考研数学二·零基础讲义 第06讲（上）｜复合函数、隐函数与对数求导法

考研数学二·零基础讲义 · 第 06 讲（上）｜复合函数、隐函数与对数求导法

学完这一篇，你能对付"套娃函数""藏起来的函数"和"底数指数都带 $x$ 的函数"这三类求导题，包括抽象函数 $f(\square)$ 的复合求导、隐函数的二阶导和切线问题。预计用时：3～4 小时（含练习）。

本讲地图#

• 复合函数求导（链式法则）深入：三层、四层套娃，抽象函数 $f(x^2)$、$f(\sin x)$ 的求导。大纲要求：掌握复合函数求导法则。这是后面一切求导的地基，必须练到不假思索。
• 隐函数求导：方程里 $y$ 解不出来，照样求 $y'$、$y''$，并求切线。大纲要求：会求隐函数的导数。
• 对数求导法：幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 和"一大串乘除开方"的标准武器。
• 考研怎么考：这三类通常不单独成大题，而是嵌在填空、选择、大题的第一步里（比如先求出某点导数，再求切线、极值）。算错一步，整题皆输，所以本篇追求的是又快又准。
• 本讲（下）接着讲参数方程、反函数、高阶导数和分段点求导。

前置知识#

• 导数定义、基本求导公式表、四则运算法则、链式法则的初步用法（见第 05 讲）。本篇默认你已经背熟 $(\sin x)'=\cos x$、$(\ln x)'=\dfrac1x$、$(e^x)'=e^x$、$(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ 这些。
• 复合函数的概念、对数运算法则 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$、$\ln a^b=b\ln a$（见第 01 讲）。
• 切线方程的点斜式（见第 05 讲）。

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一、复合函数求导：剥洋葱#

1.1 大白话#

很多函数是"套娃"：比如 $y=\sin(x^2)$，先把 $x$ 平方，再取正弦。就像剥洋葱：最外层是 $\sin(\ \ )$，里面一层是 $x^2$。

求导时也一层一层来：先对最外层求导（里面的东西原封不动），再乘上里面那层的导数，一直乘到最里面的 $x$ 为止。

打个比方：齿轮 A 带动齿轮 B，B 带动 C。A 转 1 圈 B 转 2 圈，B 转 1 圈 C 转 3 圈，那 A 转 1 圈 C 转 $2\times 3=6$ 圈。"变化率"一层层相乘，这就是链式法则。

图 1："剥洋葱"示意：$y=\sin(x^2)$ 拆成两层，每层各自求导，再把变化率乘起来

1.2 正式公式#

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $g$ 在 $x$ 处可导、$f$ 在对应的 $u=g(x)$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，并且

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \quad\text{即}\quad [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

三层套娃 $y=f(u),\ u=g(v),\ v=h(x)$：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$$

1.3 逐行拆解#

• $\dfrac{dy}{dx}$ 读作"d y d x"，意思是"$y$ 对 $x$ 的导数"，和 $y'$ 是一回事。写成分数样子的好处是：链式法则看起来像"分数约分"，$du$ 上下约掉，很好记（严格说它不是真分数，只是记号设计得巧）。
• $f'(g(x))$：先把 $f$ 求导得到 $f'$，再把 $g(x)$ 整个塞回去。比如 $f(u)=\sin u$，$f'(u)=\cos u$，那么 $f'(g(x))=\cos(x^2)$，而不是 $\cos x$。
• $g'(x)$：里面那一层自己的导数，别忘了乘。

操作口诀：从外往里，每剥一层写一个因子，里面的东西照抄。

怎么判断哪层是"外层"？ 想象你拿计算器算这个函数值：最后按的那个键就是最外层。比如算 $\ln\cos(e^x)$：先算 $e^x$，再按 $\cos$，最后按 $\ln$。所以外层是 $\ln$，中层 $\cos$，内层 $e^x$。

