考研数学二·零基础讲义 第03讲（上）｜无穷小的比较与等价无穷小替换

考研数学二·零基础讲义 · 第 03 讲（上）｜无穷小的比较与等价无穷小替换

学完这一讲（上篇），你能判断两个"趋于 0 的量"谁跑得快、是几阶，能背出常用等价无穷小表，并会用"乘除可换、加减慎用"的规则一步化简极限。预计用时：3～4 小时（含练习）。下篇讲七种未定式与求极限总流程。

本讲地图#

• 无穷小与无穷大：什么叫"趋于 0 的量""趋于无穷的量"，两者什么关系；"有界 × 无穷小 = 无穷小"。大纲要求：理解无穷小量、无穷大量的概念。
• 无穷小阶的比较：高阶、低阶、同阶、等价、$k$ 阶；小欧记号 $o(\cdot)$ 先认识。大纲要求：掌握无穷小量的比较方法。
• 等价无穷小表：9 个基本等价 + 3 个进阶等价，以及"把 $x$ 换成任何趋于 0 的 $\square$"的广义用法。
• 等价替换的使用条件：乘除可换、加减慎用，以及"把减法变乘法"的常见变形。大纲要求：会用等价无穷小量求极限。
• 考研怎么考：等价替换是求极限最常用、最省时的工具，几乎每道极限题都会用到；"已知两个无穷小等价/同阶，求参数"也是常见的选择、填空题型。

前置知识#

• 极限的概念与记号 $\lim$，左右极限，极限的四则运算，两个重要极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 和 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$：见第 02 讲。
• 指数、对数运算（尤其 $a^x=e^{x\ln a}$）、三角公式（如 $1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2$）：见第 01 讲。

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一、无穷小与无穷大#

1.1 无穷小#

大白话：无穷小不是"一个很小很小的数"，而是"一个会变、并且越变越接近 0 的量"。比如你往杯子里倒的水越来越少：第一次倒 1 杯，第二次半杯，第三次四分之一杯……每次倒的量就是一个无穷小（当次数趋于无穷时）。

关键是要说清楚"在什么过程下"。$x^2$ 在 $x\to0$ 时是无穷小，但在 $x\to1$ 时就不是（它趋于 1）。

正式定义：若

$$\lim_{x\to x_0} \alpha(x)=0,$$

则称 $\alpha(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小（$x_0$ 也可以换成 $\infty$、$x_0^+$ 等其他过程）。

逐行拆解：

• $\alpha$ 读作"阿尔法"，$\beta$ 读作"贝塔"，教材习惯用这两个希腊字母表示无穷小。
• "$x\to x_0$" 读作"$x$ 趋于 $x_0$"，就是说明"在哪个过程下"。
• 唯一的常数无穷小是 $0$ 本身。$0.000001$ 再小也不是无穷小，因为它不会变。

一个好用的结论（极限与无穷小的关系）：

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=A \iff f(x)=A+\alpha(x),\ \text{其中 }\alpha(x)\to0 .$$

意思是："$f$ 趋于 $A$" 等价于 "$f$ 等于 $A$ 加上一个无穷小"。$\iff$ 读作"当且仅当"，表示左右两边可以互推。

无穷小的运算性质（都在同一个过程下）：

1. 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小；
2. 有界量 × 无穷小 = 无穷小。

例 1：求 $\lim\limits_{x\to0} x\sin\dfrac1x$。

解：

• 第一步：$x\to0$ 时 $x$ 是无穷小。
• 第二步：不管 $x$ 是多少，$\left|\sin\dfrac1x\right|\le 1$，所以 $\sin\dfrac1x$ 是有界量（虽然它自己没有极限，一直在 $-1$ 到 $1$ 之间乱跳）。
• 第三步：有界量 × 无穷小 = 无穷小，所以 $\lim\limits_{x\to0} x\sin\dfrac1x=0$。

