考研数学二·零基础讲义 第11讲（下）｜定积分的物理应用：功、压力、引力、质心与形心

考研数学二·零基础讲义 · 第 11 讲（下）｜定积分的物理应用：功、压力、引力、质心与形心

学完这一篇，你能用"微元法"自己列出变力做功、提升做功、抽水做功、液体静压力、细杆引力、质心与形心的积分式，并算对数值和单位。预计用时：4–5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 学什么：微元法的"物理版"；变力做功（弹簧、电荷斥力、拉绳与提升重物）；抽水做功（圆柱、圆锥、半球、卧式圆柱等各种容器）；液体静压力（矩形、三角形、圆形、抛物线形、梯形闸门）；细杆对质点的引力（含分解成分量）；细杆的质心、平面图形的形心，以及"了解即可"的古鲁金定理；函数平均值的物理含义（简短回顾）。
• 大纲要求：数学二大纲要求掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量——平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等，以及函数的平均值。几何量已在第 11 讲（中）讲完，本讲把物理量这一半讲透。
• 考研怎么考：物理应用不如面积、体积出现得频繁，但一旦出现，往往是一道完整的计算题或填空题。真正的难点不在积分本身，而在建坐标、取微元、把"变化的量"写成 $x$ 的函数。另外，形心公式常和旋转体体积、二重积分结合出题。
• 学习策略：每类问题只记一个"微元模板"：做功 = 力 × 小位移；抽水 = 一薄层的重力 × 提升距离；压力 = 压强 × 小窄条面积；引力 = 万有引力公式里的一小段质量（注意分量）；质心 = 力矩之和 ÷ 总质量。

前置知识#

• 微元法与几何应用（面积、体积、弧长、平均值）：见第 11 讲（中）。本讲直接承接那里的"微元法"三步。
• 定积分的计算（换元、分部、对称性、华里士公式）：见第 10 讲（下）。
• 反常积分（例如把电荷"推到无穷远"做的功）：见第 11 讲（上）。
• 中学物理的几个公式：功 $W = Fs$；压强 $p = \rho gh$、压力 = 压强 × 面积；万有引力 $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$；胡克定律 $F = kx$。忘了也没关系，下面用到时会再解释一遍。

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一、微元法回顾：物理版#

大白话#

第 11 讲（中）说过，应用题的总开关是微元法：只盯住一小段 $[x, x+\mathrm{d}x]$，在这一小段上把"变化的量"近似看成"不变的量"，用中学公式算出这一小段的贡献 $\mathrm{d}U$，再从头到尾积分。

物理应用一点不新：中学物理里的公式都是"常量版"（力不变、压强不变、距离不变），只能算简单情形；一旦力、压强、距离随位置变化，就把对象切细，每一小块上仍然套中学公式，最后用积分"加起来"。

打个比方：搬一堆砖上楼，每块砖搬的高度不同。中学算法只能处理"所有砖都搬一样高"；积分的做法是一层一层算：这一层砖的重量 × 这一层要搬的高度，再把所有层加起来。

正式步骤（物理题专用版）#

1. 画图、建坐标：选原点和正方向（例如"水面为原点，$x$ 轴竖直向下表示深度"），写清楚积分变量的范围 $[a,b]$。
2. 取微元：任取 $[x, x+\mathrm{d}x]$，问自己三件事：
   • 这一小块的"量"是多少（长度、面积、体积、质量）？
   • 这一小块上哪个物理量近似不变（力、压强、距离）？
   • 用中学公式写出 $\mathrm{d}U$。
3. 积分：$U = \displaystyle\int_a^b\mathrm{d}U$，代入数值，写上单位。

常量公式 → 微元，一张表看全#

逐行拆解#

• $\rho$ 读作"柔"，表示密度：液体的体密度单位是 $\text{kg/m}^3$；细杆的线密度（每米多少千克）本讲用 $\mu$（读作"缪"）表示，单位 $\text{kg/m}$。
• $g$ 是重力加速度。质量 $m$ 的物体所受重力是 $mg$。
• $G$ 是万有引力常量，题目中一般保留字母。
• $\mathrm{d}m$ 读作"d m"，表示一小段的质量，例如细杆上 $\mathrm{d}m = \mu(x)\,\mathrm{d}x$。

易错点 ⚠️#

• 物理题最常见的错误是坐标没交代清楚，结果"深度""高度""提升距离"混在一起。动笔第一件事永远是：原点在哪、哪个方向是正。
• 微元里每个因子都必须写成积分变量 $x$ 的函数。如果某个量（比如宽度、半径、距离）随 $x$ 变化，要先用几何关系（相似三角形、圆的方程、曲线方程）把它求出来。

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二、变力做功#

大白话#

力不变时，功 = 力 × 位移。可弹簧越拉越费劲，电荷越靠近排斥力越大，力随位置在变。办法：把位移切成很多小段 $\mathrm{d}x$，每一小段上力几乎不变，这一小段的功 $\mathrm{d}W = F(x)\,\mathrm{d}x$，全部加起来。

公式#

物体在力 $F(x)$（方向沿 $x$ 轴）作用下从 $x = a$ 移到 $x = b$，力做的功

$$W = \int_a^bF(x)\,\mathrm{d}x .$$

逐行拆解：$F(x)$ 是"物体位于 $x$ 处时受到的力"；$\mathrm{d}x$ 是一小段位移；积分上下限是起点和终点的位置（不是"起点到终点的距离"）。