1.4 例题（由浅入深）#

例 1 求 $y=\sin(x^2)$ 的导数。

• 外层：$\sin(\square)$，导数是 $\cos(\square)$，方框里照抄 $x^2$，得 $\cos(x^2)$；
• 里层：$x^2$，导数是 $2x$；
• 相乘：

$$y'=\cos(x^2)\cdot 2x=2x\cos(x^2)$$

例 2 求 $y=(1+x^2)^{10}$ 的导数。

千万别把 $(1+x^2)^{10}$ 展开！外层是 $\square^{10}$，导数 $10\square^9$；里层 $1+x^2$，导数 $2x$。

$$y'=10(1+x^2)^9\cdot 2x=20x(1+x^2)^9$$

例 3 求 $y=\ln\cos(e^x)$ 的导数。

三层洋葱：$\ln(\square)$ → $\cos(\square)$ → $e^x$。

• 第一层 $\ln(\square)$：导数 $\dfrac{1}{\square}=\dfrac{1}{\cos(e^x)}$；
• 第二层 $\cos(\square)$：导数 $-\sin(\square)=-\sin(e^x)$；
• 第三层 $e^x$：导数 $e^x$。

$$y'=\frac{1}{\cos(e^x)}\cdot\big(-\sin(e^x)\big)\cdot e^x=-e^x\tan(e^x)$$

例 4 求 $y=\sqrt{1+\ln^2 x}$ 的导数。（$\ln^2 x$ 表示 $(\ln x)^2$。）

• 外层 $\sqrt{\square}$：导数 $\dfrac{1}{2\sqrt{\square}}$；
• 中层 $1+(\ln x)^2$：导数 $2\ln x\cdot(\ln x)'$，这里又套了一层；
• 最里 $\ln x$：导数 $\dfrac1x$。

$$y'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^2x}}\cdot 2\ln x\cdot\frac1x=\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^2x}}$$

例 5 求 $y=e^{\sin^2 x}$ 的导数。

$$y'=e^{\sin^2x}\cdot 2\sin x\cdot\cos x=\sin 2x\cdot e^{\sin^2x}$$

（用到二倍角公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，见第 01 讲。）

例 6（乘积 + 复合） 求 $y=e^{-x}\cos 2x$ 的导数。

先用乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$，每个因子内部再用链式法则：

• $(e^{-x})'=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$；
• $(\cos 2x)'=-\sin 2x\cdot 2=-2\sin 2x$。

$$y'=-e^{-x}\cos 2x+e^{-x}\cdot(-2\sin 2x)=-e^{-x}(\cos 2x+2\sin 2x)$$

例 7 求 $y=\arcsin\sqrt x$ 的导数（$0<x<1$）。

外层 $\arcsin\square$，导数 $\dfrac{1}{\sqrt{1-\square^2}}$；里层 $\sqrt x$，导数 $\dfrac{1}{2\sqrt x}$。

$$y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt x)^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{2\sqrt x\,\sqrt{1-x}}$$

例 8 求 $y=\arctan\dfrac1x$ 的导数。

$$y'=\frac{1}{1+\left(\frac1x\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{1}{x^2+1}$$

（分子分母同乘 $x^2$ 化简。）有趣的是它和 $(\arctan x)'$ 只差一个负号——这说明 $\arctan x+\arctan\dfrac1x$ 在 $x>0$ 时是常数（等于 $\dfrac\pi2$），第 07 讲会用到这类结论。

例 9 证明 $(\ln|x|)'=\dfrac1x$（$x\ne0$）。

• $x>0$ 时，$\ln|x|=\ln x$，导数 $\dfrac1x$；
• $x<0$ 时，$\ln|x|=\ln(-x)$，按复合函数：$\dfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x$。

