考研数学二·零基础讲义 第06讲（下）｜参数方程、反函数、高阶导数与分段点求导

考研数学二·零基础讲义 · 第 06 讲（下）｜参数方程、反函数、高阶导数与分段点求导

学完这一篇，你能求参数方程所确定函数的一阶、二阶导数，会求反函数的一阶、二阶导数，能写出常见函数的 $n$ 阶导数并会用莱布尼茨公式，还能用定义正确处理分段函数在分段点的导数。预计用时：3～4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 参数方程求导：一阶、二阶导数公式。大纲要求：会求参数方程所确定函数的一阶、二阶导数。二阶导是高频易错点，也是后面求曲率（第 08 讲下）的基础。
• 反函数求导：导数取倒数；反函数的二阶导。大纲要求：会求反函数的导数。
• 高阶导数：常见函数的 $n$ 阶导公式、拆项技巧、莱布尼茨公式。大纲要求：了解高阶导数概念，会求简单函数的高阶导数。
• 分段函数在分段点求导：老老实实用定义。选择题、填空题的常客，大题中判断"是否可导"也离不开它。

前置知识#

• 复合函数求导、隐函数求导（见第 06 讲上）。
• 导数定义、左右导数、可导与连续的关系（见第 05 讲）。
• 二项式定理、组合数 $C_n^k$、阶乘（见第 01 讲）。
• 无穷小乘有界量仍是无穷小（见第 03 讲）。

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一、参数方程求导#

1.1 大白话#

有些曲线用"时间 $t$"来描述更自然：一只蚂蚁在纸上爬，第 $t$ 秒时它在 $\big(x(t),\,y(t)\big)$。这就是参数方程，$t$ 叫参数。

我们想知道曲线的斜率 $\dfrac{dy}{dx}$。思路：在一小段时间里，$y$ 变了多少，$x$ 变了多少，一除就是斜率——$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$。比如 1 秒内蚂蚁向右走 2 厘米、向上走 6 厘米，那它走的路线斜率就是 $6\div2=3$。

1.2 公式#

设 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}$，$\varphi,\psi$ 可导且 $\varphi'(t)\ne0$，则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

二阶导数：把一阶导数（它是 $t$ 的函数）再当成新的"$y$"，重复一次上面的公式：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\varphi'(t)} =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$$

1.3 逐行拆解#

• $\varphi$ 读作"fai"，$\psi$ 读作"普赛"，就是两个函数名字。
• $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 读作"d 二 y d x 方"，表示 $y$ 对 $x$ 的二阶导数，即 $y''$。
• 二阶导的分母是 $\varphi'(t)$，不是 $\varphi''(t)$，也不是什么都不除。为什么？因为一阶导 $\dfrac{dy}{dx}$ 是 $t$ 的函数，对 $t$ 求导后得到的是"对 $t$ 的变化率"，要变成"对 $x$ 的变化率"还得再除以 $\dfrac{dx}{dt}$。这和第一次求导的道理一模一样。
• 那个长公式不必死背，考场上按"对 $t$ 求导，再除以 $x'(t)$"两步做最稳。
• 为什么要求 $\varphi'(t)\ne0$？分母不能为 0；几何上 $\varphi'(t)=0$ 而 $\psi'(t)\neq0$ 时切线是竖直的，斜率不存在。

1.4 例题#

例 1 $\begin{cases}x=t^2\\ y=t^3\end{cases}$，求 $\dfrac{dy}{dx}$、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}\quad(t\ne0)$$

再对 $t$ 求导得 $\dfrac32$，除以 $x'(t)=2t$：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3/2}{2t}=\frac{3}{4t}$$

例 2（摆线） $\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{cases}$（$a>0$），求一阶、二阶导数，以及 $t=\dfrac{\pi}{2}$ 处的切线。

摆线：一个半径为 $a$ 的轮子沿直线滚动，轮边上一点画出的轨迹。考研里出现频率很高。

一阶：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$$

对 $t$ 求导（商的法则）：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^2}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^2}=-\frac{1}{1-\cos t}$$

