考研数学二·零基础讲义 第03讲（下）｜七种未定式与求极限方法总结

考研数学二·零基础讲义 · 第 03 讲（下）｜七种未定式与求极限方法总结

学完这一讲（下篇），你能一眼认出七种未定式，知道每一种该往哪个方向转化，熟练使用 $1^\infty$ 型公式，并掌握一套"代入→判型→化简→等价→重要极限"的求极限总流程。预计用时：3.5～4.5 小时（含练习）。

本讲地图#

• 未定式是什么：为什么 $\dfrac00$ 不能直接得出答案；七种未定式一览。
• 两种基本型：$\dfrac00$（约零因子、有理化、等价替换）和 $\dfrac\infty\infty$（抓大头）。
• 五种转化型：$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$ 转成基本型；$1^\infty$ 用专用公式；$0^0$、$\infty^0$ 先取对数。
• 求极限总流程：拿到题目先做什么、后做什么。洛必达法则和泰勒公式在这里只"预告"，第 07 讲细讲。
• 大纲要求：掌握极限的性质及四则运算法则，会用等价无穷小量求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
• 考研怎么考：求极限几乎每年都会出现，常以选择、填空的形式直接考，也常藏在导数、积分、连续性等题目的第一步里；$1^\infty$ 型尤其高频。

前置知识#

• 两个重要极限、极限四则运算：见第 02 讲。
• 无穷小、无穷大、等价无穷小表与替换规则（乘除可换、加减慎用）：见第 03 讲（上）。本篇会大量使用。
• 因式分解（平方差、立方差）、有理化、指数对数恒等式 $u^v=e^{v\ln u}$：见第 01 讲。

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一、七种未定式及其转化#

1.1 什么叫"未定式"#

大白话：有些极限，光看"各部分分别趋于什么"就能直接得答案，比如 $\dfrac{x+1}{x+2}\to\dfrac12$（$x\to0$）。但有些组合"看不出结果"：$\dfrac{0}{0}$ 可能是 $\dfrac{x^2}{x}\to0$，也可能是 $\dfrac{x}{x^2}\to\infty$，也可能是 $\dfrac{2x}{x}\to2$——取决于谁跑得快。这种"形式上定不下来"的极限叫未定式。

一共七种：

$$\frac00,\quad \frac\infty\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \infty-\infty,\quad 1^\infty,\quad 0^0,\quad \infty^0 .$$

逐行拆解：这里的 "0" "1" "∞" 都是"趋于"的意思，不是真的等于。比如 $1^\infty$ 指"底数趋于 1、指数趋于无穷"。如果底数恰好就是 1，那 $1^{\text{任何数}}=1$，就不是未定式了。

总思路：前两种（$\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$）是"基本型"，有现成武器（约分、等价替换、抓大头，以及第 07 讲的洛必达法则）。后五种都要先转化成前两种。

1.2 $\dfrac00$ 型#

上篇的等价替换例题都是 $\dfrac00$ 型。常用手段：约去零因子、等价替换、有理化，后面还有洛必达和泰勒。

例 1（约去零因子）：求 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4}$。

解：

• 第一步，代入 $x=2$：分子 $4-6+2=0$，分母 $4-4=0$，是 $\dfrac00$ 型。
• 第二步，分子分母都等于 0，说明它们都含有因子 $(x-2)$（多项式在 $x=2$ 处为 0，就一定能分解出 $x-2$）。因式分解：

$$\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x-1}{x+2}\quad(x\ne2) .$$

• 第三步，约分后再代入：$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac14$。

为什么能约掉 $(x-2)$？因为 $x\to2$ 时 $x$ 只是无限接近 2，并不等于 2，所以 $x-2\ne0$，可以约。这个"让分子分母同时为 0 的因子"就叫零因子。

例 2：求 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$。

解：立方差公式 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，约去 $x-1$，得 $\lim\limits_{x\to1}(x^2+x+1)=3$。

例 3（有理化）：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$。

解法一（有理化）：分子分母同乘 $\sqrt{x+1}+1$：

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\ \to\ \frac12 .$$

解法二（等价替换）：$\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac12x$，直接得 $\dfrac12$。