两种情况结果相同。这个结论在积分里会反复用到（见第 09 讲）。

1.5 抽象函数的复合求导#

考研特别喜欢用一个没给具体表达式的 $f$ 来考链式法则，看你是否真正理解"里面照抄"。

记号：$f'(x^2)$ 表示"先求导、再把 $x^2$ 塞进去"；$[f(x^2)]'$ 表示"把整个 $f(x^2)$ 对 $x$ 求导"。二者不一样！

$$[f(x^2)]'=f'(x^2)\cdot 2x$$

例 10 设 $f$ 可导，求下列函数的导数：

(1) $y=f(\sin x)+\sin f(x)$；(2) $y=f(e^x)\,e^{f(x)}$。

(1) 两项分别处理：

• $[f(\sin x)]'$：外层 $f$，里层 $\sin x$，得 $f'(\sin x)\cos x$；
• $[\sin f(x)]'$：外层 $\sin$，里层 $f(x)$，得 $\cos f(x)\cdot f'(x)$。

$$y'=f'(\sin x)\cos x+f'(x)\cos f(x)$$

(2) 乘积法则：

$$y'=f'(e^x)e^x\cdot e^{f(x)}+f(e^x)\cdot e^{f(x)}f'(x)=e^{f(x)}\big[e^xf'(e^x)+f'(x)f(e^x)\big]$$

1.6 为什么链式法则成立（看懂即可）#

设 $u=g(x)$，当 $x$ 有一个小改变量 $\Delta x$ 时，$u$ 跟着改变 $\Delta u$，$y$ 又跟着改变 $\Delta y$。于是

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}$$

令 $\Delta x\to0$，因为 $g$ 可导（从而连续），$\Delta u\to0$，右边两个分式分别趋于 $f'(u)$ 和 $g'(x)$，就得到链式法则。（严格证明还要处理 $\Delta u=0$ 的情形，教材里有，考试不要求。）

这个推导告诉我们链式法则的本质：变化是一层一层传递的，每一层把变化放大或缩小若干倍，总的倍数就是各层倍数的乘积。所以它不是一个需要死记的"规则"，而是一个很自然的事实。

1.7 易错点 ⚠️#

• 漏乘里层导数：$(\sin 2x)'=\cos 2x$ ✗，正确是 $2\cos 2x$。这是全书最常见的错误，没有之一。
• 外层求导时把里面"顺手"也改了：$(\cos x^2)'$ 写成 $-\sin x\cdot 2x$ ✗，应是 $-\sin(x^2)\cdot 2x$。
• $\sin^2 x$ 和 $\sin x^2$ 不一样：前者是 $(\sin x)^2$，后者是 $\sin(x^2)$。
• $f'(x^2)$ 与 $[f(x^2)]'$ 不一样，后者多一个因子 $2x$。

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二、隐函数求导#

2.1 大白话#

平时的函数是"显"的：$y=x^2+1$，$y$ 单独在左边，一眼看出 $y$ 怎么算。

但有时候 $x$ 和 $y$ 搅在一个方程里，比如圆 $x^2+y^2=25$，或者 $e^y+xy=e$。后者你根本没法把 $y$ 解成"$y=$ 一串 $x$"。这时 $y$ 仍然是 $x$ 的函数，只是藏起来了，叫隐函数。

办法很朴素：把 $y$ 当成 $x$ 的函数 $y(x)$，方程两边同时对 $x$ 求导。遇到含 $y$ 的项，按复合函数处理（$y$ 是里层），会冒出 $y'$；最后把 $y'$ 解出来。

2.2 正式说法#

设方程 $F(x,y)=0$ 确定了可导函数 $y=y(x)$，则恒等式 $F(x,y(x))\equiv 0$ 两边对 $x$ 求导，得到一个关于 $y'$ 的一次方程，解出 $y'$ 即可。

关键的几个"翻译"：

$$(y^2)'=2y\cdot y',\qquad (e^y)'=e^y\cdot y',\qquad (\ln y)'=\frac{y'}{y},\qquad (xy)'=y+xy',\qquad (\sin y)'=\cos y\cdot y'$$

2.3 逐行拆解#

• $(y^2)'=2yy'$：$y^2$ 是"外层平方、里层 $y(x)$"，外层导数 $2y$，再乘里层导数 $y'$。
• $(xy)'=y+xy'$：这是乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$，$x'=1$，$y$ 的导数是 $y'$。
• "$\equiv$" 读作"恒等于"，表示对所有 $x$ 都成立，所以两边才能求导。
• 隐函数求导的结果里通常同时含 $x$ 和 $y$，这很正常，不需要也往往无法消掉 $y$。