（分子展开为 $\cos t-\cos^2t-\sin^2t=\cos t-1$。）再除以 $x'(t)=a(1-\cos t)$：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2}$$

$t=\dfrac\pi2$ 时：点为 $\left(a\left(\dfrac\pi2-1\right),\,a\right)$，斜率 $\dfrac{1}{1-0}=1$，切线

$$y-a=x-a\left(\frac\pi2-1\right),\quad\text{即}\quad y=x+a\left(2-\frac{\pi}{2}\right)$$

图 1：摆线是怎么来的：轮子沿 x 轴滚动，轮边上的红点画出蓝色曲线；绿色虚线是例 2 求出的 $t=\dfrac{\pi}{2}$ 处切线 $y=x+a\left(2-\dfrac{\pi}{2}\right)$（图中 a = 1）（动画循环播放）

例 3（星形线） $\begin{cases}x=\cos^3t\\ y=\sin^3t\end{cases}$，求 $\dfrac{dy}{dx}$ 与 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

$x'(t)=3\cos^2t\cdot(-\sin t)=-3\cos^2t\sin t$，$y'(t)=3\sin^2t\cos t$。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sin^2t\cos t}{-3\cos^2t\sin t}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t$$

对 $t$ 求导：$(-\tan t)'=-\sec^2t=-\dfrac{1}{\cos^2t}$。再除以 $x'(t)$：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-\frac{1}{\cos^2t}}{-3\cos^2t\sin t}=\frac{1}{3\sin t\cos^4t}$$

例 4（法线） 求例 1 的曲线在 $t=1$ 对应点处的切线和法线。

$t=1$ 时点为 $(1,1)$，切线斜率 $\dfrac{3}{2}$。

• 切线：$y-1=\dfrac32(x-1)$；
• 法线与切线垂直，斜率为 $-\dfrac{1}{3/2}=-\dfrac23$：$y-1=-\dfrac23(x-1)$。

1.5 补充：切线竖直与参数方程的"看图"#

参数方程描述的曲线，未必能写成一个 $y=f(x)$。比如圆 $x=\cos t,\ y=\sin t$，一个 $x$ 对应上下两个 $y$。但这不妨碍我们求每一点的切线斜率——只要那一点 $x'(t)\neq0$。

• 当 $x'(t_0)=0$ 而 $y'(t_0)\neq0$ 时，切线竖直，斜率不存在，切线方程直接写 $x=x(t_0)$。例如圆在 $t=0$ 对应点 $(1,0)$，$x'(0)=-\sin0=0$，$y'(0)=\cos0=1$，切线是 $x=1$。
• 当 $x'(t_0)$、$y'(t_0)$ 同时为 0 时，曲线在这里可能有"尖点"（比如摆线落地的那一点 $t=2\pi$），需要单独分析，考试中较少出现。

一个帮助理解的物理图像：把 $t$ 想成时间，$\big(x'(t),y'(t)\big)$ 就是蚂蚁的"速度"，水平速度和竖直速度。切线方向就是速度方向，斜率是竖直速度除以水平速度。水平速度为 0、竖直速度不为 0，蚂蚁正在竖直爬，切线当然是竖直的。

1.6 易错点 ⚠️#

• 二阶导最常见错误：直接把 $\dfrac{dy}{dx}$ 对 $t$ 求导就当答案，忘了再除以 $x'(t)$。例 1 若写成 $\dfrac32$ 就错了。
• 也有人写成 $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$ ✗。二阶导不是两个二阶导相除。
• 求切线时，切点坐标要用 $t$ 值代入 $x(t)$、$y(t)$ 算出来，别把 $t$ 当成 $x$。

