考研数学二·零基础讲义 第07讲（下）｜泰勒公式

考研数学二·零基础讲义 · 第 07 讲（下）｜泰勒公式

学完这一篇，你能理解泰勒公式"用多项式模仿函数"的思想，分清皮亚诺余项和拉格朗日余项，背熟 7 个常用麦克劳林展开并会复合代入，能用泰勒公式求极限、确定无穷小的阶和待定参数，还能用它快速求某点的高阶导数。预计用时：4～5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 泰勒公式的思想与形式：在一点附近用多项式逼近函数。大纲要求：了解泰勒定理，以及用多项式逼近函数的思想。
• 两种余项：皮亚诺余项（求极限用）、拉格朗日余项（估计误差、证明用）。
• 7 个常用麦克劳林展开：$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln(1+x)$、$(1+x)^\alpha$、$\tan x$（到 $x^3$）、$\arctan x$（到 $x^3$）。必须背到脱口而出。
• 用泰勒公式求极限、定无穷小的阶、求参数。考研求极限的"终极武器"，大纲写的是"了解"，但实际考查要求是熟练。
• 用泰勒求 $f^{(n)}(0)$：系数对比法。

前置知识#

• 高阶无穷小记号 $o(x^n)$、等价无穷小（见第 03 讲）。
• 高阶导数（见第 06 讲下）。
• 拉格朗日中值定理（见第 07 讲上），洛必达法则（见第 07 讲中）。

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一、泰勒公式：把函数"翻译"成多项式#

1.1 大白话#

多项式是最好算的函数：只有加法和乘法。泰勒公式的想法是：在某点附近，用一个多项式去模仿复杂函数。

怎么模仿？先让函数值相等（同一个起点），再让一阶导相等（同一个方向），再让二阶导相等（同样的弯曲程度）……对齐的阶数越多，模仿得越像。

比如在 $x=0$ 附近：

• $\sin x\approx x$（只对齐到一阶，就是第 03 讲的等价无穷小 $\sin x\sim x$）；
• $\sin x\approx x-\dfrac{x^3}{6}$（对齐到三阶）更准。取 $x=0.5$：$\sin0.5\approx0.4794$，$0.5-\dfrac{0.125}{6}\approx0.4792$，已经非常接近。

所以泰勒公式可以看成等价无穷小的升级版：等价无穷小只保留第一项，泰勒公式能保留任意多项。

图 1：用多项式模仿 $\sin x$：1 阶、3 阶、5 阶、7 阶、9 阶泰勒多项式（橙）依次登场。阶数越高，和 $\sin x$（蓝）贴在一起的范围越宽；离 0 越远越容易"飞出去"（动画循环播放）

1.2 正式公式#

带皮亚诺余项的泰勒公式：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o\big((x-x_0)^n\big)$$

带拉格朗日余项的泰勒公式：设 $f(x)$ 在含 $x_0$ 的某区间内有 $n+1$ 阶导数，则对区间内的 $x$，

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

其中 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。

$x_0=0$ 时的泰勒公式叫麦克劳林公式：

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$$

1.3 逐行拆解#

• 第 $k$ 项是 $\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$：第 $k$ 阶导数值除以 $k$ 的阶乘，乘以 $(x-x_0)$ 的 $k$ 次方。
• 为什么除以 $k!$？因为 $(x^k)^{(k)}=k!$。多项式 $\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ 求 $k$ 阶导，在 $x=0$ 处恰好得到 $f^{(k)}(0)$——这就是"第 $k$ 阶导数对齐"。
• $\sum\limits_{k=0}^{n}$ 读作"从 $k=0$ 到 $n$ 求和"，就是把前 $n+1$ 项加起来的简写。
• 余项就是"误差"，即真实函数减去多项式：
  • 皮亚诺余项 $o\big((x-x_0)^n\big)$（"皮亚诺"是数学家名字）：只告诉你误差比 $(x-x_0)^n$ 还小得多（高阶无穷小），不告诉具体多大。求极限用它，因为极限只关心"谁是主要部分"。
  • 拉格朗日余项 $\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$：形状和下一项一样，只是导数在某个未知点 $\xi$ 取值。估计误差、证明不等式用它。
• $n=0$ 时拉格朗日余项版本就是 $f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)$——正是拉格朗日中值定理！所以泰勒公式是中值定理的"升级版"。
• 皮亚诺余项只要求"在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导"，是局部的；拉格朗日余项要求"在区间内 $n+1$ 阶可导"，条件更强，但结论适用于整个区间。