标准三步：① 两边对 $x$ 求导；② 把含 $y'$ 的项移到一边，提公因式；③ 除过去解出 $y'$。若要某点导数，先用原方程求出该点的 $y$。

2.4 例题#

例 11 圆 $x^2+y^2=25$，求 $y'$ 及在点 $(3,4)$ 处的切线方程。

两边对 $x$ 求导：

$$2x+2y\,y'=0$$

解出：

$$y'=-\frac{x}{y}$$

在 $(3,4)$：$y'=-\dfrac34$。切线方程（点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$）：

$$y-4=-\frac34(x-3)$$

图 2：例 11 的图：圆上点 (3,4) 处的切线与半径垂直，斜率 $-\dfrac34$ 正是隐函数求导算出的 $y'=-\dfrac xy$

例 12 设 $y=y(x)$ 由 $e^y+xy=e$ 确定，求 $y'(0)$。

第一步，先求 $x=0$ 时的 $y$：代入得 $e^y=e$，所以 $y(0)=1$。

第二步，两边对 $x$ 求导：

$$e^y\,y'+y+x\,y'=0 \;\Rightarrow\; (e^y+x)\,y'=-y \;\Rightarrow\; y'=-\frac{y}{e^y+x}$$

第三步，代入 $x=0,\ y=1$：

$$y'(0)=-\frac{1}{e}$$

例 13（笛卡儿叶形线） 求曲线 $x^3+y^3=3xy$ 在点 $\left(\dfrac32,\dfrac32\right)$ 处的切线。

先验证点在曲线上：$\dfrac{27}{8}+\dfrac{27}{8}=\dfrac{27}{4}$，$3\cdot\dfrac32\cdot\dfrac32=\dfrac{27}{4}$ ✓。

两边对 $x$ 求导（右边用乘积法则）：

$$3x^2+3y^2y'=3y+3xy'$$

两边除以 3，含 $y'$ 的移到左边：

$$(y^2-x)\,y'=y-x^2 \;\Rightarrow\; y'=\frac{y-x^2}{y^2-x}$$

代入 $x=y=\dfrac32$：分子 $\dfrac32-\dfrac94=-\dfrac34$，分母 $\dfrac94-\dfrac32=\dfrac34$，所以 $y'=-1$。

切线：$y-\dfrac32=-\left(x-\dfrac32\right)$，即 $x+y=3$。

例 14（二阶导） 设 $x^2+y^2=1$，求 $y''$。

由例 11 同理，$y'=-\dfrac{x}{y}$。再对 $x$ 求导（商的法则，注意 $y$ 仍是 $x$ 的函数）：

$$y''=-\frac{1\cdot y-x\cdot y'}{y^2}$$

把 $y'=-\dfrac xy$ 代进去：

$$y''=-\frac{y+\dfrac{x^2}{y}}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{1}{y^3}$$

最后一步用了原方程 $x^2+y^2=1$。

例 15（某点的二阶导） 设 $y=y(x)$ 由 $y=1+xe^y$ 确定，求 $y'(0)$ 与 $y''(0)$。

第一步 $x=0$ 时，$y=1+0=1$。

第二步 两边对 $x$ 求导：

$$y'=e^y+xe^y\,y' \qquad (\ast)$$

代入 $x=0,y=1$：$y'(0)=e$。

第三步 对 $(\ast)$ 式再对 $x$ 求导（不必先解出 $y'$，直接对等式求导更省事）：

$$y''=e^y y'+\big(e^y y'+xe^y(y')^2+xe^y y''\big)$$

（$xe^yy'$ 是三个因子的乘积：$x$、$e^y$、$y'$，逐个求导相加。）

代入 $x=0$，$y=1$，$y'=e$：含 $x$ 的项都为 0，

$$y''(0)=e\cdot e+e\cdot e=2e^2$$

技巧：求某点的高阶导，每求一次导就代一次值，比先求出通式再代省事得多。

2.5 易错点 ⚠️#

• 对含 $y$ 的项求导忘了乘 $y'$：$(y^3)'=3y^2$ ✗，正确是 $3y^2y'$。
• 求某点导数时，先用原方程把该点的 $y$ 值求出来（如例 12 的 $y(0)=1$），否则代不进去。
• 求二阶导时，结果里出现的 $y'$ 要用一阶导的结果代回去，能用原方程化简就化简。
• $(xy)'$ 不是 $y'$，也不是 $xy'$，是 $y+xy'$。