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二、反函数求导#

2.1 大白话#

$y=f(x)$ 把 $x$ 变成 $y$；反函数 $x=f^{-1}(y)$ 把 $y$ 变回 $x$。

导数是"$y$ 随 $x$ 变化的快慢"。反过来看，"$x$ 随 $y$ 变化的快慢"自然就是它的倒数：$x$ 走 1 步 $y$ 走 3 步，那 $y$ 走 1 步 $x$ 就走 $\dfrac13$ 步。

几何上：函数和反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称，对称后斜率变成倒数。

图 2：反函数求导的几何意义：$y=e^x$ 在 $(1,e)$ 处斜率为 $e$，关于 $y=x$ 对称到 $y=\ln x$ 上的点 $(e,1)$，斜率变成 $\dfrac1e$

2.2 公式#

设 $y=f(x)$ 在某区间单调、可导且 $f'(x)\neq0$，则其反函数 $x=\varphi(y)$ 可导，且

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \quad\text{即}\quad \varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$$

反函数的二阶导（数二常考的小结论）：

$$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$

2.3 逐行拆解#

• $f^{-1}$ 读作"f 逆"，是反函数记号，不是 $\dfrac1f$。
• "单调"保证反函数存在（一个 $y$ 只对应一个 $x$）。
• 二阶导的推导：$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y'}$ 是 $x$ 的函数，要对 $y$ 求导，就先对 $x$ 求导再乘 $\dfrac{dx}{dy}$（链式法则）：

$$\frac{d^2x}{dy^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y'}\right)\cdot\frac{dx}{dy}=-\frac{y''}{(y')^2}\cdot\frac{1}{y'}=-\frac{y''}{(y')^3}$$

• 这和参数方程的思路完全一样：把 $x$ 看作参数，"对 $x$ 求导再除以 $y'$"。

2.4 例题#

例 5 用反函数求导证明 $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

$y=\arcsin x$ 等价于 $x=\sin y$，$y\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$。则 $\dfrac{dx}{dy}=\cos y>0$，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

（$\cos y>0$，所以开方取正号。）同理可证 $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$：$x=\tan y$，$\dfrac{dx}{dy}=\sec^2y=1+\tan^2y=1+x^2$。

例 6 设 $f(x)=x^3+x$，求其反函数在 $y=2$ 处的导数 $(f^{-1})'(2)$。

先找 $y=2$ 对应的 $x$：$x^3+x=2$，观察得 $x=1$（$f'(x)=3x^2+1>0$，$f$ 单调增，只有这一个）。

$$(f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3+1}=\frac14$$

例 7 设 $y=x+e^x$，$x=x(y)$ 是它的反函数，求 $\dfrac{dx}{dy}$ 与 $\dfrac{d^2x}{dy^2}$ 在 $y=1$ 处的值。

$y=1$ 对应 $x+e^x=1$，得 $x=0$（单调增，唯一）。

$y'=1+e^x$，$y''=e^x$。在 $x=0$：$y'=2$，$y''=1$。

$$\frac{dx}{dy}\Big|_{y=1}=\frac12,\qquad \frac{d^2x}{dy^2}\Big|_{y=1}=-\frac{1}{2^3}=-\frac18$$

2.6 反函数与参数方程其实是一回事#

把 $y=f(x)$ 看成参数方程 $\begin{cases}x=x\\ y=f(x)\end{cases}$ 不新鲜；反过来，反函数 $x=\varphi(y)$ 也可以看成以 $x$ 为参数的参数方程：$\begin{cases}y=f(x)\\ x=x\end{cases}$，现在要求的是"$x$ 对 $y$ 的导数"。套用参数方程的公式，$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dx/dx}{dy/dx}=\dfrac{1}{y'}$；二阶导"对参数求导再除以 $\dfrac{dy}{dx}$"，正好就是 $-\dfrac{y''}{(y')^3}$。

所以你只需真正弄懂参数方程求导这一个思路，反函数的一阶、二阶导数公式都能现场推出来，不用额外背诵。数学里很多公式都是这样"一通百通"的，学的时候多问一句"它和之前哪个东西是一回事"，记忆负担会小很多。

