考研数学二·零基础讲义 第08讲（中）｜凹凸性、拐点、渐近线与函数作图

考研数学二·零基础讲义 · 第 08 讲（中）｜凹凸性、拐点、渐近线与函数作图

学完这一篇，你能用二阶导数判断曲线往哪边弯、找出拐点，会求水平、铅直、斜三种渐近线，并能按固定步骤把一个函数的图像画出来。预计用时：3.5～4.5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 凹凸性：二阶导正负决定弯曲方向。大纲要求：会用导数判断函数图形的凹凸性。
• 拐点：凹凸性改变的点。大纲要求：会求函数图形的拐点。
• 渐近线：水平、铅直、斜渐近线。大纲要求：会求。选择题里"曲线有几条渐近线"是经典题型。
• 函数作图：把单调、极值、凹凸、拐点、渐近线综合起来。大纲要求：会描绘函数的图形。
• 考研中凹凸性还常用来证明不等式，本篇介绍入门用法。

前置知识#

• 单调性与极值（见第 08 讲上）。
• 二阶导数（见第 05、06 讲）。
• $x\to\infty$、单侧极限的计算，洛必达法则、等价无穷小（见第 02、03、07 讲）。

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一、凹凸性#

1.1 大白话#

单调性管"往上还是往下"，凹凸性管"往哪边弯"。

• 凹（也叫"下凸"）：像一只碗 $\cup$，能盛水。曲线在每点切线的上方，斜率越来越大。
• 凸（也叫"上凸"）：像一顶帽子 $\cap$。曲线在切线下方，斜率越来越小。

斜率越来越大，就是 $f'$ 在增加，即 $f''>0$。所以二阶导的符号决定凹凸。

图 1：凹与凸：碗形 ∪ 的切线都在曲线下方、越来越陡；帽子形 ∩ 的切线都在曲线上方、越来越平

⚠️ 不同教材"凹""凸"的叫法相反！本讲义沿用同济版《高等数学》的叫法：$f''>0$ 叫凹（图形是 $\cup$），$f''<0$ 叫凸（$\cap$）。做题时最好写成"凹（$\cup$）"或"向上凹"，不易混。

1.2 正式定义与判定#

定义：若对区间 $I$ 内任意两点 $x_1\ne x_2$，恒有

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

则称 $f$ 在 $I$ 上是凹的（$\cup$）；不等号反向则称凸的（$\cap$）。

判定定理：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导，

• $f''(x)>0$ ⇒ 在 $[a,b]$ 上凹（$\cup$）；
• $f''(x)<0$ ⇒ 在 $[a,b]$ 上凸（$\cap$）。

1.3 逐行拆解#

• 定义的意思：两点中点处的函数值，比两点函数值的平均数还低——弦在曲线上方，这正是碗的形状。
• 左边 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)$ 是"先取中点、再算函数值"，右边 $\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 是"先算函数值、再取平均"。凹函数：先平均再算 < 先算再平均。
• 判定步骤和单调性一样：求 $f''$，找 $f''=0$ 或不存在的点，分段列表判号。

1.4 例题#

例 1 判断 $y=\ln x$ 和 $y=e^x$ 的凹凸性。

• $y=\ln x$：$y''=-\dfrac{1}{x^2}<0$，在 $(0,+\infty)$ 上凸（$\cap$）；
• $y=e^x$：$y''=e^x>0$，在 $(-\infty,+\infty)$ 上凹（$\cup$）。

画图可以印证：$e^x$ 越往右越陡，像碗壁；$\ln x$ 越往右越平，像帽檐。

例 2 求 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 的凹凸区间。

$f''(x)=6x-6$：$x<1$ 时 $f''<0$，凸（$\cap$）；$x>1$ 时 $f''>0$，凹（$\cup$）。

1.5 凹凸性证明不等式（入门）#

由定义，若 $f''>0$，则 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。选好 $f$ 就能直接得到不等式。