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2.6 另一种做法：两边求微分#

隐函数还可以用"微分"来做，思路同样朴素：方程两边同时取微分，然后把 $dy$ 和 $dx$ 的比值求出来。这依赖于一个重要性质——

一阶微分形式不变性：不论 $u$ 是自变量还是另一个变量的函数，都有

$$d\,f(u)=f'(u)\,du$$

大白话：求微分时，你不必关心 $u$ 里面还套着什么，照着公式写，最后再把 $du$ 展开即可。这其实就是链式法则换了一种写法。比如 $d(\sin y)=\cos y\,dy$，$d(e^{xy})=e^{xy}\,d(xy)=e^{xy}(y\,dx+x\,dy)$。

例（微分法） 用微分法重做例 12：$e^y+xy=e$。

两边取微分：

$$e^y\,dy+(y\,dx+x\,dy)=0$$

把含 $dy$ 的放一起：$(e^y+x)\,dy=-y\,dx$，所以

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{e^y+x}$$

和例 12 结果相同。

两种方法怎么选？ 求 $y'$ 时两种方法一样快，按习惯选；微分法的好处是 $x$、$y$ 地位对称，不容易漏掉 $y'$，而且以后学多元函数（第 12 讲）的全微分时会直接用到这种写法。求二阶导时，建议用"对 $x$ 求导"的写法，更不容易乱。

小结一下隐函数求导的心法：方程里每出现一个 $y$，就提醒自己"它是 $x$ 的函数，求导要多乘一个 $y'$"。只要记住这一句，隐函数求导就不会出错。很多同学在考场上丢分，不是不会方法，而是在某一项上漏了 $y'$——所以每做完一题，花十秒钟逐项检查一遍含 $y$ 的项，是非常值得的习惯。

三、对数求导法#

3.1 大白话#

有两类函数直接求导很痛苦：

1. 幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$：底数和指数都含 $x$，比如 $x^x$。它既不是幂函数（指数固定），也不是指数函数（底数固定），两个公式都不能用。
2. 一大串乘除、开方：比如 $\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$，用商的法则要写到手软。

办法：两边先取对数。对数能把"乘方变乘法、乘法变加法、除法变减法"，一下子就拆开了，再用隐函数的方法求导。

3.2 公式#

对 $y=u^v$（$u>0$）两边取对数：$\ln y=v\ln u$。两边对 $x$ 求导：

$$\frac{y'}{y}=v'\ln u+v\cdot\frac{u'}{u} \quad\Rightarrow\quad y'=u^v\left(v'\ln u+\frac{v\,u'}{u}\right)$$

另一种等价写法（更推荐考场上用）：$u^v=e^{v\ln u}$，直接按复合函数求导：

$$(u^v)'=e^{v\ln u}\,(v\ln u)'$$

3.3 逐行拆解#

• $\ln y=v\ln u$：用了对数性质 $\ln a^b=b\ln a$。
• 左边 $(\ln y)'=\dfrac{y'}{y}$：这是隐函数的套路，$y$ 是里层。
• 右边是乘积 $v\cdot\ln u$ 的导数：$v'\ln u+v\cdot(\ln u)'$，而 $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$。
• 最后两边乘 $y$，再把 $y=u^v$ 写回去。
• $e^{v\ln u}$ 的写法源于恒等式 $a=e^{\ln a}$（$a>0$）。这个"化成 $e$ 的指数"的技巧在第 07 讲求 $1^\infty$ 型极限时还会再用。

