考研数学二·零基础讲义 第02讲（下）｜极限的计算（二）：两个重要极限与抓大头

考研数学二·零基础讲义 · 第 02 讲（下）｜极限的计算（二）：两个重要极限与抓大头

学完本篇，你会用 $\dfrac{\sin\square}{\square}\to1$ 和 $(1+\square)^{1/\square}\to e$ 两个"框架"算三角型和 $1^\infty$ 型极限，会用抓大头处理 $\dfrac\infty\infty$ 型（包括根号、指数、正负无穷的陷阱），并掌握拿到一道极限题的四步思路。预计用时：3–4 小时。

本讲地图#

• 第一个重要极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 及其推论（$\tan x$、$1-\cos x$、$\arcsin x$）。大纲要求：掌握利用两个重要极限求极限的方法。
• 第二个重要极限 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$，以及 $1^\infty$ 型的万能公式 $\lim u^v=e^{\lim(u-1)v}$。
• $\dfrac\infty\infty$ 型抓大头：同次比系数，分母高为 0，分子高为无穷；$\ln x\ll x^\alpha\ll a^x$。
• 极限题四步法：代入 → 判型 → 选方法 → 看方向。
• 考研怎么考：这些是算极限的"基本功"，直接或间接出现在几乎每一份试卷的小题里；第 03 讲的等价无穷小就是从第一个重要极限发展出来的。

前置知识#

• 极限的概念与左右极限：见第 02 讲（上）；四则运算、有理化、夹逼：见第 02 讲（中）。
• 三角公式（$1-\cos x=2\sin^2\frac x2$、诱导公式）、$u^v=e^{v\ln u}$：见第 01 讲（下）。

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一、两个重要极限#

1.1 第一个重要极限#

大白话：角度很小时，正弦值约等于角本身（弧度制）。比如 $x=0.01$，$\sin0.01\approx0.0099998$，几乎就是 0.01。

图 1：第一个重要极限的样子：0 附近 $\sin x$ 和 $x$ 几乎重合；$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 0 处虽然没有定义，但两边都趋于 1

公式：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

推广形式（框架思维）：只要"方框"趋于 0，

$$\lim\frac{\sin\square}{\square}=1\quad(\square\to0).$$

逐行拆解：三个"同"：分子 $\sin$ 里的东西、分母的东西必须一模一样，而且这个东西趋于 0。

由它推出的常用结论：

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1.$$

例 1　$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}$。

解：凑成同一个"方框"：$\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}$。$x\to0$ 时 $3x\to0$，$\dfrac{\sin3x}{3x}\to1$。原式 $=3$。

例 2　$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$。

解：$\dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\to1\cdot1=1$。

例 3　$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$。

解：

第一步，用第 01 讲的公式 $1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2$。

第二步，$\dfrac{2\sin^2\frac x2}{x^2}=\dfrac{2\sin^2\frac x2}{4\cdot\left(\frac x2\right)^2}=\dfrac12\left(\dfrac{\sin\frac x2}{\frac x2}\right)^2$。

第三步，括号里趋于 1，原式 $=\dfrac12$。

例 4（陷阱）　$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}$ 和 $\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\dfrac1x$。

解：

• 第一个：$x\to\infty$ 时 $\sin x$ 不趋于 0，不符合"方框趋于 0"。用"有界 × 无穷小"：$\lvert\sin x\rvert\le1$，$\dfrac1x\to0$，所以极限是 0，不是 1。
• 第二个：令 $t=\dfrac1x$，$x\to\infty$ 时 $t\to0$，$x\sin\dfrac1x=\dfrac{\sin t}{t}\to1$。

⚠️ 先看"方框"是不是趋于 0，再用公式。

1.2 第二个重要极限#

大白话：银行存 1 元，年利率 100%。一年结一次息得 2 元；半年结一次得 $\left(1+\frac12\right)^2=2.25$ 元；结息次数越多钱越多，但有上限，上限就是 $e\approx2.718$ 元。

