考研数学二·零基础讲义 第04讲（下）｜闭区间上连续函数的性质

考研数学二·零基础讲义 · 第 04 讲（下）｜闭区间上连续函数的性质

学完这一讲（下篇），你能说清楚"闭区间 + 连续"能保证哪些好性质，会用最值定理、介值定理证明"某个函数值等于平均值"，会用零点定理证明方程有根、至少有几个根，并掌握构造辅助函数的基本口诀。预计用时：2.5～3.5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 有界性与最值定理：闭区间上的连续函数一定有界，一定取得到最大值和最小值。
• 介值定理：连续函数从一个值变到另一个值，中间每个值都要经过；"最值夹住 + 介值取到"的平均值套路。
• 零点定理：两端异号，中间必有零点；用来证明方程有根、至少有几个根。
• 构造辅助函数：把"要证的等式"移项成"$g(x)=0$"。
• 大纲要求：理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
• 考研怎么考：零点定理常作为证明题的第一问出现，或者作为后面中值定理证明的"前置一步"；"三个性质成立的条件"也会出概念性选择题。

前置知识#

• 连续的定义、左右连续、初等函数的连续性：见第 04 讲（上）。
• 区间记号 $[a,b]$（闭区间，含端点）、$(a,b)$（开区间，不含端点）：见第 01 讲。

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一、闭区间上连续函数的三大性质#

1.1 为什么强调"闭区间"#

大白话：闭区间 $[a,b]$ 包含两个端点，开区间 $(a,b)$ 不包含。下面这些好性质，必须同时满足"闭区间"和"连续"两个条件，少一个就可能失效。后面的例子会让你看到为什么。

1.2 有界性与最值定理#

定理：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则

1. 有界：存在 $M>0$，使 $|f(x)|\le M$ 对一切 $x\in[a,b]$ 成立；
2. 最值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上一定能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$。

图 1：最值定理：闭区间上的连续曲线一定有最高点和最低点

逐行拆解：

• $x\in[a,b]$ 读作"$x$ 属于闭区间 $a$ 到 $b$"。
• "取到"的意思是：存在具体的点 $x_1,x_2\in[a,b]$，使 $f(x_1)=M$ 是最大值、$f(x_2)=m$ 是最小值。

反例（看看条件少了会怎样）：

• 不是闭区间：$f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1]$ 上连续，但 $x\to0^+$ 时无界，没有最大值。
• 不是闭区间：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续、有界，但取不到最大值（无限接近 1，但 1 不在区间内），也取不到最小值。
• 不连续：$f(x)=\begin{cases}x,&0\le x<1\\0,&x=1\end{cases}$ 在 $[0,1]$ 上取不到最大值。

例 1（感受"最值可以在端点，也可以在内部"）：$f(x)=x^2$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值是多少？在哪里取到？

解：$f$ 在闭区间 $[-1,2]$ 上连续，由最值定理，最大值、最小值一定存在。画出抛物线 $y=x^2$ 在 $[-1,2]$ 上的一段：它从 $x=-1$（$y=1$）往下走到 $x=0$（$y=0$），再往上走到 $x=2$（$y=4$）。

• 最小值 $0$，在区间内部 $x=0$ 处取到；
• 最大值 $4$，在端点 $x=2$ 处取到。

所以找最值时，端点和内部的"转折点"都要看。如何系统地找转折点，第 08 讲用导数解决。

易错点 ⚠️：最值定理只说"存在"，不说"唯一的取值点"。比如 $\cos x$ 在 $[0,4\pi]$ 上的最大值 1，在 $x=0,2\pi,4\pi$ 三处都取到。

1.3 介值定理#

大白话：你早上 8 点体重 60 kg，晚上 8 点 61 kg，体重是连续变化的，那么这一天中一定有某个时刻体重恰好是 60.5 kg。连续变化的量，从一个值变到另一个值，中间每一个值都必须经过，不可能"瞬移"过去。

图 2：介值定理：只要 C 夹在最小值 m 和最大值 M 之间，水平线 y = C 就一定和曲线相交（交点可能不止一个）

定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$m$ 和 $M$ 分别是最小值和最大值，则对介于 $m$ 与 $M$ 之间的任何数 $C$（$m\le C\le M$），都存在 $\xi\in[a,b]$，使

$$f(\xi)=C .$$

逐行拆解：

• $\xi$ 读作"克西"（xi），是习惯用来表示"存在的那个点"的字母。定理只保证"存在"，不告诉你在哪。
• 常用推论：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$C$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，则存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=C$。