2.7 易错点 ⚠️#

• 代值时要代对应的 $x$。题目给 $y=2$，你得先求出 $x=1$，再代入 $f'(x)$。写成 $\dfrac{1}{f'(2)}$ 是典型错误。
• 反函数二阶导不是 $\dfrac{1}{y''}$。

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三、高阶导数#

3.1 大白话#

导数的导数叫二阶导数，再求一次叫三阶导数……一直求 $n$ 次叫 $n$ 阶导数，记作 $y^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$（括号里的 $n$ 读作"n 阶"，和 $n$ 次方区分开）。四阶以上一般都用括号写法，比如 $y^{(4)}$。

物理上，位移的一阶导是速度，二阶导是加速度。

求 $n$ 阶导的三条路：

1. 找规律：先求 1、2、3 阶，看出规律写出 $n$ 阶；
2. 拆成已知公式：把函数拆（部分分式、降幂、积化和差），每块套公式；
3. 莱布尼茨公式：乘积的 $n$ 阶导。

3.2 常见函数的 $n$ 阶导公式（必背）#

$$(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax}$$ $$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right),\qquad (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$$ $$\left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n\,n!}{(x+a)^{n+1}}$$ $$[\ln(1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}\quad(n\ge1)$$ $$(x^m)^{(n)}=m(m-1)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n}\quad(n\le m\text{，}m\text{ 为正整数；}n>m\text{ 时为 }0)$$

3.3 逐行拆解#

• $n!$ 读作"n 的阶乘"，$n!=1\times2\times\cdots\times n$，规定 $0!=1$。
• $\sin x$ 每求一次导，相当于"往前推 $\dfrac\pi2$"：$(\sin x)'=\cos x=\sin\left(x+\dfrac\pi2\right)$。所以求 $n$ 次就是加 $\dfrac{n\pi}{2}$。
• $(-1)^n$ 表示正负号交替：$\dfrac{1}{x}$ 的导数是 $-\dfrac{1}{x^2}$，再求是 $\dfrac{2}{x^3}$，再求是 $-\dfrac{6}{x^4}$……符号一正一负，系数 $1,2,6,\ldots$ 正是阶乘。
• 推广：$[\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin\left(ax+b+\dfrac{n\pi}2\right)$（每次多乘一个 $a$）；$\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!\,a^n}{(ax+b)^{n+1}}$。
• 特别地 $\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^{(n)}=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$，$[\ln(1-x)]^{(n)}=-\dfrac{(n-1)!}{(1-x)^n}$（里层导数 $-1$ 每次乘进来，把 $(-1)^n$ 抵消了）。

3.4 例题：找规律与拆项#

例 8（找规律） 求 $y=xe^x$ 的 $n$ 阶导数。

$$y'=e^x+xe^x=(x+1)e^x,\quad y''=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x,\quad y'''=(x+3)e^x$$

规律：每求一次，括号里加 1。所以 $y^{(n)}=(x+n)e^x$。

例 9（部分分式） 求 $y=\dfrac{1}{x^2-1}$ 的 $n$ 阶导数。

先拆项（见第 01 讲的分式拆分）：

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$$

（验证：右边通分得 $\dfrac12\cdot\dfrac{(x+1)-(x-1)}{x^2-1}=\dfrac{1}{x^2-1}$ ✓。）套公式：

$$y^{(n)}=\frac{(-1)^n n!}{2}\left[\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right]$$

例 10（三角降幂/二倍角） 求 $y=\sin x\cos x$ 的 $n$ 阶导数。

$y=\dfrac12\sin2x$，

$$y^{(n)}=\frac12\cdot2^n\sin\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)=2^{n-1}\sin\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)$$

例 11（对数拆开） 求 $y=\ln(1-x^2)$ 的 $n$ 阶导数（$|x|<1$）。

$y=\ln(1-x)+\ln(1+x)$，

$$y^{(n)}=-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}+\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$$

