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第 107 篇

考研数学二·零基础讲义 第05讲（上）｜导数的定义、可导与连续、几何意义

约 19 分钟 6015 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 第 05 讲（上）｜导数的定义、可导与连续、几何意义

学完这一讲（上篇），你能说清楚导数是什么，会用定义求导、会"凑定义式"处理抽象函数的极限，能用左右导数判断分段函数、绝对值函数的可导性，并会写切线和法线方程。预计用时：3.5～4 小时（含练习）。下篇讲求导公式、求导法则和微分。

本讲地图

  • 导数的定义：从瞬时速度、切线斜率讲起；定义式的几种等价写法；"凑定义式"的核心规律。大纲要求：理解导数的概念。
  • 左导数与右导数：分段函数、绝对值函数在"拐点"处的可导性判断。
  • 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。大纲要求：理解函数的可导性与连续性之间的关系。
  • 几何意义：切线、法线方程。大纲要求：理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。
  • 考研怎么考：用导数定义处理"抽象函数"（不给表达式的 ff）或分段函数的可导性，是选择、填空题的常客；求切线常是大题的第一步。

前置知识

  • 函数、基本初等函数及其图像，直线的点斜式方程：见第 01 讲。
  • 极限计算、两个重要极限、等价无穷小：见第 02 讲、第 03 讲（上）（下）。导数本质上就是一个 00\dfrac00 型极限。
  • 连续的定义（lim⁡Δx→0Δy=0\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0）、左右极限：见第 04 讲（上）。

一、导数的定义

1.1 大白话：从"平均速度"到"瞬时速度"

开车从 A 地到 B 地，2 小时开了 160 km，平均速度 80 km/h。但车速表上显示的是这一刻的速度，可能是 95，也可能是 60。怎么算"这一刻的速度"？

办法是：把时间段取得越来越短。设路程是时间的函数 s(t)s(t)，从时刻 t0t_0 到 t0+Δtt_0+\Delta t：

平均速度=s(t0+Δt)−s(t0)Δt.\text{平均速度}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} .

让 Δt→0\Delta t\to0，平均速度的极限就是 t0t_0 时刻的瞬时速度。

再从图像看：曲线 y=f(x)y=f(x) 上取两点 P(x0,f(x0))P\big(x_0,f(x_0)\big) 和 Q(x0+Δx,f(x0+Δx))Q\big(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)\big)，连成割线，斜率是

f(x0+Δx)−f(x0)Δx.\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .

让 QQ 沿着曲线向 PP 靠近（Δx→0\Delta x\to0），割线就转到一个极限位置——切线。割线斜率的极限就是切线斜率。

割线逼近切线：Q 沿曲线 y=x² 向 P(1,1) 靠近，割线转成切线 y=2x−1 x y O 1 2 3 1 4 9 y = x² Q P(1,1) Δx = 2，割线斜率 = 2+Δx = 4 Δx = 1.5，割线斜率 = 2+Δx = 3.5 Δx = 1，割线斜率 = 2+Δx = 3 Δx = 0.6，割线斜率 = 2+Δx = 2.6 Δx = 0.3，割线斜率 = 2+Δx = 2.3 Δx = 0.1，割线斜率 = 2+Δx = 2.1 Δx → 0：切线 y = 2x − 1，斜率 = 2

图 1：割线逼近切线：QQ 沿 y=x2y=x^2 向 P(1,1)P(1,1) 靠近，Δx 从 2 缩到 0.1，割线斜率 2+Δx 逼近切线斜率 2（动画循环播放）

两个故事说的是同一件事：导数 = 变化率 = "改变量之比"的极限。

导数的其他"身份"：只要是"一个量随另一个量变化的快慢"，都是导数。

  • 路程对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度；
  • 电量对时间的导数是电流；
  • 经济学里，成本对产量的导数叫"边际成本"（多生产一件，成本大约多多少）；
  • 人口对时间的导数是人口增长速度。

所以导数又叫变化率。数学二的应用题（第 08 讲、第 11 讲）里，你会反复见到这个"变化率"的身份。

1.2 正式定义

设 y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0 的某邻域内有定义。若极限

lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

存在，则称 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处可导，这个极限值叫 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的导数，记作

f′(x0),y′∣x=x0,dydx∣x=x0.f'(x_0),\quad y'\big|_{x=x_0},\quad \frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0} .