两种方法结果一致。等价替换更快，有理化更"万能"——遇到两个根号相减、或者根号里不是 $1+\square$ 的形式时，有理化往往是唯一的出路。

1.3 $\dfrac\infty\infty$ 型：抓大头#

例 4：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+2x}{5x^2-1}$。

解：分子分母同除以最高次 $x^2$：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac2x}{5-\frac1{x^2}}=\frac{3+0}{5-0}=\frac35 .$$

结论（有理函数 $x\to\infty$）：分子次数 = 分母次数，极限为最高次系数之比；分子次数低，极限为 0；分子次数高，极限为 $\infty$。例如 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+3}=0$。

例 5（含指数的"抓大头"）：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2^x+3^x}{3^x+1}$。

解：$x\to+\infty$ 时，$3^x$ 增长得比 $2^x$ 和常数 1 都快得多，它是"大头"。分子分母同除以 $3^x$：

$$\frac{\left(\frac23\right)^x+1}{1+\left(\frac13\right)^x}\ \to\ \frac{0+1}{1+0}=1 .$$

（底数在 0 与 1 之间的指数函数，$x\to+\infty$ 时趋于 0。）

例 6（含根号，注意正负）：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ 和 $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$。

解：

• $x\to+\infty$：$x>0$，$\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac1{x^2}}$。同除以 $x$：$\dfrac{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{1+\frac1x}\to1$。
• $x\to-\infty$：$x<0$，$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，所以 $\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}$。同除以 $x$：$\dfrac{-\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{1+\frac1x}\to-1$。

两个方向答案不同，因此 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ 不存在。

例 7：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^3-x}{x^2+1}$。

解：分子 3 次，分母 2 次，分子次数高，极限为 $\infty$。（同除 $x^2$：$\dfrac{2x-\frac1x}{1+\frac1{x^2}}$，分子 $\to\infty$，分母 $\to1$。）

对比："抓小头"。$x\to0$ 时多项式之比，情况正好相反：要抓的是最低次项，因为高次项更快趋于 0、可以忽略（上篇"低阶吃高阶"）。

例 8：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+x^2}{2x-x^3}$。

解：分子分母同除以最低次 $x$：$\dfrac{1+x}{2-x^2}\to\dfrac12$。

一句话记忆：$x\to\infty$ 抓最高次，$x\to0$ 抓最低次。

1.4 $0\cdot\infty$ 型：把一个"倒下去"#

方法：$0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}=\dfrac00$，或 $=\dfrac{\infty}{1/0}=\dfrac\infty\infty$。把容易求导、容易替换的那个留在分子，另一个倒到分母上。

例 9：求 $\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\dfrac1x$。

解：$x\to\infty$，$\sin\dfrac1x\to0$，是 $\infty\cdot0$ 型。把 $x$ 倒下去：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac1x}{\frac1x}\ \xlongequal{t=\frac1x}\ \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 .$$

（$\xlongequal{t=\frac1x}$ 表示"做换元 $t=\dfrac1x$ 后相等"；$x\to\infty$ 时 $t\to0$。）

一个常用结论（先记住，第 07 讲用洛必达证明）：

$$\lim_{x\to0^+}x\ln x=0 .$$

直观：$x\to0^+$ 时 $\ln x\to-\infty$，但"$x$ 趋于 0 的速度"远远压过"$\ln x$ 跑向负无穷的速度"。

例 10（$0\cdot\infty$，先有理化）：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$。

解：

• 判型：$\sqrt{x^2+1}-x\to0$（下一小节会看到怎么判断），$x\to\infty$，是 $\infty\cdot0$ 型。
• 括号里有根号相减，先有理化：

$$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} .$$

• 于是原式 $=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$，同除以 $x$：$\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1{x^2}}+1}\to\dfrac12$。

例 11（换元把"趋于 1"变成"趋于 0"）：求 $\lim\limits_{x\to1}(1-x)\tan\dfrac{\pi x}{2}$。

解：

• 判型：$x\to1$ 时 $1-x\to0$，$\dfrac{\pi x}{2}\to\dfrac\pi2$，$\tan\dfrac{\pi x}{2}\to\infty$，是 $0\cdot\infty$ 型。
• 等价无穷小表只适用于"趋于 0"，所以先换元：令 $t=1-x$，则 $x\to1$ 时 $t\to0$，$x=1-t$。
• 代入：$\tan\dfrac{\pi(1-t)}{2}=\tan\left(\dfrac\pi2-\dfrac{\pi t}{2}\right)=\cot\dfrac{\pi t}{2}=\dfrac{1}{\tan\frac{\pi t}{2}}$（诱导公式，见第 01 讲）。
• 于是

$$\text{原式}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\tan\frac{\pi t}{2}}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\frac{\pi t}{2}}=\frac2\pi .$$