1. 弹簧#

胡克定律：弹簧从自然长度伸长（或压缩）$x$ 时，拉它需要的力 $F = kx$，$k$ 叫劲度系数（单位 N/m）。

例 1 一根弹簧伸长 $0.02\ \text{m}$ 需要 $4\ \text{N}$ 的力。现在它已经被拉长了 $0.02\ \text{m}$，再把它拉到伸长 $0.06\ \text{m}$，需要做多少功？

• 第 1 步，求 $k$：$4 = k\times0.02$，$k = 200\ \text{N/m}$。
• 第 2 步，建坐标：$x$ 表示弹簧的伸长量，起点 $x = 0.02$，终点 $x = 0.06$。
• 第 3 步，微元：伸长量在 $[x, x+\mathrm{d}x]$ 时，拉力近似为 $200x$，$\mathrm{d}W = 200x\,\mathrm{d}x$。
• 第 4 步，积分：

$$W = \int_{0.02}^{0.06}200x\,\mathrm{d}x = 100x^2\Big|_{0.02}^{0.06} = 100\times(0.0036 - 0.0004) = 0.32\ \text{J} .$$

注意：下限是 $0.02$ 而不是 0——题目说的是"已经拉长了 0.02 m"之后再拉。很多同学惯性地从 0 积分，会算成 $0.36\ \text{J}$。

2. 电荷斥力（"推到无穷远"）#

例 2 原点处有一个点电荷，它对 $x$ 轴正半轴上与它相距 $r$ 的另一个同号电荷的斥力大小为 $F = \dfrac{kq}{r^2}$（$k$、$q$ 为正常数）。求把这个电荷从 $r = a$ 处沿 $x$ 轴推到 $r = b$ 处（$b>a>0$）时，斥力所做的功；若推到无穷远呢？

• 斥力方向与运动方向相同（都朝远离原点的方向），所以做正功。
• 微元：$\mathrm{d}W = \dfrac{kq}{r^2}\,\mathrm{d}r$。

$$W = \int_a^b\frac{kq}{r^2}\,\mathrm{d}r = kq\left[-\frac1r\right]_a^b = kq\left(\frac1a - \frac1b\right) .$$

• 令 $b\to+\infty$，就是一个反常积分（第 11 讲（上））：$W = \displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{kq}{r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{kq}{a}$，收敛。这正是物理里"电势"的来历。

3. 提升做功：拉绳子、提重物#

大白话：把一根挂着的绳子拉上来，绳子上不同位置的那一小段，被提升的距离不一样——最上面那一小段几乎不用动，最下面那一小段要走完全程。所以不能简单地"总重 × 总长"，要一小段一小段算。

模板：$\mathrm{d}W = (\text{这一小段的质量}\times g)\times(\text{这一小段被提升的距离})$。

例 3 一根长 $10\ \text{m}$、线密度 $2\ \text{kg/m}$ 的绳子从井口垂直挂下（全部悬空）。把整根绳子拉到井口，需要做多少功？（$g = 9.8\ \text{m/s}^2$）

• 第 1 步，建坐标：井口为原点，$x$ 轴竖直向下，$0\le x\le10$。
• 第 2 步，微元：位于 $[x, x+\mathrm{d}x]$ 的一小段绳子，质量 $2\,\mathrm{d}x$，重力 $2g\,\mathrm{d}x$，要被提升 $x$ 米。
• 第 3 步，$\mathrm{d}W = 2g\,x\,\mathrm{d}x$：

$$W = \int_0^{10}2gx\,\mathrm{d}x = g\,x^2\Big|_0^{10} = 100g = 980\ \text{J} .$$

核对：绳子总重 $20g$，它的重心在中点（深 5 m 处），"总重 × 重心提升距离" $= 20g\times5 = 100g$，一致。这个"重心法"后面讲质心时会解释为什么成立。

例 4 用一根线密度 $1\ \text{kg/m}$ 的缆绳，把一个 $50\ \text{kg}$ 的重物从 $20\ \text{m}$ 深的井底匀速提到井口。求总共做的功。（$g = 9.8$）

• 分成两部分：重物 + 缆绳。
• 重物：重力不变，提升 20 m，$W_1 = 50g\times20 = 1000g$（常力，不用积分）。
• 缆绳：同例 3，井口为原点、向下为正，$[x, x+\mathrm{d}x]$ 段质量 $1\cdot\mathrm{d}x$，提升 $x$：

$$W_2 = \int_0^{20}g\,x\,\mathrm{d}x = 200g .$$

• 合计 $W = 1200g = 11760\ \text{J}$。

体会：一道题里常常是"常力部分 + 变力部分"，常力部分直接乘，变力部分才积分。自测练习里还有一道"边提边漏水的桶"，思路相同：先把"位于某高度时的质量"写成函数。

易错点 ⚠️#

• 下限是起点位置，不一定是 0（例 1）。
• 拉绳子时，是"每一小段绳子"的提升距离不同；缆绳拉重物时，重物本身的提升距离是全程，别把它也放进积分里乘 $x$。
• 功的单位是焦耳 J（$1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}$），力的单位是牛顿 N。

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三、抽水做功：各种容器#

大白话#

把一池水抽到池口，不同深度的水要被提升的距离不同。办法：把水切成很多水平薄层。每一薄层：

• 很薄，所以层内的水可以看成"都在同一深度"，提升距离相同；
• 体积 = 这一层的横截面积 × 厚度 $\mathrm{d}x$；
• 重力 = $\rho g\times$ 体积。