1.4 几何意义：一阶是切线，二阶是"贴身抛物线"#

• 只取前两项 $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$，这正是曲线在 $x_0$ 处的切线方程。所以"用切线近似曲线"就是一阶泰勒公式，第 05 讲的微分近似 $\Delta y\approx dy$ 也是这个意思。
• 取到二阶 $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$，得到一条抛物线，它不仅和曲线相切，连弯曲程度也一样，在 $x_0$ 附近贴得更紧。
• 阶数越高，多项式在 $x_0$ 附近和原函数越"难分彼此"，但离 $x_0$ 越远，误差一般越大——泰勒公式本质上是一个局部工具。

这也解释了为什么求极限时泰勒公式那么好用：极限只关心 $x\to x_0$ 时的行为，恰好是泰勒公式最准确的地方。

图 2：以 $e^x$ 在 $x=0$ 处为例：一阶多项式 $1+x$ 就是切线；二阶多项式 $1+x+\dfrac{x^2}{2}$ 连弯曲程度也对上了，在 0 附近贴得更紧

1.5 例题：亲手推一个展开#

例 1 推导 $e^x$ 的麦克劳林公式。

$f(x)=e^x$ 的任意阶导数都是 $e^x$，所以 $f^{(k)}(0)=e^0=1$。代入麦克劳林公式：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

拉格朗日余项形式：$R_n=\dfrac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}$，$\xi$ 在 $0$ 与 $x$ 之间。

例 2 写出 $\ln x$ 在 $x_0=1$ 处的三阶泰勒公式（皮亚诺余项）。

$f(x)=\ln x$，$f'(x)=\dfrac1x$，$f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$，$f'''(x)=\dfrac{2}{x^3}$。

在 $x=1$：$f(1)=0$，$f'(1)=1$，$f''(1)=-1$，$f'''(1)=2$。

$$\ln x=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{2}{3!}(x-1)^3+o\big((x-1)^3\big)=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}+o\big((x-1)^3\big)$$

（其实就是把 $\ln(1+t)$ 的展开中 $t$ 换成 $x-1$。）

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二、七个常用麦克劳林展开（必背）#

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{m}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

2.1 记忆提示#

• $e^x$ 全是正号，系数 $\dfrac{1}{k!}$；
• $\sin x$ 只有奇次项（因为 $\sin$ 是奇函数），$\cos x$ 只有偶次项（偶函数），都正负交替，系数也是 $\dfrac{1}{k!}$；
• $\ln(1+x)$ 系数是 $\dfrac1k$（不是阶乘！），正负交替，没有常数项；
• $(1+x)^\alpha$ 的系数和二项式定理长得一样，只不过 $\alpha$ 可以是分数、负数。常用特例：

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2),\qquad \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)$$

• $\tan x$ 和 $\arctan x$ 前两项"长得像"，只差 $x^3$ 项的符号：$\tan$ 是加，$\arctan$ 是减。
• 顺手了解：$\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$。

2.2 由展开直接得到的"差函数"阶数（非常常用）#

差函数	等价于
$x-\sin x$	$\dfrac{x^3}{6}$
$\tan x-x$	$\dfrac{x^3}{3}$
$x-\arctan x$	$\dfrac{x^3}{3}$
$\arcsin x-x$	$\dfrac{x^3}{6}$
$\tan x-\sin x$	$\dfrac{x^3}{2}$
$x-\ln(1+x)$	$\dfrac{x^2}{2}$
$e^x-1-x$	$\dfrac{x^2}{2}$
$1-\cos x$	$\dfrac{x^2}{2}$