图 2：第二个重要极限的样子：$\left(1+\dfrac1x\right)^x$ 在 $x\to\pm\infty$ 时都贴近水平线 $y=e$

公式（两种写法）：

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e,\qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e.$$

推广形式：只要 $\square\to0$，

$$\lim(1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e.$$

逐行拆解：这是"$1^\infty$ 型"：底数趋于 1，指数趋于无穷。结构是"1 加一个小量，指数是这个小量的倒数"。

实用公式（$1^\infty$ 型的万能做法）：若 $\lim u=1$，$\lim v=\infty$，则

$$\lim u^v=e^{\lim (u-1)v}.$$

道理：$u^v=\left[1+(u-1)\right]^{\frac{1}{u-1}\cdot(u-1)v}$，中括号部分趋于 $e$。

例 5　$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^x$。

解：

方法一（凑）：$\left(1+\dfrac2x\right)^x=\left[\left(1+\dfrac2x\right)^{\frac x2}\right]^2$，中括号趋于 $e$，原式 $=e^2$。

方法二（公式）：$u-1=\dfrac2x$，$(u-1)v=\dfrac2x\cdot x=2$，原式 $=e^2$。

例 6　$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac1x\right)^x$。

解：$(u-1)v=-\dfrac1x\cdot x=-1$，原式 $=e^{-1}=\dfrac1e$。

例 7　$\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac1x}$。

解：$(u-1)v=3x\cdot\dfrac1x=3$，原式 $=e^3$。

例 8　$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x$。

解：

第一步，底数 $\to1$，指数 $\to\infty$，是 $1^\infty$ 型。

第二步，$u-1=\dfrac{x+1}{x-1}-1=\dfrac{2}{x-1}$。

第三步，$(u-1)v=\dfrac{2x}{x-1}\to2$。

所以原式 $=e^2$。

1.3 易错点 ⚠️#

• ⚠️ $1^\infty$ 不等于 1。"底数趋于 1"和"等于 1"是两回事，指数的无穷大会把微小的偏差放大。
• ⚠️ $\lim\limits_{x\to0}\left(1+\dfrac1x\right)^x$ 不是第二重要极限（这里 $\dfrac1x$ 不趋于 0），别乱套。
• ⚠️ 用公式前先确认：底数确实 $\to1$，指数确实 $\to\infty$。

1.4 更多例题：第一个重要极限#

例 9　求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$。

解：

第一步，提出 $\tan x$：$\tan x-\sin x=\tan x-\tan x\cos x=\tan x(1-\cos x)$。

第二步，拆成两个熟悉的极限：$\dfrac{\tan x(1-\cos x)}{x^3}=\dfrac{\tan x}{x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}$。

第三步，$\dfrac{\tan x}{x}\to1$，$\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12$，两者都存在，可以相乘。

所以极限为 $\dfrac12$。

例 10（方框不是 0 时先换元）　求 $\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$。

解：

第一步，$x\to\pi$ 时 $\sin x\to0$，但 $\sin x$ 里的 $x$ 不趋于 0，不能直接套公式。

第二步，换元：令 $t=x-\pi$，则 $x=t+\pi$，$t\to0$。

第三步，$\sin x=\sin(t+\pi)=-\sin t$（诱导公式）。

第四步，原式 $=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{-\sin t}{t}=-1$。

例 11　求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$。

解：

第一步，令 $t=\arcsin x$，则 $x=\sin t$，$x\to0$ 时 $t\to0$。

第二步，原式 $=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{t}{\sin t}=1$。

例 12（数列也能用）　求 $\lim\limits_{n\to\infty}n\sin\dfrac{\pi}{n}$。

解：

第一步，$n\to\infty$ 时 $\dfrac{\pi}{n}\to0$，方框是 $\dfrac\pi n$。

第二步，凑：$n\sin\dfrac{\pi}{n}=\pi\cdot\dfrac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}\to\pi\cdot1=\pi$。

（几何意义：圆内接正 $n$ 边形周长的一半，$n$ 越大越接近半圆周长 $\pi$。）

例 13　求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$。

解：$\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}=\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot\dfrac{x}{\sin x}\to\dfrac12\cdot1=\dfrac12$。