3.4 例题#

例 16 求 $y=x^x\ (x>0)$ 的导数。

取对数 $\ln y=x\ln x$，两边求导：

$$\frac{y'}{y}=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1$$ $$y'=x^x(\ln x+1)$$

例 17 求 $y=x^{\sin x}\ (x>0)$ 的导数。

写成 $y=e^{\sin x\ln x}$，则

$$y'=e^{\sin x\ln x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$$

例 18 求 $y=x^{\frac1x}\ (x>0)$ 的导数。

$y=e^{\frac{\ln x}{x}}$，指数 $\dfrac{\ln x}{x}$ 的导数用商的法则：$\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。

$$y'=x^{\frac1x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}$$

（由此可知 $x=e$ 时 $y'=0$，第 08 讲会用它找 $x^{1/x}$ 的最大值。）

例 19 求 $y=\left(1+\dfrac1x\right)^x\ (x>0)$ 的导数。

$\ln y=x\ln\left(1+\dfrac1x\right)$。对右边求导：

$$\ln\left(1+\frac1x\right)+x\cdot\frac{1}{1+\frac1x}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac{1}{x+1}$$

（中间一项：$x\cdot\dfrac{x}{x+1}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{x+1}$。）

$$y'=\left(1+\frac1x\right)^x\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac{1}{x+1}\right]$$

例 20 求 $y=\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数（在 $x>4$ 范围内讨论）。

取对数：

$$\ln y=\frac12\big[\ln(x-1)+\ln(x-2)-\ln(x-3)-\ln(x-4)\big]$$

两边求导：

$$\frac{y'}{y}=\frac12\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)$$ $$y'=\frac12\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)$$

3.5 什么时候想到对数求导法#

看到下面几种"信号"，就该条件反射地想到取对数或化成 $e$ 的指数：

• 底数和指数里都有 $x$，如 $x^{\sin x}$、$(1+x)^{\frac1x}$、$(\ln x)^x$；
• 三个以上因子相乘除，尤其还带根号，如 $\dfrac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3}$；
• 求 $\dfrac{y'}{y}$ 本身（题目直接问"$\dfrac{y'}{y}$ 等于多少"），取对数后它直接就出来了。

反过来，普通的两个因子相乘（如 $x^2\sin x$）就不必取对数，直接用乘积法则更快。工具要用在刀刃上。

3.6 易错点 ⚠️#

• $(x^x)'=x\cdot x^{x-1}$ ✗（误当幂函数），$(x^x)'=x^x\ln x$ ✗（误当指数函数）。两个都错，正确答案恰好是两者之和 $x^x(\ln x+1)$——这个巧合可以帮你记忆。
• 最后一步忘了乘回 $y$，只写了 $\dfrac{y'}{y}$ 那一串。
• 取对数要求 $y>0$。严格地说若 $y$ 可能为负，应取 $\ln|y|$（例 9 告诉我们求导结果一样），考试中通常不必纠结。

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四、求导方法选择总结#

拿到一个函数，按下面顺序判断用什么方法：

函数长相	方法
单层基本初等函数	直接查公式
套娃 $f(g(x))$	链式法则，由外到内
加减乘除组合	四则法则，每块内部再用链式法则
$x,y$ 混在方程里	隐函数求导：两边对 $x$ 求导
底数、指数都含 $x$	写成 $e^{v\ln u}$ 或取对数
很多因子乘除、开方	先取对数拆开
能化简先化简	例如 $\ln\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}=\dfrac12[\ln(1+x)-\ln(1-x)]$，拆完再求导

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五、综合例题：把三种方法串起来#

考题很少只考一种求导方法，往往是"隐函数 + 复合 + 求切线"或"抽象函数 + 对数求导"揉在一起。下面两道题，请先自己动手，再对照步骤。

例 21 设 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}-xy=1$ 确定，求曲线在点 $(0,0)$ 处的切线方程，并求 $y''(0)$。