例 3 证明：对 $x\ne y$，$e^{\frac{x+y}{2}}<\dfrac{e^x+e^y}{2}$。

$f(t)=e^t$，$f''(t)=e^t>0$，凹函数。由定义直接得证。

1.6 另一种看法：曲线与切线的位置#

凹凸性还有一个非常直观的等价说法：

• 凹（$\cup$）：曲线上每一点的切线都在曲线下方，即 $f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$；
• 凸（$\cap$）：每一点的切线都在曲线上方。

这个说法在证明不等式时很有用。例如 $e^x$ 是凹的，它在 $x=0$ 处的切线是 $y=1+x$，所以 $e^x\ge1+x$ 对所有 $x$ 成立；$\ln x$ 是凸的，它在 $x=1$ 处的切线是 $y=x-1$，所以 $\ln x\le x-1$ 对所有 $x>0$ 成立。这两个不等式非常常用，用"切线在曲线下方/上方"来理解，一眼就能记住，不必死背。

1.7 易错点 ⚠️#

• 凹凸叫法与中学/其他教材不同，按 $f''$ 的符号说清楚最保险。
• 凹凸看 $f''$，单调看 $f'$，别混。

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二、拐点#

2.1 大白话#

拐点：曲线由凹变凸或由凸变凹的分界点，像 S 形公路上方向盘从左打变成右打、回正的那一刻。

图 2：拐点：红色切线沿 $y=x^3-3x^2+1$ 来回滑动。左边切线压在曲线上方（凸），右边托在曲线下方（凹），经过拐点 (1,−1) 时切线"穿过"曲线（例 2、例 4 的函数）（动画循环播放）

2.2 定义与求法#

连续曲线上凹凸性改变的点 $\big(x_0,f(x_0)\big)$ 称为拐点。

求法：

1. 求 $f''(x)$，找出 $f''(x)=0$ 的点和 $f''(x)$ 不存在的点（可疑点）；
2. 检查每个可疑点两侧 $f''$ 是否变号：变号则是拐点，不变号则不是；
3. 写成坐标 $\big(x_0,f(x_0)\big)$。

另一个充分条件（了解）：若 $f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\ne0$，则 $\big(x_0,f(x_0)\big)$ 是拐点。

2.3 逐行拆解#

• 拐点写成坐标形式 $\big(x_0,f(x_0)\big)$，因为它是曲线上的点。而极值点只写横坐标 $x_0$。这个区别考试常考。
• 拐点和极值点的对照：极值看 $f'$ 变号，拐点看 $f''$ 变号。可以理解为：拐点就是 $f'$ 的极值点（斜率由增变减或由减变增的地方）。

2.4 例题#

例 4 求 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 的拐点。

由例 2，$f''$ 在 $x=1$ 两侧变号，$f(1)=1-3+1=-1$，拐点 $(1,-1)$。

例 5（两种特殊情况）

• $y=\sqrt[3]{x}$：$y'=\dfrac13x^{-\frac23}$，$y''=-\dfrac{2}{9}x^{-\frac53}$，在 $x=0$ 不存在。$x<0$ 时 $y''>0$，$x>0$ 时 $y''<0$，变号，所以 $(0,0)$ 是拐点——二阶导不存在的点也可能是拐点。
• $y=x^4$：$y''=12x^2$，$y''(0)=0$，但两侧都 $>0$，不变号，$(0,0)$ 不是拐点（它是极小值点）。

例 6 求曲线 $y=\ln(1+x^2)$ 的凹凸区间与拐点。

$$y'=\frac{2x}{1+x^2},\qquad y''=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$$

$y''=0\Rightarrow x=\pm1$。

• $|x|<1$：$y''>0$，凹（$\cup$），区间 $[-1,1]$；
• $|x|>1$：$y''<0$，凸（$\cap$），区间 $(-\infty,-1]$、$[1,+\infty)$。