1.5 更多例题：第二个重要极限#

例 14　求 $\lim\limits_{x\to0}(1-2x)^{\frac1x}$。

解：

第一步，判型：底数 $\to1$，指数 $\to\infty$，$1^\infty$ 型。

第二步，$u-1=-2x$，$(u-1)v=-2x\cdot\dfrac1x=-2$。

所以极限为 $e^{-2}$。

例 15　求 $\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$。

解：

第一步，底数 $\cos x\to1$，指数 $\to+\infty$，$1^\infty$ 型。

第二步，$(u-1)v=\dfrac{\cos x-1}{x^2}=-\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to-\dfrac12$。

第三步，极限为 $e^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt e}$。

例 16　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n+3}$。

解：

第一步，拆开：$\left(1+\dfrac1n\right)^{n+3}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)^3$。

第二步，前者 $\to e$，后者 $\to1^3=1$。

第三步，极限为 $e$。（用公式也一样：$(u-1)v=\dfrac{n+3}{n}\to1$。）

例 17　求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+3}{x+1}\right)^{2x}$。

解：

第一步，$u-1=\dfrac{x+3}{x+1}-1=\dfrac{2}{x+1}$。

第二步，$(u-1)v=\dfrac{2}{x+1}\cdot2x=\dfrac{4x}{x+1}\to4$。

第三步，极限为 $e^4$。

例 18　求 $\lim\limits_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1x}$。

解：$(u-1)v=\dfrac{\sin x}{x}\to1$，极限为 $e$。

⚠️ $1^\infty$ 型的公式 $e^{\lim(u-1)v}$ 里，指数部分本身往往又是一个极限题，要用前面学过的方法把它算出来。

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二、$\dfrac{\infty}{\infty}$ 型：抓大头#

2.1 大白话#

一个亿万富翁和一个普通人合伙，两人资产加起来，基本就是富翁的资产。$x\to\infty$ 时，$3x^2+2x$ 里 $3x^2$ 是"富翁"，$2x$ 可以忽略。分子分母各自只看"最大的那一项"（最高次项），这就是抓大头。

2.2 公式#

$x\to\infty$ 时，设分子最高次为 $m$、系数 $a_0\ne0$，分母最高次为 $n$、系数 $b_0\ne0$：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots}=\begin{cases}\dfrac{a_0}{b_0}, & m=n,\\[2mm] 0, & m<n,\\[2mm] \infty, & m>n.\end{cases}$$

口诀：同次比系数，分母高为 0，分子高为无穷。

做法：分子分母同除以分母的最高次幂（或"最大的那个量"）。

速度排序（$x\to+\infty$，后面的比前面的"大"得多）：

$$\ln x\ \ll\ x^{\alpha}\ (\alpha>0)\ \ll\ a^x\ (a>1).$$

对数 < 幂函数 < 指数函数。（严格证明在第 07 讲洛必达法则。）

2.3 例题#

例 19　$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+2x}{5x^2-1}$。

解：同除以 $x^2$：$\dfrac{3+\frac2x}{5-\frac{1}{x^2}}\to\dfrac35$。

例 20　$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ 和 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{x^2+1}$。

解：前者分母次数高，极限为 0；后者分子次数高，极限为 $\infty$（不存在）。

例 21　$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{(2x-1)^3(x+2)^2}{x^5+1}$。

解：

第一步，分子展开后最高次项是 $(2x)^3\cdot x^2=8x^5$，不必真的展开。

第二步，分母最高次项 $x^5$，同次，比系数：$\dfrac81=8$。

例 22（陷阱：根号与方向）　求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ 与 $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$。

解：

第一步，关键：$\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$。$x\to+\infty$ 时 $\lvert x\rvert=x$；$x\to-\infty$ 时 $\lvert x\rvert=-x$。

第二步，$x\to+\infty$：同除以 $x$，$\dfrac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac1x}\to1$。