技巧：$x\to x_0$（$x_0\ne0$）时，令 $t=x-x_0$（或 $x_0-x$），把问题搬到 $t\to0$，等价无穷小表就能用了。

1.5 $\infty-\infty$ 型：通分或有理化#

方法：有分式就通分，有根号就有理化，变成 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$。

例 12：求 $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac2{x^2-1}\right)$。

解：通分，$x^2-1=(x-1)(x+1)$：

$$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac1{x+1} .$$

所以原式 $=\lim\limits_{x\to1}\dfrac1{x+1}=\dfrac12$。

例 13：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$。

解：乘以"共轭式" $\sqrt{x^2+x}+x$，再除以它（平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$）：

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} .$$

变成 $\dfrac\infty\infty$，分子分母同除以 $x$（$x>0$，所以 $\dfrac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\sqrt{1+\frac1x}$）：

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac12 .$$

易错点 ⚠️：$x\to-\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$，同除时要变号。题目若写 $x\to\infty$（不分正负），涉及 $\sqrt{x^2}$ 时要分别讨论。

例 14：求 $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac1{1-x}-\dfrac3{1-x^3}\right)$。

解：

• 判型：$x\to1$ 时两项都趋于 $\infty$，是 $\infty-\infty$ 型。
• 通分：$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$，

$$\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)}=\frac{(1+x+x^2)-3}{(1-x)(1+x+x^2)}=\frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)} .$$

• 分子分解：$x^2+x-2=(x+2)(x-1)=-(x+2)(1-x)$，约去 $1-x$：

$$=\frac{-(x+2)}{1+x+x^2}\ \to\ \frac{-3}{3}=-1 .$$

易错点 ⚠️：$x-1$ 和 $1-x$ 差一个负号，约分时最容易丢。

1.6 $1^\infty$ 型：专用公式#

大白话：$1^\infty$ 很迷惑——"1 的多少次方不都是 1 吗？"但底数只是趋于 1，并不等于 1。底数比 1 多一点点，指数却极大，两种力量在拔河，结果可能是任何正数。第二个重要极限 $\left(1+\dfrac1x\right)^x\to e$ 就是最典型的 $1^\infty$。

用数字感受一下 $\left(1+\dfrac1n\right)^n$：

$n$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$\left(1+\frac1n\right)^n$	$\approx2.5937$	$\approx2.7048$	$\approx2.7169$	$\approx2.7181$

底数越来越接近 1，可结果并没有趋于 1，而是稳稳地爬向 $e\approx2.71828$。如果指数涨得更猛，比如 $\left(1+\dfrac1x\right)^{x^2}$，结果甚至会趋于 $+\infty$。所以 $1^\infty$ 绝不能直接写成 1。

公式：若 $u(x)\to1$，$v(x)\to\infty$，则

$$\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim\,[u(x)-1]\,v(x)} .$$

逐行拆解：

• 第一步，指数化：$u^v=e^{v\ln u}$（因为 $e^{\ln u}=u$）。
• 第二步，$u\to1$ 时 $u-1\to0$，所以 $\ln u=\ln\big(1+(u-1)\big)\sim u-1$（等价表第 5 行，广义化）。
• 第三步，$v\ln u$ 是乘积，可以替换：$\lim v\ln u=\lim v\,(u-1)$。
• 口诀："底数减 1，乘以指数，放到 $e$ 的头上"。

例 15：求 $\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{\frac1x}$。

解：底数 $1+2x\to1$，指数 $\dfrac1x\to\infty$，是 $1^\infty$ 型。

$$\lim_{x\to0}\,[(1+2x)-1]\cdot\frac1x=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2,$$

所以原式 $=e^2$。

例 16：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x$。

解：$\dfrac{x+1}{x-1}\to1$，指数 $x\to\infty$。

• 底数减 1：$\dfrac{x+1}{x-1}-1=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}$。
• 乘以指数：$\dfrac{2}{x-1}\cdot x=\dfrac{2x}{x-1}\to2$。

