考研数学二·零基础讲义 第04讲（上）｜函数的连续性与间断点

考研数学二·零基础讲义 · 第 04 讲（上）｜函数的连续性与间断点

学完这一讲（上篇），你能用"三个条件"判断函数在某点是否连续，会求分段函数中使之连续的参数，能找出间断点并准确分成可去、跳跃、无穷、振荡四类。预计用时：3～3.5 小时（含练习）。下篇讲闭区间上连续函数的性质。

本讲地图#

• 连续的定义：三个条件缺一不可；左连续、右连续；分段函数求参数。大纲要求：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。
• 间断点及分类：第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷、振荡），以及一套固定的判断流程。大纲要求：会判别函数间断点的类型。
• 初等函数的连续性：初等函数在定义区间内处处连续，所以"代入法"求极限是合法的。大纲要求：了解连续函数的性质和初等函数的连续性。
• 考研怎么考："求参数使函数在分界点连续"、"找间断点并判断类型"是常见的选择、填空题；含 $e^{\frac1x}$、$\arctan\dfrac1x$、$|x|$ 的函数是出题人的最爱。

前置知识#

• 函数、分段函数、初等函数的概念：见第 01 讲。
• 极限、左右极限、"极限存在 ⟺ 左右极限都存在且相等"：见第 02 讲。
• 等价无穷小、$1^\infty$ 型、$\dfrac\infty\infty$ 型等极限计算：见第 03 讲（上）（下）。本讲判断连续和间断，本质上就是算极限。

---

一、连续的定义#

1.1 大白话#

想象你用笔画函数图像。连续就是在某一点附近"笔不用离开纸面"——图像没有断开、没有跳跃、没有缺一个洞。

再换个角度：$x$ 变化一点点，$y$ 也只变化一点点，不会"突变"。比如气温随时间变化是连续的（不会这一秒 20℃ 下一秒 30℃）；而快递运费随重量变化往往不连续（1 kg 内 10 元，超过 1 kg 立刻变 15 元，跳了一下）。

1.2 正式定义#

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$$

则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

1.3 逐行拆解：三个条件#

这一行等式其实暗含三个条件，一个都不能少：

1. $f(x_0)$ 有定义——这一点"有值"，图像上这个位置有一个点；
2. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在——从两边走过来，都趋于同一个数；
3. 两者相等——"走过来要到的地方"恰好就是"那个点所在的地方"。

• "邻域"：$x_0$ 附近的一小段区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$，$\delta$ 读作"德尔塔"，表示一个小正数。
• 还有一种等价写法：记 $\Delta x=x-x_0$（自变量的增量，读作"德尔塔 $x$"），$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$（函数值的增量）。连续 ⟺ $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$，就是"$x$ 变一点点，$y$ 也只变一点点"。这个写法在第 05 讲讲导数时会再见到。

函数在区间上连续：在区间内每一点都连续（端点只要求单侧连续，见下面）。

1.4 左连续与右连续#

大白话：有时只看一边。比如在区间端点，只有一侧有定义，那就只能看那一侧。

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)\ \Rightarrow\ \text{左连续};\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\ \Rightarrow\ \text{右连续}.$$

• $x\to x_0^-$ 读作"$x$ 从左侧趋于 $x_0$"（$x$ 比 $x_0$ 小）；$x\to x_0^+$ 读作"从右侧趋于"。
• 结论：$f$ 在 $x_0$ 连续 ⟺ $f$ 在 $x_0$ 既左连续又右连续。

分段函数在分界点，两边的表达式不同，必须分别算左右极限，这就是左右连续最常用的场合。

1.5 例题#

例 1：设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1,\\ a, & x=1,\end{cases}$ 问 $a$ 取何值时 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续？

解：

• 第一步，算极限（$x\ne1$，可以约分）：

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2 .$$

• 第二步，函数值 $f(1)=a$。
• 第三步，连续要求两者相等：$a=2$。

例 2：设 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x<0,\\ a+x, & x\ge0,\end{cases}$ 求 $a$ 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

解：

• 左极限（用 $x<0$ 那一段）：$\lim\limits_{x\to0^-}(x^2+1)=1$。
• 右极限（用 $x\ge0$ 那一段）：$\lim\limits_{x\to0^+}(a+x)=a$。
• 函数值：$f(0)=a+0=a$（$x=0$ 属于第二段）。
• 右极限 = 函数值 = $a$，所以自动右连续；要连续还需左连续：$1=a$。