于是一薄层的功 = 重力 × 提升距离，再把所有薄层加起来。

图 1：倒圆锥形容器（例 6）：深度 x 处的橙色薄层被整体提升 x 米到上口，dW = 重力 × 提升距离（动画循环播放）

公式（模板）#

以液面上方某处或容器口为参照，$x$ 表示深度（竖直向下为正），深度 $x$ 处容器的横截面积为 $S(x)$，这一层要被提升的距离为 $h(x)$，则

$$W = \int_{\text{水所在的深度范围}}\rho g\,S(x)\,h(x)\,\mathrm{d}x .$$

逐行拆解：

• $S(x)\,\mathrm{d}x$：薄层体积（截面积 × 厚度）。圆柱 $S = \pi r^2$ 是常数；圆锥、半球、抛物面的 $r$ 随深度变，要先求 $r(x)$。
• $\rho g\,S(x)\,\mathrm{d}x$：薄层重力。水的 $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$。
• $h(x)$：提升距离。若抽到容器口，且原点就在容器口，$h(x) = x$；若出水口在容器口上方 $c$ 米，$h(x) = x + c$。
• 积分范围是水所在的深度范围（水没装满时，上限不是从 0 开始）。

例题#

例 5（圆柱、没装满、抽到口上方）一个圆柱形水池，底面半径 $3\ \text{m}$、深 $5\ \text{m}$，池中水深 $4\ \text{m}$。用水泵把水全部抽到池口上方 $1\ \text{m}$ 处的出水管排出，需做多少功？（保留 $\rho g$，再给出数值）

• 第 1 步，建坐标：池口为原点，$x$ 竖直向下。水深 4 m、池深 5 m，所以水面在 $x = 1$ 处，水占据 $1\le x\le5$。
• 第 2 步，薄层：截面积 $S = \pi\cdot3^2 = 9\pi$；提升距离：先升到池口（$x$ 米），再升 1 米到出水管，$h(x) = x + 1$。
• 第 3 步，积分：

$$W = \rho g\int_1^59\pi(x+1)\,\mathrm{d}x = 9\pi\rho g\left[\frac{(x+1)^2}{2}\right]_1^5 = 9\pi\rho g\,(18 - 2) = 144\pi\rho g \approx 4.43\times10^6\ \text{J} .$$

两个坑都在这题里：积分下限是 1 不是 0（水没装满），提升距离是 $x+1$ 不是 $x$（出水口在上方）。

例 6（倒圆锥）一个圆锥形容器顶点朝下，上口半径 $2\ \text{m}$，深 $3\ \text{m}$，装满水。把水全部从上口抽出，需做多少功？

• 第 1 步，建坐标：上口中心为原点，$x$ 竖直向下，$0\le x\le3$。
• 第 2 步，求深度 $x$ 处的半径 $r(x)$：顶点在 $x = 3$，半径从上口的 2 线性缩到顶点的 0。由相似三角形，$\dfrac{r(x)}{2} = \dfrac{3 - x}{3}$，所以 $r(x) = \dfrac{2(3-x)}{3}$。
• 第 3 步，微元：$\mathrm{d}W = \rho g\cdot\pi r^2(x)\,\mathrm{d}x\cdot x = \dfrac{4\pi\rho g}{9}x(3-x)^2\,\mathrm{d}x$。
• 第 4 步，积分：$\displaystyle\int_0^3x(3-x)^2\,\mathrm{d}x = \int_0^3(9x - 6x^2 + x^3)\,\mathrm{d}x = \frac{81}{2} - 54 + \frac{81}{4} = \frac{27}{4}$，

$$W = \frac{4\pi\rho g}{9}\cdot\frac{27}{4} = 3\pi\rho g \approx 9.24\times10^4\ \text{J} .$$

图 1 画的就是这道题：深度 $x$ 处的橙色薄层，被整体提升 $x$ 米到上口。

例 7（半球形容器）一个半球形容器，半径 $R$，装满水。把水全部从上口抽出，需做多少功？

• 建坐标：球心（就在上口中心）为原点，$x$ 竖直向下，$0\le x\le R$。
• 深度 $x$ 处截面是圆，半径满足 $r^2 + x^2 = R^2$，截面积 $\pi(R^2 - x^2)$。
• $\mathrm{d}W = \rho g\,\pi(R^2 - x^2)\,x\,\mathrm{d}x$：

$$W = \pi\rho g\int_0^R(R^2x - x^3)\,\mathrm{d}x = \pi\rho g\left(\frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4}\right) = \frac{\pi\rho gR^4}{4} .$$

例 8（卧式圆柱油罐）一个圆柱形储罐横着放（轴线水平），截面半径 $1\ \text{m}$，长 $4\ \text{m}$，装满密度为 $\rho$ 的液体。把液体全部从罐的最高点抽出，需做多少功？

• 这题的薄层不再是圆片，而是长方形薄板：横着放的圆柱，水平切一刀，截面是长方形。
• 建坐标：以截面圆心为原点，$y$ 轴竖直向上（换个方向练习一下），$-1\le y\le1$。罐顶在 $y = 1$。
• 高度 $y$ 处，截面圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上的弦长 $2\sqrt{1 - y^2}$，长方形薄板面积 $4\times2\sqrt{1 - y^2}$，体积 $8\sqrt{1-y^2}\,\mathrm{d}y$。
• 提升距离：从 $y$ 升到罐顶 $1$，是 $1 - y$。

$$W = \rho g\int_{-1}^18\sqrt{1 - y^2}(1 - y)\,\mathrm{d}y = 8\rho g\left[\int_{-1}^1\sqrt{1 - y^2}\,\mathrm{d}y - \int_{-1}^1y\sqrt{1 - y^2}\,\mathrm{d}y\right] .$$