两点处都变号，$y(\pm1)=\ln2$，拐点 $(-1,\ln2)$、$(1,\ln2)$。

例 7（反求参数） 已知点 $(1,3)$ 是曲线 $y=ax^3+bx^2$ 的拐点，求 $a,b$。

两个条件：

• 点在曲线上：$a+b=3$；
• 拐点处 $y''=0$：$y''=6ax+2b$，$y''(1)=6a+2b=0$。

解得 $a=-\dfrac32$，$b=\dfrac92$。（检验：$y''=-9x+9$ 在 $x=1$ 两侧变号 ✓。）

2.5 易错点 ⚠️#

• 把 $f''(x_0)=0$ 当成拐点的充分条件——必须检查变号。
• 拐点答成 $x=1$ 而不是 $(1,-1)$。
• 漏掉 $f''$ 不存在的点（例 5 的 $\sqrt[3]x$）。

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三、渐近线#

3.1 大白话#

渐近线是曲线"跑到无穷远时越来越贴近"的那条直线。就像火车铁轨在远方似乎汇成一线。

三种：

• 水平渐近线 $y=b$：$x$ 跑到无穷远，函数值稳定在 $b$ 附近；
• 铅直渐近线 $x=x_0$：$x$ 靠近某点，函数值冲到无穷大（"一飞冲天"）；
• 斜渐近线 $y=kx+b$：$x$ 跑到无穷远，曲线贴着一条斜线走。

3.2 求法公式#

水平渐近线：若

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=b\quad\text{或}\quad\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$$

则 $y=b$ 是水平渐近线。

铅直渐近线：若

$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty\quad\text{或}\quad\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$$

则 $x=x_0$ 是铅直渐近线。$x_0$ 通常在分母为 0 的点、对数真数为 0 的点、定义域的开端点中找。

斜渐近线：若下面两个极限都存在（$k\ne0$）

$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-kx\big]$$

则 $y=kx+b$ 是斜渐近线。$x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 可能不同，必要时分开算。

3.3 逐行拆解#

• $k=\lim\dfrac{f(x)}{x}$：远处曲线和直线几乎重合，$f(x)\approx kx+b$，除以 $x$ 后 $\dfrac bx\to0$，就剩 $k$。
• $b=\lim[f(x)-kx]$：知道了 $k$，减掉 $kx$ 剩下的就是 $b$。
• 同一方向（比如 $x\to+\infty$）上，水平渐近线和斜渐近线不会同时存在（水平渐近线可以看成 $k=0$ 的情形）。但 $x\to+\infty$ 方向有水平、$x\to-\infty$ 方向有斜的情况是可能的。
• 铅直渐近线只要单侧趋于无穷就算。
• 数渐近线条数时，三类分别求，每个方向、每个点都要查。

有理分式 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 的快速判断：分子次数 < 分母次数，有水平渐近线 $y=0$；次数相等，有水平渐近线 $y=$ 首项系数之比；分子比分母高一次，有斜渐近线；高两次以上，无水平和斜渐近线。

3.4 例题#

例 8 求 $y=\dfrac{x^2}{x+1}$ 的渐近线。

铅直：$x=-1$ 时分母为 0，$\lim\limits_{x\to-1^+}\dfrac{x^2}{x+1}=+\infty$，所以 $x=-1$ 是铅直渐近线。

水平：$x\to\infty$ 时 $y\to\infty$，没有。

斜：

$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x(x+1)}=1,\qquad b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{-x}{x+1}=-1$$

斜渐近线 $y=x-1$（$x\to\pm\infty$ 结果相同）。

图 3：例 8 的图：曲线在 x = −1 两侧冲向无穷，向左右两端贴着斜线 $y=x-1$ 走

例 9 求 $y=xe^{\frac1x}$ 的渐近线。

铅直：$x=0$ 处，$\lim\limits_{x\to0^+}xe^{\frac1x}$：令 $t=\dfrac1x\to+\infty$，$=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{e^t}{t}=+\infty$（指数比幂快，第 07 讲中）。所以 $x=0$ 是铅直渐近线。（而 $x\to0^-$ 时 $e^{1/x}\to0$，极限为 0；但单侧趋于无穷就够了。）

斜：

$$k=\lim_{x\to\infty}e^{\frac1x}=1,\qquad b=\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\lim_{x\to\infty}x\cdot\frac1x=1$$