例 2：$f(x)=x^3$ 在 $[1,2]$ 上，$f(1)=1$，$f(2)=8$。由介值定理，存在 $\xi\in[1,2]$ 使 $\xi^3=5$。（实际上 $\xi=\sqrt[3]5\approx1.710$，确实在 $[1,2]$ 内。）

例 3（一个常考套路）：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x_1,x_2\in[a,b]$。证明：存在 $\xi\in[a,b]$，使 $f(\xi)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。

证明：

• 第一步：$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，由最值定理，有最小值 $m$ 和最大值 $M$。
• 第二步：$m\le f(x_1)\le M$，$m\le f(x_2)\le M$，两式相加再除以 2：

$$m\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\le M .$$

• 第三步：由介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。证毕。

（"平均值一定夹在最小值和最大值之间"——这个思路可以推广到 $n$ 个点的平均值。）

例 4（推广到加权平均）：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$a\le c<d\le b$，$p>0$，$q>0$。证明：存在 $\xi\in[a,b]$，使

$$pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi) .$$

证明：

• 第一步，由最值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上有最小值 $m$、最大值 $M$，于是 $m\le f(c)\le M$，$m\le f(d)\le M$。
• 第二步，两式分别乘以正数 $p$、$q$（不等号方向不变），再相加：

$$(p+q)m\le pf(c)+qf(d)\le(p+q)M .$$

• 第三步，除以正数 $p+q$：$m\le\dfrac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\le M$。
• 第四步，由介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=\dfrac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$，两边乘以 $p+q$ 即得结论。证毕。

套路总结：要证"某个函数值等于若干函数值的（加权）平均"，就用"最值定理夹住 + 介值定理取到"这两步。$p=q=1$ 时就是例 3。

1.4 零点定理#

大白话：一条连续的路从河的南岸走到北岸，一定要过河——中间一定有一点踩在河线上。把"河线"想成 $x$ 轴：函数值从负变成正（或从正变成负），中间必然经过 0。

定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$（两端点函数值异号），则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使

$$f(\xi)=0 .$$

逐行拆解：

• $f(a)\cdot f(b)<0$：乘积为负，说明一正一负。
• 注意结论里是开区间 $(a,b)$：因为端点的值不为 0，零点只能在内部。
• "零点"就是方程 $f(x)=0$ 的根。所以零点定理 = 证明方程有根的工具。
• 它只保证"至少一个"，不保证只有一个。要证"恰有一个"，还需单调性（第 08 讲）。

零点定理还能"找"根：二分法

零点定理只说根存在，但反复使用它，就能把根"夹"得越来越准。以 $f(x)=x^3+x-1$ 为例（已知根在 $(0,1)$ 内）：

步骤	取中点	中点函数值	根所在区间
1	$0.5$	$-0.375<0$	$(0.5,\,1)$
2	$0.75$	$\approx0.172>0$	$(0.5,\,0.75)$
3	$0.625$	$\approx-0.131<0$	$(0.625,\,0.75)$
4	$0.6875$	$\approx0.012>0$	$(0.625,\,0.6875)$

每一步：看中点函数值的符号，保留"两端异号"的那一半。四步之后区间长度只剩 $\dfrac1{16}$，根约为 $0.68$（精确到小数点后三位是 $0.682$）。考研不考具体计算，但这能帮你真正理解零点定理在说什么。

1.5 应用：证明方程有根#

解题模板：

1. 把方程移项成 $f(x)=0$ 的形式，构造 $f(x)$；
2. 说明 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续（通常一句"初等函数，在 $[a,b]$ 上有定义，故连续"）；
3. 算 $f(a)$、$f(b)$，说明异号；
4. 由零点定理下结论。

例 5：证明方程 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

证明：

• 设 $f(x)=x^3+x-1$，它是多项式，在 $[0,1]$ 上连续。
• $f(0)=0+0-1=-1<0$，$f(1)=1+1-1=1>0$。
• $f(0)\cdot f(1)<0$，由零点定理，至少存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f(\xi)=0$，即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。证毕。