3.5 莱布尼茨公式（乘积的 $n$ 阶导）#

两个函数相乘求 $n$ 阶导，规律和二项式展开 $(a+b)^n$ 一模一样：

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)} =u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v''+\cdots+uv^{(n)}$$

• $\sum$ 读作"西格玛"，表示求和；$C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数，$C_n^1=n$，$C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$。
• 对比 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(uv)''=u''v+2u'v'+uv''$，系数都是 $1,2,1$。
• 最好用的场景：其中一个因子是低次多项式（如 $x^2$），它求三次导就变成 0，于是公式只剩前几项。把多项式放在 $v$ 的位置（求导次数从 0 开始增加的那个）。

例 12 求 $y=x^2e^{2x}$ 的 $n$ 阶导数，以及 $y^{(20)}(0)$。

令 $u=e^{2x}$，$v=x^2$。$v'=2x$，$v''=2$，$v'''=0$（之后全是 0）。$u^{(m)}=2^me^{2x}$。由莱布尼茨公式只剩三项：

$$y^{(n)}=2^ne^{2x}\cdot x^2+n\cdot2^{n-1}e^{2x}\cdot2x+\frac{n(n-1)}{2}\cdot2^{n-2}e^{2x}\cdot2$$

提取公因式 $2^{n-2}e^{2x}$（第一项 $2^n=2^{n-2}\cdot4$，第二项 $n\cdot2^{n-1}\cdot2x=2^{n-2}\cdot4nx$，第三项 $=2^{n-2}\cdot n(n-1)$）：

$$y^{(n)}=2^{n-2}e^{2x}\big[4x^2+4nx+n(n-1)\big]$$

代入 $n=20$，$x=0$：

$$y^{(20)}(0)=2^{18}\times20\times19=99614720$$

例 13 求 $y=x^2\sin x$ 的 $n$ 阶导数，并求 $y^{(11)}(0)$。

令 $u=\sin x$，$v=x^2$：

$$y^{(n)}=x^2\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)+2nx\sin\left(x+\frac{(n-1)\pi}{2}\right)+n(n-1)\sin\left(x+\frac{(n-2)\pi}{2}\right)$$

（第三项系数：$C_n^2\cdot v''=\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot2=n(n-1)$。）

$x=0$ 时前两项为 0：

$$y^{(11)}(0)=11\times10\times\sin\frac{9\pi}{2}=110\times1=110$$

（$\dfrac{9\pi}{2}=4\pi+\dfrac\pi2$，$\sin\dfrac{9\pi}{2}=1$。）

3.6 为什么莱布尼茨公式长得像二项式（看懂即可）#

先算两阶：

$$(uv)'=u'v+uv',\qquad (uv)''=(u'v)'+(uv')'=u''v+u'v'+u'v'+uv''=u''v+2u'v'+uv''$$

每求一次导，每一项都"分裂"成两项：一项把导数给 $u$，一项把导数给 $v$。这和展开 $(a+b)^n$ 时每乘一个 $(a+b)$，每一项都分裂成"多一个 $a$"和"多一个 $b$"完全一样。所以系数就是二项式系数 $C_n^k$。理解了这一点，公式就不用死背了。

3.7 易错点 ⚠️#

• 记号混淆：$y^{(n)}$ 是 $n$ 阶导，$y^n$ 是 $n$ 次方。
• 莱布尼茨公式里组合数别漏，尤其是第三项的 $\dfrac{n(n-1)}{2}$。
• 求高阶导先想"能不能拆"（拆成部分分式、积化和差、降幂），拆完往往直接套公式，比硬求快很多。
• 公式 $[\ln(1+x)]^{(n)}$ 要求 $n\ge1$，阶乘是 $(n-1)!$ 不是 $n!$。

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四、分段函数在分段点求导：老实用定义#

4.1 大白话#

分段函数在分段点（"接口"）的两边是不同的式子。接口处的导数不能想当然地把两边公式求导后代进去——那样可能出错。最稳的办法是回到导数的定义（见第 05 讲），分别算左导数和右导数，两者存在且相等，才可导。