所以原式 $=e^2$。

例 17：求 $\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{\frac1{x^2}}$。

解：$\cos x\to1$，$\dfrac1{x^2}\to\infty$。底数减 1：$\cos x-1=-(1-\cos x)\sim-\dfrac12x^2$。

$$\lim_{x\to0}(\cos x-1)\cdot\frac1{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac12x^2}{x^2}=-\frac12,$$

所以原式 $=e^{-\frac12}=\dfrac1{\sqrt e}$。

换一种方法验证（取对数法，也适用于一切 $1^\infty$）：$(\cos x)^{\frac1{x^2}}=e^{\frac{\ln\cos x}{x^2}}$。而 $\ln\cos x=\ln\big(1+(\cos x-1)\big)\sim\cos x-1\sim-\dfrac12x^2$，所以指数 $\to-\dfrac12$，结果同样是 $e^{-\frac12}$。两种方法本质相同，公式只是把"取对数 + 等价替换"这两步打包了。

例 18：求 $\lim\limits_{x\to0}(1-x)^{\frac1x}$。

解：底数减 1 为 $-x$，乘以指数 $\dfrac1x$ 得 $-1$，所以原式 $=e^{-1}=\dfrac1e$。

例 19：求 $\lim\limits_{x\to0}(1+3\tan x)^{\frac{1}{\sin x}}$。

解：$1+3\tan x\to1$，$\dfrac1{\sin x}\to\infty$。

$$\lim_{x\to0}3\tan x\cdot\frac{1}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3,$$

（$\tan x\sim x$，$\sin x\sim x$，都在乘除位置。）所以原式 $=e^3$。

例 20：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$。

解：底数减 1：$\dfrac{x^2+1}{x^2-1}-1=\dfrac{2}{x^2-1}$；乘以指数：$\dfrac{2x^2}{x^2-1}\to2$。原式 $=e^2$。

例 21（略提高）：求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{2^x+3^x}{2}\right)^{\frac1x}$。

解：

• 判型：$x\to0$ 时 $\dfrac{2^x+3^x}{2}\to\dfrac{1+1}{2}=1$，指数 $\to\infty$，是 $1^\infty$。
• 底数减 1：

$$\frac{2^x+3^x}{2}-1=\frac{(2^x-1)+(3^x-1)}{2} .$$

• 乘以指数 $\dfrac1x$ 并取极限：

$$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\left(\frac{2^x-1}{x}+\frac{3^x-1}{x}\right)=\frac12(\ln2+\ln3)=\frac12\ln6 .$$

这里是把一个极限拆成两个各自存在的极限相加（四则运算法则），每一个再用 $a^x-1\sim x\ln a$，是合法的。

• 原式 $=e^{\frac12\ln6}=\left(e^{\ln6}\right)^{\frac12}=\sqrt6$。

易错点 ⚠️：

• 用公式前先确认真的是 $1^\infty$。比如 $\lim\limits_{x\to0}(2+x)^{\frac1x}$ 底数趋于 2，不是 $1^\infty$。
• 最后别忘了写 $e^{(\cdot)}$，常见失误是算出指数 2 就把答案写成 2。

1.7 $0^0$ 型与 $\infty^0$ 型：取对数#

方法：统一写成 $u^v=e^{v\ln u}$，指数 $v\ln u$ 就变成 $0\cdot\infty$ 型，再按 1.4 处理。（其实 $1^\infty$ 也可以这样做，只是有公式更快。）

例 22：求 $\lim\limits_{x\to0^+}x^x$（$0^0$ 型）。

解：$x^x=e^{x\ln x}$，由 1.4 的结论 $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$，得原式 $=e^0=1$。

图 1：例 22 的图：$x\to0^+$ 时 $x\ln x$（橙）趋于 0，于是 $x^x=e^{x\ln x}$（蓝）趋于 $e^0=1$

例 23：求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}$（$\infty^0$ 型）。

解：$x^{\frac1x}=e^{\frac{\ln x}{x}}$。指数 $\dfrac{\ln x}{x}$ 是 $\dfrac\infty\infty$ 型，结论是 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$（对数函数比一次函数长得慢得多，第 07 讲用洛必达严格证明）。所以原式 $=e^0=1$。

例 24：求 $\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x}$（$0^0$ 型）。

解：

• $x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$。
• 指数 $\sin x\cdot\ln x$ 是乘积，因子 $\sin x\sim x$ 可以换：$\lim\limits_{x\to0^+}\sin x\ln x=\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$。
• 原式 $=e^0=1$。