1.3 逐行拆解

  • Δx\Delta x：读作"德尔塔 xx"，自变量的改变量（增量），可正可负，但不为 0。
  • Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)：函数值的改变量。所以导数就是 lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}。
  • f′(x0)f'(x_0) 读作"ff 撇 x0x_0"或"ff 一撇在 x0x_0 处的值"。
  • dydx\dfrac{dy}{dx} 读作"dydy 比 dxdx"或"yy 对 xx 的导数"。现在先把它当成一个整体记号，学完第 05 讲（下）的"微分"你会发现它真的可以看成两个微分的商。
  • ∣x=x0\big|_{x=x_0} 读作"在 x=x0x=x_0 处取值"。
  • 注意：这是一个 00\dfrac00 型极限（分子分母都趋于 0），这正是前两讲练极限的用武之地。
  • 导函数：如果 ff 在区间内每一点都可导，那么每个 xx 对应一个导数值 f′(x)f'(x)，这就得到一个新函数，叫导函数，简称导数：
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx.f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} .

f′(x0)f'(x_0) 就是导函数 f′(x)f'(x) 在 x0x_0 处的值。

1.4 定义式的几种等价写法

写法一（增量式）：上面的定义，也常把 Δx\Delta x 写成 hh：

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h.f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .

写法二（两点式）：令 x=x0+hx=x_0+h，则 h→0h\to0 等价于 x→x0x\to x_0：

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} .

核心规律（务必吃透）：定义式的"骨架"是

f′(x0)=lim⁡□→0f(x0+□)−f(x0)□,f'(x_0)=\lim_{\square\to0}\frac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{\square},

其中 □\square 可以是任何趋于 0 的量（hh、−h-h、2h2h、h2h^2……），但必须满足：

  1. 分子中一个是 f(x0+□)f(x_0+\square)，另一个是 f(x0)f(x_0)（固定点）；
  2. 分母恰好就是那个 □\square（连符号、系数都要一致）。

不一致时，就"凑"成一致。

1.5 例题

例 1（用定义求导）：用定义求 f(x)=x2f(x)=x^2 在任意点 x0x_0 处的导数。

解：

  • 第一步，写改变量：f(x0+h)−f(x0)=(x0+h)2−x02=x02+2x0h+h2−x02=2x0h+h2f(x_0+h)-f(x_0)=(x_0+h)^2-x_0^2=x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2=2x_0h+h^2。
  • 第二步，除以 hh：2x0h+h2h=2x0+h\dfrac{2x_0h+h^2}{h}=2x_0+h（h≠0h\ne0 可以约）。
  • 第三步，取极限：lim⁡h→0(2x0+h)=2x0\lim\limits_{h\to0}(2x_0+h)=2x_0。

所以 f′(x0)=2x0f'(x_0)=2x_0，即 (x2)′=2x(x^2)'=2x。同样方法可以求出 (1x)′=−1x2\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}，(x)′=12x(\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}（x\sqrt x 需要分子有理化，可以自己试试）。

用定义求导的三步模板（以后遇到分段点、抽象函数都用它）：

  1. 写差：f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h)-f(x_0)，并尽量化简（展开、通分、有理化、和差化积）；
  2. 作商：除以 hh，把能约的 hh 约掉；
  3. 取极限：h→0h\to0，常用到前几讲的极限方法（重要极限、等价无穷小）。

例 2（用定义推出 (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x）：用定义求 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 的导函数。

解：

  • 第一步，写改变量，用和差化积公式 sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}（见第 01 讲）：
sin⁡(x+h)−sin⁡x=2cos⁡(x+h2)sin⁡h2.\sin(x+h)-\sin x=2\cos\left(x+\frac h2\right)\sin\frac h2 .
  • 第二步，除以 hh 并取极限：
lim⁡h→02cos⁡(x+h2)sin⁡h2h=lim⁡h→0cos⁡(x+h2)⋅sin⁡h2h2=cos⁡x⋅1=cos⁡x.\lim_{h\to0}\frac{2\cos\left(x+\frac h2\right)\sin\frac h2}{h}=\lim_{h\to0}\cos\left(x+\frac h2\right)\cdot\frac{\sin\frac h2}{\frac h2}=\cos x\cdot1=\cos x .