就像两段铁轨在接头处：先得接上（连续），而且接头处不能有折角（左右斜率相等），火车才能平滑通过（可导）。

4.2 公式#

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ $$f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\qquad f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

$f'(x_0)$ 存在 $\iff$ $f'_-(x_0)$ 与 $f'_+(x_0)$ 都存在且相等。

4.3 逐行拆解#

• $f'_-$ 读作"f 的左导数"，$\Delta x\to0^-$ 表示从左边（负方向）趋于 0。
• $\iff$ 读作"当且仅当"，表示两边互相推出。
• 可导一定连续，不连续一定不可导。所以可以先查连续性，不连续直接判"不可导"。
• 把 $x_0+\Delta x$ 记作 $x$，定义也可写成 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，计算时常用这个形式。

4.4 例题#

例 14 讨论 $f(x)=x|x|$ 在 $x=0$ 处的可导性。

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x|x|-0}{x}=\lim_{x\to0}|x|=0$$

所以 $f'(0)=0$，可导。（对比：$|x|$ 本身在 0 处不可导，乘了个 $x$ 就把尖角"抹平"了。）

例 15 讨论 $f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的连续性与可导性。

连续：$\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0=f(0)$（无穷小乘有界量），连续。

可导：

$$\lim_{x\to0}\frac{x\sin\frac1x-0}{x}=\lim_{x\to0}\sin\frac1x$$

$\sin\dfrac1x$ 在 $-1$ 到 $1$ 之间无限振荡，极限不存在，所以不可导。

例 16 $f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$，求 $f'(0)$，并考察 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续。

用定义：

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x-0}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$$

$x\ne0$ 时用公式：$f'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x$。当 $x\to0$ 时第一项趋于 0，但 $\cos\dfrac1x$ 来回摆，没有极限，所以 $\lim\limits_{x\to0}f'(x)$ 不存在，$f'(x)$ 在 $0$ 处不连续。

例 15、16 放在一起记：$x\sin\frac1x$ 连续不可导；$x^2\sin\frac1x$ 可导但导函数不连续。若你偷懒用"$x\ne0$ 的公式代 $x=0$"，根本代不进去，或得出"不可导"的错误结论。

例 17 设 $f(x)=\begin{cases}e^x,&x<0\\ax+b,&x\ge0\end{cases}$ 在 $x=0$ 可导，求 $a,b$。

第一步，可导必连续：$\lim\limits_{x\to0^-}e^x=1$ 应等于 $f(0)=b$，所以 $b=1$。

第二步，左右导数相等：

$$f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{(ax+1)-1}{x}=a$$

所以 $a=1$。答案 $a=1,\ b=1$。

4.5 判断分段点可导性的完整流程#

1. 查连续：左极限、右极限、函数值三者相等吗？不相等直接判"不可导"。
2. 算左右导数：用定义式 $\lim\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，左边用左边的表达式，右边用右边的表达式，$f(x_0)$ 用规定值。
3. 比较：相等则可导，导数就是这个公共值；不等或有一个不存在，则不可导。
4. 若题目求参数：连续给一个方程，左右导数相等再给一个方程，联立求解。

这个流程看起来啰嗦，但每一步都对应考试中的一个陷阱，照着走就不会出错。

4.6 易错点 ⚠️#

• 只比较两边导函数在接口处的值、不检查连续性。例如若 $b\neq1$，两边"斜率"也可能都等于 1，但函数断开了，根本不可导。
• 定义式中 $f(x_0)$ 要用分段点处规定的值，不是某一侧式子的值。
• 含绝对值的函数先去绝对值写成分段函数，再按本节处理。

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五、综合例题#

例 18（参数方程 + 二阶导） 设 $\begin{cases}x=\arctan t\\ y=\ln(1+t^2)\end{cases}$，求 $\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