易错点 ⚠️：这两种题第一步永远是"$e^{\ln}$"，不要试图直接对 $x^x$ 用等价替换。

1.8 七种未定式转化一览#

类型	转化方法	变成
$\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$	基本型，直接处理	—
$0\cdot\infty$	把一个因子倒到分母	$\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$
$\infty-\infty$	通分 / 有理化 / 提公因式	$\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$
$1^\infty$	公式 $e^{\lim(u-1)v}$	指数部分常为 $\dfrac00$
$0^0$、$\infty^0$	$u^v=e^{v\ln u}$	指数为 $0\cdot\infty$

1.9 数列极限也一样#

数列极限（$n\to\infty$，$n$ 取正整数）里的未定式，处理方法和函数极限完全相同，只是把 $x$ 换成 $n$。

例 25：求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+1}{3n^2-n}$。

解：$\dfrac\infty\infty$，同次，最高次系数比 $\dfrac23$。

例 26：求 $\lim\limits_{n\to\infty}n\sin\dfrac{\pi}{n}$。

解：$\infty\cdot0$ 型。$\square=\dfrac\pi n\to0$，$\sin\dfrac\pi n\sim\dfrac\pi n$，原式 $=\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot\dfrac\pi n=\pi$。

（几何意义：圆内接正 $n$ 边形的周长约为 $2n\sin\dfrac{\pi}{n}$（半径为 1），$n\to\infty$ 时趋于圆周长 $2\pi$。）

例 27：求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac2n\right)^n$。

解：$1^\infty$ 型，$-\dfrac2n\cdot n=-2$，原式 $=e^{-2}$。

例 28：求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$。

解：$\infty-\infty$，有理化得 $\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\dfrac12$。

易错点 ⚠️：数列只有 $n\to+\infty$ 一个方向，不用担心 $-\infty$；但要注意，数列极限不能直接用后面学的洛必达法则（数列不能求导），需要先把 $n$ 换成连续变量 $x$ 再用。

1.10 判型小练习：先认出它是谁#

做题时第一步就要判型。下面几个式子，先别算，只说类型（括号里是判断理由）：

极限	类型
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{\sin x}$	$\dfrac00$（分子 $\to0$，分母 $\to0$）
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$	$\dfrac\infty\infty$
$\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$	$0\cdot\infty$
$\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac1x-\dfrac1{\sin x}\right)$	$\infty-\infty$
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^x$	$1^\infty$
$\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x}$	$0^0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}$	$\infty^0$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x+1}$	不是未定式，代入得 $\dfrac01=0$

最后一个是陷阱：分母趋于 1，根本不是 $\dfrac00$，直接代入就完事了。不是未定式的，不要硬套任何技巧——尤其以后学了洛必达法则，对非未定式用洛必达会得到错误答案。

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二、极限计算方法总流程#

拿到一道求极限的题，按下面的顺序思考，基本不会迷路：

1. 先代入：把 $x_0$ 直接代进去。能算出确定的数（不是未定式），答案就是它。初等函数在定义域内都可以这样做（第 04 讲会解释为什么——连续性）。
2. 判类型：是七种未定式中的哪一种？非基本型先按 1.8 的表转化成 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$。
3. 先化简：
   • 能算出极限的非零因子先算出来（比如分母里有个 $\cos x\to1$，直接换成 1，单独提出去）；
   • 约去零因子、有理化、通分、三角恒等变形；
   • 换元：比如 $x\to\infty$ 时令 $t=\dfrac1x$，变成 $t\to0$，往往就能用等价表了。
4. 等价替换：乘除因子大胆换，加减慎用。
5. 重要极限：$\dfrac{\sin\square}{\square}\to1$，$1^\infty$ 公式。
6. 洛必达法则（第 07 讲）：$\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$ 型，分子分母分别求导。适合化简后仍然卡住的情况。
7. 泰勒公式（第 07 讲）：专治"加减抵消"型，比如 $\dfrac{x-\sin x}{x^3}$。
8. 另有夹逼准则、单调有界准则（主要用于数列，见第 02 讲）、定积分定义（第 10 讲）等专门方法。

一句话：代入 → 判型 → 化简 → 等价 → 重要极限 → 洛必达/泰勒。

流程演示：

例 29：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x^2)\cos x}{\left(\sqrt{1+x}-1\right)\sin x}$。