（cos⁡\cos 连续，所以 cos⁡(x+h2)→cos⁡x\cos\left(x+\frac h2\right)\to\cos x；sin⁡h2h2→1\dfrac{\sin\frac h2}{\frac h2}\to1 是第一个重要极限。）

所以 (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x。下篇公式表里的每一行，原则上都能这样从定义推出来——导数公式不是凭空规定的，而是算出来的。

例 3（乘积很长时，定义反而最快）：设 f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，求 f′(0)f'(0)。

解：如果先展开再求导，很麻烦。用两点式定义，注意 f(0)=0f(0)=0：

f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0x(x−1)(x−2)(x−3)x=lim⁡x→0(x−1)(x−2)(x−3)=(−1)(−2)(−3)=−6.f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x}=\lim_{x\to0}(x-1)(x-2)(x-3)=(-1)(-2)(-3)=-6 .

技巧：当 f(x)f(x) 是"(x−x0)⋅g(x)(x-x_0)\cdot g(x)"的形式且 gg 在 x0x_0 连续时，f′(x0)=g(x0)f'(x_0)=g(x_0)。这是考研选择、填空里很常见的快速算法。

例 4（凑定义式）：已知 f′(x0)=2f'(x_0)=2，求下列极限：

（1）lim⁡h→0f(x0+3h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+3h)-f(x_0)}{h}；（2）lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0−h)h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}；（3）lim⁡h→0f(x0)−f(x0−2h)h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0-2h)}{h}。

解：

（1）□=3h\square=3h，分母需要 3h3h，乘 3 除 3：

lim⁡h→0f(x0+3h)−f(x0)3h⋅3=3f′(x0)=6.\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+3h)-f(x_0)}{3h}\cdot3=3f'(x_0)=6 .

（2）分子里没有 f(x0)f(x_0)，"插入"一个：减一个 f(x0)f(x_0) 再加一个 f(x0)f(x_0)：

f(x0+h)−f(x0−h)h=f(x0+h)−f(x0)h+f(x0−h)−f(x0)−h.\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h} .

第一项 →f′(x0)\to f'(x_0)；第二项 □=−h\square=-h，分母正好是 −h-h，也 →f′(x0)\to f'(x_0)。所以极限 =2f′(x0)=4=2f'(x_0)=4。

（3）□=−2h\square=-2h。先调整分子顺序：f(x0)−f(x0−2h)=−[f(x0−2h)−f(x0)]f(x_0)-f(x_0-2h)=-\big[f(x_0-2h)-f(x_0)\big]。再把分母凑成 −2h-2h：

−[f(x0−2h)−f(x0)]h=f(x0−2h)−f(x0)−2h⋅−2hh⋅(−1)=f(x0−2h)−f(x0)−2h⋅2.\frac{-\big[f(x_0-2h)-f(x_0)\big]}{h}=\frac{f(x_0-2h)-f(x_0)}{-2h}\cdot\frac{-2h}{h}\cdot(-1)=\frac{f(x_0-2h)-f(x_0)}{-2h}\cdot2 .

所以极限 =2f′(x0)=4=2f'(x_0)=4。

易错点 ⚠️：

  • （2）的结论反过来不成立：lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0−h)2h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} 存在，推不出 ff 在 x0x_0 可导。反例：f(x)=∣x∣f(x)=|x|，x0=0x_0=0，这个极限是 ∣h∣−∣−h∣2h=0\dfrac{|h|-|-h|}{2h}=0，但 ∣x∣|x| 在 0 处不可导（见例 7）。原因是分子里两点都在"动"，没有固定点 f(x0)f(x_0)。
  • 凑系数时最容易丢负号。每次都检查：分母和 f(x0+□)f(x_0+\square) 里的 □\square 是否一模一样。

例 5（更多凑法）：已知 f′(x0)=2f'(x_0)=2，求：

（1）lim⁡h→0f(x0+2h)−f(x0−h)h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}；（2）lim⁡h→0f(x0+h2)−f(x0)h2\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h^2)-f(x_0)}{h^2}。

解：

（1）分子没有 f(x0)f(x_0)，先插入：

f(x0+2h)−f(x0−h)h=f(x0+2h)−f(x0)2h⋅2+f(x0−h)−f(x0)−h⋅1.\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}=\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}\cdot2+\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\cdot1 .