故 $a=1$。

例 3：设 $f(x)=\begin{cases}(1+x)^{\frac1x}, & x\ne0,\\ a, & x=0,\end{cases}$ 求 $a$ 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

解：$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e$（第二个重要极限的另一种写法，或用 $1^\infty$ 公式：$x\cdot\dfrac1x=1$），所以 $a=e$。

例 4（三段、两个参数）：设

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x^2}, & x<0,\\ a, & x=0,\\ \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & x>0,\end{cases}$$

在 $x=0$ 处连续，求 $a,b$（$b\neq0$）。

解：

• 第一步，左极限：$\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\frac12x^2}{x^2}=\dfrac12$（等价替换）。
• 第二步，右极限：$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{bx}{x}=b$（$\ln(1+bx)\sim bx$）。
• 第三步，函数值：$f(0)=a$。
• 第四步，连续 ⟺ 左极限 = 右极限 = 函数值：$\dfrac12=b=a$。

故 $a=b=\dfrac12$。

解题模板（分段函数在分界点连续求参数）：

1. 分别用"左边那段""右边那段"的表达式算左、右极限；
2. 找出分界点处的函数值（看等号属于哪一段）；
3. 三者相等，列方程求参数。

易错点 ⚠️：

• 只算出"极限存在"还不够，要和函数值比。$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 本身在 $x=1$ 处没定义，所以它在 $x=1$ 不连续，哪怕极限是 2。
• 分段点的函数值看清楚属于哪一段（看"$\le$"还是"$<$"）。

---

二、间断点及其分类#

2.1 什么是间断点#

大白话：连续的三个条件只要有一个不满足，这个点就是间断点（"断开的地方"）。

定义：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义（$x_0$ 本身可以没定义）。若 $f$ 在 $x_0$ 不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的间断点。

"去心邻域"就是把 $x_0$ 这个点本身挖掉的邻域。为什么要求"附近有定义"？因为如果 $x_0$ 附近根本没有函数（比如 $\sqrt{x}$ 在 $x=-5$ 附近），谈不上"断开"。

2.2 分类：先看左右极限#

分类的唯一依据是：左极限 $f(x_0^-)$ 和右极限 $f(x_0^+)$ 是否都存在。

（$f(x_0^-)$ 是 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ 的简写，$f(x_0^+)$ 同理。）

第一类间断点：左右极限都存在（都是有限数）

• 可去间断点：$f(x_0^-)=f(x_0^+)$，即极限存在，但 $f(x_0)$ 没定义或不等于这个极限。
  • 图像：曲线上"缺了一个洞"，或者那一点"被挪走了"。
  • 为什么叫"可去"：只要补上（或改正）$f(x_0)$ 的值为极限值，函数就连续了。
• 跳跃间断点：$f(x_0^-)\ne f(x_0^+)$。
  • 图像：左右两段在这里"错开了一个台阶"。

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

• 无穷间断点：至少一侧极限为 $\infty$。图像：曲线冲向无穷高（或无穷低），有竖直渐近线。典型：$\dfrac1x$ 在 $x=0$。
• 振荡间断点：函数在 $x_0$ 附近来回振荡，极限不存在，也不趋于 $\infty$。典型：$\sin\dfrac1x$ 在 $x=0$。

（数学二只要求会判断这四种；第二类也不止这两种，但考题基本都是这两种。）

2.3 判断流程#

1. 找可疑点：
   • 分母为 0 的点；
   • 对数真数为 0、根号下为 0 之类定义域的"边界点"（要求附近有定义）；
   • 分段函数的分界点；
   • 函数没有定义的孤立点。
2. 对每个可疑点算左右极限。
3. 对照下表归类：

左右极限情况	进一步	类型
都存在且相等	$f(x_0)$ 无定义或 $\ne$ 极限	第一类·可去
都存在且相等	$f(x_0)=$ 极限	不是间断点（连续）
都存在但不等	—	第一类·跳跃
至少一个为 $\infty$	—	第二类·无穷
至少一个振荡不存在	—	第二类·振荡