• 第一个积分是半个单位圆的面积 $\dfrac\pi2$；第二个被积函数是奇函数，对称区间上为 0。所以

$$W = 8\rho g\cdot\frac\pi2 = 4\pi\rho g .$$

• 核对（重心法）：液体总重 $\rho g\cdot\pi\cdot1^2\cdot4 = 4\pi\rho g$，重心在圆心，要升 1 m 到罐顶，"总重 × 重心提升距离" $= 4\pi\rho g$，一致。

易错点 ⚠️#

• 水没装满：积分范围只取有水的部分（例 5）。
• 出水口不在容器口：提升距离要加上额外高度（例 5）。
• 坐标方向选向下时，深度 $x$ 就是提升距离；选向上时（例 8），提升距离是"终点高度 − $y$"。两种都对，但一道题里不能混用。
• 圆锥、半球、抛物面的截面半径随深度变化，要先用相似三角形或曲线方程求 $r(x)$，最容易错的是相似比的方向。
• "重心法"（总重 × 重心提升距离）对整块液体一起移动的情形可以用来核对，但它要求先知道重心位置；不会求重心时，老老实实积分。

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四、液体静压力#

大白话#

潜水越深耳朵越疼，因为水的压强随深度增大：深度 $h$ 处的压强 $p = \rho gh$，而且同一深度各个方向的压强相等。

一块竖直放在水里的闸门，上面浅、下面深，各处压强不同，所以不能直接"压强 × 面积"。办法：水平切成很多窄条。每一条很窄，条上各点深度几乎相同，压强近似不变，这一条的压力 = 压强 × 窄条面积。

图 2：三角形闸门（例 10）：橙色水平窄条越往下越宽、所受压强越大；左侧红色箭头长度表示压强 p = ρgx（动画循环播放）

公式#

竖直平板浸在液体中，以液面为原点、$x$ 轴竖直向下表示深度，平板在深度 $x$ 处的宽度为 $w(x)$，平板占据深度 $a\le x\le b$，则平板一侧所受压力

$$F = \int_a^b\rho g\,x\,w(x)\,\mathrm{d}x .$$

逐行拆解#

• $\rho g\,x$：深度 $x$ 处的压强（单位 Pa，即 $\text{N/m}^2$）。这里的 $x$ 必须是"到液面的深度"。
• $w(x)\,\mathrm{d}x$：窄条面积（宽 × 高）。
• 为什么必须水平切？因为只有水平窄条上各点深度相同；竖着切的话，一条上从浅到深压强都在变，"压强 × 面积"就不成立了。
• 平板顶端若不在液面，下限 $a>0$（例 9）；坐标若从平板底部往上建，要把深度写成"液面高度 − $y$"（例 12）。

例题#

例 9（矩形，顶边在水下）一块矩形闸门竖直放在水中，宽 $2\ \text{m}$、高 $3\ \text{m}$，上边在水面下 $1\ \text{m}$ 处。求闸门一侧受到的水压力。

• 建坐标：水面为原点，$x$ 向下。闸门占据 $1\le x\le4$，宽度恒为 2。

$$F = \rho g\int_1^42x\,\mathrm{d}x = \rho g\,x^2\Big|_1^4 = 15\rho g = 15\times1000\times9.8 = 147000\ \text{N} .$$

例 10（三角形，顶点在水面）一块等腰三角形薄板竖直放在水中，顶点恰在水面上，底边长 $2\ \text{m}$ 水平地位于水下 $3\ \text{m}$ 处。求一侧所受水压力。

• 建坐标：水面为原点，$x$ 向下，$0\le x\le3$。
• 宽度：从顶点的 0 线性增大到底边的 2，相似三角形得 $w(x) = \dfrac{2x}{3}$。

$$F = \rho g\int_0^3x\cdot\frac{2x}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{2\rho g}{3}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^3 = 6\rho g = 58800\ \text{N} .$$

对比：第 11 讲（中）自测第 8 题是同一块三角形板，但顶点朝下、底边在水面，算出来是 $3\rho g$。同一块板，倒过来放压力翻倍——因为现在"宽的部分"沉在深处，压强大的地方面积也大。

例 11（圆形闸门）一块半径 $1\ \text{m}$ 的圆形闸门竖直放在水中，圆心在水下 $2\ \text{m}$ 处。求一侧所受压力。

• 建坐标：水面为原点，$x$ 向下，闸门占据 $1\le x\le3$。
• 深度 $x$ 处，到圆心的竖直距离是 $x - 2$，由圆的方程，宽度 $w(x) = 2\sqrt{1 - (x-2)^2}$。

$$F = \rho g\int_1^3x\cdot2\sqrt{1 - (x-2)^2}\,\mathrm{d}x .$$

• 换元 $t = x - 2$（$t$ 从 $-1$ 到 1），$x = t + 2$：

$$F = \rho g\int_{-1}^1(t + 2)\cdot2\sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t = \rho g\left[\underbrace{\int_{-1}^12t\sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t}_{\text{奇函数，}=0} + 4\underbrace{\int_{-1}^1\sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t}_{\text{半圆面积}=\pi/2}\right] = 2\pi\rho g \approx 6.16\times10^4\ \text{N} .$$

• 一般地，半径 $R$、圆心深 $h$（$h\ge R$）的圆形闸门，$F = \rho g\cdot h\cdot\pi R^2$。也就是"圆心处的压强 × 整块面积"。这不是巧合，第六节讲形心时会说明。

例 12（抛物线形闸门，坐标从底部建）一块闸门的形状是由抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 4$ 围成的区域（单位 m），竖直放在水中，上边 $y = 4$ 恰与水面平齐。求一侧所受压力。