易错点 ⚠️：

• 不能写成 $\lim x\cdot\lim\sin\dfrac1x$，因为 $\lim\limits_{x\to0}\sin\dfrac1x$ 不存在，四则运算法则要求两个极限都存在。
• 对比一下：$\lim\limits_{x\to\infty} x\sin\dfrac1x=1$（这时 $\dfrac1x\to0$，是第一个重要极限的变形），和上面那题只差了一个"趋于哪里"，答案完全不同。

例 2：求 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}$。

解：

• 第一步，拆成乘积：$\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac1x\cdot\sin x$。
• 第二步，$x\to\infty$ 时 $\dfrac1x\to0$，是无穷小；$|\sin x|\le1$，是有界量。
• 第三步，有界量 × 无穷小 = 无穷小，所以 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$。

易错点 ⚠️：千万别把它和第一个重要极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 混为一谈。同一个式子，趋向不同，答案不同。做每道极限题的第一件事，就是看清"$x$ 趋于哪里"。

1.2 无穷大#

大白话：无穷大是"绝对值越变越大、要多大有多大"的量。比如 $\dfrac1x$ 在 $x\to0^+$ 时，$x=0.1$ 得 10，$x=0.001$ 得 1000……没有上限。

正式写法：若 $x\to x_0$ 时 $|f(x)|$ 无限增大，记作

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=\infty .$$

逐行拆解：$\infty$ 读作"无穷"。注意：写 $\lim f(x)=\infty$ 只是一个记号，表示"极限不存在，而且不存在的方式是越来越大"。严格说，极限为 $\infty$ 属于"极限不存在"。

无穷小与无穷大的关系（同一过程下）：

$$f(x)\to\infty \ \Rightarrow\ \frac{1}{f(x)}\to0;\qquad f(x)\to0\ \text{且}\ f(x)\ne0 \ \Rightarrow\ \frac1{f(x)}\to\infty .$$

一句话：倒过来就互相转化。这句话后面转化未定式时会反复用到。

易错点 ⚠️：

• 无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大。例如 $x\sin x$ 在 $x\to\infty$ 时无界（取 $x=2k\pi+\dfrac\pi2$ 时它等于 $x$，可以任意大），但它又会无数次回到 0（取 $x=k\pi$），所以不是无穷大。
• 两个无穷大相加不一定是无穷大：$x$ 与 $-x$ 都是无穷大，和却是 0。

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二、无穷小阶的比较#

2.1 为什么要比较#

大白话：同样是趋于 0，大家"跑向 0 的速度"不一样。看 $x\to0$ 时三个量：

$x$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x^2$	$0.01$	$0.0001$	$0.000001$
$\sin x$	$\approx0.0998$	$\approx0.0099998$	$\approx0.0009999998$

$x^2$ 比 $x$ 快得多地冲向 0；$\sin x$ 和 $x$ 几乎"肩并肩"。比较速度的办法很朴素：做除法，看比值趋于什么。

图 1："跑向 0 的速度"：$x^2$（绿）贴着 x 轴冲向 0，比 $x$ 快得多；$\sin x$（蓝）和 $x$（橙）几乎重合

2.2 定义#

设 $\alpha,\beta$ 是同一过程下的无穷小，且 $\alpha\ne0$。看极限 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha}$：

$$\lim\frac{\beta}{\alpha}= \begin{cases} 0, & \beta \text{ 是比 } \alpha \text{ 高阶的无穷小，记作 } \beta=o(\alpha);\\ \infty, & \beta \text{ 是比 } \alpha \text{ 低阶的无穷小};\\ C\ne0, & \beta \text{ 与 } \alpha \text{ 是同阶无穷小};\\ 1, & \beta \text{ 与 } \alpha \text{ 是等价无穷小，记作 } \beta\sim\alpha . \end{cases}$$

另外，若 $\lim\dfrac{\beta}{\alpha^k}=C\ne0$（$k>0$），称 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。最常用的是 $\alpha=x$（$x\to0$）：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\beta}{x^k}=C\ne0$ 就说 $\beta$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小。

