考研数学二·零基础讲义 第05讲（下）｜求导公式、求导法则与微分

考研数学二·零基础讲义 · 第 05 讲（下）｜求导公式、求导法则与微分

学完这一讲（下篇），你能熟练背出基本初等函数的求导公式，用四则运算法则和链式法则求常见函数的导数，理解微分 $dy=f'(x)\,dx$ 的含义并会用它做近似计算。预计用时：3.5～4.5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 基本求导公式表：18 个公式，背熟是一切计算的基础。大纲要求：掌握基本初等函数的导数公式。
• 四则运算法则：加减、常数倍、乘法、除法。大纲要求：掌握导数的四则运算法则。
• 复合函数链式法则（入门）：由外向内、逐层求导、层层相乘。大纲要求：掌握复合函数的求导法则（更复杂的复合、隐函数等见第 06 讲）。
• 微分：$dy=f'(x)\,dx$，一元函数可微 ⟺ 可导，微分近似计算。大纲要求：理解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性（后者第 06 讲展开）。
• 考研怎么考：求导是几乎所有微积分大题的"基本动作"，单独考的不多，但算错一步整题皆错；微分常出现在"求 $dy$""求 $dy|_{x=x_0}$"的填空题里。

前置知识#

• 导数的定义、几何意义：见第 05 讲（上）。
• 基本初等函数、三角函数关系（$\sec x=\dfrac1{\cos x}$、$\sin^2x+\cos^2x=1$ 等）、指数与对数运算：见第 01 讲。
• 等价无穷小（$\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac12x$ 等）：见第 03 讲（上），本讲的微分近似与它是同一件事。

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一、基本求导公式与四则运算法则#

1.1 基本初等函数求导公式表#

每个公式原则上都能用定义推出来（第 05 讲（上）例 1 就是 $x^2$ 的推导，例 2 是 $\sin x$ 的推导），但考试时直接用。这张表必须背熟：

函数	导数	备注
$C$（常数）	$0$	常数不变化，变化率为 0
$x^\mu$	$\mu x^{\mu-1}$	$\mu$ 为任意实数，例如 $(x^5)'=5x^4$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\mu=\frac12$ 的特例
$\dfrac1x$	$-\dfrac1{x^2}$	$\mu=-1$ 的特例
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0,a\ne1$
$e^x$	$e^x$	唯一导数等于自己的（非零）基本函数
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$	$a>0,a\ne1$
$\ln x$	$\dfrac1x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	注意负号
$\tan x$	$\sec^2x=\dfrac1{\cos^2x}$
$\cot x$	$-\csc^2x=-\dfrac1{\sin^2x}$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\sec x=\dfrac1{\cos x}$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\csc x=\dfrac1{\sin x}$
$\arcsin x$	$\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac1{1+x^2}$
$\operatorname{arccot}x$	$-\dfrac1{1+x^2}$

记忆技巧：

• 所有"co"开头的（$\cos,\cot,\csc,\arccos,\operatorname{arccot}$），导数都带负号。
• $\sec x$ 读作"正割"，$\csc x$ 读作"余割"；$\operatorname{arccot}x$ 读作"反余切"。
• $\arcsin$ 与 $\arccos$ 导数只差一个负号，$\arctan$ 与 $\operatorname{arccot}$ 也是。

再看两个推导，体会公式从哪来（用的都是第 03 讲（上）的等价无穷小）：

• $(e^x)'$：$\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot\dfrac{e^h-1}{h}$，而 $e^h-1\sim h$，所以极限为 $e^x$。
• $(\ln x)'$（$x>0$）：$\dfrac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\dfrac{\ln\left(1+\frac hx\right)}{h}$，而 $\ln\left(1+\dfrac hx\right)\sim\dfrac hx$，所以极限为 $\dfrac1x$。

看到没有？等价无穷小表和求导公式表是一体两面：$e^h-1\sim h$ 推出 $(e^x)'=e^x$，$\ln(1+h)\sim h$ 推出 $(\ln x)'=\dfrac1x$，$\sin h\sim h$ 推出 $(\sin x)'=\cos x$。

