顶点 $K=2|a|$"这样的已知结论做一下合理性检查。

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八、常见错误示范#

错误 1：分母指数写错。

✗ $K=\dfrac{|y''|}{\sqrt{1+y'^2}}$ 或 $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^2}$

✓ $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}$。用圆检验：$y=\sqrt{R^2-x^2}$ 在 $x=0$ 处 $y'=0$，$y''=-\dfrac1R$，$K=\dfrac1R$；只有在 $y'\neq0$ 的点才能看出指数的差别，所以再取一个 $y'\ne0$ 的点验算更保险。

错误 2：参数方程中混用导数。

✗ 用 $\dfrac{dy}{dx}$ 当作公式里的 $y'$，同时又用 $x'(t)$ 当作 $x'$。

✓ 参数公式里四个导数全部是对 $t$ 的导数。

错误 3：忘记绝对值，得到负的曲率。

✗ $y=\sin x$ 在 $x=\dfrac\pi2$ 处 $K=-1$。

✓ 曲率非负，$K=1$。

错误 4：曲率与曲率半径搞反。

✗ 题目问曲率半径，答了 $K$ 的值。

✓ 答题前再读一遍题目问的是什么；$R=\dfrac1K$。

公式/结论速记卡#

内容	公式
弧微分（直角坐标）	$ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$
弧微分（参数方程）	$ds=\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$
曲率定义	$K=\left\lvert\dfrac{d\alpha}{ds}\right\rvert$
曲率（直角坐标）	$K=\dfrac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}}$；$y'=0$ 处 $K=\lvert y''\rvert$
曲率（参数方程）	$K=\dfrac{\lvert x'y''-x''y'\rvert}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$
曲率半径	$R=\dfrac1K$
曲率中心（了解）	$\left(x-\dfrac{y'(1+y'^2)}{y''},\ y+\dfrac{1+y'^2}{y''}\right)$
常见结论	直线 $K=0$；圆 $K=\dfrac1R$；抛物线顶点 $R=\dfrac{1}{2\lvert a\rvert}$；椭圆长轴端点 $K=\dfrac{a}{b^2}$

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自测练习#

1. 求 $y=\sin x$ 在 $x=\dfrac\pi2$ 处的曲率与曲率半径。

答案与提示

$y'=\cos x$，$y''=-\sin x$。在 $x=\dfrac\pi2$：$y'=0$，$y''=-1$。

$K=\dfrac{|-1|}{1}=1$，$R=1$。

2. 求 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率与曲率半径。

答案与提示

$y'=y''=e^x$，在 $x=0$ 都为 1。

$$K=\frac{1}{(1+1)^{\frac32}}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4},\qquad R=2\sqrt2$$

3. 求 $y=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率半径。

答案与提示

由例 4，$K=\dfrac{3}{5\sqrt{10}}$，$R=\dfrac{5\sqrt{10}}{3}$。

4. 求摆线 $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$ 在 $t=\pi$ 处的曲率半径。

答案与提示

$x'=1-\cos t$，$x''=\sin t$，$y'=\sin t$，$y''=\cos t$。在 $t=\pi$：$x'=2$，$x''=0$，$y'=0$，$y''=-1$。

$$K=\frac{|2\cdot(-1)-0\cdot0|}{(4+0)^{\frac32}}=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad R=4$$

5. 求椭圆 $x=2\cos t$，$y=\sin t$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率。

答案与提示

$a=2,b=1$，点 $(0,1)$ 对应 $t=\dfrac\pi2$，由例 6，$K=\dfrac{b}{a^2}=\dfrac14$。

6. 求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 在顶点处的曲率半径。

答案与提示

$a=1$，$R_{\min}=\dfrac{1}{2}$。（顶点 $(2,-1)$ 处 $y'=0$，$y''=2$，$K=2$。）

7. 求曲线 $y=\ln\cos x$（$|x|<\dfrac\pi2$）的弧微分。

答案与提示

$y'=-\tan x$，$ds=\sqrt{1+\tan^2x}\,dx=\sqrt{\sec^2x}\,dx=\sec x\,dx$（$\cos x>0$）。

8.（略提高）求曲线 $x^2+y^2=4$ 在点 $(\sqrt2,\sqrt2)$ 处用隐函数方法算出的曲率，并说明为什么结果是合理的。

答案与提示

$2x+2yy'=0\Rightarrow y'=-\dfrac xy=-1$；由第 06 讲（上）例 14 同理，$y''=-\dfrac{x^2+y^2}{y^3}=-\dfrac{4}{(\sqrt2)^3}=-\dfrac{4}{2\sqrt2}=-\sqrt2$。

$$K=\frac{\sqrt2}{(1+1)^{\frac32}}=\frac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac12$$

半径为 2 的圆，曲率应为 $\dfrac12$，结果吻合。

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下一讲预告#

第 09 讲开始反过来走：已知导数求原函数——不定积分，学会基本公式、换元法和分部积分。