逐行拆解：

• $o(\alpha)$ 读作"小欧阿尔法"，意思是"比 $\alpha$ 还要高阶的某个无穷小"，它代表的是一类量，不是一个具体的式子。比如 $x^2=o(x)$，$x^3=o(x)$ 都对。
• $\sim$ 读作"等价于"。
• "高阶"="跑得更快"="更小"。刚开始容易记反：高阶 = 更快趋于 0。可以联想 $x^3$ 的"次数高"，它在 $x\to0$ 时就是更小的那个。
• 等价是同阶的特例（$C=1$）。
• $k$ 阶无穷小可以理解为"它和 $x^k$ 同阶"。

2.3 例题#

例 3：$x\to0$ 时，比较下列各对无穷小。

（1）$x^2$ 与 $x$；（2）$\sin x$ 与 $x$；（3）$1-\cos x$ 与 $x^2$。

解：

（1）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to0}x=0$，所以 $x^2=o(x)$，$x^2$ 是比 $x$ 高阶的无穷小。

（2）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$（第一个重要极限），所以 $\sin x\sim x$。

（3）用半角公式 $1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2$：

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac x2}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac x2}{4\cdot\left(\frac x2\right)^2} =\frac12\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}\right)^2=\frac12 .$$

比值趋于 $\dfrac12\ne0$，所以 $1-\cos x$ 与 $x^2$ 同阶（但不等价），$1-\cos x$ 是 $x$ 的 2 阶无穷小。顺便得到：$1-\cos x\sim\dfrac12x^2$。

例 4：$x\to0$ 时，$\tan x-\sin x$ 是 $x$ 的几阶无穷小？

解：

• 第一步，先化简：$\tan x-\sin x=\dfrac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\dfrac{\sin x\,(1-\cos x)}{\cos x}$。
• 第二步，猜阶数：$\sin x$ 像 $x$（1 阶），$1-\cos x$ 像 $\dfrac12x^2$（2 阶），$\cos x\to1$，乘起来像 $\dfrac12x^3$，猜 3 阶。
• 第三步，验证：

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2} =1\cdot1\cdot\frac12=\frac12\ne0 .$$

所以 $\tan x-\sin x$ 是 $x$ 的 3 阶无穷小，并且 $\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3$。

易错点 ⚠️：

• 判断"$k$ 阶"时，比值的极限必须是非零常数。算出 0 说明你的 $k$ 取小了；算出 $\infty$ 说明 $k$ 取大了。
• 不是任意两个无穷小都能比较。比如 $x\to0$ 时 $x\sin\dfrac1x$ 与 $x$：比值 $\sin\dfrac1x$ 没有极限，既不是高阶也不是同阶，"不可比"。

2.4 更多例题：练熟"做除法看比值"#

例 5：$x\to0$ 时，$x+x^2$ 与 $x$ 是什么关系？

解：

$$\lim_{x\to0}\frac{x+x^2}{x}=\lim_{x\to0}(1+x)=1,$$

所以 $x+x^2\sim x$。

结论（低阶"吃掉"高阶）：几个无穷小相加时，和与其中最低阶的那一项等价（前提是最低阶的只有一项）。$x^2$ 比 $x$ 高阶，在加法里"可以忽略"。再如 $x\to0$ 时 $x^2+\sin^3x\sim x^2$：因为 $\sin^3x$ 像 $x^3$，比 $x^2$ 高阶。

$$\lim_{x\to0}\frac{x^2+\sin^3x}{x^2}=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{\sin^3x}{x^2}\right)=1+0=1 .$$

（$\dfrac{\sin^3x}{x^2}=\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\sin x\to1\cdot0=0$。）

例 6：$x\to0^+$ 时，比较 $\sqrt x$ 与 $x$。

解：$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sqrt x}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt x}=+\infty$，所以 $\sqrt x$ 是比 $x$ 低阶的无穷小（$\sqrt x$ 趋于 0 更慢）。可以代个数感受一下：$x=0.0001$ 时，$\sqrt x=0.01$，比 $x$ 大了 100 倍。

