考研数学二·零基础讲义 第08讲（上）｜单调性、极值与最值

考研数学二·零基础讲义 · 第 08 讲（上）｜单调性、极值与最值

学完这一篇，你能用一阶导数判断函数的升降区间，用两个充分条件找极值，求闭区间上的最值和实际应用题的最值，还会用单调性证明不等式、讨论方程根的个数。预计用时：4～5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 单调性：导数正负决定升降。大纲要求：掌握用导数判断函数单调性的方法。
• 极值：可疑点（驻点 + 不可导点）、第一充分条件、第二充分条件。大纲要求：理解极值概念，掌握求极值的方法。
• 最值：闭区间最值、实际应用题。大纲要求：掌握求最大值和最小值的方法及其简单应用。
• 两大应用：用单调性证明不等式；讨论方程根的个数。这两类是考研解答题的常客。
• 考研怎么考：单独求极值最值的填空、选择题常见；证明不等式、根的个数常出现在解答题中。

前置知识#

• 求导（见第 05、06 讲），尤其是乘积、复合函数求导。
• 费马引理、拉格朗日中值定理（见第 07 讲上）。
• 零点定理、闭区间上连续函数的最值定理（见第 04 讲）。
• 函数在无穷远处、单侧的极限（见第 02、03 讲），洛必达法则（见第 07 讲中）。

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一、单调性：导数的正负#

1.1 大白话#

导数就是切线斜率。斜率为正，曲线往右上走（上坡）；斜率为负，往右下走（下坡）。所以看导数的符号就知道函数在升还是在降。

图 1：导数的正负决定升降：上面是 $f(x)=x^3-3x$，下面是它的导数 $f'(x)=3x^2-3$。导数在 x 轴上方（绿区）时 f 上升，在下方（红区）时 f 下降

1.2 正式定理#

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。

• 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加；
• 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。

（若 $f'(x)\ge0$ 且等号只在个别孤立点成立，仍是单调增加，比如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为 0，但整体仍单调增加。）

1.3 逐行拆解#

• 为什么成立？用拉格朗日中值定理：任取 $x_1<x_2$，$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$，$f'(\xi)>0$ 且 $x_2-x_1>0$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$。
• 区间端点可以包含进来（只要在端点连续），所以单调区间写成闭区间、开区间一般都算对；但端点不在定义域内时必须写开。
• 分界点：单调区间的分界点只可能出现在 $f'(x)=0$ 的点（驻点） 或 $f'(x)$ 不存在的点。

求单调区间的标准步骤：

1. 写定义域；
2. 求 $f'(x)$，找出驻点和不可导点；
3. 用这些点把定义域切成若干段，列表判断每段 $f'$ 的符号；
4. 写结论。

判断符号的技巧：把 $f'(x)$ 因式分解，每个因子的符号单独判断，再相乘。恒正的因子（如 $e^x$、$1+x^2$）可以直接忽略。

1.4 例题#

例 1 求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间。

定义域 $(-\infty,+\infty)$。$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，驻点 $x=\pm1$。

$x$	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,1)$	$1$	$(1,+\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	$2$	↘	$-2$	↗

单调增区间 $(-\infty,-1]$、$[1,+\infty)$；单调减区间 $[-1,1]$。

例 2（注意定义域） 求 $f(x)=x-\ln(1+x)$ 的单调区间。

定义域 $(-1,+\infty)$。

$$f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}$$

在定义域内分母 $1+x>0$，符号由分子 $x$ 决定：$-1<x<0$ 时 $f'<0$；$x>0$ 时 $f'>0$。

单调减区间 $(-1,0]$，单调增区间 $[0,+\infty)$。（左端点 $-1$ 不在定义域，必须写开区间。）

1.5 易错点 ⚠️#

• 忘了定义域。比如 $\ln$ 要求真数大于 0，区间要在定义域里讨论。
• 漏掉不可导点。$f'(x)$ 不存在的点也可能是分界点（见例 6）。
• 两个增区间之间不能用"∪"连起来说"在并集上单调增"。例 1 中写"$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ 上单调增"是错的（$f(-1)=2>f(1)=-2$）。

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二、用单调性证明不等式#

2.1 大白话#

要证 $g(x)>0$（$x>a$），只要说明两件事：起点 $g(a)\ge0$，并且之后 $g$ 一直在涨（$g'>0$）。就像一个人从海平面出发，一直上坡，那他之后的海拔一定是正的。