第三步，$x\to-\infty$：$\sqrt{x^2+1}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$，所以原式 $=\dfrac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x+1}=\dfrac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac1x}\to-1$。

两个方向结果不同，所以 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ 不存在。

例 23（指数型）　$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3^n+2^n}{3^{n+1}-2^n}$。

解：大头是 $3^n$，同除以 $3^n$：$\dfrac{1+\left(\frac23\right)^n}{3-\left(\frac23\right)^n}$。因为 $\left(\dfrac23\right)^n\to0$，极限为 $\dfrac13$。

2.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 抓大头只适用于 $x\to\infty$。$x\to0$ 时反而要看最低次项（"抓小头"），别弄反。
• ⚠️ 含 $\sqrt{x^2}$、$e^x$、$\arctan x$ 时，$+\infty$ 和 $-\infty$ 要分开算。

2.5 更多例题：抓大头#

例 24（先化成分式再抓大头）　求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}-x\right)$。

解：

第一步，两项都 $\to\infty$，是 $\infty-\infty$ 型，先通分：

$$\frac{x^2+1}{x+1}-x=\frac{x^2+1-x^2-x}{x+1}=\frac{1-x}{x+1}.$$

第二步，同次，比系数：$\dfrac{-1}{1}=-1$。

例 25（指数型大头）　求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x+x}{2e^x-1}$。

解：

第一步，$x\to+\infty$ 时 $e^x$ 比 $x$ 大得多，大头是 $e^x$。

第二步，同除以 $e^x$：$\dfrac{1+xe^{-x}}{2-e^{-x}}$。

第三步，$e^{-x}\to0$；$xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0$（速度排序：指数远快于幂）。

第四步，极限为 $\dfrac{1+0}{2-0}=\dfrac12$。

例 26（有界项不影响大头）　求 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$。

解：$\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}$，而 $\dfrac{\sin x}{x}\to0$（有界 × 无穷小），极限为 1。

⚠️ 例 26 不能"上下求导"之类乱来（洛必达法则第 07 讲才学，而且这里用了也算不出），抓大头和"有界 × 无穷小"就够了。

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三、拿到一道极限题，先做什么（第 02 讲小结）#

3.1 大白话#

做极限题像看病：先"量体温"（代入看是什么型），再"对症下药"。别一上来就套公式。

3.2 四步流程#

1. 先代入：把 $x_0$（或 $\infty$）代进去看看。能直接算出有限数，且分母不为 0，就结束了。
2. 判类型：算不出来时，看它是 $\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$、$\infty-\infty$ 还是 $1^\infty$。
3. 选方法：
   • $\dfrac00$ 且是多项式或根式：因式分解、有理化；含三角函数：往 $\dfrac{\sin\square}{\square}$ 上凑。
   • $\dfrac\infty\infty$：抓大头，同除以最大的那一项。
   • $\infty-\infty$：通分或有理化，化成分式。
   • $1^\infty$：用 $e^{\lim(u-1)v}$。
   • $n$ 项和、递推数列：夹逼或单调有界。
4. 看方向：有没有 $\lvert x\rvert$、$e^{\frac1x}$、$\arctan\dfrac1x$、$\sqrt{x^2}$、分段函数？有就分左右（或分 $\pm\infty$）。

3.3 例题：综合走一遍#

例 27　求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sin x}$。

解：

第一步，代入：分子 $1-1=0$，分母 $\sin0=0$，是 $\dfrac00$ 型。

第二步，分子是根式之差，先有理化，分子分母同乘 $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$：

$$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sin x}=\frac{(1+x)-(1-x)}{\sin x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\frac{2x}{\sin x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}.$$

第三步，拆成两部分：$\dfrac{x}{\sin x}\to1$，$\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\to\dfrac{2}{1+1}=1$。

第四步，两部分极限都存在，可以相乘：原式 $=1\times1=1$。

例 28　求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$。

解：

第一步，代入是 $\infty-\infty$ 型。

第二步，有理化（把它看成分母为 1 的分式）：

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$$

第三步，变成 $\dfrac\infty\infty$ 型，抓大头，同除以 $x$（$x>0$，$\sqrt{x^2}=x$）：$\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12$。