用 $k$ 阶的说法：$\sqrt x=x^{\frac12}$，是 $x$ 的 $\dfrac12$ 阶无穷小——$k$ 不一定是整数。

例 7：$x\to0$ 时，下列无穷小分别是 $x$ 的几阶？（1）$e^{x^3}-1$；（2）$\sin(x^2)$。

解：

（1）令 $\square=x^3\to0$，利用第三节将给出的结论 $e^{\square}-1\sim\square$，$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1}{x^3}=1$，比值是非零常数，所以是 3 阶。

（2）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}=1$（把 $x^2$ 看成整体，就是第一个重要极限），所以是 2 阶。

技巧：判断阶数时，先在脑子里把式子"换成最简单的幂函数"，看出次数 $k$，再用 $\dfrac{\beta}{x^k}$ 验证。

2.5 小欧记号 $o(\cdot)$ 的运算（先认识，第 07 讲常用）#

$o(x^2)$ 表示"某个比 $x^2$ 高阶的无穷小"，它不代表一个具体的式子，所以运算规则和普通代数不一样（$x\to0$ 时）：

• $o(x^2)\pm o(x^2)=o(x^2)$：两个"零头"相加减还是零头。注意 $o(x^2)-o(x^2)$ 不等于 0，因为两个 $o(x^2)$ 可能是不同的式子。
• $o(x^3)+o(x^2)=o(x^2)$：更高阶的被吃掉。
• $x\cdot o(x^2)=o(x^3)$，$C\cdot o(x^2)=o(x^2)$（$C$ 为非零常数）。

大白话：$o$ 就像在说"后面还有一些小到可以忽略的零头"，这在第 07 讲的泰勒公式里会天天用。现在会读、知道它是"零头"就够了。

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三、等价无穷小替换#

3.1 替换定理#

大白话：既然 $\sin x$ 和 $x$ 在 $x\to0$ 时"几乎一样"，那在求极限时能不能把复杂的 $\sin x$ 直接换成简单的 $x$？能，但只能在乘除的位置上换。

定理：若 $\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，且 $\lim\dfrac{\beta'}{\alpha'}$ 存在（或为 $\infty$），则

$$\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\beta'}{\alpha'} .$$

为什么成立（一行就懂）：

$$\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\beta}{\beta'}\cdot\frac{\beta'}{\alpha'}\cdot\frac{\alpha'}{\alpha},$$

两头的 $\dfrac{\beta}{\beta'}\to1$、$\dfrac{\alpha'}{\alpha}\to1$，中间留下的就是 $\dfrac{\beta'}{\alpha'}$。你看，证明里全是乘除——这就是"乘除可换"的根源。

3.2 常用等价无穷小表（$x\to0$ 时）#

这张表必须背到脱口而出：

原式	等价于	记忆方式
$\sin x$	$x$	第一个重要极限
$\tan x$	$x$	$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$，$\cos x\to1$
$\arcsin x$	$x$	反函数，令 $t=\arcsin x$
$\arctan x$	$x$	同上
$\ln(1+x)$	$x$	第二个重要极限取对数
$e^x-1$	$x$	令 $t=e^x-1$ 化成上一行
$a^x-1$	$x\ln a$	$a^x=e^{x\ln a}$（$a>0,a\ne1$）
$1-\cos x$	$\dfrac12x^2$	例 3
$(1+x)^\alpha-1$	$\alpha x$	$\alpha$ 是常数（$\alpha\neq0$）

$(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$ 最常用的两个特例：

$$\sqrt{1+x}-1\sim\frac12x,\qquad \sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac13x .$$

进阶三个（常用于"加减"型，第 07 讲用泰勒公式会证明）：

$$x-\sin x\sim\frac16x^3,\qquad \tan x-x\sim\frac13x^3,\qquad \tan x-\sin x\sim\frac12x^3 .$$