思路：标准两步走。先算 $x'(t)$、$y'(t)$，相除得一阶；一阶对 $t$ 求导后再除以 $x'(t)$ 得二阶。

$x'(t)=\dfrac{1}{1+t^2}$，$y'(t)=\dfrac{2t}{1+t^2}$。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1}{1+t^2}}=2t$$

对 $t$ 求导得 $2$，再除以 $x'(t)$：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{\frac{1}{1+t^2}}=2(1+t^2)$$

若忘了"再除以 $x'(t)$"，会得到错误答案 $2$。本题正好可以用来检验：由 $x=\arctan t$ 得 $t=\tan x$，$y=\ln(1+\tan^2x)=\ln\sec^2x=-2\ln\cos x$，直接求导 $y'=2\tan x=2t$，$y''=2\sec^2x=2(1+\tan^2x)=2(1+t^2)$ ✓。

例 19（$n$ 阶导 + 推广公式） 求 $y=\dfrac{1}{2x+1}$ 的 $n$ 阶导数。

思路：这是 $\dfrac{1}{x+a}$ 型的推广，里层 $2x+1$ 每求一次导就多乘一个 $2$。

$$y'=-\frac{2}{(2x+1)^2},\quad y''=\frac{2\cdot2^2}{(2x+1)^3},\quad y'''=-\frac{3!\cdot2^3}{(2x+1)^4}$$

规律：符号交替，系数是 $n!\cdot2^n$，分母指数是 $n+1$：

$$y^{(n)}=\frac{(-1)^n\,n!\,2^n}{(2x+1)^{n+1}}$$

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六、常见疑问答疑#

问 1：参数方程二阶导，为什么不能直接用那个长公式？

答：能用，但不推荐死记。长公式 $\dfrac{\psi''\varphi'-\psi'\varphi''}{\varphi'^3}$ 里分子的顺序、分母的三次方都容易记错；而"对 $t$ 求导、再除以 $x'(t)$"两步法只需要你理解一件事：每对 $x$ 求一次导，都等于"对 $t$ 求导再除以 $x'(t)$"。理解了这一点，三阶导你也能做。

问 2：反函数求导时，结果应该用 $x$ 表示还是用 $y$ 表示？

答：严格来说反函数是 $y$ 的函数，导数应该用 $y$ 表示，比如例 5 最后用 $x=\sin y$ 把 $\cos y$ 换成了 $\sqrt{1-x^2}$（那里 $x$、$y$ 的角色已经互换回来了）。但考试中多数题是"求某点处的值"，只要先找对对应的点，用哪个字母表示都不影响答案。

问 3：求 $n$ 阶导时找到的规律，需要严格证明吗？

答：考研填空、选择题不需要；解答题一般也只要求写出前几阶、指出规律、写出结论。严格证明要用数学归纳法，了解即可。不过写规律前，至少算到三阶，并用 $n=1$ 代回结论检验，可以避免绝大多数错误。

问 4：莱布尼茨公式中，哪个函数放在 $u$，哪个放在 $v$？

答：理论上无所谓，公式对称。实战中把求几次导就变成 0 的那个（多项式）放在 $v$ 的位置，这样公式从第一项开始写，写到 $v$ 变成 0 为止，项数最少、最不容易漏。

问 5：分段函数在分段点处，什么时候可以"两边导函数取极限"来判断？

答：有一个定理保证：若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f'(x)$、$\lim\limits_{x\to x_0^+}f'(x)$ 都存在且相等，则 $f'(x_0)$ 存在并等于这个值。但它只是"充分条件"：例 16 中导函数极限不存在，$f'(0)$ 却存在。所以最稳妥的做法永远是用定义，导函数极限法只作为快速验算。