2.3 复合代入：整体换元#

展开式中的 $x$ 可以换成任何趋于 0 的式子 $u$，整体代入：

• $e^{-x^2}=1-x^2+\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)$（$u=-x^2$，$\dfrac{u^2}{2}=\dfrac{x^4}{2}$）；
• $\sqrt{1+2x}=1+\dfrac{2x}{2}-\dfrac{(2x)^2}{8}+o(x^2)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$；
• $\ln(1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$（$u=-x$）。

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三、用泰勒公式求极限#

3.1 核心思想#

分子分母都展开成多项式，多项式比大小一目了然。

展开到几阶？ 两条原则：

1. 上下同阶：分母是（或等价于）$x^k$，分子就展开到 $x^k$ 项；
2. 展开到第一个不被抵消的项：加减后前几项抵消了，就继续往后展，直到出现非零的项。

$o$ 的运算规则（$x\to0$）：

• $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^{\min(m,n)})$，低阶"吃掉"高阶；
• $x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$；
• 比 $x^k$ 高阶的普通项（如 $x^{k+1}$）都可以并入 $o(x^k)$。

3.2 例题#

例 3 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$。

$$\tan x-\sin x=\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+o(x^3)=\frac{x^3}{2}+o(x^3)$$

原式 $=\dfrac12$。

经典错误：$\tan x\sim x$，$\sin x\sim x$，相减得 0。加减法中不能随便用等价替换（第 03 讲讲过），泰勒公式正好补上这个漏洞——它保留了被抵消后剩下的那一项。

例 4 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\arctan x}{x^3}$，并与洛必达对比。

泰勒：$x-\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)+o(x^3)=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$，原式 $=\dfrac13$。

洛必达：

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{3(1+x^2)}=\frac13$$

两种方法结果一致，本题两种都不难。

例 5（乘积展开） 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}$。

分母是 $x^3$，分子展开到 $x^3$：

$$e^x\sin x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)$$

逐项相乘，只保留到 $x^3$（超过 $x^3$ 的都扔进 $o(x^3)$）：

• $1\cdot x=x$
• $x\cdot x=x^2$
• $\dfrac{x^2}{2}\cdot x=\dfrac{x^3}{2}$
• $1\cdot\left(-\dfrac{x^3}{6}\right)=-\dfrac{x^3}{6}$

所以 $e^x\sin x=x+x^2+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。分子：

$$x+x^2+\frac{x^3}{3}-x-x^2+o(x^3)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

原式 $=\dfrac13$。

例 6（复合展开） 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$。

用 $e^u$ 的展开，把 $u=-\dfrac{x^2}{2}$ 整体代入：

$$e^{-\frac{x^2}2}=1-\frac{x^2}{2}+\frac12\left(\frac{x^2}{2}\right)^2+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$$

相减：$\left(\dfrac1{24}-\dfrac18\right)x^4=\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{3}{24}\right)x^4=-\dfrac{1}{12}x^4$，所以原式 $=-\dfrac1{12}$。

这道题若用洛必达要求导四次，非常痛苦；用等价无穷小则会把两个 $1-\dfrac{x^2}{2}$ 抵消后"无米下锅"。泰勒是正解。

例 7（根式） 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}$。

$$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+o(x^2),\qquad \sqrt{1-x}=1-\frac x2-\frac{x^2}{8}+o(x^2)$$

相加减 2：$-\dfrac{x^2}{4}+o(x^2)$，原式 $=-\dfrac14$。

例 8（分母也要处理） 求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1{x^2}-\dfrac{1}{x\tan x}\right)$。

通分：$\dfrac{\tan x-x}{x^2\tan x}$。分母是乘积，$x^2\tan x\sim x^3$；分子 $\tan x-x=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。

原式 $=\dfrac13$。

3.3 确定无穷小的阶与待定参数#

例 9 当 $x\to0$ 时，$x-(a+b\cos x)\sin x$ 是 $x$ 的 5 阶无穷小，求 $a,b$。

展开（先看 $x$ 和 $x^3$ 的系数就够了）：

$$(a+b\cos x)\sin x=\left(a+b-\frac b2x^2+\cdots\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+\cdots\right) =(a+b)x+\left(-\frac{a+b}{6}-\frac b2\right)x^3+\cdots$$