（$e^{u}-1\sim u$，$u=\dfrac1x\to0$。）斜渐近线 $y=x+1$。

例 10（两侧不同） 求 $y=x+\arctan x$ 的渐近线。

处处连续，无铅直渐近线。$k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{\arctan x}{x}\right)=1$。

$$b_+=\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2,\qquad b_-=\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac\pi2$$

有两条斜渐近线：$y=x+\dfrac\pi2$（$x\to+\infty$）和 $y=x-\dfrac\pi2$（$x\to-\infty$）。

例 11 求 $y=e^{\frac1x}$ 的渐近线。

• 水平：$\lim\limits_{x\to\pm\infty}e^{\frac1x}=e^0=1$，$y=1$；
• 铅直：$\lim\limits_{x\to0^+}e^{\frac1x}=+\infty$，$x=0$（左侧极限为 0，但右侧趋于无穷就够了）。

共 2 条。

3.5 求渐近线的完整清单（选择题必备）#

拿到"曲线 $y=f(x)$ 有几条渐近线"这类题，按下面的清单逐项打勾，不重不漏：

1. 找铅直渐近线的候选点：分母为 0 的点、$\ln$ 的真数为 0 的点、$e^{\frac1x}$ 这类指数里分母为 0 的点、定义域的开端点。对每个候选点分别算左、右极限，只要有一侧是 $\infty$ 就算一条。
2. 看 $x\to+\infty$：先算 $\lim f(x)$，是有限数 $b$ 就得到水平渐近线 $y=b$，这一侧就不用再找斜渐近线了；是 $\infty$ 再算 $k$ 和 $b$ 找斜渐近线。
3. 看 $x\to-\infty$：同第 2 步，单独再做一遍，因为结果可能和 $+\infty$ 方向不同（例 10）。
4. 数总数：铅直的条数 + 右侧一条（若有）+ 左侧一条（若有，且与右侧不是同一条直线）。

最常见的失分是第 3 步偷懒，默认左右相同；以及第 1 步只看分母，漏掉了 $\ln$ 或指数造成的铅直渐近线。

3.6 易错点 ⚠️#

• 分母为 0 的点不一定是铅直渐近线：如 $y=\dfrac{\sin x}{x}$，$x\to0$ 时极限为 1，不是无穷。必须算极限。
• 斜渐近线要两个极限都存在才行，$k$ 存在 $b$ 不存在也不行。
• 别忘了 $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$ 可能结果不同（含 $e^x$、$\arctan x$、$\sqrt{x^2+\cdots}$ 的函数尤其要分开）。

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四、函数作图#

4.1 大白话#

前面学的每一样都是一块拼图：单调性告诉你上坡下坡，极值告诉你山顶谷底，凹凸告诉你弯的方向，拐点告诉你在哪改变弯曲，渐近线告诉你远处往哪跑。拼起来，函数的样子就出来了。

4.2 作图步骤#

1. 定义域，以及奇偶性、周期性（有对称性可以只画一半）；
2. 求 $f'(x)$、$f''(x)$，找出 $f'=0$ 或不存在的点、$f''=0$ 或不存在的点；
3. 用这些点划分定义域，列表写出每段 $f'$、$f''$ 的符号，得到升降、凹凸、极值、拐点；
4. 求渐近线；
5. 算几个特殊点（与坐标轴交点、极值点、拐点）；
6. 描点连线，按表格的形状画。

四种形状组合（列表时写在最后一行）：

$f'$	$f''$	形状
$+$	$+$	上升且凹：越升越陡
$+$	$-$	上升且凸：越升越缓
$-$	$+$	下降且凹：越降越缓
$-$	$-$	下降且凸：越降越陡

4.3 例题#

例 12 作 $y=xe^{-x}$ 的图形。

第 1 步 定义域 $(-\infty,+\infty)$，非奇非偶。

第 2 步

$$y'=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x},\qquad y''=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$$

$y'=0\Rightarrow x=1$；$y''=0\Rightarrow x=2$。（$e^{-x}>0$ 永远不为 0，符号只看括号。）

第 3 步 列表：

$x$	$(-\infty,1)$	$1$	$(1,2)$	$2$	$(2,+\infty)$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$y''$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
图形	升、凸 $\cap$	极大 $\frac1e$	降、凸 $\cap$	拐点	降、凹 $\cup$