背诵建议：分四组背——① 幂函数一行；② 指数、对数四行；③ 六个三角函数（$\sin,\cos$ 一对，$\tan,\cot$ 一对，$\sec,\csc$ 一对）；④ 四个反三角函数（两对，每对只差负号）。每天默写一遍，坚持一周就忘不掉了。

例 1（先把根式、分式写成幂，再查表）：求 $y=x^3-2\sqrt x+\dfrac3x$ 的导数。

解：

• 第一步，改写成幂函数：$\sqrt x=x^{\frac12}$，$\dfrac3x=3x^{-1}$，所以 $y=x^3-2x^{\frac12}+3x^{-1}$。
• 第二步，逐项用 $(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$：

$$y'=3x^2-2\cdot\frac12x^{-\frac12}+3\cdot(-1)x^{-2}=3x^2-\frac{1}{\sqrt x}-\frac{3}{x^2} .$$

（这里提前用了"加减各求各的、常数提出去"，下一小节正式讲。）

例 2：求 $y=\log_2x+3^x$ 的导数。

解：查表：$(\log_2x)'=\dfrac1{x\ln2}$，$(3^x)'=3^x\ln3$。所以 $y'=\dfrac{1}{x\ln2}+3^x\ln3$。

易错点 ⚠️：$(3^x)'=3^x\ln3$，不是 $x\cdot3^{x-1}$（那是把指数函数错当成幂函数）。看变量 $x$ 在哪里：$x$ 在底数上是幂函数，$x$ 在指数上是指数函数。

1.2 四则运算法则#

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 都可导，则：

$$(u\pm v)'=u'\pm v',\qquad (Cu)'=Cu',$$ $$(uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\ne0) .$$

逐行拆解：

• 加减：各求各的。常数倍：常数提出去。
• 乘法（口诀"前导后不导，加上前不导后导"）：$(uv)'$ 不等于 $u'v'$！
• 除法（口诀"上导下不导，减去上不导下导，除以下的平方"）：分子里是减号，顺序不能反。
• 乘法可推广到三个：$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$（每次只导一个，其余不动）。

乘法法则为什么长这样？（一张图就懂）

把 $u\cdot v$ 想成一个长为 $u$、宽为 $v$ 的长方形面积。$x$ 增加一点点，长变成 $u+\Delta u$，宽变成 $v+\Delta v$，面积增加

$$(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v+\Delta u\cdot\Delta v .$$

前两项是两条"细长条"，最后一项是角上的"小方块"（比前两项高阶，可以忽略）。除以 $\Delta x$ 再取极限，就得到 $(uv)'=u'v+uv'$。所以乘法法则是"两条细长条"，而不是"$u'v'$"那个可以忽略的小方块。

例 3：求下列函数的导数。

（1）$y=3x^4-2x^2+5x-7$；（2）$y=x^2\sin x$；（3）$y=\dfrac{x-1}{x+1}$；（4）$y=\tan x$（用商法则推导）；（5）$y=e^x\ln x$。

解：

（1）逐项求导：$y'=3\cdot4x^3-2\cdot2x+5-0=12x^3-4x+5$。

（2）$u=x^2$，$v=\sin x$：$y'=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$。