（$x^3$ 系数来自两部分：$(a+b)\cdot\left(-\dfrac{x^3}{6}\right)$ 和 $\left(-\dfrac b2x^2\right)\cdot x$。）

要使 $x-(\cdots)$ 的 $x$ 项、$x^3$ 项都为 0：

$$a+b=1,\qquad -\frac{1}{6}-\frac{b}{2}=0$$

解得 $b=-\dfrac13$，$a=\dfrac43$。（继续展开可验证此时 $x^5$ 项系数为 $\dfrac{1}{30}\ne0$，确实恰好是 5 阶。）

例 10 当 $x\to0$ 时，$e^x-\dfrac{1+ax}{1+bx}$ 是 $x$ 的 3 阶无穷小，求 $a,b$。

把分式展开：$\dfrac{1}{1+bx}=1-bx+b^2x^2-b^3x^3+o(x^3)$，

$$\frac{1+ax}{1+bx}=(1+ax)(1-bx+b^2x^2+\cdots)=1+(a-b)x+(b^2-ab)x^2+\cdots$$

与 $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots$ 相减，$x$ 与 $x^2$ 的系数都要为 0：

$$a-b=1,\qquad b^2-ab=\frac12$$

第二式为 $b(b-a)=-b=\dfrac12$，所以 $b=-\dfrac12$，$a=\dfrac12$。（此时 $x^3$ 项系数为 $\dfrac16-\dfrac14=-\dfrac1{12}\neq0$，确为 3 阶。）

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四、用泰勒公式求某点的高阶导数#

4.1 大白话#

麦克劳林公式里 $x^n$ 的系数是 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$。反过来，如果你用别的办法得到了 $x^n$ 的系数 $a_n$，那么 $f^{(n)}(0)=n!\cdot a_n$。展开式是唯一的，所以可以"对比系数"。

4.2 例题#

例 11 设 $f(x)=x^2e^x$，求 $f^{(n)}(0)$（$n\ge2$）。

$$x^2e^x=x^2\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+2}}{k!}$$

$x^n$ 项对应 $k=n-2$，系数 $\dfrac{1}{(n-2)!}$。所以

$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$$

例 12 设 $f(x)=x^2\ln(1+x)$，求 $f^{(5)}(0)$。

$$x^2\ln(1+x)=x^2\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\right)=x^3-\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{3}-\cdots$$

$x^5$ 的系数是 $\dfrac13$，所以 $f^{(5)}(0)=5!\times\dfrac13=40$。

例 12（补） 设 $f(x)=\sin x^2$，求 $f^{(4)}(0)$、$f^{(6)}(0)$、$f^{(7)}(0)$。

思路：硬求六阶导是噩梦（每求一次都要用乘积法则和链式法则），用展开式对比系数只要一行。

把 $u=x^2$ 代入 $\sin u=u-\dfrac{u^3}{6}+\cdots$：

$$\sin x^2=x^2-\frac{x^6}{6}+\frac{x^{10}}{120}-\cdots$$

• $x^4$ 的系数是 0，所以 $f^{(4)}(0)=0$；
• $x^6$ 的系数是 $-\dfrac16$，所以 $f^{(6)}(0)=6!\times\left(-\dfrac16\right)=-120$；
• 展开式只有偶次项，$x^7$ 系数为 0，所以 $f^{(7)}(0)=0$。

规律：偶函数的麦克劳林展开只有偶次项，所以它在 0 处的奇数阶导数全为 0；奇函数则偶数阶导数全为 0。这个结论可以用来快速判断选择题。

为什么系数对比是合法的？ 因为一个函数的麦克劳林展开（在可导阶数范围内）是唯一的：如果 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)$，那么必有 $a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$。不管你是用公式一项项求导得到的，还是用已知展开式拼出来的，系数都必须相同。

对比第 06 讲下的莱布尼茨公式，这种方法在只求 $x=0$ 处的值时往往更快。

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五、拉格朗日余项的用途：估计误差#

例 13 用 $e\approx1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\dfrac1{4!}$ 近似计算 $e$，估计误差。