极大值 $y(1)=\dfrac1e\approx0.368$；拐点 $\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)\approx(2,\,0.271)$。

第 4 步 渐近线：$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$，水平渐近线 $y=0$（右侧）；$x\to-\infty$ 时 $y\to-\infty$，且 $\dfrac yx=e^{-x}\to+\infty$，无斜渐近线。无铅直渐近线。

第 5 步 特殊点：过原点 $(0,0)$。

第 6 步 图形描述：从左下方（$-\infty$）一路上升、向上拱着，穿过原点，在 $x=1$ 处到达最高点 $\dfrac1e$；然后下降，到 $x=2$ 处由"帽子形"变为"碗形"；之后继续下降但越来越平，从上方无限贴近 $x$ 轴（$x>0$ 时 $y>0$）。

图 4：例 12 按六步法画出的 $y=xe^{-x}$：与表格完全对应

例 13 作 $y=\dfrac{x}{1+x^2}$ 的图形。

第 1 步 定义域 $(-\infty,+\infty)$。$f(-x)=-f(x)$，奇函数，图形关于原点对称，只需研究 $x\ge0$。

第 2 步

$$y'=\frac{(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$$ $$y''=\frac{-2x(1+x^2)^2-(1-x^2)\cdot2(1+x^2)\cdot2x}{(1+x^2)^4}=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$$

（第二步分子分母同约去一个 $1+x^2$。）

$x\ge0$ 时：$y'=0\Rightarrow x=1$；$y''=0\Rightarrow x=0,\ \sqrt3$。

第 3 步 列表（$x\ge0$）：

$x$	$0$	$(0,1)$	$1$	$(1,\sqrt3)$	$\sqrt3$	$(\sqrt3,+\infty)$
$y'$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$y''$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
图形	拐点	升、凸	极大 $\frac12$	降、凸	拐点	降、凹

极大值 $y(1)=\dfrac12$；由对称性，极小值 $y(-1)=-\dfrac12$。

拐点：$(0,0)$、$\left(\sqrt3,\dfrac{\sqrt3}{4}\right)$、$\left(-\sqrt3,-\dfrac{\sqrt3}{4}\right)$（$y''$ 在 $x=0$ 两侧，由奇偶性 $x<0$ 小段 $y''>0$，变号）。

第 4 步 渐近线：$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{1+x^2}=0$，水平渐近线 $y=0$。

第 6 步 图形：从左边贴着 $x$ 轴下方出发，下降到 $\left(-1,-\dfrac12\right)$ 谷底，上升穿过原点（原点处是拐点，曲线在这里由凹变凸），到 $\left(1,\dfrac12\right)$ 山顶，再下降并从上方贴近 $x$ 轴。形状像一个横放的"S"被拉长。

例 14（含铅直与斜渐近线） 作 $y=\dfrac{x^2}{x-1}$ 的图形。

第 1 步 定义域 $x\neq1$，非奇非偶。

第 2 步 商的求导法则：

$$y'=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$ $$y''=\frac{(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x)\cdot2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{(2x-2)(x-1)-2(x^2-2x)}{(x-1)^3}=\frac{2}{(x-1)^3}$$

（第二步约去一个 $x-1$；分子 $2x^2-4x+2-2x^2+4x=2$。）

$y'=0\Rightarrow x=0,\ 2$；$y''$ 永不为 0，在 $x=1$ 处无定义。

第 3 步 列表（注意 $x=1$ 是断点）：

$x$	$(-\infty,0)$	$0$	$(0,1)$	$1$	$(1,2)$	$2$	$(2,+\infty)$
$y'$	$+$	$0$	$-$	无定义	$-$	$0$	$+$
$y''$	$-$	$-$	$-$	无定义	$+$	$+$	$+$
图形	升、凸	极大 $0$	降、凸	断开	降、凹	极小 $4$	升、凹