（数值上这个根约为 $0.682$。）

图 3：例 5 的图：$f(x)=x^3+x-1$ 在 0 处为负、在 1 处为正，曲线必然在 $(0,1)$ 内穿过 x 轴

例 6：证明方程 $x=\cos x$ 在 $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ 内至少有一个实根。

证明：

• 移项构造 $f(x)=x-\cos x$，在 $\left[0,\dfrac\pi2\right]$ 上连续（初等函数）。
• $f(0)=0-1=-1<0$；$f\left(\dfrac\pi2\right)=\dfrac\pi2-0=\dfrac\pi2>0$。
• 由零点定理，至少存在 $\xi\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$，使 $\xi-\cos\xi=0$，即 $\xi=\cos\xi$。证毕。

（数值上这个根约为 $0.739$。）

例 7：证明方程 $x\cdot2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根。

证明：设 $f(x)=x\cdot2^x-1$，在 $[0,1]$ 上连续。$f(0)=-1<0$，$f(1)=2-1=1>0$。由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f(\xi)=0$，即 $\xi\cdot2^\xi=1$，$\xi$ 是小于 1 的正根。证毕。

易错点 ⚠️：

• "连续"这一步不能省。阅卷时"$f$ 在 $[a,b]$ 上连续"是必要步骤。
• 区间端点不好选时，先试 $0,1,-1$ 或题目给的端点；三角函数常试 $0,\dfrac\pi2,\pi$。
• 零点定理要求闭区间连续。反例：$f(x)=\dfrac1x$，$f(-1)=-1<0$，$f(1)=1>0$，但它没有零点——因为它在 $x=0$ 处断开了，不在 $[-1,1]$ 上连续。

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二、更多证明题：根的个数与构造辅助函数#

2.1 证明方程至少有几个根#

思路：零点定理每用一次，得到一个根。要证"至少 $n$ 个根"，就找 $n$ 个互不重叠的小区间，在每个小区间的端点上函数值都异号。

例 8：证明方程 $x^3-3x+1=0$ 至少有三个实根。

证明：

• 设 $f(x)=x^3-3x+1$，多项式，在整个实数轴上连续。
• 列表算几个整数点的函数值（试点技巧：从 $0,\pm1,\pm2$ 试起）：

$x$	$-2$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$-8+6+1=-1$	$1$	$1-3+1=-1$	$8-6+1=3$

• 符号依次为 $-,+,-,+$，变号三次：
  • $f(-2)f(0)<0$ ⟹ $(-2,0)$ 内有一根；
  • $f(0)f(1)<0$ ⟹ $(0,1)$ 内有一根；
  • $f(1)f(2)<0$ ⟹ $(1,2)$ 内有一根。
• 三个区间互不重叠，所以这三个根互不相同，方程至少有三个实根。证毕。

（又因为三次方程最多三个实根，所以恰好三个。数值上约为 $-1.879$、$0.347$、$1.532$。）

例 9：证明方程 $e^x=3x$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

证明：设 $f(x)=e^x-3x$，在 $[0,1]$ 上连续。$f(0)=1>0$；$f(1)=e-3<0$（$e\approx2.718$）。由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $e^\xi=3\xi$。证毕。（数值上约为 $0.619$。）

2.2 端点可能恰好是根：别漏了"等于 0"的情况#

例 10：设 $a>0$，$b>0$。证明方程 $x=a\sin x+b$ 至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$。

证明：

• 构造 $f(x)=x-a\sin x-b$，在 $[0,a+b]$ 上连续。
• 左端点：$f(0)=0-0-b=-b<0$。
• 右端点：$f(a+b)=(a+b)-a\sin(a+b)-b=a\big[1-\sin(a+b)\big]\ge0$（因为 $\sin(a+b)\le1$）。
• 分两种情况：
  • 若 $f(a+b)=0$，则 $x=a+b$ 本身就是根，它是正数且不超过 $a+b$；
  • 若 $f(a+b)>0$，则 $f(0)f(a+b)<0$，由零点定理，存在 $\xi\in(0,a+b)$ 使 $f(\xi)=0$。
• 两种情况下，方程都有一个根落在 $(0,a+b]$ 内。证毕。