最后一个我们在例 4 已经算出来了。

每一行为什么成立？（不用会证，知道来龙去脉更好记）

• $\sin x\sim x$：就是 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
• $\tan x\sim x$：$\dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\to1\cdot1=1$。
• $\arcsin x\sim x$：令 $t=\arcsin x$，则 $x=\sin t$，$x\to0$ 时 $t\to0$，$\dfrac{\arcsin x}{x}=\dfrac{t}{\sin t}\to1$。$\arctan x$ 同理。
• $\ln(1+x)\sim x$：$\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\ln(1+x)^{\frac1x}$，而 $(1+x)^{\frac1x}\to e$（第二个重要极限），所以 $\to\ln e=1$。
• $e^x-1\sim x$：令 $t=e^x-1$，则 $x=\ln(1+t)$，$\dfrac{e^x-1}{x}=\dfrac{t}{\ln(1+t)}\to1$。
• $a^x-1\sim x\ln a$：$a^x=e^{x\ln a}$，把上一行中的 $x$ 换成 $x\ln a$。
• $1-\cos x\sim\dfrac12x^2$：例题中用半角公式算过。
• $(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$：$(1+x)^\alpha-1=e^{\alpha\ln(1+x)}-1\sim\alpha\ln(1+x)\sim\alpha x$（连用两次上面的结论）。

记忆小窍门：前六个"长得像 $x$"的，等价于 $x$ 本身；后三个有系数，系数要背准：$\ln a$、$\dfrac12$（还带平方）、$\alpha$。

图 2：等价无穷小的直观图：在 $x=0$ 附近，这几条曲线都和直线 $y=x$ 贴在一起，所以都等价于 $x$；离 0 远了才分开

3.3 "广义化"：把 $x$ 换成任何趋于 0 的东西#

这是用好这张表的关键：表里的 $x$ 可以换成任何一个在当前过程下趋于 0 的式子 $\square$：

$$\sin\square\sim\square,\quad \ln(1+\square)\sim\square,\quad e^{\square}-1\sim\square,\quad 1-\cos\square\sim\frac12\square^2,\quad\ldots\qquad(\square\to0)$$

例如 $x\to0$ 时：$\sin 3x\sim3x$，$\ln(1+x^2)\sim x^2$，$e^{2x}-1\sim2x$，$1-\cos 2x\sim\dfrac12(2x)^2=2x^2$。

又如 $x\to\infty$ 时 $\dfrac1x\to0$，所以 $\sin\dfrac1x\sim\dfrac1x$。

3.4 例题#

例 8：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{\tan 5x}$。

解：$x\to0$ 时 $3x\to0$，$5x\to0$，所以 $\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$。它们都在分子、分母（乘除位置），可以直接换：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{5x}=\frac35 .$$

例 9：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\ln(1+3x)}$。

解：$e^{2x}-1\sim2x$，$\ln(1+3x)\sim3x$，

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{3x}=\frac23 .$$

例 10：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$。

解：分子 $1-\cos x\sim\dfrac12x^2$；分母是乘积 $x\cdot\sin x$，其中因子 $\sin x\sim x$，可以只换这一个因子：

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac12x^2}{x\cdot x}=\frac12 .$$

例 11：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x\arctan x}$。

解：

• 分子：把 $(1+\square)^{\frac13}-1\sim\dfrac13\square$ 中的 $\square$ 取为 $x^2$，得 $\sqrt[3]{1+x^2}-1\sim\dfrac13x^2$。
• 分母：$\arctan x\sim x$，所以 $x\arctan x$ 可换成 $x\cdot x=x^2$。

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac13x^2}{x^2}=\frac13 .$$

例 12：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}$。

解：$2^x-1\sim x\ln2$，所以原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\ln 2}{x}=\ln2$。

例 13：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan 2x}{\arcsin 3x}$。

解：$\tan2x\sim2x$，$\arcsin3x\sim3x$，原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x}{3x}=\dfrac23$。

例 14：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x\sin x)}{1-\cos x}$。

解：

• 分子：$\square=x\sin x$，$x\to0$ 时 $\square\to0$，所以 $\ln(1+x\sin x)\sim x\sin x$；再把因子 $\sin x$ 换成 $x$，得 $\sim x^2$。
• 分母：$1-\cos x\sim\dfrac12x^2$。

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\frac12x^2}=2 .$$

这题展示了**"连续替换"**：一层一层往里换，每一步都是乘除位置，都合法。

例 15：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{\sin x}-1}{x}$。

解：$\square=\sin x\to0$，所以 $e^{\sin x}-1\sim\sin x\sim x$。原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{x}=1$。