（3）$u=x-1$，$v=x+1$，$u'=v'=1$：

$$y'=\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2} .$$

（4）$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$：

$$(\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x .$$

公式表里的 $\tan x$ 一行就是这么来的。

（5）$y'=(e^x)'\ln x+e^x(\ln x)'=e^x\ln x+\dfrac{e^x}{x}$。

例 4（两种方法对照）：求 $y=(x^2+1)(x^3-x)$ 的导数。

解法一（乘法法则）：$u=x^2+1$，$v=x^3-x$，$u'=2x$，$v'=3x^2-1$。

$$y'=2x(x^3-x)+(x^2+1)(3x^2-1)=2x^4-2x^2+3x^4-x^2+3x^2-1=5x^4-1 .$$

解法二（先展开）：$y=x^5+x^3-x^3-x=x^5-x$，所以 $y'=5x^4-1$。

两种方法结果相同。多项式相乘时先展开往往更快。

例 5：求 $y=\dfrac{x}{\ln x}$ 的导数。

解：$u=x$，$v=\ln x$，$u'=1$，$v'=\dfrac1x$。

$$y'=\frac{1\cdot\ln x-x\cdot\frac1x}{(\ln x)^2}=\frac{\ln x-1}{\ln^2x} .$$

例 6（推导公式表中的 $\sec x$）：求 $(\sec x)'$。

解：$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$，用商法则（分子是常数 1，导数为 0）：

$$(\sec x)'=\frac{0\cdot\cos x-1\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\tan x .$$

例 7（三个因子相乘）：求 $y=x^2e^x\sin x$ 的导数。

解：每次只导一个，其余不动，三项相加：

$$y'=(x^2)'e^x\sin x+x^2(e^x)'\sin x+x^2e^x(\sin x)'=2xe^x\sin x+x^2e^x\sin x+x^2e^x\cos x .$$

可以提出公因式写成 $y'=xe^x\left(2\sin x+x\sin x+x\cos x\right)$。

易错点 ⚠️：

• $(uv)'\ne u'v'$，$\left(\dfrac uv\right)'\ne\dfrac{u'}{v'}$。这是零基础同学最常见的错误。
• 能化简的先化简再求导。比如 $y=\dfrac{x^2+x}{x}$（$x\neq0$）先化成 $x+1$，导数是 1，比用商法则省事。
• $(e^2)'=0$，$e^2$ 是常数！$(x^e)'=ex^{e-1}$（幂函数），$(e^x)'=e^x$（指数函数），三者别混。

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二、复合函数求导：链式法则（入门）#

2.1 大白话#

$y=\sin(x^2)$ 不在公式表里，它是"套娃"：里层 $u=x^2$，外层 $y=\sin u$。

类比齿轮：$x$ 带动 $u$，$u$ 带动 $y$。$x$ 转 1 圈 $u$ 转 3 圈，$u$ 转 1 圈 $y$ 转 2 圈，那么 $x$ 转 1 圈 $y$ 转 $3\times2=6$ 圈。变化率一层一层乘起来，这就是链式法则。

2.2 公式#

若 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在对应的 $u$ 处可导，则复合函数 $y=f\big(g(x)\big)$ 可导，且

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},\qquad\text{即}\qquad \Big[f\big(g(x)\big)\Big]'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) .$$

逐行拆解：

• $f'\big(g(x)\big)$：先把外层函数 $f$ 对 $u$ 求导，再把 $u=g(x)$ 代回去。
• $g'(x)$：里层函数对 $x$ 求导。
• 口诀：由外向内，逐层求导，层层相乘。
• 用 $\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 的写法，看上去就像"$du$ 约掉了"，非常好记。

先学会"拆层"：用链式法则前，先把函数从外到内拆开。下面这张表请对照练习：

函数	外层	里层	导数
$e^{x^2}$	$e^u$	$u=x^2$	$2xe^{x^2}$
$\sin(2x+1)$	$\sin u$	$u=2x+1$	$2\cos(2x+1)$
$\sqrt{\cos x}$	$\sqrt u$	$u=\cos x$	$-\dfrac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
$\ln(x^2+3)$	$\ln u$	$u=x^2+3$	$\dfrac{2x}{x^2+3}$
$(1-x)^{10}$	$u^{10}$	$u=1-x$	$-10(1-x)^9$

判断"外层"的方法：想象你用计算器算这个函数值，最后一步按的那个键就是最外层。比如算 $e^{x^2}$，先算 $x^2$，最后按 $e^{\square}$，所以外层是 $e^u$。