2.2 标准套路#

1. 移项作差：要证 $A(x)>B(x)$，令 $g(x)=A(x)-B(x)$；
2. 求导判号：证 $g'(x)>0$（若一次看不出，就对 $g'$ 再求导，判断 $g'$ 的单调性）；
3. 端点比较：$g(x)>g(a)\ge0$。

2.3 例题#

例 3 证明：当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>x-\dfrac{x^2}{2}$。

令 $g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}$，$x\ge0$。

$$g'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\frac{x^2}{1+x}$$

当 $x>0$ 时 $g'(x)>0$，$g$ 在 $[0,+\infty)$ 单调增加，所以 $g(x)>g(0)=0$。证毕。

例 4（求两次导） 证明：当 $x>0$ 时，$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$。

令 $g(x)=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}$，$g(0)=0$。

$g'(x)=e^x-1-x$，一眼看不出符号，但 $g'(0)=0$。再求导：

$$g''(x)=e^x-1>0\quad(x>0)$$

所以 $g'$ 在 $[0,+\infty)$ 单调增加，$g'(x)>g'(0)=0$；从而 $g$ 单调增加，$g(x)>g(0)=0$。证毕。

"多次求导"的链条：$g''>0\Rightarrow g'\uparrow\Rightarrow g'>g'(0)=0\Rightarrow g\uparrow\Rightarrow g>g(0)=0$。每一步都要求端点值为 0（或 $\ge0$）。

例 5 证明：当 $x>0$ 时，$\arctan x>x-\dfrac{x^3}{3}$。

令 $g(x)=\arctan x-x+\dfrac{x^3}{3}$，$g(0)=0$。

$$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-1+x^2=\frac{1-(1+x^2)+x^2(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{x^4}{1+x^2}>0\quad(x>0)$$

所以 $g(x)>g(0)=0$。证毕。

2.4 易错点 ⚠️#

• 忘了验证端点值 $g(a)=0$。没有它，"一直上坡"也推不出"一直为正"。
• 通分化简要细心，$g'$ 化成"一眼看出符号"的形式（平方、乘积）是关键。

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三、极值：局部的山顶和谷底#

3.1 大白话#

极大值是"附近最高"——小山包的顶，不一定是整座山脉最高；极小值是"附近最低"。极值是局部概念，最值才是整体概念。一个函数的极小值完全可能比它的极大值还大（想象一座高原上的小坑，比山脚下的小土包还高）。

图 2：极值 vs 最值：这条曲线左边的极大值（2.37）比右边的极小值（3.91）还小；整体最大值在内部，最小值却在端点 x = 0 处取到

3.2 定义#

若在 $x_0$ 的某去心邻域内恒有 $f(x)<f(x_0)$，称 $f(x_0)$ 为极大值**，$x_0$ 为极大值点；恒有 $f(x)>f(x_0)$ 则称极小值**、极小值点。二者统称极值、极值点。

必要条件（来自费马引理）：若 $f$ 在 $x_0$ 可导且取极值，则 $f'(x_0)=0$。

所以极值点只可能是驻点或不可导点——这两类点叫"可疑点"。但可疑点不一定是极值点（如 $y=x^3$ 在 $0$ 处），还要用下面的充分条件判断。

注意：极值点必须在区间内部，端点不谈极值。

3.3 第一充分条件：看导数变号#

设 $f$ 在 $x_0$ 连续，在 $x_0$ 的去心邻域内可导：

• $f'$ 在 $x_0$ 左边 $>0$、右边 $<0$（先升后降）⇒ $x_0$ 是极大值点；
• $f'$ 左边 $<0$、右边 $>0$（先降后升）⇒ $x_0$ 是极小值点；
• $f'$ 两边同号 ⇒ 不是极值点。