两项分别趋于 2f′(x0)2f'(x_0) 和 f′(x0)f'(x_0)，所以极限 =3f′(x0)=6=3f'(x_0)=6。

速算口诀：lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0+bh)h=(a−b)f′(x0)\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{h}=(a-b)f'(x_0)（前提是 f′(x0)f'(x_0) 存在）。这里 a=2a=2，b=−1b=-1，a−b=3a-b=3。

（2）□=h2→0\square=h^2\to0，分母也恰好是 h2h^2，完全符合骨架，极限就是 f′(x0)=2f'(x_0)=2。

例 6（两点式的变形）：设 f(x)=x3f(x)=x^3，求 lim⁡x→1f(x)−f(1)x2−1\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x^2-1}。

解：分母不是 x−1x-1，凑出来：x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1)，

lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1⋅1x+1=f′(1)⋅12.\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{1}{x+1}=f'(1)\cdot\frac12 .

f′(1)f'(1) 用定义：lim⁡x→1x3−1x−1=lim⁡x→1(x2+x+1)=3\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x^2+x+1)=3，所以原式 =32=\dfrac32。

1.6 左导数与右导数

大白话：只从一侧逼近时得到的导数。分段函数在分界点、带绝对值的函数在"拐角"处，左右两边的"坡度"可能不同。

f−′(x0)=lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0)h,f+′(x0)=lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0)h.f'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\qquad f'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .
  • f−′(x0)f'_-(x_0) 读作"ff 在 x0x_0 处的左导数"，f+′(x0)f'_+(x_0) 读作"右导数"。
  • 结论：ff 在 x0x_0 可导 ⟺ 左右导数都存在且相等。

例 7：讨论 f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 x=0x=0 处的可导性。

解：f(0)=0f(0)=0。

f−′(0)=lim⁡h→0−∣h∣−0h=lim⁡h→0−−hh=−1,f+′(0)=lim⁡h→0+∣h∣h=1.f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1,\qquad f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1 .

左右导数不等，所以 ∣x∣|x| 在 x=0x=0 处不可导。图像上，y=∣x∣y=|x| 在原点是一个"尖角"：左边坡度 −1-1，右边坡度 11，没有唯一的切线。

例 8：设 f(x)={x2,x≤1,ax+b,x>1,f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le1,\\ ax+b, & x>1,\end{cases} 求 a,ba,b 使 ff 在 x=1x=1 处可导。

解：

  • 第一步，可导必先连续（见第二节）。f(1)=12=1f(1)=1^2=1，右极限 lim⁡x→1+(ax+b)=a+b\lim\limits_{x\to1^+}(ax+b)=a+b。连续要求 a+b=1a+b=1。
  • 第二步，左导数（h<0h<0，1+h<11+h<1，用 x2x^2）：
f−′(1)=lim⁡h→0−(1+h)2−1h=lim⁡h→0−(2+h)=2.f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{(1+h)^2-1}{h}=\lim_{h\to0^-}(2+h)=2 .
  • 第三步，右导数（h>0h>0，用 ax+bax+b，并用 a+b=1a+b=1）：
f+′(1)=lim⁡h→0+a(1+h)+b−1h=lim⁡h→0+(a+b−1)+ahh=lim⁡h→0+ahh=a.f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{a(1+h)+b-1}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{(a+b-1)+ah}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{ah}{h}=a .
  • 第四步，左右导数相等：a=2a=2，从而 b=1−a=−1b=1-a=-1。

故 a=2a=2，b=−1b=-1。

易错点 ⚠️：

  • 求右导数时，分子里的 f(1)f(1) 要用真正的函数值 f(1)=1f(1)=1，而不是把 x=1x=1 代入 ax+bax+b。
  • 一定先保证连续。如果不连续，右导数的分子不趋于 0，极限直接是 ∞\infty（或不存在）。