极大值 $y(0)=0$，极小值 $y(2)=4$。$x<1$ 时凸，$x>1$ 时凹，但 $x=1$ 不在定义域内，没有拐点。

第 4 步 渐近线：

• 铅直：$x\to1^+$ 时 $y\to+\infty$，$x\to1^-$ 时 $y\to-\infty$，$x=1$ 是铅直渐近线；
• 斜：$k=\lim\dfrac{x^2}{x(x-1)}=1$，$b=\lim\left(\dfrac{x^2}{x-1}-x\right)=\lim\dfrac{x}{x-1}=1$，斜渐近线 $y=x+1$。

第 6 步 图形：左半支从左下方沿着 $y=x+1$ 下方上升，到原点达到极大值 0，然后下降，在 $x=1$ 左侧掉向 $-\infty$；右半支从 $x=1$ 右侧的 $+\infty$ 落下，到 $(2,4)$ 触底，再上升并从上方贴近 $y=x+1$。两支分别位于斜渐近线的两侧。

体会：凹凸性改变的地方如果不在定义域内，就不是拐点。拐点必须是曲线上实实在在的点。

4.4 易错点 ⚠️#

• 列表时 $y'$ 和 $y''$ 要同时标，否则画不出正确的弯曲方向。
• 曲线趋于水平渐近线时从哪一侧靠近（上方或下方），看函数值的符号判断。
• 利用奇偶性可省一半工作，但最后结论要写全（对称的极值、拐点都要写出）。

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五、常见疑问答疑#

问 1："凹""凸"到底怎么记才不混？

答：最保险的办法是不依赖文字，只记符号和形状：$f''>0$ 对应 $\cup$（碗口朝上，能盛水），$f''<0$ 对应 $\cap$（倒扣的碗）。答题时写"曲线在某区间上是凹的（$\cup$）"，或者写"向上凹""向下凹"，把形状一并标出，就不会因为教材叫法不同而丢分。

问 2：拐点一定是 $f''=0$ 的点吗？

答：不一定。拐点的可疑点有两类：$f''=0$ 的点和 $f''$ 不存在的点（如 $\sqrt[3]{x}$ 在 0 处）。反过来，$f''=0$ 的点也不一定是拐点（如 $x^4$ 在 0 处）。唯一的判据是 $f''$ 在两侧是否变号，以及该点是否在曲线上（例 14）。

问 3：一条曲线最多能有几条渐近线？

答：铅直渐近线可以有任意多条（比如 $\tan x$ 有无穷多条）。水平和斜渐近线合起来，左右两个方向各最多一条，所以最多两条。选择题问"共有几条渐近线"时，按"铅直 + 左侧（水平或斜）+ 右侧（水平或斜）"三部分逐一清点，最不容易漏。

问 4：作图题考试真的会让画图吗？

答：数学二直接要求画完整图像的题目不多，但"作图的六个步骤"是很多题目的基础：讨论方程根的个数、比较大小、求面积体积前判断图形位置……都需要你心里有图。所以作图能力要练，哪怕只是草图，也要能把单调、凹凸、渐近线画对。

学习建议：把本篇的例 12、13、14 在草稿纸上亲手画一遍，画完再用任何画图工具对照检查。画对三四个函数之后，你会发现"看式子想图像"变得越来越自然。

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公式/结论速记卡#

内容	判定 / 公式
凹凸	$f''>0$ 凹 $\cup$，$f''<0$ 凸 $\cap$
凹的定义	$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$（弦在上）
拐点	$f''=0$ 或不存在且两侧变号；写成 $(x_0,f(x_0))$
拐点反求参数	点在曲线上 + $f''(x_0)=0$
水平渐近线	$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ ⇒ $y=b$
铅直渐近线	$\lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x)=\infty$ ⇒ $x=x_0$（单侧即可）
斜渐近线	$k=\lim\dfrac{f(x)}{x}$，$b=\lim[f(x)-kx]$；两侧分开
作图六步	定义域对称性 → $f',f''$ → 列表 → 渐近线 → 特殊点 → 连线