优点：对不可导点也能用。

3.4 第二充分条件：看二阶导#

设 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)$ 存在：

• $f''(x_0)<0$ ⇒ 极大值；
• $f''(x_0)>0$ ⇒ 极小值；
• $f''(x_0)=0$ ⇒ 无法判断，换第一充分条件。

3.5 逐行拆解#

• 第二充分条件记忆：$f''>0$ 表示曲线"像碗口朝上的碗" $\cup$，驻点在碗底，是极小；$f''<0$ 像倒扣的碗 $\cap$，驻点在顶上，是极大。（这正是第 08 讲（中）凹凸性的内容。）
• $f''(x_0)=0$ 失效的例子：$y=x^4$ 在 $0$ 处 $f''=0$，是极小值点；$y=x^3$ 在 $0$ 处 $f''=0$，不是极值点；$y=-x^4$ 在 $0$ 处是极大值点。三种情况都可能，所以说"无法判断"。
• 两个条件怎么选？驻点多、二阶导好求时用第二充分条件，省得列表；有不可导点、或二阶导为 0 时用第一充分条件。

3.6 例题#

例 6（含不可导点） 求 $f(x)=(x-1)x^{\frac23}$ 的极值。

定义域 $(-\infty,+\infty)$。用乘积法则：

$$f'(x)=x^{\frac23}+(x-1)\cdot\frac23x^{-\frac13}=\frac{3x+2(x-1)}{3x^{\frac13}}=\frac{5x-2}{3\sqrt[3]{x}}$$

（通分：$x^{\frac23}=\dfrac{3x}{3x^{\frac13}}$。）

可疑点：驻点 $x=\dfrac25$；不可导点 $x=0$（分母为 0）。

$x$	$(-\infty,0)$	$0$	$\left(0,\frac25\right)$	$\frac25$	$\left(\frac25,+\infty\right)$
分子 $5x-2$	$-$		$-$	$0$	$+$
分母 $3\sqrt[3]x$	$-$	$0$	$+$		$+$
$f'(x)$	$+$	不存在	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	极大	↘	极小	↗

极大值 $f(0)=0$；极小值

$$f\left(\frac25\right)=-\frac35\left(\frac25\right)^{\frac23}\approx-0.326$$

这里 $x=0$ 处不可导，第二充分条件用不了，只能用第一充分条件。

例 7（第二充分条件） 求 $f(x)=x^4-2x^2$ 的极值。

$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$，驻点 $x=0,\pm1$。

$f''(x)=12x^2-4$：

• $f''(0)=-4<0$，$f(0)=0$ 是极大值；
• $f''(\pm1)=8>0$，$f(\pm1)=-1$ 是极小值。

例 8 求 $f(x)=x^2e^{-x}$ 的极值。

$f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$，驻点 $x=0,2$（$e^{-x}>0$ 可忽略）。

• $x<0$：$x<0$，$2-x>0$，$f'<0$；
• $0<x<2$：$f'>0$；
• $x>2$：$f'<0$。

极小值 $f(0)=0$，极大值 $f(2)=\dfrac{4}{e^2}$。

3.7 易错点 ⚠️#

• 只找驻点，漏掉不可导点（例 6 的 $x=0$）。
• $f''(x_0)=0$ 时不能说"不是极值"，只能说"此法失效"。
• 极值点是 $x_0$（横坐标），极值是 $f(x_0)$（函数值），题目问哪个就答哪个。

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四、最值：整体的最高和最低#

4.1 大白话#

最值是整个区间里的"冠军"和"垫底"。闭区间上连续函数一定有最值（第 04 讲），冠军只可能藏在两类地方：区间内部的可疑点（驻点、不可导点），或者区间端点。把它们的函数值全算出来比一比就行——连判断是不是极值都不用。

4.2 闭区间 $[a,b]$ 上求最值的步骤#

1. 求出 $(a,b)$ 内所有驻点和不可导点；
2. 计算这些点以及端点 $a,b$ 的函数值；
3. 最大的就是最大值，最小的就是最小值。

两个省事的特殊情况：

• 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调，最值就在两个端点；
• 若 $f$ 在区间内只有一个极值点：是极大值点，它就是最大值点；是极小值点，它就是最小值点（区间可以是开的或无限的）。

实际应用题的简化原则：若函数在区间内只有一个驻点，且由实际意义知最值一定存在并在内部取到，那么这个驻点就是所求最值点。

4.3 例题#

例 9 求 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ 在 $[-2,3]$ 上的最值。

$f'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$，驻点 $x=-1,\ 2$，都在区间内。

$$f(-2)=-16-12+24+1=-3,\quad f(-1)=-2-3+12+1=8$$ $$f(2)=16-12-24+1=-19,\quad f(3)=54-27-36+1=-8$$