例 9：讨论 f(x)=∣x2−1∣f(x)=|x^2-1| 在 x=1x=1 处的可导性。

解：f(1)=0f(1)=0。在 x=1x=1 附近：x>1x>1 时 x2−1>0x^2-1>0，f=x2−1f=x^2-1；x<1x<1（且靠近 1）时 x2−1<0x^2-1<0，f=1−x2f=1-x^2。

f+′(1)=lim⁡h→0+(1+h)2−1h=lim⁡h→0+(2+h)=2,f−′(1)=lim⁡h→0−1−(1+h)2h=lim⁡h→0−(−2−h)=−2.f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h)^2-1}{h}=\lim_{h\to0^+}(2+h)=2,\qquad f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{1-(1+h)^2}{h}=\lim_{h\to0^-}(-2-h)=-2 .

左右导数不等，不可导。图像上，抛物线 y=x2−1y=x^2-1 在 xx 轴下方的部分被"翻折"上来，翻折处形成尖角。

规律：∣g(x)∣|g(x)| 在 g(x0)=0g(x_0)=0 的点，若 g′(x0)≠0g'(x_0)\ne0，一般不可导（会出现尖角）；若 g′(x0)=0g'(x_0)=0（比如 ∣x3∣|x^3| 在 x=0x=0），则可能可导。

二、可导与连续的关系

2.1 结论

可导 ⟹ 连续;连续 ⟹̸ 可导.\text{可导}\ \Longrightarrow\ \text{连续};\qquad \text{连续}\ \not\Longrightarrow\ \text{可导} .

（⟹̸\not\Longrightarrow 读作"推不出"。）

2.2 为什么可导必连续（一行证明）

lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0ΔyΔx⋅Δx=f′(x0)⋅0=0.\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x=f'(x_0)\cdot0=0 .

而 lim⁡Δx→0Δy=0\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0 正是连续的定义（第 04 讲）。

大白话：导数存在，说明 Δy\Delta y 大约是 f′(x0)f'(x_0) 倍的 Δx\Delta x；Δx→0\Delta x\to0，Δy\Delta y 当然也 →0\to0。

2.3 连续不一定可导：反例

例 10：

（1）f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 x=0x=0：连续（lim⁡x→0∣x∣=0=f(0)\lim\limits_{x\to0}|x|=0=f(0)），但不可导（例 7）。图像有尖角。

（2）f(x)={xsin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x, & x\ne0\\ 0, & x=0\end{cases} 在 x=0x=0：

  • 连续：lim⁡x→0xsin⁡1x=0=f(0)\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0=f(0)（有界 × 无穷小）。
  • 导数：f(h)−f(0)h=hsin⁡1hh=sin⁡1h\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h\sin\frac1h}{h}=\sin\dfrac1h，h→0h\to0 时振荡，没有极限，所以不可导。

（3）对比：g(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0g(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x, & x\ne0\\ 0, & x=0\end{cases} 在 x=0x=0：

g′(0)=lim⁡h→0h2sin⁡1h−0h=lim⁡h→0hsin⁡1h=0,g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin\frac1h-0}{h}=\lim_{h\to0}h\sin\frac1h=0,

可导，且 g′(0)=0g'(0)=0。多乘了一个 xx，就从"不可导"变成"可导"了。

（4）f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]x 在 x=0x=0：连续（x3→0\sqrt[3]{x}\to0），但

f(h)−f(0)h=h3h=1h23→+∞,\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]h}{h}=\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}\to+\infty,

导数为无穷大，不可导。图像在原点没有尖角，看起来很顺，但切线是竖直的（x=0x=0），斜率不存在。这说明"不可导"不只有"尖角"一种样子，"竖直切线"也是一种。

连续但不可导的两种样子：y=|x| 在原点有尖角；y=∛x 在原点切线竖直 x y O ① y = |x|：尖角 左边斜率 −1，右边斜率 +1 x y O ② y = ∛x：竖直切线 切线是 x = 0，斜率不存在

图 2：连续但不可导的两种样子：尖角（|x|）与竖直切线（∛x）

易错点 ⚠️：

  • 逆否命题很好用：不连续 ⟹ 一定不可导。判断可导性时，先看连续，不连续直接下结论。
  • "函数图像光滑没有尖角"是可导的直观说法，但严格判断一定要回到定义。