例 16：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1-\cos x)\ln(1+x)}{x^2\sin x}$。

解：分子是两个因子相乘，分母也是乘积，每个因子都可以换：

• $1-\cos x\sim\dfrac12x^2$，$\ln(1+x)\sim x$，分子 $\sim\dfrac12x^3$；
• 分母 $x^2\sin x\sim x^2\cdot x=x^3$。

原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\frac12x^3}{x^3}=\dfrac12$。

例 17：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arctan(x^2)}{x\ln(1+2x)}$。

解：$\arctan(x^2)\sim x^2$；分母中 $\ln(1+2x)\sim2x$，所以分母 $\sim x\cdot2x=2x^2$。原式 $=\dfrac12$。

例 18（把减法变成乘法）：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3^x-2^x}{x}$。

解：分子是相减，先不急着替换。提出公因式 $2^x$：

$$3^x-2^x=2^x\left[\left(\frac32\right)^x-1\right] .$$

• $2^x\to1$，是非零因子，直接算掉；
• $\left(\dfrac32\right)^x-1\sim x\ln\dfrac32$（$a^x-1\sim x\ln a$，$a=\dfrac32$）。

$$\text{原式}=\lim_{x\to0}2^x\cdot\frac{x\ln\frac32}{x}=1\cdot\ln\frac32=\ln\frac32=\ln3-\ln2 .$$

（这题如果逐项换 $3^x-1\sim x\ln3$、$2^x-1\sim x\ln2$ 再相减，碰巧也能得到 $\ln3-\ln2$，因为主部没有抵消。但"提公因式变乘积"的思路才是普遍适用的。）

3.5 使用条件：乘除可换，加减慎用#

反面例子：求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$。

❌ 错误做法：$\tan x\sim x$，$\sin x\sim x$，于是分子 $\tan x-\sin x$ "换成" $x-x=0$，得极限为 0。

✅ 正确做法：例 4 已经算过，答案是 $\dfrac12$。先把减法变成乘法：

$$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{\tan x\,(1-\cos x)}{x^3}\ \to\ \frac{x\cdot\frac12x^2}{x^3}=\frac12 .$$

为什么错：$\tan x\approx x$ 和 $\sin x\approx x$ 都"约等于"，各自都丢掉了一点点误差（都是 $x^3$ 量级）。单独看误差可以忽略，但两者相减后主要部分 $x$ 抵消了，剩下的恰好就是那点误差，而分母 $x^3$ 也是这个量级——误差就不能丢了。

实用规则：

1. 整个分子或分母是一个可替换的式子，可以换；
2. 分子或分母是几个因子相乘，每个因子都可以单独换；
3. 分子或分母是几项相加减，不要拆开逐项换。先想办法通分、提公因式、和差化积、有理化，变成乘积再换；实在不行，等第 07 讲用泰勒公式。

（补充：加减时若逐项换完后主部没有抵消，结果其实是对的，例如 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x+\tan x}{x}=2$。但判断"会不会抵消"需要经验，零基础阶段一律先转成乘积最稳。）

易错点 ⚠️：

• 替换前先确认那个"$\square$"确实趋于 0。$\sin x\sim x$ 只在 $x\to0$ 时成立，$x\to\pi$ 时就不能换。
• 别把 $1-\cos x$ 记成 $\sim x^2$，系数 $\dfrac12$ 不能丢。

3.6 反过来用：已知等价或同阶，求参数#

考试常把问题"倒过来"：告诉你两个无穷小的关系，让你求式子里的常数。做法永远是：把两边都换成最简单的幂函数，再比较系数和次数。

例 19：已知 $x\to0$ 时，$e^{ax}-1$ 与 $\sin2x$ 是等价无穷小，求 $a$。

解：

• 第一步，各自换成幂函数：$e^{ax}-1\sim ax$，$\sin2x\sim2x$。
• 第二步，等价意味着比值极限为 1：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{ax}{2x}=\dfrac a2=1$。
• 第三步，解得 $a=2$。