2.3 例题#

例 8：求下列函数的导数。

（1）$y=\sin(x^2)$；（2）$y=(2x+1)^5$；（3）$y=e^{-x^2}$；（4）$y=\ln(1+x^2)$；（5）$y=\sqrt{1-x^2}$；（6）$y=\sin^2x$。

解：

（1）外层 $\sin u$，里层 $u=x^2$：$y'=\cos(x^2)\cdot(x^2)'=2x\cos(x^2)$。

（2）外层 $u^5$，里层 $u=2x+1$：$y'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4$。

（3）外层 $e^u$，里层 $u=-x^2$：$y'=e^{-x^2}\cdot(-2x)=-2xe^{-x^2}$。

（4）外层 $\ln u$，里层 $u=1+x^2$：$y'=\dfrac{1}{1+x^2}\cdot2x=\dfrac{2x}{1+x^2}$。

（5）外层 $\sqrt u$，里层 $u=1-x^2$：$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。

（6）$\sin^2x=(\sin x)^2$，外层 $u^2$，里层 $u=\sin x$：$y'=2\sin x\cdot\cos x$（也可写成 $\sin2x$）。

例 9（更多链式法则练习）：求下列函数的导数。

（1）$y=\cos^3x$；（2）$y=e^{\sin x}$；（3）$y=\arcsin\dfrac x2$；（4）$y=2^{x^2}$；（5）$y=\ln|x|$；（6）$y=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$。

解：

（1）外层 $u^3$，里层 $u=\cos x$：$y'=3\cos^2x\cdot(-\sin x)=-3\cos^2x\sin x$。

（2）外层 $e^u$，里层 $u=\sin x$：$y'=e^{\sin x}\cos x$。

（3）外层 $\arcsin u$，里层 $u=\dfrac x2$：

$$y'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\cdot\frac12=\frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} .$$

（4）外层 $2^u$，里层 $u=x^2$：$y'=2^{x^2}\ln2\cdot2x=2x\cdot2^{x^2}\ln2$。

（5）分情况：$x>0$ 时 $y=\ln x$，$y'=\dfrac1x$；$x<0$ 时 $y=\ln(-x)$，$y'=\dfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x$。两种情况都是 $\dfrac1x$，所以 $(\ln|x|)'=\dfrac1x$（第 09 讲积分时会用到这个结论）。

（6）外层 $\ln u$，里层 $u=x+\sqrt{1+x^2}$，而里层的导数又要用一次链式法则：$\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。于是

$$y'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .$$

结果出奇地简洁，这个结论值得记住。

例 10（三层复合）：求 $y=\sin^2(3x)$ 的导数。

解：从外到内三层：平方 → $\sin$ → $3x$。

$$y'=2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot3=6\sin3x\cos3x .$$

（也可写成 $3\sin6x$。）口诀再念一遍：由外向内，逐层求导，层层相乘，有几层就乘几个因子。

易错点 ⚠️：

• 最常见错误：忘了乘里层的导数。比如把 $(\sin x^2)'$ 写成 $\cos x^2$。
• 分清 $\sin^2x$（先 $\sin$ 再平方，外层是平方）和 $\sin x^2$（先平方再 $\sin$，外层是 $\sin$）。
• 多层套娃（比如 $\ln\sin(x^2)$）、隐函数、参数方程求导等，第 06 讲专门练。

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三、微分#

3.1 大白话：用直线近似曲线#

一块边长为 $x$ 的正方形铁片，面积 $S=x^2$。受热后边长增加了 $\Delta x$，面积增加了多少？

$$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\,\Delta x+(\Delta x)^2 .$$

两部分：$2x\Delta x$ 是两条细长条（与 $\Delta x$ 成正比，"线性"部分）；$(\Delta x)^2$ 是角上的小方块，当 $\Delta x$ 很小时小得多（是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小）。把小方块丢掉，$\Delta S\approx2x\Delta x$。这个"主要的线性部分"$2x\,\Delta x$ 就叫微分。而 $2x$ 恰好就是 $S'(x)$！