三、导数的几何意义：切线与法线

3.1 结论

f′(x0)f'(x_0) 就是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x0,f(x0))\big(x_0,f(x_0)\big) 处切线的斜率。

  • 切线方程（点斜式）：
y−f(x0)=f′(x0) (x−x0).y-f(x_0)=f'(x_0)\,(x-x_0) .
  • 法线：过切点、与切线垂直的直线。两条垂直直线斜率之积为 −1-1，所以当 f′(x0)≠0f'(x_0)\ne0 时法线斜率是 −1f′(x0)-\dfrac1{f'(x_0)}，法线方程：
y−f(x0)=−1f′(x0) (x−x0).y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\,(x-x_0) .

逐行拆解：

  • 点斜式 y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)：过点 (x0,y0)(x_0,y_0)、斜率为 kk 的直线（中学知识，见第 01 讲）。
  • 特殊情况：f′(x0)=0f'(x_0)=0 时切线水平（y=f(x0)y=f(x_0)），法线竖直（x=x0x=x_0）。
  • 若 lim⁡ΔyΔx=∞\lim\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\infty（导数为无穷大，严格说不可导），切线竖直，方程为 x=x0x=x_0。例如 y=x3y=\sqrt[3]x 在原点。
曲线 y=x³ 在点(1,1)处的切线 y=3x−2 与法线 y=−x/3+4/3 x y O 1 2 1 (1,1) 切线 y=3x−2，斜率 3 法线，斜率 −1/3 y = x³

图 3：例 11 的图：y=x³ 在 (1,1) 处的切线（斜率 3）与法线（斜率 −1/3）互相垂直

3.2 例题

（下面几道例题中用到的导数，如 (x3)′=3x2(x^3)'=3x^2、(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x、(ex)′=ex(e^x)'=e^x，可以用定义算出来；第 05 讲（下）会把它们整理成公式表。现在先借用。）

例 11：求曲线 y=x3y=x^3 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程和法线方程。

解：

  • 第一步，求斜率：y′=3x2y'=3x^2，y′∣x=1=3y'|_{x=1}=3。
  • 第二步，切线：y−1=3(x−1)y-1=3(x-1)，即 y=3x−2y=3x-2。
  • 第三步，法线斜率 −13-\dfrac13：y−1=−13(x−1)y-1=-\dfrac13(x-1)，即 y=−13x+43y=-\dfrac13x+\dfrac43（也可写成 x+3y−4=0x+3y-4=0）。

例 12：求曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 (1,0)(1,0) 处的切线和法线方程。

解：y′=1xy'=\dfrac1x，y′∣x=1=1y'|_{x=1}=1。切线：y−0=1⋅(x−1)y-0=1\cdot(x-1)，即 y=x−1y=x-1；法线斜率 −1-1：y=−(x−1)y=-(x-1)，即 y=−x+1y=-x+1。

例 13：求曲线 y=exy=e^x 在点 (0,1)(0,1) 处的切线方程。

解：y′=exy'=e^x，y′(0)=1y'(0)=1。切线：y−1=1⋅(x−0)y-1=1\cdot(x-0)，即 y=x+1y=x+1。

（这条切线在第 03 讲出现过"影子"：ex−1∼xe^x-1\sim x，就是说在 x=0x=0 附近，曲线 y=exy=e^x 和直线 y=1+xy=1+x 几乎重合。）

例 14（已知斜率求切点）：曲线 y=x2y=x^2 上哪一点的切线与直线 y=4x−1y=4x-1 平行？写出这条切线。

解：

  • 第一步，平行意味着斜率相等，所以切线斜率为 4。
  • 第二步，y′=2xy'=2x，令 2x=42x=4，得 x=2x=2，切点为 (2,4)(2,4)。
  • 第三步，切线：y−4=4(x−2)y-4=4(x-2)，即 y=4x−4y=4x-4。

易错点 ⚠️：切点的纵坐标要代回原函数 y=x2y=x^2 算（y=4y=4），不是代入导函数。

易错点 ⚠️：

  • 斜率是导函数在切点处的值，是一个数。不要把 3x23x^2 这个函数直接当斜率写进方程。
  • 题目说"过某点的切线"时，要分清这个点是不是在曲线上（是不是切点）。本讲只练"在某点处"的切线，即点就是切点。