解（按流程一步步走）：

1. 代入：分子 $\ln1\cdot1=0$，分母 $0\cdot0=0$。
2. 判型：$\dfrac00$，基本型，不用转化。
3. 化简：因子 $\cos x\to1$ 是非零因子，直接算掉，换成 1。
4. 等价替换：剩下的都是乘积因子——$\ln(1+x^2)\sim x^2$，$\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac12x$，$\sin x\sim x$。

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\cdot1}{\frac12x\cdot x}=2 .$$

整道题没有一步是"灵感"，全是按流程走出来的。这就是总流程的价值：让你在考场上不慌。

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三、综合例题与常见疑问#

3.1 综合例题#

例 30：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$。

解：

• 第一步，判型：$x\to0$ 时分子 $\to1-1=0$，分母 $\to0$，是 $\dfrac00$ 型。
• 第二步，分子是两个根号相减，不能直接逐项等价替换（加减慎用）。先有理化：

$$\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{(1+\tan x)-(1+\sin x)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} .$$

• 第三步，把"能算出来的非零因子"先算掉：$x\to0$ 时 $\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\to1+1=2$。
• 第四步，剩下的 $\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3$（上篇例 4）：

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\cdot\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14 .$$

这道题把"有理化、先算非零因子、等价替换"三招串在了一起，是很典型的考研基础题思路。

例 31：求 $\lim\limits_{x\to\infty}x^2\left(1-\cos\dfrac1x\right)$。

解：

• 判型：$x^2\to\infty$，$1-\cos\dfrac1x\to0$，是 $\infty\cdot0$ 型。
• $x\to\infty$ 时 $\square=\dfrac1x\to0$，用广义化的等价：$1-\cos\dfrac1x\sim\dfrac12\cdot\dfrac1{x^2}$。它是乘积中的一个因子，可以换：

$$\text{原式}=\lim_{x\to\infty}x^2\cdot\frac{1}{2x^2}=\frac12 .$$

例 32：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1}{x\ln(1+x)}$。

解：分子 $e^{x^2}-1\sim x^2$（$\square=x^2$）；分母是乘积，因子 $\ln(1+x)\sim x$，所以分母可换成 $x\cdot x=x^2$。原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2}{x^2}=1$。

3.2 常见疑问#

问：算出极限是 $\infty$，要写"极限不存在"吗？

答：两种说法都对，但写 $\infty$ 信息更多。注意判断阶的时候，"比值为 $\infty$"表示"分子是低阶"，不是"不可比"。

问：$0\cdot\infty$ 型把谁倒到分母上，有讲究吗？

答：有。原则是"倒完之后好算"。一般把简单的、能用等价替换的留在分子，把 $\ln x$、反三角函数这类"倒过来很难处理"的留在原位不要倒。例如 $x\ln x$ 应写成 $\dfrac{\ln x}{1/x}$（$\dfrac\infty\infty$），而不是 $\dfrac{x}{1/\ln x}$——后者分母太复杂。等第 07 讲学了洛必达，你会更清楚地体会到这一点。

问：听说洛必达法则很好用，现在能直接用吗？

答：第 07 讲会专门讲。洛必达确实强大，但它有使用条件（必须是 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$，且求导后的极限要存在），而且求导多了容易算错。考研高手的习惯是：先用等价替换、约分、算掉非零因子把式子化到最简，最后再考虑洛必达。所以本讲练的这些基本功，以后一样天天用。

问：$1^\infty$ 公式里的"$u-1$"可以再用等价替换吗？

答：可以，而且常常必须这样做。$\lim(u-1)v$ 本身是一个乘积的极限，里面的因子照样适用"乘除可换"。例 19 中 $3\tan x\cdot\dfrac1{\sin x}$ 就是这样换的。

问：$1^\infty$ 型的结果一定是有限数吗？

答：不一定。公式 $e^{\lim(u-1)v}$ 中，如果指数部分的极限是 $+\infty$，结果就是 $+\infty$；是 $-\infty$，结果就是 $0$。例如 $\lim\limits_{x\to0^+}(1+x)^{\frac{1}{x^2}}$：指数部分 $\lim\limits_{x\to0^+}x\cdot\dfrac{1}{x^2}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$，所以结果为 $+\infty$。