2.4 四个典型例子#

例 5（四种类型各一个，请记住它们的样子）：

（1）$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，$x=0$：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 存在，但 $f(0)$ 无定义 → 可去间断点。补充定义 $f(0)=1$ 就连续了。

（2）$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$，$x=0$：$x<0$ 时 $f=\dfrac{-x}{x}=-1$；$x>0$ 时 $f=1$。左极限 $-1$，右极限 $1$，不等 → 跳跃间断点。

（3）$f(x)=\dfrac1x$，$x=0$：$x\to0^+$ 时 $\to+\infty$ → 无穷间断点。

（4）$f(x)=\sin\dfrac1x$，$x=0$：当 $x$ 取 $\dfrac{1}{2k\pi+\frac\pi2}$（$k=1,2,\ldots$）时函数值都是 $1$，取 $\dfrac{1}{2k\pi-\frac\pi2}$ 时都是 $-1$。这两串 $x$ 都趋于 0，函数值却一个是 1、一个是 $-1$，所以极限不存在；又因为 $|f|\le1$，不是无穷 → 振荡间断点。

图 1：例 5 的四个函数：可去、跳跃（第一类）与无穷、振荡（第二类）间断点各长什么样

2.5 两个"有陷阱"的函数#

例 6：$f(x)=e^{\frac1x}$ 在 $x=0$ 处是什么间断点？

解：

• $x\to0^-$：$\dfrac1x\to-\infty$，$e^{-\infty}\to0$，所以左极限 $=0$。
• $x\to0^+$：$\dfrac1x\to+\infty$，$e^{+\infty}\to+\infty$，右极限为 $+\infty$。

右极限不存在（为无穷）→ 第二类（无穷）间断点。

图 2：例 6 的图：$y=e^{\frac1x}$ 左边贴着 0 过来，右边冲上天，所以 $x=0$ 是无穷间断点

例 7：$f(x)=\arctan\dfrac1x$ 在 $x=0$ 处是什么间断点？

解：

• $x\to0^-$：$\dfrac1x\to-\infty$，$\arctan(-\infty)=-\dfrac\pi2$。
• $x\to0^+$：$\dfrac1x\to+\infty$，$\arctan(+\infty)=\dfrac\pi2$。

左右极限都存在但不等 → 跳跃间断点。

（$\arctan$ 的图像：两头分别被 $y=-\dfrac\pi2$ 和 $y=\dfrac\pi2$ 两条水平线"拦住"。见第 01 讲。）

易错点 ⚠️：$e^{\frac1x}$、$\arctan\dfrac1x$、$\dfrac{1}{1+e^{\frac1x}}$ 这类含 $\dfrac1x$ 的函数，在 $x=0$ 处左右极限往往不同，必须分左右算。

2.6 更多含 $e^{\frac1x}$ 的跳跃间断#

例 8：判断 $f(x)=\dfrac{e^{\frac1x}-1}{e^{\frac1x}+1}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

解：

• $x\to0^-$：$\dfrac1x\to-\infty$，$e^{\frac1x}\to0$，所以 $f\to\dfrac{0-1}{0+1}=-1$。
• $x\to0^+$：$e^{\frac1x}\to+\infty$，分子分母都趋于无穷，是 $\dfrac\infty\infty$ 型。分子分母同除以 $e^{\frac1x}$：

$$f(x)=\frac{1-e^{-\frac1x}}{1+e^{-\frac1x}}\ \to\ \frac{1-0}{1+0}=1 .$$

• 左右极限 $-1\ne1$，都存在 → 跳跃间断点。

例 9：判断 $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{\frac1x}}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

解：$x\to0^-$ 时 $e^{\frac1x}\to0$，$f\to1$；$x\to0^+$ 时 $e^{\frac1x}\to+\infty$，$f\to0$。左右极限都存在但不等 → 跳跃间断点。

例 10：判断 $f(x)=\dfrac{\sin x}{|x|}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

解：$x<0$ 时 $|x|=-x$，$f=-\dfrac{\sin x}{x}\to-1$；$x>0$ 时 $f=\dfrac{\sin x}{x}\to1$。左右极限 $-1$、$1$ → 跳跃间断点。