例 20：已知 $x\to0$ 时，$1-\cos(ax)\sim 2x^2$，求 $a$（$a>0$）。

解：$1-\cos(ax)\sim\dfrac12(ax)^2=\dfrac{a^2}{2}x^2$。要它与 $2x^2$ 等价，需 $\dfrac{a^2}{2}=2$，即 $a^2=4$，又 $a>0$，所以 $a=2$。

例 21：已知 $x\to0$ 时，$\tan x-\sin x$ 与 $kx^n$ 等价，求 $k$ 和 $n$。

解：由例 4，$\tan x-\sin x\sim\dfrac12x^3$。与 $kx^n$ 等价，就要次数相同、系数相同：$n=3$，$k=\dfrac12$。

易错点 ⚠️："同阶"只要求次数相同，系数可以不同；"等价"要求次数和系数都相同。读题时看清是哪个词。

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四、解题思路小结与常见疑问#

4.1 用等价替换求极限的四步#

1. 看过程：$x$ 趋于哪里？找出每个要替换的"$\square$"，确认 $\square\to0$。
2. 看位置：要换的式子是不是整个分子/分母，或者分子/分母的一个乘积因子？是 → 可以换；是加减中的一项 → 先变形。
3. 算掉非零因子：像 $\cos x$、$2^x$、$\sqrt{1+x}+1$ 这类趋于非零常数的因子，直接用极限值代替，单独提出去。
4. 换完化简：通常会约成一个常数。

4.2 常见疑问#

问：$0.0000001$ 是无穷小吗？

答：不是。无穷小是一个"会变、并趋于 0"的量，必须说明在什么过程下。任何非零常数都不是无穷小，常数中只有 $0$ 是。

问：等价替换能不能只换分子中的"一部分"？

答：看这一部分和其余部分是什么关系。如果它是分子的一个乘积因子（比如 $x\sin x$ 中的 $\sin x$），可以换；如果它是被加减的一项（比如 $\tan x-\sin x$ 中的 $\sin x$），不要单独换。

问：$x\to\infty$ 时能用等价无穷小表吗？

答：表本身是 $x\to0$ 的。但只要找到一个趋于 0 的 "$\square$"（例如 $\dfrac1x$），把表里的 $x$ 换成它就能用，例如 $x\to\infty$ 时 $\sin\dfrac1x\sim\dfrac1x$。最稳妥的做法是先换元 $t=\dfrac1x$，化成 $t\to0$。

问：同一题用等价替换和别的方法得到的结果不一样，该信哪个？

答：正确的方法结果一定相同。结果不同，几乎都是在加减中用了替换。回到第 3.5 节检查。

问：表里的 $\square$ 可以是负的吗？比如 $\ln(1-x)$？

答：可以。$\square$ 只要趋于 0 就行，正负都无所谓。取 $\square=-x$：$\ln(1-x)\sim-x$，$e^{-x}-1\sim-x$，$\dfrac{1}{1+x}-1=(1+x)^{-1}-1\sim-x$（$\alpha=-1$）。这几个在后面的题里经常出现，最容易错的就是丢掉负号。

问：考试会直接考"阶的比较"吗？

答：会。常见的问法有两种：一是给几个无穷小，让你按阶从低到高排序；二是告诉你两个无穷小同阶或等价，让你求参数（第 3.6 节）。做法都是"先换成最简单的幂函数 $Cx^k$，再比较 $k$ 和 $C$"。排序时 $k$ 越大，阶越高，趋于 0 越快。

问：$\sin x\sim x$，那可以写 $\sin x=x$ 吗？

答：不可以。$\sim$ 只在"求比值的极限"时可以当等号用，它们本身并不相等。比如 $\sin 0.5\approx0.479$，并不等于 $0.5$。

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公式/结论速记卡#

无穷小：$\lim\alpha=0$（必须说明过程）。$\lim f=A\iff f=A+\alpha$。有界 × 无穷小 = 无穷小。

无穷大：$|f|$ 无限增大，记 $\lim f=\infty$（属于极限不存在）。同一过程下，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。