问：七种未定式以外的形式，比如 $\dfrac{1}{0}$、$0^{\infty}$、$\infty\cdot\infty$，怎么办？

答：它们都是"定式"，结果能直接判断：$\dfrac{\text{非零数}}{0}$ 型是 $\infty$；$0^{+\infty}$ 型是 $0$（比 1 小的正数越乘越小）；$\infty\cdot\infty$ 是 $\infty$；$\infty+\infty$（同号）是 $\infty$。只有那七种才需要"转化"。

3.3 常见错误汇总#

1. 没判型就动手：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x+1}$ 不是未定式，直接代入得 0。
2. 加减中逐项等价替换：$\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$ 换成 $\dfrac{x-x}{x^3}=0$ 是错的，正确答案 $\dfrac12$。
3. $1^\infty$ 当成 1：$\left(1+\dfrac1x\right)^x\to e$，不是 1。
4. $1^\infty$ 公式忘了套 $e$：算出指数 2，答案却写成 2，应为 $e^2$。
5. $x\to-\infty$ 时根号外提忘了变号：$\sqrt{x^2}=-x$。
6. 通分、约分丢负号：$x-1=-(1-x)$。
7. 趋向看错：$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。

每次做完一道极限题，用这张清单过一遍，能挡住绝大多数失分。

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公式/结论速记卡#

七种未定式：$\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ 0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0$。

类型	方法
$\dfrac00$	约零因子、有理化、等价替换（以后：洛必达、泰勒）
$\dfrac\infty\infty$	抓大头：同除最高次（或增长最快的项）
$0\cdot\infty$	一个因子倒到分母 → $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$
$\infty-\infty$	通分、有理化
$1^\infty$	$\lim u^v=e^{\lim(u-1)v}$
$0^0$、$\infty^0$	$u^v=e^{v\ln u}$，指数化为 $0\cdot\infty$

有理函数 $x\to\infty$：分子分母同次 → 最高次系数比；分子次数低 → 0；分子次数高 → $\infty$。

根号 + $x\to-\infty$：$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，别忘变号。

常用结论：$\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$，$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to0^+}x^x=1$，$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=1$，$\lim\limits_{x\to0}(1+ax)^{\frac1x}=e^a$，$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac ax\right)^{x}=e^a$。

求极限总流程：代入 → 判型 → 化简（算掉非零因子、约分、有理化、换元）→ 等价替换 → 重要极限 → 洛必达/泰勒（第 07 讲）。

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自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{2x^2-x-1}$。

答案与提示

$\dfrac23$。$\dfrac00$ 型，因式分解：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$，约去 $x-1$ 得 $\dfrac{x+1}{2x+1}\to\dfrac23$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^3+x}{x^3-2x^2+5}$。

答案与提示

$3$。同次，最高次系数之比 $\dfrac31=3$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$。

答案与提示

$1$。分子有理化：$\dfrac{(1+x)-(1-x)}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\to\dfrac22=1$。

4. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}x\ln\left(1+\dfrac2x\right)$。

答案与提示

$2$。$\infty\cdot0$ 型。$\square=\dfrac2x\to0$，$\ln\left(1+\dfrac2x\right)\sim\dfrac2x$，原式 $=\lim x\cdot\dfrac2x=2$。

5. 求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$。

答案与提示

$2$。有理化：$\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$，同除以 $x$：$\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}\to2$。

6. 求 $\lim\limits_{x\to0}(1+x^2)^{\frac{1}{1-\cos x}}$。

答案与提示

$e^2$。$1^\infty$ 型：$\lim x^2\cdot\dfrac{1}{1-\cos x}=\lim\dfrac{x^2}{\frac12x^2}=2$。

7. 已知 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+a}{x-a}\right)^x=e^4$，求常数 $a$。

答案与提示

$a=2$。底数减 1：$\dfrac{2a}{x-a}$；乘以 $x$：$\dfrac{2ax}{x-a}\to2a$。所以极限 $=e^{2a}=e^4$，$a=2$。

8. 求 $\lim\limits_{x\to0}(\cos2x)^{\frac1{x^2}}$。

答案与提示

$e^{-2}$。$\cos2x-1=-(1-\cos2x)\sim-\dfrac12(2x)^2=-2x^2$，乘以 $\dfrac1{x^2}$ 得 $-2$，原式 $=e^{-2}$。

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下一讲预告#

第 04 讲（上）用极限来定义"连续"：函数图像什么时候能"一笔画不断"，断开的地方又分哪几类。