规律：只要看到 $e^{\frac1x}$、$\arctan\dfrac1x$、$|x|$ 这三种"左右不对称"的零件，就一定要分左右极限算。

2.7 综合例题#

例 11：求 $f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$ 的间断点，并判断类型。

解：

• 第一步，找可疑点：分母 $|x|(x^2-1)=0$，得 $x=0,\ x=1,\ x=-1$。三个点 $f$ 都没定义，都是间断点，下面分类。
• 第二步，先化简（$x\ne0,\pm1$ 时）：

$$f(x)=\frac{x(x-1)}{|x|(x-1)(x+1)}=\frac{x}{|x|\,(x+1)} .$$

• $x=0$：$x<0$ 时 $\dfrac{x}{|x|}=-1$，$x>0$ 时 $=1$。

$$f(0^-)=\lim_{x\to0^-}\frac{-1}{x+1}=-1,\qquad f(0^+)=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x+1}=1 .$$

左右都存在但不等 → 跳跃间断点。

• $x=1$：附近 $x>0$，$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac12$ 存在，但 $f(1)$ 无定义 → 可去间断点。
• $x=-1$：附近 $x<0$，$f(x)=\dfrac{-1}{x+1}$，$x\to-1$ 时分母 $\to0$，分子 $\to-1$，所以 $f\to\infty$（左侧 $+\infty$，右侧 $-\infty$）→ 无穷间断点（第二类）。

易错点 ⚠️：

• 约分只是为了算极限，不能因为约掉了 $(x-1)$ 就说 $x=1$ 不是间断点——原函数在 $x=1$ 处没有定义，它就是间断点（可去的）。
• 有 $|x|$ 的地方，在 $x=0$ 两侧要去绝对值分别讨论。

例 12：求 $f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-1}$ 的间断点并分类。

解：

• 可疑点：$x^2-1=0$，即 $x=1$、$x=-1$。
• 化简：$f(x)=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}$（$x\ne1$）。
• $x=1$：$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x}{x+1}=\dfrac12$ → 可去间断点。
• $x=-1$：分子 $\to-1\neq0$，分母 $\to0$ → $f\to\infty$ → 无穷间断点。

对比例 11（多了一个 $|x|$），$x=0$ 处就多出了一个跳跃间断点。

2.8 一道"藏得深"的间断点题#

例 13：求 $f(x)=\dfrac{x}{\tan x}$ 的间断点，并判断类型。

解：

• 第一步，找出所有没定义的点。这一步最容易漏：
  • 分母 $\tan x=0$：$x=k\pi$（$k$ 为整数）；
  • $\tan x$ 本身没定义：$x=k\pi+\dfrac\pi2$。
• 第二步，分情况算极限。
  • $x=0$：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\tan x}=1$（$\tan x\sim x$），极限存在 → 可去间断点。
  • $x=k\pi$，$k\ne0$：分子 $\to k\pi\ne0$，分母 $\tan x\to0$，所以 $f\to\infty$ → 无穷间断点（第二类）。
  • $x=k\pi+\dfrac\pi2$：$\tan x\to\infty$，分子趋于有限数，$f\to0$，极限存在，但 $f$ 在这些点没定义 → 可去间断点。

易错点 ⚠️：$x=0$ 和 $x=k\pi$（$k\ne0$）都让分母为 0，类型却不同——因为 $x=0$ 时分子也趋于 0，是 $\dfrac00$ 型；其他点分子不趋于 0。分子分母同时趋于 0 才可能"可去"，这是快速判断的好办法。

2.9 可去间断点怎么"补"？跳跃的为什么补不了？#

大白话：可去间断点就像路面上一个小坑，填上就平了；跳跃间断点则像台阶，两边高度不一样，在一个点上怎么填都接不上。

操作：若 $x_0$ 是 $f$ 的可去间断点，$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，那么重新定义 $f(x_0)=A$（原来没定义就补上，原来定义错了就改掉），得到的新函数在 $x_0$ 处连续。

例 14：怎样补充定义，使 $f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-1}$ 在 $x=1$ 处连续？能否使它在 $x=-1$ 处也连续？

解：

• 例 12 已算出 $\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac12$，所以补充定义 $f(1)=\dfrac12$，$f$ 就在 $x=1$ 处连续了。
• $x=-1$ 是无穷间断点，极限不存在，无论 $f(-1)$ 定义成什么都不可能连续。