在 $e^x$ 的麦克劳林公式中取 $n=4$、$x=1$，拉格朗日余项为

$$R_4=\frac{e^\xi}{5!}\cdot1^5,\quad 0<\xi<1$$

因为 $e^\xi<e<3$，所以 $|R_4|<\dfrac{3}{120}=0.025$。近似值为 $2.7083$，真值约 $2.71828$，误差约 $0.0099$，确实小于 $0.025$。

例 14（用拉格朗日余项证不等式） 证明：当 $x>0$ 时，$e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$。

由带拉格朗日余项的麦克劳林公式（$n=2$）：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{e^\xi}{3!}x^3,\quad 0<\xi<x$$

$x>0$ 时余项 $\dfrac{e^\xi}{6}x^3>0$，所以 $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$。证毕。

什么时候用拉格朗日余项？ 记住一个分工：求极限用皮亚诺，证明和估值用拉格朗日。凡是题目要你"证明某个不等式对区间内所有 $x$ 成立"或者"估计近似值的误差不超过多少"，皮亚诺余项 $o(\cdot)$ 只能描述 $x\to x_0$ 时的趋势，帮不上忙；而拉格朗日余项给出了一个具体的表达式，只要能判断 $f^{(n+1)}(\xi)$ 的符号或范围，就能得出结论。例 14 正是利用了"$e^\xi>0$"这一点。

用拉格朗日余项证明不等式的一般步骤：① 写出带拉格朗日余项的泰勒公式，展开到合适的阶；② 判断余项的符号（或范围）；③ 移项得到结论。它和第 08 讲（上）"用单调性证明不等式"是两种互补的方法，后者往往更常用，但遇到高阶的多项式逼近时，泰勒公式更直接。

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六、更多求极限的例题：换元与非零点展开#

麦克劳林公式只能在 $x\to0$ 时直接用。遇到 $x\to\infty$ 或 $x\to x_0\neq0$，先换元把它变成"某个量趋于 0"。

例 15（$x\to\infty$，倒代换） 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\dfrac1x\right)\right]$。

第一步：换元。令 $t=\dfrac1x$，$x\to\infty$ 时 $t\to0$，$x=\dfrac1t$：

$$x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)=\frac1t-\frac{\ln(1+t)}{t^2}=\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}$$

第二步：展开。$\ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}+o(t^2)$，分子 $=\dfrac{t^2}{2}+o(t^2)$。

第三步：原式 $=\dfrac12$。

这是 $\infty-\infty$ 型，直接看不出来；倒代换之后变成标准的 $\dfrac00$，泰勒一步解决。$x\to\infty$ 时想到 $t=\dfrac1x$，是一个要形成条件反射的技巧。

例 16（$x\to x_0$，平移换元） 求 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x-x+1}{(x-1)^2}$。

令 $t=x-1\to0$，$x=1+t$：

$$\frac{\ln(1+t)-t}{t^2}=\frac{-\frac{t^2}{2}+o(t^2)}{t^2}\to-\frac12$$

（也可以直接用例 2 中 $\ln x$ 在 $x_0=1$ 处的泰勒公式，本质一样。）

例 17（分子分母都要展开） 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x-\sin x}$。

分子：$e^x$ 展开到 $x^3$，$e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$。

分母：$x-\sin x=\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$。

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}=1$$

（分子分母同除以 $x^3$，$\dfrac{o(x^3)}{x^3}\to0$。）

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七、展开到几阶？——详细说明#

这是初学者最困惑的问题，我们把规则说透。

情形 1：分母是简单的 $x^k$。分子展开到 $x^k$ 项就够了。因为比 $x^k$ 更高阶的项除以 $x^k$ 后都趋于 0，写了也白写。例 3、例 5 都属于这种情况。

情形 2：分母也是复杂式子。先把分母化简到"等价于 $cx^k$"（用等价替换或展开），再按情形 1 处理分子。例 8 先把 $x^2\tan x$ 化为 $x^3$。