思路：点 $(0,0)$ 已经给了，不用再解 $y(0)$（但要习惯性地验证一下：$e^0-0=1$ ✓）。切线只要斜率 $y'(0)$；二阶导用"求一次代一次"。

第一步 两边对 $x$ 求导。$e^{x+y}$ 是复合函数，里层 $x+y$ 的导数是 $1+y'$；$xy$ 用乘积法则：

$$e^{x+y}(1+y')-(y+xy')=0 \qquad (\ast)$$

代入 $x=0,y=0$：$1\cdot(1+y')-0=0$，所以 $y'(0)=-1$。

第二步 切线：$y-0=-1\cdot(x-0)$，即 $y=-x$。

第三步 对 $(\ast)$ 再求导。第一项 $e^{x+y}(1+y')$ 是乘积：

$$e^{x+y}(1+y')^2+e^{x+y}y''-\big(y'+y'+xy''\big)=0$$

代入 $x=0,\ y=0,\ y'=-1$：$1\cdot0+y''-(-1-1+0)=0$，即 $y''+2=0$，

$$y''(0)=-2$$

例 22 设 $f(x)>0$ 且可导，求 $y=f(\ln x)+\ln f(x)$ 的导数。

思路：两项都是复合函数，但"外层""里层"刚好反过来，特别能检验你是否真懂链式法则。

• $f(\ln x)$：外层 $f$，里层 $\ln x$，导数 $f'(\ln x)\cdot\dfrac1x$；
• $\ln f(x)$：外层 $\ln$，里层 $f(x)$，导数 $\dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x)$。

$$y'=\frac{f'(\ln x)}{x}+\frac{f'(x)}{f(x)}$$

第二项 $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 正是对数求导法里"$\dfrac{y'}{y}$"的来历：$[\ln f(x)]'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$。

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六、常见疑问答疑#

问 1：链式法则一定要写出中间变量 $u$ 吗？

答：初学时建议写，比如"令 $u=x^2$，则 $y=\sin u$"，写两三天就熟了。熟练以后心里默念"外层导数（里面照抄）乘里层导数"即可，不必每次写出 $u$。考试时间宝贵，能心算的就心算，但每一层的因子都要在纸上出现，不能省。

问 2：隐函数求导结果里有 $y$，算不算"没求完"？

答：算求完了。隐函数的导数本来就是 $x$、$y$ 的表达式，因为 $y$ 本身没法写成 $x$ 的显式。题目若问某一点的导数，你再代入这一点的坐标即可。

问 3：对数求导法和"化成 $e$ 的指数"哪个好？

答：结果完全一样。幂指函数推荐 $e^{v\ln u}$，一步到位、不容易忘乘回 $y$；"一大串乘除开方"推荐取对数，拆成加减后非常清爽。两种都要会。

问 4：为什么 $(x^x)'$ 不能用幂函数公式？

答：幂函数公式 $(x^a)'=ax^{a-1}$ 要求指数 $a$ 是常数；指数函数公式 $(a^x)'=a^x\ln a$ 要求底数 $a$ 是常数。$x^x$ 两边都在变，两个前提都不满足，只能用对数求导法。

问 5：抽象函数题里 $f'(x^2)$ 到底表示什么？

答：表示"$f$ 的导函数在 $x^2$ 处的值"。举个具体例子：若 $f(u)=u^3$，则 $f'(u)=3u^2$，$f'(x^2)=3x^4$；而 $[f(x^2)]'=(x^6)'=6x^5=f'(x^2)\cdot2x$。二者差一个因子 $2x$，用具体函数验算一下就不会再混。

学习建议：本篇的方法没有难懂的概念，难在"熟练"。建议把本篇全部例题合上书重做一遍，每道限时 3 分钟；做错的题标出来，隔两天再做。求导熟练度直接决定后面第 07、08 讲以及积分的做题速度。