阶的比较（看 $\lim\dfrac\beta\alpha$）：

比值极限	结论
$0$	$\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，$\beta=o(\alpha)$
$\infty$	$\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小
$C\ne0$	同阶
$1$	等价，$\beta\sim\alpha$
$\lim\dfrac{\beta}{x^k}=C\ne0$	$\beta$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小

低阶吃高阶：$x\to0$ 时 $x+x^2\sim x$，$x^2+\sin^3x\sim x^2$。

等价无穷小（$\square\to0$）：

$\sin\square\sim\square$	$\tan\square\sim\square$	$\arcsin\square\sim\square$
$\arctan\square\sim\square$	$\ln(1+\square)\sim\square$	$e^\square-1\sim\square$
$a^\square-1\sim\square\ln a$	$1-\cos\square\sim\frac12\square^2$	$(1+\square)^\alpha-1\sim\alpha\square$
$x-\sin x\sim\frac16x^3$	$\tan x-x\sim\frac13x^3$	$\tan x-\sin x\sim\frac12x^3$

使用条件：整个分子/分母、或其中的乘积因子可换；加减中的项不要单独换，先通分、提公因式、有理化变成乘积。趋于非零常数的因子先算掉。

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自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{3x}$。

答案与提示

$\dfrac53$。$\sin5x\sim5x$，原式 $=\lim\dfrac{5x}{3x}=\dfrac53$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{\tan x}$。

答案与提示

$3$。$e^{3x}-1\sim3x$，$\tan x\sim x$，原式 $=3$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\arcsin x}$。

答案与提示

$\dfrac12$。分子 $\sim\dfrac12x^2$；分母中因子 $\arcsin x\sim x$，分母 $\sim x^2$。

4. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x^2)}{x\sin2x}$。

答案与提示

$\dfrac32$。$\ln(1+3x^2)\sim3x^2$（$\square=3x^2$）；分母 $x\sin2x\sim x\cdot2x=2x^2$。原式 $=\dfrac{3x^2}{2x^2}=\dfrac32$。

5. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+2x}-1}{\arctan x}$。

答案与提示

$\dfrac23$。$(1+2x)^{\frac13}-1\sim\dfrac13\cdot2x=\dfrac23x$（$\alpha=\dfrac13$，$\square=2x$），$\arctan x\sim x$。

6. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{5^x-1}{e^x-1}$。

答案与提示

$\ln5$。$5^x-1\sim x\ln5$，$e^x-1\sim x$，原式 $=\ln5$。

7. $x\to0$ 时，下列无穷小各是 $x$ 的几阶？（1）$1-\cos x$；（2）$x^3+x^4$；（3）$\ln(1+x^2)\cdot\sin x$。

答案与提示

（1）2 阶（$\sim\dfrac12x^2$）。（2）3 阶（低阶吃高阶，$\sim x^3$）。（3）3 阶（$\ln(1+x^2)\sim x^2$，$\sin x\sim x$，乘积 $\sim x^3$）。

8.（略提高）求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-\tan x}{x^3}$，并说明为什么不能把分子"换成 $x-x=0$"。

答案与提示

$-\dfrac12$。$\sin x-\tan x=-(\tan x-\sin x)=-\tan x(1-\cos x)\sim-x\cdot\dfrac12x^2=-\dfrac12x^3$，所以原式 $=-\dfrac12$。分子是两项相减，各自的误差都是 $x^3$ 量级，主部 $x$ 抵消后剩下的正是误差，与分母同阶，不能丢，所以加减中不能逐项替换。

9.（略提高）已知 $x\to0$ 时，$\sqrt[3]{1+ax^2}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小，求常数 $a$。

答案与提示

$a=\dfrac32$。$\sqrt[3]{1+ax^2}-1\sim\dfrac a3x^2$，$1-\cos x\sim\dfrac12x^2$。等价要求 $\dfrac{a/3}{1/2}=1$，所以 $a=\dfrac32$。

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下一讲预告#

第 03 讲（下）：认识七种未定式（$\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$），学会把它们互相转化，掌握 $1^\infty$ 型公式，最后整理出一套求极限的总流程。