四、抽象函数的导数

考研很喜欢不给 f(x)f(x) 的具体表达式，只给一些条件，让你判断可导性或求导数值。这时唯一的工具就是定义。

例 15：设 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处连续，且 lim⁡x→0f(x)x=1\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=1。求 f(0)f(0) 和 f′(0)f'(0)。

解：

  • 第一步，求 f(0)f(0)。分母 x→0x\to0，而比值的极限是有限数 1，所以分子也必须 →0\to0（否则比值会趋于 ∞\infty）：
lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0f(x)x⋅x=1⋅0=0.\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\cdot x=1\cdot0=0 .

又 ff 在 00 处连续，所以 f(0)=lim⁡x→0f(x)=0f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x)=0。

  • 第二步，求 f′(0)f'(0)。用两点式定义：
f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f(x)x=1.f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1 .

要记住的套路：lim⁡x→0f(x)x=A\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=A 且 ff 在 0 处连续 ⟹ f(0)=0f(0)=0，f′(0)=Af'(0)=A。（可以用具体函数 f(x)=sin⁡x+x2f(x)=\sin x+x^2 检验：它满足条件，f(0)=0f(0)=0，f′(0)=1f'(0)=1。）

五、常见疑问

问：f′(x0)f'(x_0) 和 [f(x0)]′\big[f(x_0)\big]' 一样吗？

答：不一样。f′(x0)f'(x_0) 是"先求导函数，再代入 x0x_0"；[f(x0)]′\big[f(x_0)\big]' 是"先代入得到一个常数，再对常数求导"，结果永远是 0。比如 f(x)=x2f(x)=x^2，f′(3)=6f'(3)=6，而 [f(3)]′=(9)′=0\big[f(3)\big]'=(9)'=0。

问：导函数在 x0x_0 处有极限，是不是就说明 ff 在 x0x_0 可导？

答：不能直接这么说。在分界点处，最可靠的办法还是用定义算左右导数。例如例 8 中，我们是用定义算出左右导数的，而不是对两段分别求导再代入（那种做法需要先保证连续，等学完第 07 讲的中值定理才能说清楚其中的道理）。

问：可导的函数，图像一定"光滑"吗？光滑的一定可导吗？

答：直观上，可导 = 图像在该点有唯一的、不竖直的切线 = 没有尖角、没有断开。但"光滑"是一种直观说法，判断时一定要回到定义。比如 y=x3y=\sqrt[3]x 在原点看起来很顺滑，但那里切线是竖直的（差商 →∞\to\infty），不可导。

问：左导数 f−′(x0)f'_-(x_0) 和"导函数的左极限" lim⁡x→x0−f′(x)\lim\limits_{x\to x_0^-}f'(x) 是一回事吗？

答：不是一回事，前者是用定义算的，后者是先求导函数再取极限。本讲判断分界点处的可导性，一律用定义算左右导数，这是最稳妥的做法。

公式/结论速记卡

导数定义：

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} .

骨架：f(x0+□)−f(x0)□\dfrac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{\square}，□→0\square\to0；分母与 □\square 一模一样，分子必须有固定点 f(x0)f(x_0)。

速算：lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0+bh)h=(a−b)f′(x0)\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+ah)-f(x_0+bh)}{h}=(a-b)f'(x_0)（f′(x0)f'(x_0) 存在时）。反过来，对称差商存在推不出可导。

乘积快算：f(x)=(x−x0)g(x)f(x)=(x-x_0)g(x)，gg 在 x0x_0 连续 ⟹ f′(x0)=g(x0)f'(x_0)=g(x_0)。

抽象函数：ff 在 0 连续且 lim⁡x→0f(x)x=A\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=A ⟹ f(0)=0f(0)=0，f′(0)=Af'(0)=A。

左右导数：f±′(x0)=lim⁡h→0±f(x0+h)−f(x0)hf'_\pm(x_0)=\lim\limits_{h\to0^\pm}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}；可导 ⟺ 左右导数存在且相等。分段函数分界点处：先保证连续，再比左右导数。