公式/结论速记卡#

类型	核心做法 / 公式
复合函数	$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$，由外到内逐层相乘，里面照抄
判断外层	计算器上"最后按的键"是最外层
抽象函数	$[f(x^2)]'=2xf'(x^2)$；$[\sin f(x)]'=f'(x)\cos f(x)$
隐函数	两边对 $x$ 求导，$y$ 当 $y(x)$；$(y^2)'=2yy'$，$(e^y)'=e^yy'$，$(xy)'=y+xy'$
隐函数某点导数	先由原方程求该点 $y$；高阶导"求一次代一次"
幂指函数	$u^v=e^{v\ln u}$，$(u^v)'=u^v\left(v'\ln u+\dfrac{vu'}{u}\right)$
乘除开方一大串	先取对数拆成加减，再求导，最后乘回 $y$
常用结果	$(x^x)'=x^x(\ln x+1)$；$(\ln\lvert x\rvert)'=\dfrac1x$；$\left[\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right]'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

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自测练习#

1. 求 $y=\cos^3(2x)$ 的导数。

答案与提示

三层：立方 → $\cos$ → $2x$。

$$y'=3\cos^2(2x)\cdot(-\sin 2x)\cdot2=-6\cos^2(2x)\sin(2x)$$

2. 求 $y=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 的导数。

答案与提示

$$y'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

这个结果很漂亮，值得记住，积分时会反过来用。

3. 设 $f$ 可导，求 $y=f(x^2)+f^2(x)$ 的导数。（$f^2(x)$ 表示 $[f(x)]^2$。）

答案与提示

$$y'=2xf'(x^2)+2f(x)f'(x)$$

第一项外层 $f$、里层 $x^2$；第二项外层平方、里层 $f(x)$。

4. 设 $y=y(x)$ 由 $xy+\ln y=1$ 确定，求曲线在点 $(1,1)$ 处的导数 $y'$ 和切线方程。

答案与提示

两边对 $x$ 求导：$y+xy'+\dfrac{y'}{y}=0$，代入 $x=1,y=1$：$1+y'+y'=0$，

$$y'(1)=-\frac12$$

切线：$y-1=-\dfrac12(x-1)$，即 $x+2y-3=0$。

5. 设 $y=\tan(x+y)$ 确定了 $y=y(x)$，求 $y'$ 和 $y''$（用 $y$ 表示）。

答案与提示

两边求导：$y'=\sec^2(x+y)\cdot(1+y')$。而 $\sec^2(x+y)=1+\tan^2(x+y)=1+y^2$，所以

$$y'=(1+y^2)(1+y')\;\Rightarrow\;-y^2y'=1+y^2\;\Rightarrow\;y'=-\frac{1+y^2}{y^2}=-1-\frac{1}{y^2}$$

再求导：$y''=\dfrac{2}{y^3}\cdot y'=\dfrac{2}{y^3}\left(-\dfrac{1+y^2}{y^2}\right)=-\dfrac{2(1+y^2)}{y^5}$。

6. 求 $y=(\sin x)^x\ (0<x<\pi)$ 的导数。

答案与提示

$y=e^{x\ln\sin x}$，

$$y'=(\sin x)^x\left(\ln\sin x+x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}\right)=(\sin x)^x(\ln\sin x+x\cot x)$$

7. 求 $y=x^{x^2}\ (x>0)$ 的导数。

答案与提示

$y=e^{x^2\ln x}$，$(x^2\ln x)'=2x\ln x+x$，

$$y'=x^{x^2}(2x\ln x+x)$$

8.（略提高）设 $x^y=y^x$（$x,y>0$）确定 $y=y(x)$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。

答案与提示

取对数：$y\ln x=x\ln y$。两边对 $x$ 求导：

$$y'\ln x+\frac yx=\ln y+\frac{x}{y}y'$$

整理：$\left(\ln x-\dfrac xy\right)y'=\ln y-\dfrac yx$，两边分别通分：

$$y'=\frac{\ln y-\frac yx}{\ln x-\frac xy}=\frac{y(x\ln y-y)}{x(y\ln x-x)}$$

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下一讲预告#

第 06 讲（下）继续求导进阶：参数方程的一阶、二阶导数，反函数求导，$n$ 阶导数公式与莱布尼茨公式，以及分段函数在分段点处如何用定义求导。