• 这题给的坐标是 $y$ 轴向上、原点在闸门底部。不必重建坐标，直接把"深度"写出来：高度 $y$ 处的深度是 $4 - y$。
• 高度 $y$ 处的宽度：$x^2 = y$，$x = \pm\sqrt y$，宽 $2\sqrt y$。
• $\mathrm{d}F = \rho g(4 - y)\cdot2\sqrt y\,\mathrm{d}y$：

$$F = 2\rho g\int_0^4(4y^{\frac12} - y^{\frac32})\,\mathrm{d}y = 2\rho g\left(4\cdot\frac23\cdot8 - \frac25\cdot32\right) = 2\rho g\left(\frac{64}{3} - \frac{64}{5}\right) = \frac{256}{15}\rho g \approx 1.67\times10^5\ \text{N} .$$

易错点 ⚠️#

• 只能水平切条。
• 压强里的 $x$ 是到液面的深度，不是到平板顶端的距离，也不是题目坐标里的 $y$（例 12 要换成 $4 - y$）。
• 压力是"一侧"的压力；如果两侧都有水，题目会特别说明，要分别算再按方向合成。
• 液体不是水时，$\rho$ 换成该液体的密度。

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五、引力#

大白话#

万有引力公式 $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$ 只适用于两个"质点"（可以看成一个点的物体）。一根细杆对一个质点的引力怎么算？把杆切成很多小段，每一小段 $\mathrm{d}x$ 很短，可以看成质点，质量 $\mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x$。这一小段对质点的引力用公式算，再把所有小段的引力合起来。

关键在"合起来"三个字：力是有方向的（矢量）。只有方向相同的力才能直接相加；方向不同时，要先分解成水平、竖直两个分量，各自积分。

1. 质点在杆的延长线上（方向都相同）#

例 13 一根细杆长 $l$，线密度为常数 $\mu$，质量为 $m$ 的质点位于杆的延长线上，到杆近端的距离为 $a$。求杆对质点的引力。

• 建坐标：质点在原点，杆沿 $x$ 轴放在 $[a, a+l]$ 上。
• 微元：$[x, x+\mathrm{d}x]$ 这一小段质量 $\mu\,\mathrm{d}x$，到质点距离 $x$，引力 $\mathrm{d}F = G\dfrac{m\mu\,\mathrm{d}x}{x^2}$。所有小段的引力都指向杆的方向（$x$ 轴正向），可以直接相加。

$$F = Gm\mu\int_a^{a+l}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = Gm\mu\left(\frac1a - \frac{1}{a+l}\right) = \frac{Gm\mu l}{a(a+l)} .$$

• 记杆的总质量 $M = \mu l$，则 $F = \dfrac{GmM}{a(a+l)}$。对比"把杆看成集中在中点的质点"得到的 $\dfrac{GmM}{(a + l/2)^2}$，两者并不相等——这说明细杆不能随便当成质点，必须积分。

2. 质点在杆的中垂线上（方向不同，要分解）#

图 3：细杆对中垂线上质点的引力（例 14）：对称两小段的水平分量抵消，只剩竖直分量

例 14 一根细杆长 $2l$，线密度为常数 $\mu$，质量为 $m$ 的质点位于杆的中垂线上，到杆的距离为 $a$。求杆对质点的引力。

• 建坐标：杆放在 $x$ 轴的 $[-l, l]$ 上，质点在 $(0, a)$。
• 微元：$[x, x+\mathrm{d}x]$ 这一小段到质点的距离 $r = \sqrt{a^2 + x^2}$，引力大小

$$\mathrm{d}F = G\frac{m\mu\,\mathrm{d}x}{a^2 + x^2} ,$$

方向从质点指向这一小段。

• 分解：这个方向与竖直方向的夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + x^2}}$，$\sin\theta = \dfrac{|x|}{\sqrt{a^2+x^2}}$。所以
  • 竖直分量（指向杆）：$\mathrm{d}F_y = \mathrm{d}F\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \dfrac{Gm\mu a\,\mathrm{d}x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$；
  • 水平分量：$\mathrm{d}F_x = \mathrm{d}F\cdot\dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$，在 $x$ 和 $-x$ 两处大小相等、方向相反（见图 3），对称区间上积分为 0。
• 竖直分量积分（可用三角换元 $x = a\tan t$，或直接用公式 $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2 + x^2}} + C$，求导即可验证）：

$$F_y = Gm\mu a\int_{-l}^l\frac{\mathrm{d}x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = Gm\mu a\cdot\frac{2l}{a^2\sqrt{a^2 + l^2}} = \frac{2Gm\mu l}{a\sqrt{a^2 + l^2}} .$$

• 结论：引力大小 $\dfrac{2Gm\mu l}{a\sqrt{a^2 + l^2}}$，方向垂直指向杆的中点。
• 拓展：令 $l\to+\infty$（无限长直杆），$F\to\dfrac{2Gm\mu}{a}$，与距离成反比，而不是与距离平方成反比。

易错点 ⚠️#

• 不能把各小段引力的大小直接相加，除非它们方向相同（例 13）。方向不同时先分解，再分别积分（例 14）。
• 利用对称性判断哪个分量抵消，可以省一半功夫；但要先确认"对称"——杆和质点的位置都关于同一条直线对称。
• 引力公式里是距离的平方 $r^2 = a^2 + x^2$，分解时又乘一个 $\dfrac{a}{r}$，合起来分母是 $r^3 = (a^2 + x^2)^{3/2}$，指数别写错。

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六、质心与形心#

大白话#

质心就是物体的"平衡点"。拿一根粗细不均的木棍，用一根手指在下面顶着找平衡：手指要往粗的那头偏。数学上，平衡的条件是"左右的力矩相等"，力矩 = 质量 × 到支点的距离。