最大值 $f(-1)=8$，最小值 $f(2)=-19$。

例 10 求 $f(x)=x+2\cos x$ 在 $\left[0,\dfrac\pi2\right]$ 上的最值。

$f'(x)=1-2\sin x=0\Rightarrow\sin x=\dfrac12$，区间内 $x=\dfrac\pi6$。

$$f(0)=2,\quad f\left(\frac\pi6\right)=\frac\pi6+\sqrt3\approx2.256,\quad f\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi2\approx1.571$$

最大值 $\dfrac\pi6+\sqrt3$，最小值 $\dfrac\pi2$。（最小值在端点！）

例 11（应用题·铁皮盒） 边长为 $a$ 的正方形铁皮，四角各剪去边长为 $x$ 的小正方形，折成无盖盒子。$x$ 为多少时盒子容积最大？

建模：底面边长 $a-2x$，高 $x$，

$$V(x)=x(a-2x)^2,\quad 0<x<\frac a2$$

求导：

$$V'(x)=(a-2x)^2+x\cdot2(a-2x)(-2)=(a-2x)\big[(a-2x)-4x\big]=(a-2x)(a-6x)$$

在 $\left(0,\dfrac a2\right)$ 内 $a-2x>0$，唯一驻点 $x=\dfrac a6$。由实际问题，最大值存在，所以 $x=\dfrac a6$ 时容积最大：

$$V_{\max}=\frac a6\cdot\left(a-\frac a3\right)^2=\frac a6\cdot\frac{4a^2}{9}=\frac{2a^3}{27}$$

例 12（应用题·靠墙围栏） 用长 20 米的篱笆靠一面墙围一个矩形菜地（靠墙一边不用篱笆），怎样围面积最大？

设垂直于墙的两边各长 $x$ 米，则平行于墙的一边长 $20-2x$ 米，面积

$$S(x)=x(20-2x),\quad 0<x<10$$

$S'(x)=20-4x=0\Rightarrow x=5$，唯一驻点。此时平行于墙的一边长 10 米，最大面积 $S(5)=50$ 平方米。

4.4 易错点 ⚠️#

• 漏算端点。极值只在内部，最值可能在端点（例 10）。
• 驻点不在给定区间内的要舍去。
• 应用题要写出自变量的取值范围，并说明"唯一驻点 + 实际意义"。

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五、方程根的个数#

5.1 大白话#

方程 $f(x)=0$ 的根，就是曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴的交点。只要知道曲线在哪里升、在哪里降、山顶山谷有多高，就能数出它穿过 $x$ 轴几次。

5.2 标准套路#

1. 求单调区间，把定义域分成若干单调段；
2. 每个单调段上至多一个根；
3. 看每段两端的函数值（或极限）是否异号：异号则恰有一个根（零点定理），同号则没有根。

5.3 例题#

例 13 讨论方程 $x^3-3x+1=0$ 实根的个数。

令 $f(x)=x^3-3x+1$。由例 1，$f$ 在 $(-\infty,-1]$ 增、$[-1,1]$ 减、$[1,+\infty)$ 增。

• $f(-1)=-1+3+1=3>0$（极大值），$f(1)=1-3+1=-1<0$（极小值）；
• $x\to-\infty$ 时 $f\to-\infty$，$x\to+\infty$ 时 $f\to+\infty$。

三段两端分别为：$(-\infty,3)$ 异号、$(3,-1)$ 异号、$(-1,+\infty)$ 异号。每段恰一个根，共 3 个实根。

例 14 证明方程 $\ln x=\dfrac xe$ 在 $(0,+\infty)$ 内只有一个根。

令 $g(x)=\ln x-\dfrac xe$，$g'(x)=\dfrac1x-\dfrac1e$。

• $0<x<e$ 时 $g'>0$，$g$ 增；$x>e$ 时 $g'<0$，$g$ 减。
• 最大值 $g(e)=1-1=0$。

所以除 $x=e$ 外处处 $g(x)<g(e)=0$，方程只有一个根 $x=e$。

套路：若函数的最大值恰好是 0，那么只有最大值点处是根——"顶点刚好碰到 $x$ 轴"。

5.4 含参数的根的个数：参变分离#

如果方程里带参数（比如 $\ln x=ax$），直接讨论很麻烦，因为参数一变，函数图像整体都在变。更聪明的做法是参变分离：把参数单独移到一边，写成 $a=h(x)$ 的形式。这样左边是一条水平线 $y=a$，右边是一条固定的曲线 $y=h(x)$，根的个数就是"水平线与曲线的交点个数"。