学习建议：本篇四块内容彼此独立，可以分两次学完：参数方程 + 反函数一次，高阶导数 + 分段点一次。每块学完立刻做对应的自测题，比全部看完再做效果好得多。

公式/结论速记卡#

类型	核心做法 / 公式
参数方程一阶	$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$
参数方程二阶	$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{x'(t)}$（再除以 $x'(t)$）
反函数	$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac1{y'}$，$\dfrac{d^2x}{dy^2}=-\dfrac{y''}{(y')^3}$；代值先找对应 $x$
$n$ 阶导	$(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax}$；$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2)$；$(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)$
	$\left(\frac1{x+a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}$；$[\ln(1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$
拆项技巧	部分分式、降幂 $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$、二倍角、对数拆开
莱布尼茨	$(uv)^{(n)}=\sum C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$，多项式放 $v$ 位置
常用结果	$(xe^x)^{(n)}=(x+n)e^x$
分段点	用定义算左右导数；先查连续
经典函数	$x\lvert x\rvert$ 在 0 可导；$x\sin\frac1x$ 连续不可导；$x^2\sin\frac1x$ 可导、导函数不连续

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自测练习#

1. 设 $\begin{cases}x=\ln(1+t^2)\\ y=t-\arctan t\end{cases}$，求 $\dfrac{dy}{dx}$ 与 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

答案与提示

$x'(t)=\dfrac{2t}{1+t^2}$，$y'(t)=1-\dfrac{1}{1+t^2}=\dfrac{t^2}{1+t^2}$。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{t^2}{2t}=\frac t2$$

对 $t$ 求导得 $\dfrac12$，再除以 $x'(t)$：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1/2}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4t}$$

2. 求摆线 $x=t-\sin t,\ y=1-\cos t$ 在 $t=\dfrac\pi2$ 处的法线方程。

答案与提示

由例 2（取 $a=1$），点 $\left(\dfrac\pi2-1,\,1\right)$，切线斜率 1，法线斜率 $-1$：

$$y-1=-\left(x-\frac\pi2+1\right),\quad\text{即}\quad x+y=\frac\pi2$$

3. 设 $y=x^3+3x$ 的反函数为 $x=x(y)$，求 $\dfrac{dx}{dy}\Big|_{y=4}$。

答案与提示

$x^3+3x=4\Rightarrow x=1$（$y'=3x^2+3>0$ 单调，唯一）。$y'(1)=6$，

$$\frac{dx}{dy}\Big|_{y=4}=\frac16$$

4. 求 $y=\sin^2x$ 的 $n$ 阶导数（$n\ge1$）。

答案与提示

先降幂：$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$。常数求导为 0，$(\cos2x)^{(n)}=2^n\cos\left(2x+\dfrac{n\pi}2\right)$，

$$y^{(n)}=-2^{n-1}\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)$$

检验 $n=1$：$-\cos\left(2x+\dfrac\pi2\right)=\sin2x=2\sin x\cos x$ ✓。

5. 求 $y=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$ 的 $n$ 阶导数。

答案与提示

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}$。

$$y^{(n)}=(-1)^nn!\left[\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right]$$

6. 求 $y=x^2e^{2x}$ 在 $x=0$ 处的 5 阶导数。

答案与提示

由例 12 通式：$y^{(5)}(0)=2^{3}\cdot5\cdot4=160$。

7. 设 $f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le1\\ax+b,&x>1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。

答案与提示

连续：$\lim\limits_{x\to1^+}(ax+b)=a+b=f(1)=1$。

左导数：$f'_-(1)=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$；右导数：$f'_+(1)=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{ax+b-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{a(x-1)}{x-1}=a$（用了 $b=1-a$）。

所以 $a=2,\ b=-1$。

8.（略提高）$f(x)=|x-1|\,(x^2-1)$ 在 $x=1$ 处是否可导？若可导求 $f'(1)$。

答案与提示

$f(1)=0$，

$$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{|x-1|(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}|x-1|(x+1)=0$$

可导，$f'(1)=0$。规律：$|x-a|\cdot g(x)$ 在 $x=a$ 可导 $\iff g(a)=0$（$g$ 在 $a$ 可导时）。

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下一讲预告#

第 07 讲（上）进入导数的"理论心脏"：费马引理与罗尔、拉格朗日、柯西三大中值定理，以及用它们证明不等式和"存在 $\xi$"型命题。