图 1：正方形铁片受热：增加的面积 = 两条细长条（线性主部，就是微分）+ 一个角上小方块（高阶无穷小）

3.2 正式定义#

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若函数改变量可以写成

$$\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x),$$

其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$A\,\Delta x$ 叫作 $f$ 在 $x_0$ 处的微分，记作 $dy\big|_{x=x_0}=A\,\Delta x$。

逐行拆解：

• $o(\Delta x)$：比 $\Delta x$ 高阶的无穷小（第 03 讲），就是"可以丢掉的零头"。
• $A$ 与 $\Delta x$ 无关：$A$ 只取决于点 $x_0$，是一个固定的数。
• 微分 $dy$ 是 $\Delta y$ 的线性主部："线性"指它是 $\Delta x$ 的一次式，"主部"指它是 $\Delta y$ 的主要部分。

图 2：微分的几何意义：$dy$ 是沿切线升高的量，$\Delta y$ 是沿曲线真正升高的量；$\Delta x$ 很小时 $\Delta y\approx dy$

3.3 可微与可导的关系#

定理：$f$ 在 $x_0$ 处可微 ⟺ $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $A=f'(x_0)$。

为什么：若 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，两边除以 $\Delta x$ 再取极限，$\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to0$，得 $\lim\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A$，即 $f'(x_0)=A$。反过来也成立。

所以对一元函数，可微和可导是一回事。

又因为对 $y=x$ 有 $dx=\Delta x$（自变量的微分就是自变量的增量），微分写成

$$dy=f'(x)\,dx .$$

两边除以 $dx$，得 $f'(x)=\dfrac{dy}{dx}$：导数就是"函数的微分与自变量的微分之商"，所以导数也叫微商。这就解释了 $\dfrac{dy}{dx}$ 这个记号。

（多元函数里"可微"和"可偏导"不再等价，第 12 讲会讲，那里是易错点。）

3.4 求微分#

方法：先求导，再乘 $dx$。求导公式表和法则，每条乘上 $dx$ 就是微分公式和微分法则，例如 $d(\sin x)=\cos x\,dx$，$d(uv)=v\,du+u\,dv$。

微分公式与法则（把求导公式每一条都乘上 $dx$）：

求导	微分
$(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$	$d(x^\mu)=\mu x^{\mu-1}dx$
$(e^x)'=e^x$	$d(e^x)=e^xdx$
$(\ln x)'=\dfrac1x$	$d(\ln x)=\dfrac1xdx$
$(\sin x)'=\cos x$	$d(\sin x)=\cos x\,dx$
$(uv)'=u'v+uv'$	$d(uv)=v\,du+u\,dv$
$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$	$d\left(\dfrac uv\right)=\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2}$

这张表在第 09 讲（不定积分的"凑微分法"）里会倒过来用，例如看到 $\cos x\,dx$ 就要想到它是 $d(\sin x)$。

例 11：设 $y=x^2$，求 $x=1$、$\Delta x=0.01$ 时的 $\Delta y$ 与 $dy$。

解：

• $\Delta y=(1.01)^2-1^2=1.0201-1=0.0201$。
• $dy=y'(1)\,\Delta x=2\times1\times0.01=0.02$。
• 两者只差 $0.0001=(\Delta x)^2$，这正是被丢掉的"小方块"。

例 12：求 $y=e^{2x}$ 的微分。

解：$y'=e^{2x}\cdot2=2e^{2x}$（链式法则），所以 $dy=2e^{2x}\,dx$。

例 13（近似计算）：用微分求 $\sqrt{1.02}$ 的近似值。

解：近似公式 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$。取 $f(x)=\sqrt x$，$x_0=1$，$\Delta x=0.02$，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$，$f'(1)=\dfrac12$：

$$\sqrt{1.02}\approx1+\frac12\times0.02=1.01 .$$

（真实值约 $1.00995$，误差很小。）这和第 03 讲（上）的 $\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac12x$ 是同一件事：等价无穷小其实就是微分近似。