只要用本篇的方法把 $h(x)$ 的单调性、极值、两端的极限搞清楚，画出大致形状，然后让水平线上下移动，交点个数随 $a$ 的变化就一目了然了。自测练习第 8 题就是这种方法的典型应用。这种"把动的东西变成一条直线"的思想，在考研中非常常用。

5.5 易错点 ⚠️#

• 无穷区间的端点要用极限，不能代值。
• 每个单调段都要检查，别漏了最左、最右两段。

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六、综合例题#

例 15（单调性证不等式·需要再求导判号） 证明：当 $x>0$ 时，$(1+x)\ln(1+x)>\arctan x$。

第一步：作差。令 $g(x)=(1+x)\ln(1+x)-\arctan x$，$g(0)=0$。

第二步：求导。

$$g'(x)=\ln(1+x)+(1+x)\cdot\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+x^2}=\ln(1+x)+1-\frac{1}{1+x^2}$$

第三步：判号。$x>0$ 时，$\ln(1+x)>0$；又 $1+x^2>1$，所以 $\dfrac{1}{1+x^2}<1$，即 $1-\dfrac{1}{1+x^2}>0$。两部分都是正的，$g'(x)>0$。

第四步：结论。$g$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加，$x>0$ 时 $g(x)>g(0)=0$。证毕。

体会：$g'$ 不一定要通分成一个分式，拆成几块、每块都能判断符号，同样能完成任务。

例 16（极值与最值的区别） $f(x)=x^3-3x$ 在 $[-3,3]$ 上的极值和最值分别是什么？

由例 1，极大值 $f(-1)=2$，极小值 $f(1)=-2$。但最值要和端点比较：$f(-3)=-27+9=-18$，$f(3)=27-9=18$。

所以最大值 $18$（在端点 $x=3$），最小值 $-18$（在端点 $x=-3$）。极大值不是最大值，极小值也不是最小值。

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七、常见疑问答疑#

问 1：单调区间端点写开区间还是闭区间？

答：只要端点在定义域内且函数在那里连续，开闭都算对，教材习惯写闭区间。但端点不在定义域内时必须写开，比如 $\ln x$ 的定义域是 $(0,+\infty)$，就不能写成 $[0,+\infty)$。不可导点（如 $|x|$ 的 $x=0$）也可以作为单调区间的端点。

问 2：驻点、极值点、最值点是什么关系？

答：对于可导函数，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点（如 $x^3$ 的 $x=0$）。最值点若在区间内部，则一定是极值点；若在端点，就不是极值点（端点不谈极值）。对于不可导点，它可以是极值点却不是驻点（如 $|x|$ 的 $x=0$）。

问 3：第二充分条件失效（$f''(x_0)=0$）时，还有别的办法吗？

答：最常用的就是退回第一充分条件，看 $f'$ 在两侧是否变号。另外有一个推广结论（了解即可）：若 $f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne0$，则 $n$ 为偶数时是极值点（$f^{(n)}(x_0)>0$ 极小，$<0$ 极大），$n$ 为奇数时不是极值点。$x^4$ 和 $x^3$ 正是这两种情况的代表。

问 4：应用题里"由实际意义知最值存在"可以直接写吗？

答：可以，这是教材认可的写法。但前提是你确认在定义区间内只有一个驻点；如果有多个驻点，就要逐个比较函数值。另外记得说清楚自变量的实际取值范围（比如长度必须为正）。

问 5：用单调性证明不等式，什么时候需要求二阶导？

答：当 $g'(x)$ 的符号一眼看不出来时。这时把 $g'$ 当成新的函数，看它的单调性和端点值：如果 $g''>0$ 且 $g'(a)=0$，就能推出 $g'>0$。例 4 就是这样做的。如果二阶导还看不出来，可以继续求三阶导，原理相同。

学习建议：本篇内容是导数应用的核心，也是后面积分应用、微分方程的基础。建议把"列表法"练熟：每次都画出 $x$、$f'$、$f$ 三行的表格，写清分界点和符号。表格画熟了，单调性、极值、方程根的个数这三类题几乎不会出错。