例 15：$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\neq0\\ 0,&x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续吗？

解：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\neq0=f(0)$，不连续，$x=0$ 是可去间断点（这次是"定义错了"，不是"没定义"）。把 $f(0)$ 改成 1 就连续了。

易错点 ⚠️：可去间断点有两种情形——"$f(x_0)$ 没定义"和"$f(x_0)$ 有定义但不等于极限"。第二种容易被误判成"连续"，一定要拿函数值和极限比一比。

---

三、初等函数的连续性#

3.1 结论#

大白话：我们中学学过的那些函数——多项式、分式、根式、指数、对数、三角、反三角，以及它们用加减乘除和复合拼起来的函数（这就是初等函数，见第 01 讲）——只要在它有定义的区间里，图像都是"连着的"。

定理：

1. 基本初等函数在其定义域内都连续；
2. 连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）仍连续；连续函数的复合仍连续；
3. 因此，一切初等函数在其定义区间内都连续。

（"定义区间"指包含在定义域内的区间。）

3.2 这条结论有什么用#

用处一：求极限可以直接代入。若 $f$ 是初等函数，$x_0$ 在定义区间内，则

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) .$$

例如 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{e^x+\ln x}{x^2+1}=\dfrac{e+0}{2}=\dfrac e2$。第 03 讲"求极限总流程"的第一步"先代入"，依据就在这里。

用处二：找间断点只需盯住"没定义的点"和"分界点"。初等函数的间断点只可能出现在定义域的"缝隙"处；分段函数在每一段内部也是初等函数，所以只需检查分界点。

用处三：极限号可以"穿过"连续函数。若 $\lim g(x)=A$，$f$ 在 $A$ 处连续，则

$$\lim f\big(g(x)\big)=f\big(\lim g(x)\big)=f(A) .$$

例如 $\lim\limits_{x\to0}\ln\dfrac{\sin x}{x}=\ln\left(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\right)=\ln1=0$。第 03 讲中 $u^v=e^{v\ln u}$、先求指数再放回 $e$ 上，靠的也是这条（$e^x$ 连续）。

易错点 ⚠️：分段函数一般不是初等函数（分界点处要单独检查）。比如 $|x|$ 虽然可以写成 $\sqrt{x^2}$（是初等函数，处处连续），但很多分段函数不能这样写。

---

四、常见疑问#

问：函数在某点没定义，就一定是间断点吗？

答：不一定。间断点的前提是"这一点附近（去心邻域内）有定义"。比如 $\sqrt{x}$ 在 $x=-1$ 处没定义，但 $-1$ 附近也全都没定义，所以 $-1$ 不叫间断点，只是"不在定义域里"。

问：可去间断点和跳跃间断点为什么都叫"第一类"？

答：分类只看左右极限是否都存在（有限）。可去和跳跃的共同点是"左右两边都有明确的去向"，只是去向相同或不同；第二类则是"至少一边没有明确的去向"（冲向无穷或乱跳）。

问：连续函数加上一个不连续的函数，结果一定不连续吗？乘起来呢？

答：相加一定不连续（反证：若 $f$ 连续、$f+g$ 连续，则 $g=(f+g)-f$ 也连续，矛盾）。相乘则不一定：比如 $f(x)=x$ 连续，$g(x)=\dfrac{|x|}{x}$（补充 $g(0)=0$）在 0 处跳跃，但 $f\cdot g=|x|$ 在 0 处连续。选择题很爱考这种"一定/不一定"。

问：分段函数在分界点处"两段表达式代入结果相等"，就说明连续吗？

答：基本可以这样想，但严格的写法是"左极限 = 右极限 = 函数值"。尤其当某一段在分界点处没意义（如 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$）时，不能"代入"，必须算极限。

---

公式/结论速记卡#

连续：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。三条件：① $f(x_0)$ 有定义；② 极限存在；③ 两者相等。等价写法：$\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$。

连续 ⟺ 左连续且右连续：$f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)$。

分段函数求参数：左极限（用左段）= 右极限（用右段）= 函数值（看等号归哪段）。

间断点分类：

类别	条件	典型例子（$x=0$）
第一类·可去	$f(x_0^-)=f(x_0^+)$，但 $\ne f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义	$\dfrac{\sin x}{x}$，$x\sin\dfrac1x$
第一类·跳跃	$f(x_0^-)\ne f(x_0^+)$，都存在	$\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$，$\arctan\dfrac1x$，$\dfrac1{1+e^{\frac1x}}$
第二类·无穷	至少一侧为 $\infty$	$\dfrac1x$，$e^{\frac1x}$
第二类·振荡	振荡无极限	$\sin\dfrac1x$