易错点 ⚠️：端点函数值只能证明"$\ge0$"而不是"$>0$"时，必须单独讨论"$=0$"的情况，结论区间也要相应写成半开或闭区间。

2.3 构造辅助函数：把"等式"变成"函数 $=0$"#

例 11（不动点）：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $0\le f(x)\le1$。证明：存在 $\xi\in[0,1]$，使 $f(\xi)=\xi$。

大白话：$y=f(x)$ 的图像被关在正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 里，从左边走到右边，一定会碰到对角线 $y=x$。

证明：

• 要证 $f(\xi)=\xi$，就是要证 $f(\xi)-\xi=0$，所以构造 $g(x)=f(x)-x$，在 $[0,1]$ 上连续。
• $g(0)=f(0)-0=f(0)\ge0$；$g(1)=f(1)-1\le0$。
• 若 $g(0)=0$，取 $\xi=0$；若 $g(1)=0$，取 $\xi=1$；
• 否则 $g(0)>0$，$g(1)<0$，由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $g(\xi)=0$。
• 综上，存在 $\xi\in[0,1]$ 使 $f(\xi)=\xi$。证毕。

构造辅助函数的口诀：要证什么等于什么，就把它们全移到一边，令那一边为 $g(x)$；把 $\xi$ 换成 $x$ 即可。例如：

要证	构造
$f(\xi)=\xi$	$g(x)=f(x)-x$
$f(\xi)=f(\xi+1)$	$g(x)=f(x)-f(x+1)$
$f(\xi)=g(\xi)$	$F(x)=f(x)-g(x)$
方程 $\ln x=\dfrac1x$ 有根	$F(x)=\ln x-\dfrac1x$

这个思路在第 07 讲（中值定理证明题）还会大量使用，那时候构造的函数会更巧妙。

例 12：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：存在 $\xi\in(0,1)$，使 $f(\xi)=1-\xi$。

证明：

• 移项：要证 $f(\xi)+\xi-1=0$，构造 $g(x)=f(x)+x-1$，在 $[0,1]$ 上连续。
• $g(0)=0+0-1=-1<0$，$g(1)=1+1-1=1>0$。
• 由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=1-\xi$。证毕。

几何意义：曲线 $y=f(x)$ 从点 $(0,0)$ 连续地走到点 $(1,1)$，而直线 $y=1-x$ 从 $(0,1)$ 走到 $(1,0)$，两者一个从下往上、一个从上往下，必然相交。

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三、常见疑问#

问：闭区间上连续，就一定能求出最大值在哪里吗？

答：最值定理只保证"存在"，不告诉你在哪。具体求最值要用导数（第 08 讲）。这一讲的几个定理都是"存在性"定理，常用于证明题。

问：零点定理说"至少一个"，怎么证明"恰好一个"？

答：再证明 $f$ 在区间内单调（比如导数恒正），单调函数最多穿过 $x$ 轴一次。例 5 中 $f(x)=x^3+x-1$ 的导数 $3x^2+1>0$，所以它在 $(0,1)$ 内恰有一个根。导数判断单调性在第 08 讲详细讲。

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问：为什么零点定理的结论是开区间 $(a,b)$，而介值定理是闭区间 $[a,b]$？

答：零点定理的条件 $f(a)f(b)<0$ 说明两个端点的函数值都不是 0，所以零点只能在内部；介值定理中的 $C$ 可能恰好等于 $f(a)$ 或 $f(b)$，这时 $\xi$ 可以取端点，所以写闭区间。

问：证明题里"$f$ 在 $[a,b]$ 上连续"这句话为什么不能省？

答：三个定理都以"闭区间上连续"为前提，不验证前提就用定理，逻辑上是不完整的，阅卷时会扣分。对初等函数，一句"$f$ 是初等函数，在 $[a,b]$ 上有定义，故连续"就够了；对抽象函数，用题目条件说明（比如"$f$ 连续，所以 $g(x)=f(x)-x$ 连续"）。

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公式/结论速记卡#

前提：$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（两个条件缺一不可）。

性质	结论
有界性	存在 $M>0$，$\lvert f(x)\rvert\le M$
最值定理	存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，$f(x_1)=M$ 最大，$f(x_2)=m$ 最小
介值定理	$m\le C\le M\Rightarrow\exists\,\xi\in[a,b]$，$f(\xi)=C$
零点定理	$f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists\,\xi\in(a,b)$，$f(\xi)=0$