公式/结论速记卡#

内容	判定 / 方法
单调性	$f'>0$ 增，$f'<0$ 减；分界点：驻点 + 不可导点
不等式证明	作差 $g=A-B$；$g'>0$ 且 $g(a)=0$ ⇒ $g>0$；看不出就再求导
极值必要条件	可导的极值点必是驻点；可疑点 = 驻点 + 不可导点
第一充分条件	$f'$ 左正右负 → 极大；左负右正 → 极小；不变号 → 非极值
第二充分条件	$f'(x_0)=0$：$f''<0$ 极大，$f''>0$ 极小，$f''=0$ 失效
闭区间最值	比较可疑点与端点的函数值
唯一极值点	唯一极大即最大，唯一极小即最小
根的个数	分单调段，每段至多一根；端点值异号则恰一根

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自测练习#

1. 求 $f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$ 的单调区间与极值。

答案与提示

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$。

增区间 $(-\infty,1]$、$[2,+\infty)$，减区间 $[1,2]$。极大值 $f(1)=2-9+12-3=2$，极小值 $f(2)=16-36+24-3=1$。

2. 求 $f(x)=x-3x^{\frac13}$ 的极值。

答案与提示

$f'(x)=1-x^{-\frac23}=\dfrac{x^{\frac23}-1}{x^{\frac23}}$。驻点 $x=\pm1$，不可导点 $x=0$。

分母 $x^{\frac23}>0$（$x\ne0$），符号看分子 $x^{\frac23}-1$：$|x|>1$ 时为正，$0<|x|<1$ 时为负。

• $x=-1$：左正右负，极大值 $f(-1)=-1+3=2$；
• $x=0$：两侧都负，不是极值点；
• $x=1$：左负右正，极小值 $f(1)=1-3=-2$。

3. 求 $f(x)=x^4-8x^2+2$ 在 $[-1,3]$ 上的最值。

答案与提示

$f'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$，区间内驻点 $x=0,2$（$-2$ 不在区间内）。

$f(-1)=1-8+2=-5$，$f(0)=2$，$f(2)=16-32+2=-14$，$f(3)=81-72+2=11$。

最大值 $11$，最小值 $-14$。

4. 证明：当 $x>0$ 时，$x>\sin x$。

答案与提示

$g(x)=x-\sin x$，$g(0)=0$，$g'(x)=1-\cos x\ge0$，等号只在孤立点 $x=2k\pi$ 成立，故 $g$ 单调增加，$x>0$ 时 $g(x)>0$。

5. 证明：当 $x>1$ 时，$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$。

答案与提示

$g(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$，$g(1)=0$。

$$g'(x)=\frac1x-\frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x+1)^2}=\frac1x-\frac{4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4x}{x(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}>0\ (x>1)$$

故 $g(x)>g(1)=0$。

6. 求 $y=x^{\frac1x}$（$x>0$）的最大值。

答案与提示

由第 06 讲（上），$y'=x^{\frac1x}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。$0<x<e$ 时 $y'>0$，$x>e$ 时 $y'<0$，唯一极大值点 $x=e$，也是最大值点。

最大值 $e^{\frac1e}\approx1.445$。

7. 讨论方程 $x^3-3x+3=0$ 实根的个数。

答案与提示

$f'(x)=3(x-1)(x+1)$。极大值 $f(-1)=5>0$，极小值 $f(1)=1>0$。

• $(-\infty,-1]$：从 $-\infty$ 升到 5，有 1 个根；
• $[-1,1]$：从 5 降到 1，都大于 0，无根；
• $[1,+\infty)$：从 1 升到 $+\infty$，无根。

只有 1 个实根。

8.（略提高）讨论方程 $\ln x=ax$（$a>0$）的实根个数与 $a$ 的关系。

答案与提示

变形为 $a=\dfrac{\ln x}{x}$，令 $h(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，$h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。$h$ 在 $(0,e]$ 增、$[e,+\infty)$ 减，最大值 $h(e)=\dfrac1e$；$x\to0^+$ 时 $h\to-\infty$，$x\to+\infty$ 时 $h\to0^+$。

• $a>\dfrac1e$：无根；
• $a=\dfrac1e$：1 个根（$x=e$）；
• $0<a<\dfrac1e$：2 个根。

（"参变分离"：把参数单独放一边，数水平线 $y=a$ 与曲线 $y=h(x)$ 的交点。）

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下一讲预告#

第 08 讲（中）看曲线往哪边弯：凹凸性与拐点，三种渐近线，以及把这些拼起来画出函数图像。