几个质点的情形中学就有：质量 $m_i$ 位于 $x_i$，质心

$$\bar x = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \cdots + m_nx_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} ,$$

也就是"加权平均位置"，质量越大的点权重越大。

连续的物体，把求和换成积分即可。

1. 细杆的质心#

细杆放在 $[a, b]$ 上，线密度 $\mu(x)$，则一小段质量 $\mathrm{d}m = \mu(x)\,\mathrm{d}x$，

$$\bar x = \frac{\displaystyle\int_a^bx\,\mu(x)\,\mathrm{d}x}{\displaystyle\int_a^b\mu(x)\,\mathrm{d}x} .$$

逐行拆解：$\bar x$ 读作"x 拔"（x bar），表示质心坐标。分母是总质量 $M$；分子叫对原点的静力矩（每一小段"质量 × 位置"加起来）。线密度为常数时，质心就在中点。

例 15 一根细杆放在 $[0, 2]$ 上（单位 m），线密度 $\mu(x) = 1 + x$（单位 kg/m），即越往右越重。求杆的质量和质心。

• 质量：$M = \displaystyle\int_0^2(1 + x)\,\mathrm{d}x = 2 + 2 = 4\ \text{kg}$。
• 静力矩：$\displaystyle\int_0^2x(1 + x)\,\mathrm{d}x = 2 + \frac83 = \frac{14}{3}$。
• 质心：$\bar x = \dfrac{14/3}{4} = \dfrac76\approx1.17\ \text{m}$。

比中点 1 偏右，符合"右边重"的直觉。

2. 平面图形的形心#

形心就是密度均匀的薄板的质心，只由形状决定。

大白话：把图形竖着切成小长条。位于 $x$ 处的小长条，下边界 $g(x)$、上边界 $f(x)$，宽 $\mathrm{d}x$：

• 它的面积是 $[f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x$（相当于"质量"）；
• 它自己的平衡点横坐标是 $x$，纵坐标在长条正中间 $\dfrac{f(x) + g(x)}{2}$。

把"面积 × 位置"加起来，再除以总面积。

公式：由 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f\ge g$）、$x = a$、$x = b$ 围成的图形，面积 $A = \displaystyle\int_a^b[f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x$，形心

$$\bar x = \frac1A\int_a^bx\,[f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x ,\qquad \bar y = \frac1A\int_a^b\frac{f(x) + g(x)}{2}\,[f(x) - g(x)]\,\mathrm{d}x = \frac1A\int_a^b\frac{f^2(x) - g^2(x)}{2}\,\mathrm{d}x .$$

逐行拆解：$\bar y$ 公式里的 $\dfrac{f^2 - g^2}{2}$ 来自"条的中点高度 $\dfrac{f+g}{2}$ × 条的高度 $f - g$"。最常见的特例是 $g = 0$（曲线与 $x$ 轴之间）：$\bar y = \dfrac{1}{A}\displaystyle\int_a^b\frac{f^2(x)}{2}\,\mathrm{d}x$。学了第 13 讲的二重积分后，形心还可以写成 $\bar x = \dfrac1A\iint_Dx\,\mathrm{d}\sigma$，本质相同。

例 16 求由 $y = x^2$、$x$ 轴、$x = 1$ 围成的图形的形心。

• 面积：$A = \displaystyle\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x = \frac13$。
• $\bar x = 3\displaystyle\int_0^1x\cdot x^2\,\mathrm{d}x = 3\cdot\frac14 = \frac34$。
• $\bar y = 3\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{2}\,\mathrm{d}x = 3\cdot\frac1{10} = \frac3{10}$。
• 形心 $\left(\dfrac34, \dfrac3{10}\right)$：偏右、偏下，因为这块图形右边高、整体"矮胖"。

例 17 求半圆盘 $x^2 + y^2\le R^2$，$y\ge0$ 的形心。

• 关于 $y$ 轴对称，所以 $\bar x = 0$（对称图形的形心在对称轴上）。
• 面积 $A = \dfrac{\pi R^2}{2}$，上边界 $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$：

$$\bar y = \frac{2}{\pi R^2}\int_{-R}^R\frac{R^2 - x^2}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{\pi R^2}\cdot\frac{2R^3}{3} = \frac{4R}{3\pi}\approx0.42R .$$

3. 形心的两个"副产品"（了解即可，可用来验算）#

(1) 古鲁金定理（帕普斯定理）：平面图形绕一条不穿过它的直线旋转一周，所得旋转体的体积 = 图形面积 × 形心绕轴转一圈走过的路程：

$$V = 2\pi\bar d\cdot A ,$$

$\bar d$ 是形心到旋转轴的距离。数二不要求证明，了解即可，但拿来核对体积很方便：

• 例 16 的图形绕 $x$ 轴：$V = 2\pi\cdot\dfrac3{10}\cdot\dfrac13 = \dfrac\pi5$，与第 11 讲（中）例 9 圆盘法结果相同；绕 $y$ 轴：$V = 2\pi\cdot\dfrac34\cdot\dfrac13 = \dfrac\pi2$，与第 11 讲（中）例 13 柱壳法结果相同。
• 例 17 的半圆盘绕 $x$ 轴转成球：$V = 2\pi\cdot\dfrac{4R}{3\pi}\cdot\dfrac{\pi R^2}{2} = \dfrac43\pi R^3$，正是球的体积。