例 14：设 $y=x^3$，求 $x=2$、$\Delta x=0.01$ 时的 $\Delta y$ 和 $dy$。

解：

• $\Delta y=(2.01)^3-2^3=8.120601-8=0.120601$。
• $dy=3x^2\big|_{x=2}\cdot\Delta x=12\times0.01=0.12$。
• 误差 $\Delta y-dy=0.000601$，相对 $\Delta y$ 本身很小。

例 15：求下列函数的微分：（1）$y=\sin3x$；（2）$y=x\ln x$。

解：（1）$y'=3\cos3x$，$dy=3\cos3x\,dx$。（2）$y'=\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$，$dy=(\ln x+1)\,dx$。

例 16（更多近似计算）：用微分近似计算 $\sqrt[3]{8.12}$。

解：取 $f(x)=\sqrt[3]x=x^{\frac13}$，$x_0=8$，$\Delta x=0.12$。$f'(x)=\dfrac13x^{-\frac23}$，$f'(8)=\dfrac13\cdot\dfrac14=\dfrac1{12}$（$8^{\frac23}=4$）。

$$\sqrt[3]{8.12}\approx f(8)+f'(8)\cdot0.12=2+\frac{0.12}{12}=2.01 .$$

（真实值约 $2.00995$。）

常用近似公式（$|x|$ 很小时，本质就是 $x_0=0$ 处的微分近似，也就是第 03 讲（上）的等价无穷小）：

$$e^x\approx1+x,\quad \ln(1+x)\approx x,\quad \sin x\approx x,\quad \sqrt[n]{1+x}\approx1+\frac xn .$$

例如 $e^{0.01}\approx1.01$（真实值约 $1.01005$），$\ln1.02\approx0.02$（约 $0.0198$），$\sin0.02\approx0.02$（约 $0.019999$）。

选取 $x_0$ 的原则：$x_0$ 要靠近目标点，并且 $f(x_0)$、$f'(x_0)$ 好算（例如开立方选 8、27，开平方选 1、4、9、100）。

易错点 ⚠️：

• $dy$ 后面一定要带 $dx$。写成 $dy=2e^{2x}$ 是错的。
• $\Delta y$ 是真实改变量，$dy$ 是近似改变量，一般 $\Delta y\ne dy$。

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四、求导三步走与常见疑问#

4.1 求导三步走#

拿到一个具体函数求导，按这个顺序：

1. 先化简：能约分、能拆项、能用对数性质化开的先化开（比如 $\ln\dfrac{x}{x+1}=\ln x-\ln(x+1)$）。
2. 看结构：最外层是加减、乘除，还是复合？加减逐项，乘除用法则，复合用链式。
3. 逐层查表：每一层落到公式表里的某一行。

分段函数的分界点处不能用公式，必须用定义（左右导数）。

4.2 常见疑问#

问：$\dfrac{dy}{dx}$ 到底能不能当分数？

答：在一元函数里，学了微分之后，$\dfrac{dy}{dx}$ 确实就是 $dy$ 除以 $dx$。链式法则 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 看起来像"约分"，正是这个原因。但到了多元函数的偏导数，这种看法就不再成立，第 12 讲会提醒。

问：求导结果需要化简吗？

答：选择、填空要和选项比对，化简到最简最保险；大题里如果后面还要用这个导数（比如令导数为 0 求极值），化简能省很多事。至少要做到：合并同类项、提公因式、约分。

问：$e^x$ 的导数为什么等于它自己？

答：这正是 $e$ 这个数被选中的原因。由公式 $(a^x)'=a^x\ln a$，只有当 $\ln a=1$，即 $a=e$ 时，导数才恰好等于自己。所以微积分里最常用的底数是 $e$，最常用的对数是 $\ln$。

问：$(x^x)'$ 怎么求？既不是幂函数也不是指数函数啊。

答：对，底数和指数都含 $x$，两个公式都不能直接用。办法是先写成 $x^x=e^{x\ln x}$，再用链式法则：$(x^x)'=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$。这种"幂指函数"第 06 讲会系统讲（对数求导法）。