可导与连续：可导 ⟹ 连续；连续 ⇏ 可导（∣x∣|x|、xsin⁡1xx\sin\dfrac1x 在 0 处）；不连续 ⟹ 不可导。x2sin⁡1xx^2\sin\dfrac1x（补 f(0)=0f(0)=0）在 0 处可导。

切线：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)；法线：y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)；f′(x0)=0f'(x_0)=0 时切线水平、法线竖直。

自测练习

1. 已知 f′(x0)=3f'(x_0)=3，求 lim⁡h→0f(x0−h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}。

答案与提示

−3-3。分母凑成 −h-h：原式 =−lim⁡f(x0−h)−f(x0)−h=−3=-\lim\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}=-3。

2. 已知 f′(x0)=2f'(x_0)=2，求 lim⁡h→0f(x0+2h)−f(x0)h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h} 和 lim⁡h→0f(x0)−f(x0+h)3h\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0+h)}{3h}。

答案与提示

44 和 −23-\dfrac23。第一个：f(x0+2h)−f(x0)2h⋅2→2f′(x0)=4\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}\cdot2\to2f'(x_0)=4。第二个：−13⋅f(x0+h)−f(x0)h→−13⋅2=−23-\dfrac13\cdot\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to-\dfrac13\cdot2=-\dfrac23。

3. 讨论 f(x)=x∣x∣f(x)=x|x| 在 x=0x=0 处是否可导；若可导，求 f′(0)f'(0)。

答案与提示

可导，f′(0)=0f'(0)=0。f(h)−f(0)h=h∣h∣h=∣h∣→0\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h|h|}{h}=|h|\to0（左右都趋于 0）。

4. 设 f(x)={ex,x<0,ax+b,x≥0f(x)=\begin{cases}e^x, & x<0,\\ ax+b, & x\ge0\end{cases} 在 x=0x=0 处可导，求 a,ba,b。

答案与提示

a=b=1a=b=1。连续：左极限 1=f(0)=b1=f(0)=b。左导数 lim⁡h→0−eh−1h=1\lim\limits_{h\to0^-}\dfrac{e^h-1}{h}=1；右导数 lim⁡h→0+(ah+1)−1h=a\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{(ah+1)-1}{h}=a。令 a=1a=1。

5. 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，求 f′(0)f'(0)。

答案与提示

120120。f′(0)=lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→0(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120。

6. 求曲线 y=1xy=\dfrac1x 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程和法线方程。

答案与提示

y′=−1x2y'=-\dfrac1{x^2}，y′(1)=−1y'(1)=-1。切线：y−1=−(x−1)y-1=-(x-1)，即 y=−x+2y=-x+2。法线斜率 11：y−1=x−1y-1=x-1，即 y=xy=x。

7. 求曲线 y=xy=\sqrt x 在 x=4x=4 处的切线方程和法线方程。

答案与提示

切点 (4,2)(4,2)，y′=12xy'=\dfrac1{2\sqrt x}，y′(4)=14y'(4)=\dfrac14。切线 y=14x+1y=\dfrac14x+1；法线斜率 −4-4：y−2=−4(x−4)y-2=-4(x-4)，即 y=−4x+18y=-4x+18。

8. 曲线 y=x2y=x^2 上哪一点的切线与直线 y=2x+3y=2x+3 平行？写出这条切线。

答案与提示

令 2x=22x=2，x=1x=1，切点 (1,1)(1,1)。切线 y−1=2(x−1)y-1=2(x-1)，即 y=2x−1y=2x-1。

9.（略提高）设 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处连续，且 lim⁡x→0f(x)x=1\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=1。求 f(0)f(0) 和 f′(0)f'(0)，并求曲线 y=f(x)y=f(x) 在原点处的切线方程。

答案与提示

f(0)=0f(0)=0，f′(0)=1f'(0)=1（见第四节的套路）。切线过 (0,0)(0,0)、斜率 1：y=xy=x。

下一讲预告

第 05 讲（下）：背熟基本求导公式表，掌握四则运算法则和复合函数的链式法则，并理解微分 dy=f′(x) dxdy=f'(x)\,dx 的含义——从"会定义"走向"会计算"。

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