(2) 竖直平板的压力 = 形心处的压强 × 面积：$F = \rho g\,\bar h\,A$，$\bar h$ 是形心的深度。核对：

• 例 9 矩形形心深 $1 + 1.5 = 2.5$，面积 6，$F = \rho g\cdot2.5\cdot6 = 15\rho g$ ✓；
• 例 10 三角形形心在中线上距顶点 $\frac23$ 高处，深 2，面积 3，$F = 6\rho g$ ✓；
• 例 11 圆的形心是圆心，$F = \rho g\cdot2\cdot\pi$ ✓。

同样，抽水做功里的"重心法"（例 3、例 8 的核对）也是这个道理：整体提升做的功 = 总重 × 质心提升的距离。考试大题仍要写积分过程，这些结论用来快速验算。

易错点 ⚠️#

• 质心公式别忘了除以总质量（形心别忘了除以面积）。
• $\bar y$ 公式里有 $\dfrac12$：小长条的中点在 $\dfrac{f+g}{2}$ 处，不在 $f$ 处。
• 先看对称性：对称图形的形心在对称轴上，能省一半计算。
• 古鲁金定理要求旋转轴不穿过图形（可以在边界上）。

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七、函数平均值：一句话回顾#

第 11 讲（中）第六节讲过，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值 $\bar f = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$。它在物理里随处可见：

• 变速直线运动的平均速度 = 总位移 ÷ 总时间 $= \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tv(t)\,\mathrm{d}t$。例如 $v(t) = t^2\ (\text{m/s})$，前 3 秒平均速度 $\dfrac13\displaystyle\int_0^3t^2\,\mathrm{d}t = 3\ \text{m/s}$。
• 细杆的平均线密度 = 总质量 ÷ 长度。例 15 中为 $\dfrac{4}{2} = 2\ \text{kg/m}$。

质心公式其实也是一种"加权平均"：$\bar x$ 是位置 $x$ 以质量为权重的平均值。

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八、单位与 $\rho g$ 取值约定#

• 一律用国际单位：长度 m，质量 kg，时间 s；力 N，功 J，压强 Pa（$\text{N/m}^2$）。题目若给 cm、L、吨，先换算。
• 水的密度 $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$。重力加速度 $g$ 以题目给的为准，常见 $9.8\ \text{m/s}^2$；题目没有给数值时，答案可以保留 $\rho$、$g$（如"$3\pi\rho g$"），这样最不容易被扣分。
• 万有引力常量 $G$ 一般保留字母。
• 线密度 $\mu$（kg/m）与体密度 $\rho$（kg/m³）别混：细杆一小段质量 $\mu\,\mathrm{d}x$，液体一薄层质量 $\rho\cdot S(x)\,\mathrm{d}x$。
• 结果先写成"$\rho g$ 的倍数"，最后一步再代数值，既方便检查也不容易算错。

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九、常见疑问#

问：怎么判断该切成什么样的微元？

答：问自己"哪个量在变"。抽水题里变的是提升距离（随深度变），所以按深度切成水平薄层；压力题里变的是压强（随深度变），所以按深度切成水平窄条；引力题里变的是距离和方向，所以沿杆切成小段。原则是：切完以后，每一小块上那个变化的量要能"近似看成不变"。

问：坐标轴向上还是向下好？

答：都可以。压力、抽水题选水面（或容器口）为原点、向下为正最省事，因为深度 = $x$。若题目已经给了向上的坐标（如例 12 的抛物线），就沿用题目的坐标，把深度写成"液面高度 − $y$"。

问：引力题一定要分解吗？

答：只要各小段的引力方向不全相同，就必须分解。考研常见的是"质点在延长线上"（方向相同，不用分解）和"质点在中垂线上 / 圆弧中心"（用对称性消掉一个分量）。

问：质心、形心和"重心"是一回事吗？

答：在地面附近、重力场均匀时，重心就是质心；形心是密度均匀时的质心。考研题里三者经常混用，按题意计算即可。

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公式/结论速记卡#

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自测练习#

1. 一根弹簧伸长 $0.1\ \text{m}$ 需要 $5\ \text{N}$ 的力。把它从伸长 $0.1\ \text{m}$ 拉到伸长 $0.3\ \text{m}$，需做多少功？

答案与提示

$k = \dfrac{5}{0.1} = 50\ \text{N/m}$。下限是 0.1，不是 0：

$$W = \int_{0.1}^{0.3}50x\,\mathrm{d}x = 25(0.09 - 0.01) = 2\ \text{J}$$

2. 一只装水的桶（桶加水共 $20\ \text{kg}$）从井底被匀速提升 $10\ \text{m}$ 到井口。提升过程中水从桶底小孔均匀漏出，到井口时桶加水只剩 $10\ \text{kg}$。不计绳子重量，求提升过程中做的功（$g = 9.8\ \text{m/s}^2$）。

答案与提示

以井底为原点、$y$ 向上。匀速提升且均匀漏水，所以质量随高度线性减少：$m(y) = 20 - y$（$y$ 从 0 到 10 时，质量从 20 降到 10）。提升 $\mathrm{d}y$ 做功 $\mathrm{d}W = m(y)g\,\mathrm{d}y$：

$$W = \int_0^{10}(20 - y)g\,\mathrm{d}y = (200 - 50)g = 150g = 1470\ \text{J}$$

注意这里"变的是力（重量）"，提升距离就是 $\mathrm{d}y$ 本身，属于变力做功。

3. 一个容器由曲线 $y = x^2$（$0\le y\le4$，单位 m）绕 $y$ 轴旋转而成，装满水。把水全部从容器顶部（$y = 4$ 处）抽出，需做多少功？（结果用 $\rho g$ 表示）