平均值套路：$m\le\dfrac{pf(c)+qf(d)}{p+q}\le M$（$p,q>0$）→ 介值定理取到。

证明方程有根四步：构造 $f$ → 说连续 → 端点异号 → 零点定理。

至少 $n$ 个根：找 $n$ 个互不重叠、端点异号的小区间（列表试 $0,\pm1,\pm2$）。

端点可能为 0：分"$=0$"与"异号"两种情况讨论，结论区间写成含端点。

构造辅助函数：要证的等式全移到一边，$\xi$ 换成 $x$。

都是"存在性"定理：只保证存在，不告诉在哪，也不保证唯一（唯一性需单调性，第 08 讲）。

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自测练习#

1. 证明方程 $x^5-3x=1$ 在 $(1,2)$ 内至少有一个实根。

答案与提示

设 $f(x)=x^5-3x-1$，在 $[1,2]$ 上连续。$f(1)=1-3-1=-3<0$，$f(2)=32-6-1=25>0$。由零点定理得证。

2. 证明方程 $xe^x=2$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

答案与提示

设 $f(x)=xe^x-2$，在 $[0,1]$ 上连续。$f(0)=-2<0$，$f(1)=e-2>0$。由零点定理得证。

3. 证明方程 $x^5+x-1=0$ 有一个小于 1 的正根。

答案与提示

设 $f(x)=x^5+x-1$，$f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$，由零点定理在 $(0,1)$ 内有根。（数值上约为 $0.755$。）

4. 证明方程 $x^4-x-1=0$ 至少有两个实根。

答案与提示

设 $f(x)=x^4-x-1$，处处连续。$f(-1)=1+1-1=1>0$，$f(0)=-1<0$，$f(1)=1-1-1=-1<0$，$f(2)=16-2-1=13>0$。在 $(-1,0)$ 和 $(1,2)$ 内各有一根，两区间不重叠，故至少两个实根。（数值上约为 $-0.724$ 和 $1.221$。）

5. 证明方程 $\ln x=\dfrac1x$ 在 $(1,e)$ 内至少有一个实根。

答案与提示

设 $F(x)=\ln x-\dfrac1x$，在 $[1,e]$ 上连续。$F(1)=0-1=-1<0$，$F(e)=1-\dfrac1e>0$。由零点定理得证。（数值上约为 $1.763$。）

6. 判断对错，并说明理由：

（1）若 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续，则 $f$ 在 $(a,b)$ 内有界。

（2）若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)>0$，则 $f$ 在 $(a,b)$ 内没有零点。

（3）若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有定义且 $f(a)f(b)<0$，则 $f$ 在 $(a,b)$ 内一定有零点。

答案与提示

（1）错。反例：$f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 内连续但无界。

（2）错。零点定理只说"异号 ⟹ 有零点"，不说"同号 ⟹ 没零点"。反例：$f(x)=x^2-\dfrac14$ 在 $[-1,1]$ 上，$f(-1)f(1)=\dfrac9{16}>0$，但 $x=\pm\dfrac12$ 是零点。

（3）错。缺少"连续"。反例：$f(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x\ge0\end{cases}$ 在 $[-1,1]$ 上没有零点。

7. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$a<x_1<x_2<x_3<b$。证明：存在 $\xi\in[a,b]$，使 $f(\xi)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3}$。

答案与提示

由最值定理，$m\le f(x_i)\le M$（$i=1,2,3$），三式相加除以 3 得 $m\le\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3}\le M$，再由介值定理得证。

8.（略提高）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，且 $f(0)=f(2)$。证明：存在 $\xi\in[0,1]$，使 $f(\xi)=f(\xi+1)$。

答案与提示

构造 $g(x)=f(x)-f(x+1)$，$x\in[0,1]$，连续。$g(0)=f(0)-f(1)$，$g(1)=f(1)-f(2)=f(1)-f(0)=-g(0)$。若 $g(0)=0$，取 $\xi=0$；否则 $g(0)g(1)=-g(0)^2<0$，由零点定理存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $g(\xi)=0$。综上得证。

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下一讲预告#

第 05 讲（上）进入"导数"：用瞬时速度和切线斜率理解导数是什么，学会用定义判断函数在一点是否可导，并写出切线、法线方程。