情形 3：分子是两部分相减。两部分都要展开到同一阶，而且要展到"相减后第一个不为 0 的项"。比如 $\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}$，展到 $x^2$ 时两边都是 $1-\dfrac{x^2}{2}$，完全抵消，说明不够，必须继续展到 $x^4$。

情形 4：乘积展开。$A(x)\cdot B(x)$ 要展到 $x^k$，若 $B$ 的最低次项是 $x^m$，则 $A$ 只需展到 $x^{k-m}$。比如例 5 中 $\sin x$ 最低次是 $x^1$，所以 $e^x$ 只需展到 $x^2$。

宁多勿少：拿不准时多展一阶，最多是多写几项；展少了则会得到错误的 $\dfrac00$ 或者干脆算错。

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八、泰勒公式与等价无穷小、洛必达的关系#

三者其实是一家人：

• 等价无穷小 $\sin x\sim x$，就是泰勒展开只保留第一项：$\sin x=x+o(x)$；
• 洛必达法则 每求一次导，相当于把泰勒展开"往前推一项"；求 $n$ 次导才能看到 $x^n$ 项的系数；
• 泰勒公式 一次性把所有需要的项都写出来，最"透明"。

所以当你发现等价替换会导致抵消、洛必达要求三次以上导数时，泰勒公式往往是最省事的选择。反过来，简单的题用等价替换或一两次洛必达更快，没必要样样都展开。方法没有高下，只有合不合适。

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九、常见疑问答疑#

问 1：七个展开式要背到第几项？

答：最低要求是：$e^x$、$\ln(1+x)$ 背到 $x^3$；$\sin x$ 背到 $x^5$；$\cos x$ 背到 $x^4$；$(1+x)^\alpha$ 背到 $x^2$；$\tan x$、$\arctan x$ 背到 $x^3$。更高的项考试很少用到，需要时也能由通项写出。

问 2：$o(x^3)$ 能不能写成 $o(x^2)$？

答：可以，但会丢失信息。$o(x^3)$ 一定也是 $o(x^2)$（比 $x^3$ 还小的东西当然比 $x^2$ 小），反过来不成立。为了精确，写展开式时余项要和最后一项的次数对应：最后一项是 $x^3$，余项就写 $o(x^3)$。

问 3：泰勒公式要求函数在那一点可导很多次，题目没说怎么办？

答：七个常用函数在 $x=0$ 附近任意阶可导，放心用。抽象函数题若只说"$f$ 二阶可导"，那就只能展开到二阶：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)$，不能再多。

问 4：拉格朗日余项里的 $\xi$ 和中值定理里的 $\xi$ 是一回事吗？

答：含义一样，都是"夹在两点之间的某个点，存在但不知道具体位置"。事实上 $n=0$ 时泰勒公式就是拉格朗日中值定理，所以可以把泰勒公式看成中值定理的高阶推广。

学习建议：先把七个展开式抄在一张小卡片上，每天早晚各默写一遍，坚持一周就能脱口而出。然后集中做 15～20 道泰勒求极限的题，体会"展几阶"的判断。泰勒公式是数学二求极限题的分水岭，在这里多花时间非常值得。

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十、常见错误示范#

错误 1：展开阶数不够。

✗ $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$：$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，$e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，相减得 $o(x^2)$，"所以极限为 0"。

✓ $o(x^2)$ 除以 $x^4$ 不一定趋于 0（$o(x^2)$ 只说明它比 $x^2$ 小，可能和 $x^4$ 同阶）。必须展到 $x^4$，答案是 $-\dfrac1{12}$。

错误 2：把 $o$ 当成 0 来抵消。

✗ $\left(x+o(x^3)\right)-\left(x+o(x^3)\right)=0$

✓ 两个 $o(x^3)$ 可能是不同的东西，相减仍是 $o(x^3)$，不是 0。

错误 3：复合代入漏项。

✗ $e^{x^2}=1+x^2+\dfrac{x^2}{2}+\cdots$（把 $\dfrac{u^2}{2}$ 写成了 $\dfrac{x^2}{2}$）

✓ $u=x^2$，$\dfrac{u^2}{2}=\dfrac{x^4}{2}$，所以 $e^{x^2}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)$。