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自测练习#

1. 求曲线 $y=x^4-6x^2+5$ 的凹凸区间与拐点。

答案与提示

$y''=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$，$y''=0\Rightarrow x=\pm1$。

$x<-1$ 或 $x>1$：$y''>0$，凹 $\cup$；$-1<x<1$：$y''<0$，凸 $\cap$。

两点处变号，$y(\pm1)=1-6+5=0$，拐点 $(-1,0)$、$(1,0)$。

2. 求曲线 $y=xe^{-x}$ 的拐点，并说明 $x=1$ 是不是拐点。

答案与提示

由例 12，拐点 $\left(2,\dfrac2{e^2}\right)$。$x=1$ 处 $y'=0$、$y''=-\dfrac1e<0$，是极大值点，不是拐点。

3. 已知 $(1,-2)$ 是曲线 $y=x^3+ax^2+b$ 的拐点，求 $a,b$。

答案与提示

$y''=6x+2a$，$y''(1)=6+2a=0\Rightarrow a=-3$；$1+a+b=-2\Rightarrow b=0$。

4. 求 $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ 的渐近线。

答案与提示

铅直：$x=1$（分子为 2，分母趋于 0，极限为 $\infty$）。

斜：$k=\lim\dfrac{x^2+1}{x(x-1)}=1$，$b=\lim\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim\dfrac{x+1}{x-1}=1$，斜渐近线 $y=x+1$。

无水平渐近线。

5. 求 $y=\dfrac{2x^2}{x^2-1}$ 的渐近线。

答案与提示

水平：$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2}{x^2-1}=2$，$y=2$。

铅直：$x=1$ 和 $x=-1$（分母为 0，分子为 2，极限为 $\infty$）。

有水平渐近线（两侧都有），就没有斜渐近线。共 3 条。

6. 求曲线 $y=x\ln\left(e+\dfrac1x\right)$（$x>0$）的渐近线。

答案与提示

铅直：$x\to0^+$ 时，$\ln\left(e+\dfrac1x\right)\to+\infty$ 但增长很慢，$x\ln\left(e+\dfrac1x\right)\to0$，无铅直渐近线。

斜：$k=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(e+\dfrac1x\right)=1$；

$$b=\lim_{x\to+\infty}x\left[\ln\left(e+\frac1x\right)-1\right]=\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac{1}{ex}\right)=\lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{ex}=\frac1e$$

（$\ln\left(e+\frac1x\right)-1=\ln\dfrac{e+\frac1x}{e}=\ln\left(1+\dfrac{1}{ex}\right)$。）斜渐近线 $y=x+\dfrac1e$。

7. 曲线 $y=\dfrac{1}{x}+\ln(1+e^x)$ 有几条渐近线？

答案与提示

• 铅直：$x\to0$ 时 $\dfrac1x\to\infty$，$x=0$ 是 1 条。
• $x\to-\infty$：$\dfrac1x\to0$，$\ln(1+e^x)\to0$，水平渐近线 $y=0$。
• $x\to+\infty$：$y\to+\infty$，无水平；$k=\lim\dfrac{y}{x}=\lim\dfrac{\ln(1+e^x)}{x}=1$（洛必达：$\dfrac{e^x}{1+e^x}\to1$）；$b=\lim[\ln(1+e^x)-x]=\lim\ln\dfrac{1+e^x}{e^x}=\lim\ln(1+e^{-x})=0$。斜渐近线 $y=x$。

共 3 条。

8.（略提高）用凹凸性证明：对 $x>0,y>0,x\ne y$，有 $x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln\dfrac{x+y}{2}$。

答案与提示

令 $f(t)=t\ln t$（$t>0$），$f'(t)=\ln t+1$，$f''(t)=\dfrac1t>0$，凹函数。由定义

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)<\frac{f(x)+f(y)}{2} \;\Rightarrow\; \frac{x+y}{2}\ln\frac{x+y}{2}<\frac{x\ln x+y\ln y}{2}$$

两边乘 2 即得。

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下一讲预告#

第 08 讲（下）学习数二特色内容：弧微分、曲率、曲率圆与曲率半径，包括直角坐标、参数方程两种形式的公式。