3.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 乘积里只有"极限存在且不为 0 的因子"才能先算出来提出去；不能把加减式里的某一项单独先算极限。
• ⚠️ 例 28 若 $x\to-\infty$，$\sqrt{x^2}=-x$，结论完全不同（此时 $\sqrt{x^2+x}-x\to+\infty$），方向一定要看清。

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公式/结论速记卡#

类别	结论
第一重要极限	$\lim\frac{\sin\square}{\square}=1$（$\square\to0$，分子分母的方框一模一样）
推论	$\frac{\tan x}{x}\to1$；$\frac{\arcsin x}{x}\to1$；$\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12$（$x\to0$）
方框不趋于 0	先换元，如 $x\to\pi$ 时令 $t=x-\pi$
第二重要极限	$\lim(1+\square)^{1/\square}=e$（$\square\to0$）
$1^\infty$ 万能式	$\lim u^v=e^{\lim(u-1)v}$（$u\to1$，$v\to\infty$）
常用结果	$(1+\frac ax)^{x}\to e^a$；$(1+ax)^{\frac1x}\to e^a$；$(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\to e^{-\frac12}$
抓大头	同次比系数，分母高为 0，分子高为 $\infty$
速度排序	$x\to+\infty$：$\ln x\ll x^\alpha\ll a^x$（$\alpha>0,a>1$）
陷阱	$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$；$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac1x=1$；$\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$；$1^\infty\ne1$
四步法	代入 → 判型 → 选方法 → 看方向

自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{\sin2x}$。

答案与提示

$\dfrac{\sin5x}{\sin2x}=\dfrac{\sin5x}{5x}\cdot\dfrac{2x}{\sin2x}\cdot\dfrac{5x}{2x}\to1\cdot1\cdot\dfrac52=\dfrac52$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x\sin x}$。

答案与提示

$1-\cos2x=2\sin^2x$，原式 $=\lim\dfrac{2\sin^2x}{x\sin x}=\lim\dfrac{2\sin x}{x}=2$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to0}x\cot3x$。

答案与提示

$x\cot3x=\dfrac{x\cos3x}{\sin3x}=\dfrac13\cdot\dfrac{3x}{\sin3x}\cdot\cos3x\to\dfrac13\cdot1\cdot1=\dfrac13$。

4. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac3x\right)^{2x}$。

答案与提示

$1^\infty$ 型：$(u-1)v=-\dfrac3x\cdot2x=-6$，原式 $=e^{-6}$。

5. 求 $\lim\limits_{x\to0}(1+\tan x)^{\frac2x}$。

答案与提示

$(u-1)v=\tan x\cdot\dfrac2x=2\cdot\dfrac{\tan x}{x}\to2$，原式 $=e^2$。

6. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^x$。

答案与提示

$u-1=\dfrac{-2}{x+1}$，$(u-1)v=\dfrac{-2x}{x+1}\to-2$，原式 $=e^{-2}$。

7. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{5x^3+x^2}$ 和 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2^x+3^x}{3^x+1}$。

答案与提示

前者同次比系数：$\dfrac25$。后者同除以 $3^x$：$\dfrac{\left(\frac23\right)^x+1}{1+3^{-x}}\to\dfrac{0+1}{1+0}=1$。

8.（略提高） 求 $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)$。

答案与提示

有理化：$\sqrt{x^2+2x}+x=\dfrac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}-x}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}$。$x<0$ 时 $\sqrt{x^2+2x}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac2x}=-x\sqrt{1+\frac2x}$，所以原式 $=\dfrac{2x}{-x\sqrt{1+\frac2x}-x}=\dfrac{2}{-\sqrt{1+\frac2x}-1}\to\dfrac{2}{-2}=-1$。

下一讲预告#

第 03 讲学习无穷小的比较和等价无穷小替换——考研算极限最常用、最省力的武器，并把极限计算方法做一次总结。