答案与提示

用题目坐标，$y$ 向上。高度 $y$ 处截面是圆，半径 $x = \sqrt y$，截面积 $\pi y$；提升距离 $4 - y$：

$$W = \rho g\int_0^4\pi y(4 - y)\,\mathrm{d}y = \pi\rho g\left(32 - \frac{64}{3}\right) = \frac{32\pi}{3}\rho g\ \ (\approx3.28\times10^5\ \text{J})$$

4. 一块等腰梯形闸门竖直放在水中，上底长 $6\ \text{m}$ 与水面平齐，下底长 $2\ \text{m}$，高 $4\ \text{m}$。求一侧所受水压力（结果用 $\rho g$ 表示）。

答案与提示

水面为原点、$x$ 向下。宽度从 6 线性减到 2：$w(x) = 6 - x$（检验：$x = 0$ 时 6，$x = 4$ 时 2）。

$$F = \rho g\int_0^4x(6 - x)\,\mathrm{d}x = \rho g\left(48 - \frac{64}{3}\right) = \frac{80}{3}\rho g\ \ (\approx2.61\times10^5\ \text{N})$$

5.（略提高）一块半圆形薄板竖直放在水中，直径水平地在下方，圆弧朝上，圆弧最高点恰好与水面相切。半圆半径为 $R$。求一侧所受水压力，并用"形心深度 × 面积"验算。

答案与提示

水面为原点、$x$ 向下。圆心（直径中点）在深 $R$ 处，深度 $x$（$0\le x\le R$）处到圆心的竖直距离 $R - x$，宽度 $2\sqrt{R^2 - (R - x)^2}$：

$$F = \rho g\int_0^Rx\cdot2\sqrt{R^2 - (R-x)^2}\,\mathrm{d}x = \left(\frac\pi2 - \frac23\right)\rho gR^3$$

（换元 $t = R - x$ 后拆成 $R\int_0^R2\sqrt{R^2 - t^2}\,\mathrm{d}t - \int_0^R2t\sqrt{R^2 - t^2}\,\mathrm{d}t = \frac{\pi R^3}{2} - \frac{2R^3}{3}$。）

验算：半圆形心距直径 $\frac{4R}{3\pi}$，所以形心深度 $R - \frac{4R}{3\pi}$，面积 $\frac{\pi R^2}{2}$，$\rho g\left(R - \frac{4R}{3\pi}\right)\frac{\pi R^2}{2} = \left(\frac\pi2 - \frac23\right)\rho gR^3$ ✓。

6. 一根半径为 $R$ 的半圆形细环，线密度为常数 $\mu$，质量为 $m$ 的质点放在圆心。求细环对质点的引力。

答案与提示

圆心为原点，半圆环在上半平面，用角度 $\theta\in[0,\pi]$ 表示位置。一小段弧长 $R\,\mathrm{d}\theta$，质量 $\mu R\,\mathrm{d}\theta$，到圆心距离都是 $R$：$\mathrm{d}F = \dfrac{Gm\mu R\,\mathrm{d}\theta}{R^2}$。

水平分量 $\int_0^\pi\frac{Gm\mu}{R}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0$（对称抵消）；竖直分量

$$F_y = \frac{Gm\mu}{R}\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{2Gm\mu}{R}$$

引力大小 $\dfrac{2Gm\mu}{R}$，方向指向半圆环的中点（竖直向上）。

7.（略提高）细杆放在 $x$ 轴的 $[0, l]$ 上，线密度为常数 $\mu$，质量为 $m$ 的质点位于 $(0, a)$（在杆一端的正上方）。求引力的水平分量与竖直分量。

答案与提示

$[x, x+\mathrm{d}x]$ 段到质点距离 $\sqrt{a^2 + x^2}$，$\mathrm{d}F = \dfrac{Gm\mu\,\mathrm{d}x}{a^2 + x^2}$。这次没有对称性，两个分量都要算：

$$F_x = Gm\mu\int_0^l\frac{x\,\mathrm{d}x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = Gm\mu\left(\frac1a - \frac{1}{\sqrt{a^2 + l^2}}\right),\qquad F_y = Gm\mu a\int_0^l\frac{\mathrm{d}x}{(a^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{Gm\mu l}{a\sqrt{a^2 + l^2}}$$

$F_x$ 指向 $x$ 轴正向，$F_y$ 指向杆（向下）。

8. (a) 细杆放在 $[0, L]$ 上，线密度 $\mu(x) = x$，求质心。(b) 求 $y = \sin x$（$0\le x\le\pi$）与 $x$ 轴围成的图形的形心，并用古鲁金定理算出它绕 $x$ 轴旋转的体积。

答案与提示

(a) $\bar x = \dfrac{\int_0^Lx\cdot x\,\mathrm{d}x}{\int_0^Lx\,\mathrm{d}x} = \dfrac{L^3/3}{L^2/2} = \dfrac{2L}{3}$。

(b) 面积 $A = \int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = 2$。图形关于 $x = \frac\pi2$ 对称，$\bar x = \frac\pi2$。

$$\bar y = \frac12\int_0^\pi\frac{\sin^2x}{2}\,\mathrm{d}x = \frac12\cdot\frac\pi4 = \frac\pi8$$

古鲁金定理：$V = 2\pi\cdot\frac\pi8\cdot2 = \frac{\pi^2}{2}$，与第 11 讲（中）例 10 圆盘法结果一致。

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下一讲预告#

第 12 讲（一）「多元函数微分学」：从一个自变量走向两个自变量，认识偏导数和全微分。

👉 点击进入下一讲：第12讲（一）｜多元函数微分学：二元函数、极限与偏导数