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公式/结论速记卡#

求导公式：

$(C)'=0$	$(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$	$(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}$，$\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}$
$(a^x)'=a^x\ln a$	$(e^x)'=e^x$
$(\log_ax)'=\dfrac1{x\ln a}$	$(\ln x)'=\dfrac1x$	$(\ln\lvert x\rvert)'=\dfrac1x$
$(\sin x)'=\cos x$	$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\sec^2x$	$(\cot x)'=-\csc^2x$
$(\sec x)'=\sec x\tan x$	$(\csc x)'=-\csc x\cot x$
$(\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x)'=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)'=\dfrac1{1+x^2}$	$(\operatorname{arccot}x)'=-\dfrac1{1+x^2}$	$\left[\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]'=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$

四则：$(u\pm v)'=u'\pm v'$，$(Cu)'=Cu'$，$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$，$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$。

链式：$\big[f(g(x))\big]'=f'(g(x))\,g'(x)$；$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$。由外向内，逐层求导，层层相乘。

微分：$dy=f'(x)\,dx$；$\Delta y=dy+o(\Delta x)$；一元函数可微 ⟺ 可导。

近似：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$；$|x|$ 很小时 $e^x\approx1+x$，$\ln(1+x)\approx x$，$\sin x\approx x$，$\sqrt[n]{1+x}\approx1+\dfrac xn$。

易错三连：$(uv)'\ne u'v'$；链式法则别漏里层导数；$(3^x)'$ 与 $(x^3)'$ 别混。

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自测练习#

1. 求 $y=x^4-3x^2+2x-1$ 的导数。

答案与提示

$y'=4x^3-6x+2$。

2. 求 $y=\sqrt x\ln x$ 的导数。

答案与提示

$y'=\dfrac{\ln x}{2\sqrt x}+\sqrt x\cdot\dfrac1x=\dfrac{\ln x}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{\sqrt x}=\dfrac{\ln x+2}{2\sqrt x}$。

3. 求 $y=\dfrac{1+x^2}{1-x^2}$ 的导数。

答案与提示

$y'=\dfrac{2x(1-x^2)-(1+x^2)(-2x)}{(1-x^2)^2}=\dfrac{2x-2x^3+2x+2x^3}{(1-x^2)^2}=\dfrac{4x}{(1-x^2)^2}$。

4. 求 $y=x^3e^x$ 的导数。

答案与提示

$y'=3x^2e^x+x^3e^x=(x^3+3x^2)e^x$。

5. 求 $y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ 的导数并化简。

答案与提示

$$y'=\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin^2x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x} .$$

6. 求导：（1）$y=\ln\cos x$；（2）$y=\arctan2x$；（3）$y=\sqrt{x^2+1}$；（4）$y=e^{-3x}$。

答案与提示

（1）$-\tan x$；（2）$\dfrac{2}{1+4x^2}$（分母是 $(2x)^2$）；（3）$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$；（4）$-3e^{-3x}$。

7. 求 $y=x^2e^{3x}$ 的微分 $dy$。

答案与提示

$y'=2xe^{3x}+3x^2e^{3x}$，$dy=(3x^2+2x)e^{3x}\,dx$。别忘了 $dx$。

8. 用微分近似计算 $e^{0.02}$ 和 $\sqrt{4.04}$。

答案与提示

$e^{0.02}\approx1+0.02=1.02$（真实值约 $1.0202$）。$\sqrt{4.04}$：取 $f=\sqrt x$，$x_0=4$，$\Delta x=0.04$，$f'(4)=\dfrac14$，$\sqrt{4.04}\approx2+\dfrac14\times0.04=2.01$（真实值约 $2.00998$）。

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下一讲预告#

第 06 讲是求导进阶：多层复合函数、隐函数、参数方程、反函数的求导，以及高阶导数——把"会求导"练成"求什么导都不怕"。