找可疑点：分母为 0、函数没定义的点（包括 $\tan$ 没定义的点）、分段函数分界点。

快速判断：分子分母同时趋于 0 才可能"可去"；分子不趋于 0、分母趋于 0 → 无穷间断。

左右不对称零件：$e^{\frac1x}$（$0^-\to0$，$0^+\to+\infty$）、$\arctan\dfrac1x$（$\mp\dfrac\pi2$）、$|x|$（$\mp$ 号）——见到必分左右。

初等函数：定义区间内连续 → 求极限可直接代入；$\lim f(g(x))=f(\lim g(x))$（$f$ 在该点连续时）。连续 + 不连续 = 不连续；连续 × 不连续 = 不一定。

---

自测练习#

1. 设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{2x}-1}{x}, & x\ne0,\\ a, & x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a$。

答案与提示

$a=2$。$e^{2x}-1\sim2x$，极限为 2。

2. 设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(1+x)}{x}, & x>0,\\ x+a, & x\le0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a$。

答案与提示

$a=1$。右极限 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$；左极限与函数值都是 $a$（$x=0$ 属于第二段）。所以 $a=1$。

3. 设 $f(x)=\begin{cases}(1+2x)^{\frac1x}, & x\ne0,\\ a, & x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a$。

答案与提示

$a=e^2$。$1^\infty$ 型：$2x\cdot\dfrac1x=2$，极限 $e^2$。

4. $x=0$ 是 $f(x)=x\sin\dfrac1x$ 的什么间断点？

答案与提示

可去间断点。有界 × 无穷小，$\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0$，极限存在但 $f(0)$ 无定义。

5. 求 $f(x)=\dfrac{x}{x^2-x}$ 的间断点并分类。

答案与提示

$x^2-x=x(x-1)$，可疑点 $x=0,1$。化简 $f=\dfrac1{x-1}$（$x\ne0$）。

• $x=0$：极限 $\dfrac{1}{0-1}=-1$ → 可去间断点；
• $x=1$：$\to\infty$ → 无穷间断点。

6. 求 $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ 的间断点并分类。

答案与提示

化简 $f=\dfrac{x+2}{x-1}$（$x\ne2$）。$x=2$：极限 4 → 可去；$x=1$：$\to\infty$ → 无穷间断点。

7. 设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin ax}{x}, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x^2+b, & x>0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a,b$。

答案与提示

$a=2$，$b=2$。左极限为 $a$（$a\ne0$ 时 $\sin ax\sim ax$；$a=0$ 时左极限为 0，不可能等于 2），右极限为 $b$，都等于 $f(0)=2$。

8. $x=1$ 是 $f(x)=\arctan\dfrac{1}{x-1}$ 的什么间断点？

答案与提示

跳跃间断点。$x\to1^-$ 时 $\dfrac1{x-1}\to-\infty$，$f\to-\dfrac\pi2$；$x\to1^+$ 时 $f\to\dfrac\pi2$。

9.（略提高）求 $f(x)=\dfrac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$ 的间断点并分类。

答案与提示

可疑点：$x=1$（指数中分母为 0）和 $x=0$（$e^{\frac{x}{1-x}}=1$ 使总分母为 0）。

• $x=0$：$e^{\frac{x}{1-x}}\to1$，总分母 $\to0$，$f\to\infty$ → 无穷间断点。
• $x=1$：$x\to1^-$ 时 $\dfrac{x}{1-x}\to+\infty$，$e^{(\cdot)}\to+\infty$，$f\to0$；$x\to1^+$ 时 $\dfrac{x}{1-x}\to-\infty$，$e^{(\cdot)}\to0$，$f\to1$。左右极限 $0\ne1$ → 跳跃间断点。

---

下一讲预告#

第 04 讲（下）：闭区间上连续函数的"三大性质"——有界与最值、介值定理、零点定理，并学会用零点定理证明"方程在某区间内有根"。