错误 4：$x\to\infty$ 时直接用麦克劳林展开。

✗ $x\to\infty$ 时 $\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots$

✓ 麦克劳林展开只在 $x\to0$ 附近有效。$x\to\infty$ 时 $\sin x$ 在 $[-1,1]$ 间振荡，根本不像多项式。应先换元 $t=\dfrac1x$，只能展开 $\sin\dfrac1x$ 这类"里面趋于 0"的函数。

十一、易错点汇总 ⚠️#

• 展开阶数不够：分子展开后全抵消成 $o(x^3)$，说明不够，得再多展一阶。
• 复合代入时整体代入：$e^{-x^2/2}$ 里 $u=-\dfrac{x^2}{2}$，$\dfrac{u^2}{2}=\dfrac{x^4}{8}$，别漏了平方。
• $\ln(1+x)$ 的系数是 $\dfrac1n$，不是 $\dfrac1{n!}$。
• $o(x^3)-o(x^3)$ 仍是 $o(x^3)$，不能"抵消成 0"。
• 乘积展开时，每个因子要展到足够阶；只保留到目标阶，高的直接扔。
• 只有 $x\to0$ 时才能直接用麦克劳林展开；$x\to x_0$ 时先换元 $t=x-x_0$；$x\to\infty$ 时换元 $t=\dfrac1x$。

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公式/结论速记卡#

七个展开：

$$e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+o(x^3),\quad \sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+o(x^3),\quad \cos x=1-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}+o(x^4)$$ $$\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}+o(x^3),\quad (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)$$ $$\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+o(x^3),\quad \arctan x=x-\tfrac{x^3}{3}+o(x^3)$$

要点	内容
皮亚诺余项	$o((x-x_0)^n)$，求极限
拉格朗日余项	$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，估误差、证不等式
展几阶	上下同阶；展到第一个不抵消的项
求 $f^{(n)}(0)$	$f^{(n)}(0)=n!\times(x^n\text{ 的系数})$
常见差	$x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}$，$\tan x-x\sim\frac{x^3}{3}$，$x-\arctan x\sim\frac{x^3}{3}$，$\tan x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}$，$x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}{2}$
常用特例	$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+o(x^2)$，$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2)$

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自测练习#

1. 写出 $e^{2x}$ 的麦克劳林公式到 $x^3$ 项。

答案与提示

把 $u=2x$ 代入：$1+2x+\dfrac{(2x)^2}{2}+\dfrac{(2x)^3}{6}+o(x^3)=1+2x+2x^2+\dfrac43x^3+o(x^3)$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}$。

答案与提示

$$\sin x-x\cos x=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-x\left(1-\frac{x^2}{2}\right)+o(x^3)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

原式 $=\dfrac13$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1-x^2}{x^4}$。

答案与提示

$e^{x^2}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)$，分子 $=\dfrac{x^4}{2}+o(x^4)$，原式 $=\dfrac12$。

4. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arctan x-\sin x}{x^3}$。

答案与提示

$\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)-\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)=-\dfrac{x^3}{6}$，原式 $=-\dfrac16$。

5. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-1-x}{x^2}$。

答案与提示

$\sqrt{1+2x}=1+x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，分子 $=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，原式 $=-\dfrac12$。

6. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}$。

答案与提示

$x-\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)+o(x^2)=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$，原式 $=\dfrac12$。

7. 设 $f(x)=x^2\ln(1+x)$，求 $f^{(4)}(0)$。

答案与提示

由例 12，$x^4$ 系数为 $-\dfrac12$，$f^{(4)}(0)=4!\times\left(-\dfrac12\right)=-12$。

8.（略提高）当 $x\to0$ 时，$\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}$ 是 $x$ 的几阶无穷小？与 $kx^n$ 等价，求 $k,n$。

答案与提示

$\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)$，所以是 4 阶无穷小，$k=\dfrac1{24}$，$n=4$。

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下一讲预告#

第 08 讲（上）把导数用起来：用一阶导判断单调性，找极值和最值，并用单调性证明不等式、讨论方程根的个数。